◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
5지선다형
1.
1) log log의 값은?[2점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
2) 두 집합 , 에 대하여 집합 의 모든 원소의 합은?[2점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3 ) , 일 때, 의 값은?[2점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
4 ) 등식 PC 을 만족시키는 자연수 의 값은?[3점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
5.
5 ) 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 ( ≥ )에서의 위치 가
이다. 점 P의 가속도가 일 때, 점 P의 속도는?
[3점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
2016년 10월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘나’형
수 리 영 역
2 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
6.
6) 한 개의 동전을 번 던질 때, 앞면이 적어도 한 번 나올 확률 은?[3점][2016년 10월]
①
②
③
④
⑤
7.
7) 일차함수 가 을 만족시킬 때, 의 값은?
[3점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8) 모든 항이 양수인 수열 에 대하여
가 성 립할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
9.
9 ) 서로 독립인 두 사건 , 에 대하여 P
, P ∩
일 때, P의 값은? (단, 은 의 여사건이다.) [3점][2016년 10월]
①
②
③
④
⑤
10.
10) 유리함수
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2016년 10월]
<보 기>
ㄱ. 함수 의 정의역과 치역이 서로 같다.
ㄴ. 함수 의 그래프는
의 그래프를 평행이동한 것이다.
ㄷ. 함수 의 그래프는 제사분면을 지나지 않는다.
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
‘나’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11.
11) 어느 항공편 탑승객들의 인당 수 하물 무게는 평균이 kg, 표준편차가 kg인 정규분포를 따른다고 한다.
이 항공편 탑승객들을 대상으로 명 을 임의추출하여 조사한 인당 수하 물 무게의 평균이 kg 이상일 확률
을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[3점][2016년 10월]
① ② ③
④ ⑤
12.
12) 그림과 같이 어느 카페의 메뉴에는 서로 다른 가지의 주스 와 서로 다른 가지의 아이스크림이 있다. 두 학생 A, B가 이가지 중 가지씩을 임의로 주문했다고 한다. A, B가 주문한 것이 서로 다를 때, A, B가 주문한 것이 모두 아이스크림일 확 률은?
[3점][2016년 10월]
①
②
③
④
⑤
13.
13) 첫째항이
인 수열 이 모든 자연수 에 대하여
≤ 을 만족시킬 때,
의 값은?
[3점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
14.
14) 두 함수
≤ ,
≤
에 대하여 함수 가 에서 연속이 되도록 하는 상 수 의 값은?
[4점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
P ≤≤
수 리 영 역
4 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15.
15) 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P을 다음 규칙에 따 라 정한다.(가) 점 A의 좌표는 이다.
(나) 점 P은 선분 OA를 로 내분하는 점이다.
OP이라 할 때,
의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점][2016년 10월]①
②
③
④
⑤
16.
16) 확률변수 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 계
P
C
C
C
C
E 의 값은? (단, 는 상수이다.)
[4점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
17.
17) 다음은 어느 회사의 직원 중 임의로 선택한 명의 출근 소요 시간을 조사한 표이다.소요 시간 인원수(명)
분 미만
분 이상 분 미만
분 이상 분 미만
분 이상 분 미만
합계
이 결과를 이용하여 얻은 이 회사의 전체 직원 중 출근 소요 시 간이 분 이상 분 미만인 직원의 비율 에 대한 신뢰도
%의 신뢰구간이 ≤ ≤ 일 때, 의 값은?
(단, 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P ≤ 로 계산한다.)
[4점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘나’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
18.
18) 서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선 ,
의 한 교점을 P라 하고, 점 P에서 두 곡선 , 에 접하는 직선을 각각 , 이라 하자.
두 접선 , 이 서로 수직일 때, 곡선 는 두 실수
, 의 값에 관계없이 일정한 점 Q를 지난다. 다음은 점 Q의 좌표를 구하는 과정이다.
, 라 하고, 두 곡선 , 의 한 교점 P의 좌표를 라 하자.
두 접선 , 이 서로 수직이므로
′ ′ 에서
가 ⋯⋯㉠
에서
⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서 나 를 에 대입하 고
에 관하여 정리하면,
나 ⋯⋯㉢
㉢에서 , 나 을 만족시키는
와 의 값을 구하면 점 Q의 좌표는 다 이 다.
위의 (가)에 알맞은 식을 라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 , 라 할 때, × 의 값은?
[4점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
19.
19) 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다. 그림과 같이 선분 BC를 으로 내분하는 점을 E, 선분 DA를 으로 내분하는 점을 F라 하고 평행사변형 BEDF를 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.그림 에서 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가 장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그 림 을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
그림 에서 새로 그려진 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정 사각형에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색 칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 모든 평행사변형의 넓이의 합을 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2016년 10월]
…
…
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
6 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
20.
20) 두 함수 lim
→ ∞
,
의 그래프의 교점의 개수를 라 할 때, lim
→
의 값 은? (단, 는 실수이다.)
[4점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
21.
21) 사차함수 의 도함수 ′의 그래프가 그림과 같고,′ ′ ′ 이다.
, 일 때, 을 만족시키는 모든 정수 의 값의 합은?
[4점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
단답형
22.
22) lim →
의 값을 구하시오.
[3점][2016년 10월]
23.
23) 함수 에서 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율이 일 때, ′의 값을 구하시오. (단, 는 상수이 다.)[3점][2016년 10월]
수 리 영 역
‘나’형 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
24.
24) 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행 이동한 그래프를 나타내는 함수를 라 하자.
을 만족시키는 상수 의 값을 구하시오.
[3점][2016년 10월]
25.
25) 이 아닌 두 양수 , 에 대하여
log
log
이 성립할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2016년 10월]
26.
26) 유리함수
의 그래프 위의 점 P 와 직선
사이의 거리가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2016년 10월]
27.
27) 등차수열 과 공비가 보다 작은 등비수열 이 , , , 를 모두 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2016년 10월]
수 리 영 역
8 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
28.
28) 다음 조건을 만족시키도록 서로 다른 개의 바구니에 빨간색 공 개와 파란색 공 개를 모두 넣는 경우의 수를 구하시오.(단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)
[4점][2016년 10월]
(가) 각 바구니에 공은 개 이상, 개 이하로 넣는다.
(나) 빨간색 공은 한 바구니에 개 이상 넣을 수 없다.
29.
29) 두 실수 , 에 대하여 조건 , 가 ≤
≤
일 때, 명제 ‘어떤 , 에 대하여 이면 이다.’가 참이 되도록 하는 정수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2016년 10월]
30.
30) 교내 수학경시대회에 A 학급 학생 명, B 학급 학생 명, C 학급 학생 명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌석에 다음 조건을 만족시키도록 이 학생 명을 배정 하는 방법의 수를 구하시오.[4점][2016년 10월]
(가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.
(나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.
(다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정 할 경우 학급 번호 가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다.
교탁
분단
분단
첫째 줄 ➜
둘째 줄 ➜ 셋째 줄 ➜ 넷째 줄 ➜
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
‘나’형 9
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2016년 10월 수리 나형 고3 모의고사 해설
1 ② 2 ④ 3 ③ 4 ② 5 ①
6 ⑤ 7 ③ 8 ① 9 ④ 10 ④
11 ① 12 ⑤ 13 ③ 14 ② 15 ③ 16 ⑤ 17 ② 18 ② 19 ⑤ 20 ④ 21 ① 22 13 23 32 24 9 25 16 26 42 27 18 28 450 29 19 30 396
1) ②
[출제의도] 로그를 계산하여 값을 구한다.
log log log × log log 2) ④
[출제의도] 차집합의 원소의 합을 계산한다.
이므로 모든 원소의 합은 3) ③
[출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.
×
×
× ×
4) ②
[출제의도] 순열과 조합을 계산하여 값을 구한다.
PC ×
×
정리하면
은 자연수이므로 5) ①
[출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 속도를 구한다.
위치 이므로 속도
이고
가속도
이다.
가속도가 이 되는 순간은 이고 이때의 속도는
6) ⑤
[출제의도] 여사건의 성질을 이해하여 확률을 구한다.
한 개의 동전을 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나오는 사건은, 한 개의
[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.
이므로
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
9) ④
[출제의도] 독립사건을 이해하여 확률을 구한다.
두 사건 , 가 서로 독립이므로 P ∩ P P
P
P
이므로 P
10) ④
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 참, 거짓을 추론한다.
ㄱ.함수 의 정의역은 이 아닌 모든 실수이고 치역은 이 아닌 모든 실수이다. (거짓)
ㄴ.함수 의 그래프는
의 그래프를 축 방향으로 ,
축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프이다. (참)
ㄷ. 그림과 같이 제사분면을 지나지 않는다. (참)
11) ①
[출제의도] 정규분포를 이해하여 확률을 구한다.
인당 수하물 무게를 확률변수 라 하면 는 정규분포 N 을 따른다. 이때, 크기가 인 표본의 표본평균 는 정규분포 N 을 따른다.
수 리 영 역
10 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
P ∩
C×C
C×C
구하는 확률 P 는
P P P ∩
13) ③
[출제의도] 수열의 규칙성을 추측하여 수열의 합을 구한다.
,
,
,
,
,
,
, ⋯
이므로 ≥ 이 성립한다.
× 이므로
×
×
14) ②
[출제의도] 함수의 연속의 성질을 이해하여 미정계수를 구한다.
함수 가 에서 연속이 되기 위해서는
lim
→
이어야 한다.
lim
→
lim
→
×
×
lim
→
lim
→
×
lim
→
×
이므로 , 15) ③
[출제의도] 내분하는 점을 구하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.
선분 OA를 로 내분하는 점 P의 좌표는
이므로
16) ⑤
[출제의도] 확률분포를 이해하여 기댓값을 구하는 문제를 해결한다.
확률의 합이 이므로
CCCC
이항정리에 의해
CCCC
E
×C ×C ×C ×C
×
E E
17) ②
[출제의도] 모비율의 신뢰구간을 이해하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.
표본비율
이고 표본의 크기는 이므로 출근 소요 시간이
분 이상 분 미만인 직원의 비율 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간은
×
×
≤ ≤
×
×
× × ×
×
× × ×
18) ②
[출제의도] 미분계수와 접선의 기울기의 관계를 이해하여 식과 값을 추론한다.
, 라 하고, 두 곡선 , 의 한 교점 P의 좌표를 라 하자.
두 접선 , 이 서로 수직이므로
′′ 에서
⋯⋯㉠
에서
⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서
를 에 대입하고 에 관하여 정리하면,
⋯⋯㉢
㉢에서 ,
을 만족시키는
와 의 값을 구하면 점 Q의 좌표는
이다.∴ ,
,
따라서 ×
×
× 19) ⑤
[출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 등비급수의 활용문제를 해결한다.
선분 BC를 으로 내분하므로 BE 선분 DA를 으로 내분하므로 DF
따라서 그림 에서 색칠된 평행사변형 BEDF의 넓이는 × 이다.
그림 에서 삼각형 ECD 안의 정사각형의 한 변의 길이를 라 하자.
수 리 영 역
‘나’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
삼각형 ECD에서 정사각형을 제외한 두 직각삼각형은 정사각형의 마주보는 두 변이 평행하므로 삼각형 ECD와 닮음이다. 이 중 좌측 직각삼각형의 밑변의 길이는 삼각형 ECD의 밑변과 높이의 비가
이므로
가 된다. 따라서 EC
그러므로
한 변의 길이가
인 정사각형과 한 변의 길이가 인 정사각형의
닮음비는
이므로 넓이의 비는 이다.
그런데 두 개의 평행사변형이 그려지므로 그림 에서 색칠된 도형의 넓이의
×
이 그림 에서 새로 색칠된다. 따라서 그림 에
색칠되어 있는 도형의 넓이는 첫째항이 이고 공비가
인 등비수열의 첫째항부터 제항까지의 합이다.
따라서 lim
→∞
×
20) ④
[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이해하여 주어진 문제를 해결한다.
lim
→∞
을 구하면
ⅰ) 일 때, lim
→∞
이므로
lim
→∞
lim
→∞
ⅱ) 일 때, lim
→∞
lim
→∞
이므로
lim
→∞
ⅲ) 일 때, lim
→∞lim
→∞ 이므로
lim
→∞
ⅳ) 일 때,
lim
→∞
이고, lim
→∞
이므로
lim
→∞
ⅰ) ~ ⅳ)에 의해
(2) 인 경우, 서로 만나지 않는다.
이고, 에서 lim
→
이다.
따라서 lim
→
21) ①
[출제의도] 부정적분을 이용하여 실근이 존재하는 구간을 추측한다.
함수 ′는 삼차함수이고
′ ′ ′ 이므로
′
(단, 는 상수)
(단, 는 적분상수)
이므로 따라서
함수 의 그래프는 그림과 같다.
,
이므로
을 만족시키는 정수는
, , , 이다.
따라서 을 만족시키는 모든 정수 의 값의 합은 22) 13
[출제의도] 함수의 극한값을 계산한다.
lim
→
lim
→
수 리 영 역
12 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
따라서
25) 16
[출제의도] 로그의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다.
ⅰ)
log
이므로 log
ⅱ)
log
이므로 log
log × log
×
따라서
26) 42
[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다.
점 P 는 유리함수
의 그래프 위의 점이므로
에서 ( , )
점 P 와 직선 사이의 거리가 이므로
에서
따라서
×
27) 18
[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다.
수열 은 등차수열이므로 수열 은 등비수열이므로 이때 이므로
,
, 가 두 이차방정식의 근이라 하면 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해
이차방정식 의 두 근이다.
따라서 , (∵ , , ) 수열 은 공차가 인 등차수열이므로
× 따라서
28) 450
[출제의도] 조합을 활용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다.
우선 빨간색 공을 넣는 방법의 수는 C
모든 바구니에 공이 적어도 하나씩 들어가야 하므로 빨간색 공을 넣지 않은 빈 바구니에 파란색 공을 각각 개씩 넣는다.
남은 개의 파란색 공을 서로 다른 개의 바구니에 각각 개 이하로 넣는 경우의 수는 다음과 같다.
ⅰ) 인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 C
ⅱ) 인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 C×C
ⅲ) 인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 C
따라서 구하는 경우의 수는 ×
29) 19
[출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 조건을 만족하는 문제를 해결한다.
두 조건 , 의 진리집합을 P, Q라 할 때, 명제가 참이 되려면 P∩Q ≠ ∅이어야 한다. 그러므로 부등식 ≤ 가 나타내는 영역과 ≤ 이 나타내는 영역의 공통부분이 존재해야 한다.
곡선 의 꼭짓점의 좌표 가 일 때, 그림과 같이 와 한 점에서 만난다. 그러므로
≥ 이면 명제는 참이 된다.
따라서 이를 만족시키는 정수 의 최솟값은
30) 396
[출제의도] 순열과 조합을 활용하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.
각 분단에는 같은 학급 학생이 명 올 수 없으므로 분단에는 A 학급 학생이 명 또는 명이 배정된다.
분단에 A 학급 학생 명이 배정되는 경우를 먼저 생각하자.
(단, 빈 좌석에는 B학급 학생을 배정한다.)
ⅰ)첫째 줄에 A학급 학생이 앉지 않는 경우
C A C
A A
()
C A C A A
()
C A
A A C
()
ⅱ)둘째 줄에 A학급 학생이 앉지 않는 경우
A
C A C A
()
A C C
A A
()
A C C A A
()
ⅲ) 셋째 줄에 A학급 학생이 앉지 않는 경우
A C A
C A
()
A A C A C
()
C A A
C A
()
ⅳ)넷째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우
A C A A
C
()
A A A C C
()
A C A A
C
()
()과 ()의 경우 C 학급 학생이 같은 분단에 배정되어 학급 번호가
작은 학생이 항상 앞줄에 앉기 때문에 C 학급 학생이 배정되는 방법의 수는 이다.
(),(),(),(),(),(),(),(),(),()의 경우 C 학급 학생이 서로 다른 분단에 배정되는 방법의 수는 이다.
그러므로 C 학급 학생이 배정되는 모든 방법의 수는
수 리 영 역
‘나’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
× ×
A학급 학생이 배정되는 방법의 수는 B학급 학생이 배정되는 방법의 수는
분단에 A 학급 학생 명이 배정되는 경우 학생이 배정되는 방법의 수는
× ×
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 경우는
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 경우와 같으므로 위에서 구한
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 방법의 수와 같다.
따라서 구하는 방법의 수는 × × ×
