, 제 2 교시 수 학 영 역

(1)

5 지선다형

1.

¹⁾ 두 행렬 

 

^{ }  , 

 

^{ }  에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은?

[2점][2015학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2.

²⁾

lim

→

ln   

의 값은?

[2점][2015학년도 수능]

①  ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





3.

^{3 )} 함수   sin ^ cos ^의 최댓값은?

[2점][2015학년도 수능]

① ^ ② ^ ③  ④ ^ ⑤ ^

4.

^{4 )}



_^^^^^{ }^{의 값은?}

[3점][2015학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2015학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시 수 학 영 역

성명 수험번호 3

1

‘B’형

홀수형

(2)

수 학 영 역

2 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5.

⁵⁾ 좌표공간에서 두 점 A   , B    에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점이 축 위에 있을 때,   의 값은?

[3점][2015학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

6.

⁶⁾^{두 일차변환}, 를 나타내는 행렬을 각각

 

^{ }  ,



^  ^



이라 하자. 합성변환  ∘ 에 의하여 점  가 점  으로 옮겨질 때, 의 값은?

[3점][2015학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7.

^{7 )} 등비수열



_



^{에 대하여}_ , _ 일 때, _{  }



^∞^^^^^{의 값은?}

[3점][2015학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





8.

^{8 )} 두 사건 , 에 대하여 ^과 는 서로 배반사건이고 P  P_{  }





일 때, P∩^의 값은? (단, ^은 의 여사건이다.) [3점][2015학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





(3)

수 학 영 역

‘B’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

9.

⁹⁾ 함수 _{  }



에 대하여

lim

→∞_{  }



^ ^



^{  }





^

의 값은?

[3점][2015학년도 수능]

① ln  ② ln  ③ ln  ④ ln  ⑤ ln 

10.

¹⁰⁾ 그림과 같이 포물선 ^ 의 초점 F를 지나는 직선과 포 물선이 만나는 두 점 A, B에서 준선 에 내린 수선의 발을 각 각 C, D라 하자. ^AC 일 때, 선분 BD의 길이는

[3점][2015학년도 수능]

①  ② _



 ③  ④ _



 ⑤ 

11.

¹¹⁾ 어느 공장에서 생산되는 과자 봉지 의 무게는 평균이 g, 표준편차가 g 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장 에서 생산된 과자 중 임의로 선택한 과 자 봉지의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표 를 이용하여 구한 것은?

[3점][2015학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

12.

¹²⁾ 평면  위에 있는 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선을  이라 하고, 평면  위에 있지 않은 점 P에서 평면 에 내린 수 선의 발을 H라 하자. ^AB PA PB , ^PH 일 때, 점 H와 직선  사이의 거리는?

[3점][2015학년도 수능]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

 P ≤≤ 

 

 

 

 

(4)

수 학 영 역

4 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

[13~14]   인 상수 에 대하여 두 곡선   ^{  }과   ^이 점  에서 만난다. 점 의 좌표를 라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13.

¹³⁾

lim

→∞



^





^{  }^{ }



^





^{  }

‘B’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

17.

¹⁷⁾ 수열



_



^은_ 이고, __{  }



^ ^^^{라 할 때,}

_{  }   _  ( ≥ ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 _을 구하는 과정이다.

자연수 에 대하여 _{  }_{  }_이므로 주어진 식에 의 하여

_{  }   _  ( ≥ ) 이다. 양변을  로 나누면 _

  

_{  }

   

_

    



이다. _  

_

이라 하면 _ 

이고 _{  } _    



이다. 수열



_



의 일반항을 구하면

^^^ (가)

   이므로

_ (가) _×

이다. 그러므로

_ (나) _{×   } ( ≥ ) 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,

  의 값은?

[4점][2015학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

18.

¹⁸⁾ 주머니 속에 의 숫자가 적혀 있는 공 개, 의 숫자가 적혀 있는 공 개, 의 숫자가 적혀 있는 공 개가 들어 있다. 이 주 머니에서 임의로 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인 한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 평균을 ^라 하자. P



^ 



의 값은?

[4점][2015학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





19.

¹⁹⁾ 좌표공간에서 직선 _{  }



       과 평면 가

점 P  에서 수직으로 만난다. 직선  위의 점 A    와 평면  위의 점 Q에 대하여 ^AP ⋅AQ  일 때,     의 값 은? (단,   )

[4점][2015학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(6)

수 학 영 역

6 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

20.

²⁰⁾ 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 외접하고

∠CAB  ∠BCA  인 이등변삼각형 ABC가 있다.

선분 AB의 연장선 위에 점 A가 아닌 점 D를 ∠DCB  가 되 도록 잡는다. 삼각형 BCD의 넓이를 라 할 때,

lim

→  

 ×의 값은? (단, _{    }



)

[4점][2015학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





21.

²¹⁾ 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연 수 을 _이라 할 때, _{  }



^^^^{의 값은?}

[4점][2015학년도 수능]

(가) 점 A의 좌표는 ^ 이다.

(나) 두 점 B  과 C^ 을 지나는 직선 위의 점 중  좌표가 ^인 점을 D라 할 때, 삼각형 ABD의 넓이는



보다 작거나 같다.

①  ② 111 ③  ④  ⑤ 

단답형

22.

²²⁾ 로그방정식 log_    의 해를 구하시오.

[3점][2015학년도 수능]

23.

[4점][2015학년도 수능]

(가)  ×  × 는 홀수이다.

(나)  ≤  ≤  ≤ 

27.

²⁷⁾ 타원 _



^

 

^

 의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F, 음 수인 점을 F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P를 ∠FPF′ 

가 되도록 제 사분면에서 잡고, 선분 FP의 연장선 위에 좌표가 양수인 점 Q를 ^FQ 이 되도록 잡는다. 삼각형 QF′F의 넓이를 구하시오.

[4점][2015학년도 수능]

28.

²⁸⁾ 양수 에 대하여 함수  







 ^의 최댓값이 이 다. 곡선   ^과 두 직선   ,   으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[4점][2015학년도 수능]

(8)

수 학 영 역

8 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

29.

²⁹⁾ 좌표공간에 구  ^ ^ ^ 과 점 P   가 있다.

다음 조건을 만족시키는 모든 원 에 대하여 의 평면 위로 의 정사영의 넓이의 최댓값을 _



라 하자.   의 값을 구하시 오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015학년도 수능]

(가) 원 는 점 P를 지나는 평면과 구 가 만나서 생긴다.

(나) 원 의 반지름의 길이는 이다.

30.

³⁰⁾ 함수   ^{  } 과 자연수 에 대하여 함수 를

    _{  }



^ ^^^^^

이라 하자. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.

[4점][2015학년도 수능]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는 지 확인하시오.

(9)

수 학 영 역

‘B’형 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2015학년도 수능기출 B형 해설지

1 ⑤ 2 ③ 3 ① 4 ② 5 ④

6 ③ 7 ① 8 ② 9 ② 10 ①

11 ⑤ 12 ① 13 ③ 14 ④ 15 ④ 16 ⑤ 17 ③ 18 ⑤ 19 ② 20 ④ 21 ① 22 26 23 8 24 25 25 20 26 220 27 12 28 96 29 9 30 39

1) ⑤



 

^{ } 

 

^{ }  ^에서

 



lim

→

ln  

 



lim

→

ln  ^^





ln   



3) ①

  sin ^  ^  ^    ^



^단^{ sin  }

^

 cos  

^



이때,   ≤ sin   ≤  이므로

 ^ ≤ ^    ^ ≤^ 따라서, 함수 의 최대값은 ^이다.

4) ②



_^^^^^{   }



_^^^^^^{  }^_

^



^^











  × 

 

5) ④

두 점         에서 선분를   로 내분하는 점의 좌표는



^{  }

   

 

  



^{이고, 이 점이}^^{축 위에 있으므로}



   

   

  

 

등비수열 _의 공비를 라 하면

  _

_

 

 ∴_  ×



^





^{  }

∴_{  }



^∞^^^^^_{  }



^∞ ^{ ×}



^





^{  }^{ }

  

  



8) ②

_{  }



_{  }



 이고, ^과 가 서로 배반사건이므로

∩^  

∴ ∩^  ^ ∪^  

 

   



9) ②

lim

→∞



  



  







_^^{ }



_^

  ln  _^ ln 

10) ①

포물선 ^ 에서 초점 의 좌표는    이고,    을 지나는 직선은      는 상수

한편, 준선은    이고,   이므로, 점 의 좌표는 1이다.

점 ^ 가 직선     위의 점이므로

^     ^

∴  ^   

직선   ^   과 포물선 ^  를 연립하면

^   ^ 

^     

       즉, 점의 좌표는 9이다.

따라서, 선분의 길이는      이다 11) ⑤

과자 1봉지의 무게를 확률변수 라 하면 는 정규분포   ^을 따른다.

이때, _{ }



 

는 표준정규분포  을 따르므로 구하는 확률은

 ≤≤ 





^

  

≤_{≤ }



  



 ≤≤ 

 ≤  ≤

(10)

수 학 영 역

10 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

^   ^  ^ 또,  이고,  이므로

^   ^  ^

이때, 평면 위의 점 H에서 직선 에 내린 수선의 발을 이라 하면

 이므로

 



^^^ ^ ^   ^

13) ③

점 의 좌표가 이고, 점 가 곡선   ^{  } 위의 점이므로

 ^{  }

또, 점 가 곡선   ^ 위의 점이므로

 ^

∴^ ^{  } 이때, 

  이므로

lim

→∞



^





위 식에   을 대입하면

 ^ ^ln  

∴    ln 



∴_{  } ln 

   

  ^{  }에서 ′ ^{  }ln  이므로 곡선   ^{  }위의 점에서의 접선의 방정식은

  ^{  } ^{  }ln   

위 식에   을 대입하면

 ^{  } ^{  }ln   

∴    ln 



∴_{  } ln 

   

이때,    이므로

ln 

  ln 

  ln    ln

∴  ^  15) ④

남학생인 사건을 , 수학동아리에 가입한 사건을 라 하자

_{  }



 에서



∩

 



∴∩_{  }





^_{  }



 에서

^

^∩

 



∴^∩_{  }



^_{  }



 

이때,

__{  }



∩

_^_{  }



^∩ 이고 _  _ 이므로



∩

 

^∩



   

∴_{  }





따라서, 구하는 남학생의 수는

 × 

 명

16) ⑤

ㄱ. (참) ^ 에서     



^





^^

∴^{ }_{ }





따라서, 행렬 의 역행렬이 존재한다.

ㄴ. (참) 행렬 의 역행렬이 

이므로





^





^



^





^



^_{  }



^ ∴

ㄷ. (참) ^^ 에서 ∵ㄴ 이므로 ^  이때, ^ 이므로 

∴  ⋯ ㄱ

 를 ^ 에 대입하면 ^ ^   ^  ∴^_{ }





∴ ^ ^ ∵ㄱ  ^_{ }



  

17) ③

자연수 에 대하여 _{  }_{  }_ 이므로 주어진 식에 의하여

_{  }  _   ≥ 

이다. 양변을  로 나누면

 

_{  }

  

_

   



이다. _  

_

이라 하면 _ 

 이고,

(11)

수 학 영 역

‘B’형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

_{  } _    



이다. 수열 _의 일반항을 구하면

_ __{  }^{  }



^    



 __{  }^{  }

 

^  

   





 

 

  



  



이므로 _  × 이다.

이때,

___{  }

 ×    ×  

 ^   ×    ≥ 

이고, _  _ 이므로

_ ^    ×    ≥ 

이다.

∴       ^   

∴        

18) ⑤

2번의 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 순서대로  라 하고, 순서쌍

  로 나타내면,   가 되는 경우는            이다.

∴_{   }



× 

 

× 

 

× 

  



19) ②

점 가 직선 

       위의 점이므로

          ≠ 으로 놓을 수 있다.

직선 과 평면 가 서로 수직이므로



내접원의 중심을  선분 와 원의 접점을 라 하면

 _{ } tan 





삼각형 가 이등변삼각형이므로

_{ } tan 





∠ 이므로 ∠   

삼각형 에서

sin  



 sin



sin

 tan 





 sin



∴_{ }

sin

sin ×  tan 



  sin tan 



sin

삼각형 에서

sin  



 sin



∴_{ }

sin

× sin

 sin

sin

×  sin tan 

sin

  sin tan 



sin

∴_{  }



× × ×sin

 

× 

sin tan 



sin

×  sin tan 



sin

× sin

 

sin sin tan^

sin^

(12)

수 학 영 역

12 ^‘B’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

  

^ 

   

따라서, 점 의 좌표는



^^^{ }^ 

 ^ 



삼각형 의 넓이는



^ 

^ 

 ^ 

삼각형 의 넓이가 

보다 작거나 같으므로



^ ^ 

 ^  ≤ 



^ ^≤ ^  이때,   이면

 ≤ ^    ≤ ^ 이므로 _  또한, 2이상의 모든 자연수 에 대하여

^ ^≤ ^  ≤ ^  이므로  ≤ 이면 된다

∴ _   _   ≥ 

∴



  



_ _



  



    

  

 

22) 26

log_     에서

    ^ 

∴  

23) 8

  cos  ^에서

′   sin  ^

′       24) 25

^   라 하면

^  



^^      에서

 ^    

^       의 양변을 제곱하면

    ^   

^     

      

∴    ∵   는 무연근

따라서, 구하는 모든 실근의 곱은  이므로 ^ 이다.

25) 20

_  log   log_ ⋯ ㄱ

_  log   log_ ⋯ ㄴ

(ㄱ)-(ㄴ)하면

__  log_  log_

  log_  log_ ∵_ _   log  log_   log_   ×   

26) 220

 ×  × 가 홀수이므로,    는 모두 홀수이다

이때,  ≤  ≤  ≤ 을 만족시키는 순서쌍     는

      ⋯  에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 경우의 수와 같으므로

____{ }

 ×  ×

 × × 

 

27) 12 타원 

^

 

^

 의 두 초점의 좌표는 ^   ′^    점 가 타원 위의 점이므로

   ′  라 하면

    

∴      ⋯⋯ ㄱ

삼각형 ′에서 ∠′ 

 이므로

^ ′^ ′^

^ ^ ^ ^ 위 식에 (ㄱ)을 대입하면

  ^ ^ 

^     

      

∴    또는   

이때, 점 가 제1사분면 위의 점이므로   이다.

따라서, 삼각형 ′의 넓이는



× × ′ 

×  ×  

28) 96

 



_^^{ }^^^{의 양변을}^^{에 대하여 미분하면}

′   ^

′   에서   이므로 는   에서 최댓값을 갖는다

 







 ^  ^_^







 ^

   ^_^    ^ 

^     ⋯⋯ ㄱ

따라서, 구하는 넓이는



_^^^^{  }^^^^{ }^^^^{ }^^{  }

 ^      ∵ㄱ  29) 9

그림과 같이 원점을  원 가 평면과 만나는 다른 한 점을 ′이라 하자. 또, 원점 에서 선분 ′에 내린 수선의 발을 라 하고,

∠ 라 하자.

(13)

수 학 영 역

‘B’형 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

   ^ 이므로 sin  ^

  cos  ^



선분 ′의 연장선과 축이 만나는 점을 라 하고, ∠ 라 하자, 이때, 정사영의 넓이는

 cos  cos



^



 



^^

 × ^

  ^

 × ^





 



^

 





^{ }



∴      30) 39





^{ }^{  }     

^{  }   ≥ ^이므로



 



^{ }^{  }^{  }^{   }   ^이다.

따라서     라 하면 함수 는    에서 미분가능하지 않고,

lim

→    

′   

lim

→    

′  

이다.

한변,      은 자연수일 때,

^  ^^{ }^{ } 이므로

  

따라서

^ ^^^{ }  이므로



^ ^{  }^^^{ }

따라서 ^ ^ 이라 하면 함수 ^은 실수 전체집합에서 미분가능하다.

이제     또는   일 때, 함수 



  



^{  }를  라 하자. 즉

   _{  }



^ ^^{  }^

이때 함수 가    에서 미분가능하면 함수 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

 ≠ 일 때

′  ′_{  }



^^′^{  }^^이므로

lim

→    

′    



  



  

lim

→    

′   _{  }



^^{  }

이때, 함수  가    에서 미분가능하려면

lim

→    

′ 

lim

→    

′

즉,   _{  }



^     _{  }



^^{  }

이어야 한다.

  





    ^ 에서   

따라서      또는   이므로

   또는    이다.

따라서 구하는 모든 자연수 의 값은 합은     

, 제 2 교시 수 학 영 역

5 지선다형

1.

 

 

2.

lim

3.

4.



2015학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시 수 학 영 역

성명 수험번호 3

1

‘B’형

홀수형

수 학 영 역

2 ‘B’형

5.

6.

 





7.







8.

수 학 영 역

‘B’형 3

9.

lim







10.

11.

12.

수 학 영 역

4 ‘B’형

13.

lim









14.

15.

16.

수 학 영 역

‘B’형 5

17.











18.





19.

수 학 영 역

6 ‘B’형

20.

lim

21.



단답형

22.

23.

24.



수 학 영 역

‘B’형 7

25.

26.

27.

28.



수 학 영 역

2 ^‘B’형

4 ^‘B’형

6 ^‘B’형

8 ^‘B’형

^

10 ^‘B’형

12 ^‘B’형