제 2 교시 수 리 영 역

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

¹⁾ log_

 log_의 값은?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2.

²⁾ 두 행렬 

 

^{ }  , 



  ^{ }



에 대하여 행렬 의 모 든 성분의 합은?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

lim^

 

4.

^{4 )} 두 사건 에 대하여 P_{ }



, P∩^_{ }



일 때, P∩의 값은? (단, ^는 의 여사건이다.)

[점][2013년 7월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





5.

^{5 )}



_{ }^{   의 값은?}

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

6.

^{6 )} 수열 ^^{에 대하여} lim

 → ∞  

_

 일 때, lim

 → ∞^

 _ 의 값 은?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2013년 7월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘A’형

수 리 영 역

2 ^‘A’형

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7.

⁷⁾ 곡선   ^ ^   위의 점   에서의 접선의 방정 식을     이라 할 때, 상수  에 대하여   의 값 은?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

8.

⁸⁾ 그림은 두 함수      의 그래프이다. 옳은 것만을

<보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[점][2013년 7월]

 

 

 







O   O  

     



<보 기>

ㄱ. lim

 →   

  

ㄴ. 함수 는   에서 연속이다.

ㄷ. 닫힌 구간  에서 함수 의 불연속인 점은 오직 한 개 존재한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.

^{9 )} 함수   ^에 대하여 lim

 → ∞_{  }



^ 

 



^{  }





^{의 값은?}

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

10.

¹⁰⁾ 모든 자연수 에 대하여 수열 _은 다음 두 조건을 만족 시킨다. 이때 _{  }



^{∞ 의 값은?}

[점][2013년 7월]

(가) _≠ 

(나) 에 대한 다항식 _^ _  를   으로 나눈 나머지가 이다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

‘A’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

11.

¹¹⁾ 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서 의 위치는  ^ ^ 이다. 점 P의 속도가 처음으로 

이 되는 순간 점 P의 위치는?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

12.

¹²⁾ 함수 가   ^  



_^{}를 만족시킬 때,

의 값은?

[점][2013년 7월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





[13∼14]

어느 지역의 개 야구팀 , , , , 는 매년 각 팀이 서로 다른 팀들과 각각 번씩 경기를 하여 승리한 경기 수가 많은 순서로 순위를 결정하는 대회를 한다. 번과

번의 두 물음에 답하시오. (단, 모든 경기에서 무승부는 없 다고 한다.)

13.

¹³⁾ 년 대회의 최종결과에서는 위부터 위 팀까지의 승리 한 경기 수가 등차수열을 이루었다. 위 팀이 승리한 경기 수가

일 때, 위 팀이 승리한 경기 수는?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

14.

¹⁴⁾ 어느 야구전문가는 각 팀의 전력을 분석하여 내년 대회의 최 종결과 중 우선 ,  두 팀이 승리할 것으로 예상되는 경기 수 를 발표하였다. 그 발표를 바탕으로 나머지 세 팀의 결과를 예 상하여 최종결과를 다음과 같이 표로 완성할 때, 만들 수 있는 서로 다른 순서쌍   의 개수는? (단,     는 모두 이 상의 자연수이다.)

[점][2013년 7월]

팀 명     

승리할 것으로

예상되는 경기 수 ^{    }

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

4 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

15.

¹⁵⁾ 다음은 모든 자연수 에 대하여



 × 

× 

×⋯× 

 

≤ ^  

 ⋯⋯ (★) 이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

(i)   일 때 _



≤ ^

 이므로 (★)이 성립한다.

(ii)   일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 _



× 

× 

×⋯× 

  

×   

  

≤ ^  

 ․  

  

 ^  

 ․  가



 ^  

 ․



^  가^



 



^      · 가    · 가 ^



 



^      · 가  나 ․ 가 ^



 ^   



따라서     일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (★)이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, × 의 값은?

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

16.

¹⁶⁾ 다음과 같이 제행에 첫째항이 _

^

 이고 공차가 _

^

인 등차 수열의 항을 첫째항부터 차례로 ^ 개 나열한다.

제행 _





제행 _

^

, _

^

, _

^



제행 _

^

, _

^

, _

^

, _

^

, _

^

, _

^

, _

^



⋮ ⋮

제행 _

^

 , _

^

 , _

^

 , _

^

 , ⋯ ,_

^

^  , _

^

^ 

위와 같이 나열할 때, 제행에서 _



보다 큰 수의 개수를 _이 라 하자. _{  }



^{ 의 값은?}

[점][2013년 7월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

17.

¹⁷⁾ 삼차함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) ′  ^   

(나) 함수    의 그래프는  을 지난다.

이때 함수   의 그래프와 축으로 둘러싸인 도형의 넓이 는?

[점][2013년 7월]

① _



 ② _



 ③  ④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

‘A’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

18.

¹⁸⁾ 두 이차정사각행렬 에 대하여   ^ 

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단, 는 단위행렬이다.)

[점][2013년 7월]

<보 기>

ㄱ. 

ㄴ. ^{ } ㄷ. ^{ }^{ } 

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19.

¹⁹⁾ 크기와 모양이 같은 공이 상자 에는 검은 공 개와 흰 공

개, 상자 에는 검은 공 개와 흰 공 개가 들어 있다. 두 상 자 ,  중 임의로 선택한 하나의 상자에서 공을 개 꺼냈더니 검은 공이 나왔을 때, 그 상자에 남은 공이 모두 흰 공일 확률 은?

[점][2013년 7월]

상자  상자 

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





20.

²⁰⁾ 컴퓨터 통신이론에서 디지털 신호를 아날로그 신호로 바꾸는 통신장치의 성능을 평가할 때, 전송대역폭은 중요한 역할을 한 다. 서로 다른 신호요소의 개수를 , 필터링과 관련된 변수를

, 데이터 전송률을 (bps), 신호의 전송대역폭을 (Hz)라고 할 때, 다음의 식이 성립한다고 한다.





^log

  



^×

데이터 전송률이 같은 두 통신장치 P, Q의 서로 다른 신호요소 의 개수, 필터링과 관련된 변수, 신호의 전송대역폭이 다음과 같을 때, 의 값은?

[점][2013년 7월]

서로 다른 신호요소의 개수

필터링과 관련된 변수

신호의 전송대역폭

P ^  

Q   

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수 리 영 역

6 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

21.

²¹⁾ 최고차항의 계수가 인 삼차함수가  ,  ,

′ 이고 함수  가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 



^





의 값은? (단, 는 양수이다.)

[점][2013년 7월]



O  

  

(가) ′  ′

(나)  의 극댓값이 이고 극솟값이 이다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

단답형 22.

²²⁾ lim

 → ^ 

^ 

의 값을 구하시오.

[점][2013년 7월]

23.

²³⁾ 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 의 모든 성분의 합을 구하시오.

[점][2013년 7월]

수 리 영 역

‘A’형 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

24.

²⁴⁾ 함수  



^{ }     ≥ 

     가   에서 미분가능할 때, 상수  에 대하여 의 값을 구하시오.

[점][2013년 7월]

25.

²⁵⁾   ^의 전개식에서 ^의 계수를 구하시오.

[점][2013년 7월]

26.

²⁶⁾ 이 아닌 세 실수     가 이 순서대로 등차수열을 이룬 다. ^



 ^{ }



 ^



일 때, ^ ^의 최솟값을 구하시오.

(단, , , 는 이 아닌 양수이다.)

[점][2013년 7월]

27.

²⁷⁾ 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육면체 모양의 블록 개 를 사용하여 입체도형 T_을 만들고, T_의 겉넓이를 _이라 하 자. 입체도형 T_에 개의 블록을 더 쌓아서 입체도형 T_를 만들 고, T_의 겉넓이를 _라 하자. 입체도형 T_에 개의 블록을 더 쌓아서 입체도형 T_을 만들고, T_의 겉넓이를 _이라 하자.

이와 같은 방법으로 번째 얻은 입체도형 T_에   ^개의 블 록을 더 쌓아서 도형 T_{  }을 만들고, T_{  }의 겉넓이를 _{  }이 라 하자. 예를 들어 _ , _ 이다. 이때 _의 값을 구하 시오.

[점][2013년 7월]

수 리 영 역

8 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

28.

²⁸⁾ 함수  











  

  ≠ 

   

와 이차함수 가 다음 두 조건 을 만족시킨다.

(가)  

(나) 함수 는 모든 실수에서 연속이다.

이때 의 값을 구하시오.

[점][2013년 7월]

29.

^{29) 상용로그} log log log log log의 지표의 합이

가 되도록 하는 모든 자연수 의 개수를 구하시오.

[점][2013년 7월]

30.

³⁰⁾ 한 변의 길이가 인 정사각형을 _이라 하자. 그림과 같이

_의 한 꼭짓점과 정사각형 _의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으 로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 _라 하자.

정사각형 _의 한 꼭짓점과 정사각형 _의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하 는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 _이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 정사각형을 _이라 하 자. 정사각형 _의 넓이를 _이라 할 때,



  

∞

_{ }



  ^ 이 다. 이때   의 값을 구하시오. (단, , 는 자연수이다.)

[점][2013년 7월]

_ _

⋯

_

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

수 리 영 역

‘A’형 9

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2013년 7월 수리 A형 고3 모의고사 해설

1 ③ 2 ④ 3 ② 4 ① 5 ④

6 ② 7 ① 8 ① 9 ④ 10 ⑤

11 ② 12 ① 13 ② 14 ③ 15 ③ 16 ③ 17 ⑤ 18 ⑤ 19 ② 20 ③ 21 ⑤ 22  23  24  25 

26  27  28  29  30  1) ③

[출제의도] 로그 계산하기 log_

 log_  log_



^

⋅



^{ log  }

2) ④

[출제의도] 행렬 계산하기

 

 

 ^{ } 



  ^{ }







^{ } 



∴ 행렬의 모든 성분의 합은 

3) ②

[출제의도] 수열의 극한 계산하기

lim

→∞^ 

^ 

lim

→∞

^

^

 ^



^

^

 ^



 

4) ①

[출제의도] 확률의 기본 성질 이해하기 P ∩P  P ∩^_{ }





5) ④

[출제의도] 정적분 계산하기



_{ }^{}   

 







^       

6) ②

[출제의도] 수열의 극한 이해하기

  

_

 _이라 하면 _   _이고 lim

→∞

_ 

∴lim

→∞^

  _

lim

→∞^

   _

8) ①

[출제의도] 함수의 연속성 추론하기 ㄱ.lim

→  

   lim

→  

  이므로 lim

→  

   (참) ㄴ.    ×   , lim

→  

 ,lim

→  

 에서 lim

→

  lim

→

≠  (거짓) ㄷ.lim

→  

   ㄱ에 의하여lim

→  

  

lim

→  

 ≠lim

→  

이므로

함수 는   에서 극한값이 존재하지 않으므로 불연속이다.

ㄴ에 의해   에서도 불연속이므로 함수  는   ,

  에서 불연속이다. (거짓) 9) ④

[출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기

lim

 → ∞_{  }



^{ }_^



^{  }





^{ }



_^  

10) ⑤

[출제의도] 무한급수와 나머지 정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

  _^ _  라고 하면 를   으로 나눈 나머지는

  _^ _    

_  

  



^

  





  



∞

__{  }



^∞



^

   





 lim

→∞



^{  }





^



^

 





^⋯



^

  





 

11) ②

[출제의도] 도함수를 이용하여 속도와 위치 관계 이해하기 시각 에서의 점 P의 속도는 ′  ^   이므로,

^     

^           

   또는   

수 리 영 역

10 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

∴   



13) ②

[출제의도] 등차수열과 조합을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

위 팀의 승리한 경기 수를 라 하면 총 경기 수가 _C_× 이므로

C_×  

  

∴   

14) ③

[출제의도] 중복 조합을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 총 경기 수는 _C_×  ,

주어진 두 팀(와 )가 승리할 것으로 예상되는 경기 수의 합은 이고 나머지 개의 팀의 승리할 것으로 예상되는 경기 수의 합은 이므로

      

  가 모두 이상 이므로

  ′ ,   ′ ,   ′ 라 하면

′ ′ ′ ′≥  ′≥  ′≥ 

∴    C__C__C_ 

15) ③

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명과정 추론하기



× 

× 

×⋯× 

  

≤ ^ 

 ⋯(★) (i)   일 때



≤ ^

 이므로 (★)이 성립한다.

(ii)   일 때 (★)이 성립한다고 가정하면



× 

× 

× ⋯ × 

  

×   

  

≤ ^  

 ․  

  

 ^  

 ․

    





 ^  

 ․



^



^{  }  





^



 



^      ·



^  





   ·



^  





^



 



^      ·



^  





    ·



^  





^



 ^   



따라서     일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (★)이 성립한다.

   

 _,

   

∴  ×  

․  

16) ③

[출제의도] 수열의 규칙성 추론하기

^^:     ⋯ 이므로

_{  } _ ^{  }

_  



  

  

^{  } ^{  }   ≥ 

  





__{  }



^{     }_{  }^{ }    

(별해) _ ^   ^{  } ^{  } 

  





__{  }



^{     }_{  }^{ }    

17) ⑤

[출제의도] 정적분의 성질 이해하기

′  ^   이므로

  ^ ^  

   이므로

      ∴ 

      ^이므로 구하는 도형의 넓이는



_{ }^{      }_

18) ⑤

[출제의도] 행렬의 성질 추론하기

_{ }



이므로

ㄱ. _{ }



_{  }



^_{ }





_{ }



_{ }



^_{ }



 ∴ (참)

ㄴ. ^  이므로 ^  ^  

   ∴^{ } (참)

ㄷ. ^{ }  이므로

^{ }^{ }^{ }  (참) 19) ②

[출제의도] 조건부 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

임의로 선택한 상자에서 공을 하나 꺼낼 때, 상자 에서 공을 꺼낼 사건을

, 상자 에서 공을 꺼낼 사건을 , 꺼낸 공이 검은 공일 사건을 라 하면, 구하는 값은

P_{  } P P∩

 P∩  P∩ P∩

 



× 

 

× 





× 



 



 







 









 



20) ③

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

 



^log^

  



^{× ⋯⋯ ㉠}

 



^log

  



^{× ⋯⋯ ㉡}

수 리 영 역

‘A’형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

㉠과 ㉡에 의하여

  

  

∴   

21) ⑤

[출제의도] 부정적분을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

    ^이고,

′    ′이므로

   

  ^  ^

′    ^ ^  

     

  는   ,   에서 극솟값,   

에서 극댓값을 갖는다.





^





^{ ,}      이를 이용하여 와 를 구하면

  ,   ^  ^

∴ 



^





   

(별해) 함수 를 구하면

    ^이므로,

′    ^   

′   ′이므로

′  ^ ^ ^

     

  는   ,   에서 극솟값,   

에서 극댓값을 갖는다.





^





^{ ,}      이를 이용하여 와 를 구하면

  ,   ^  ^

∴ 



^





   

22) 12

[출제의도] 함수의 극한 계산하기

lim

→^ 

^ 

lim

→  

    

lim

→

  

 

23) 14

[출제의도] 그래프와 행렬의 성질 이해하기

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은

[출제의도] 이항계수의 성질 이해하기

  ^의 전개식의 일반항

C_^{  } ^에서

^의 계수는   인 경우이므로

C_ ^ 

26) 24

[출제의도] 수열의 성질 이해하기

^



 ^{ }



 ^



 라고 하면,

  ^, ^{ } ^, ^ ^ 이고

, , 가 등차수열이면

^ ^ ^가 등비수열이므로

^^ ^^

∴ ^{ }^ ^

^

 ^

∴ ^ ^ ^

 ^≥ 



^_^{․  }

(단, 등호는   

^

, ^ 

일 때 성립한다.)

∴ ^ ^의 최솟값은 

27) 616 도형_에서

위와 아래에서 바라본 넓이는 각각

   ⋯    ,

정면과 뒷면에서 바라본 넓이는 각각

  ^ 이므로

_     ⋯     ^        ^  ^  

∴ _ 

28) 32

[출제의도] 함수의 연속성 이해하기

함수 가 모든 실수에서 연속이 되기 위해서는   에서 연속이 되어야 하므로 lim

→

 를 만족하여야 한다.

lim

→ lim

→  



 이므로   

      라고 하면,

lim

→

lim

→

      

수 리 영 역

12 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

지표가  인 것이 개라고 하면

          ,

∴     

 ≤ log    ≤ log  이므로

 ≤   ,  ≤   



≤   



이를 만족하는 자연수 의 개수는

      

30) 9

[출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림과 같이 정사각형 _의 꼭짓점을 각각 A_, B_, C_, D_이라 하고, 문제의 조건에 따라 그린 정삼각형의 꼭짓점을 각각 C_, E_, F_이라 하자.

D_ C_

A_ B_

G_ E_

F_ O_

정사각형 _의 한 변의 길이를 _, 정삼각형 C_E_F_의 한 변의 길이를

_이라 하자.

C_G_ G_A_^ _



^

_ 

_^ _

_ ^ ^ _ 원 O_의 반지름의 길이 _은

_ 

^

_× 



정사각형 _{  }의 한 변의 길이는 ^ _이므로

_{  }^ _ 

^

_ 

^

^ ^  _

∴ _{  } 

 ^

_

수열^^{은 첫째항이 , 공비가} _^{  }_^{인 등비수열이다.}

∴ _{  }



^{∞ }

  

  ^

  

  ^

∴     