제 2 교시 수 리 영 역

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

log_ ^  log_의 값은?¹⁾

[2점][2008년 5월]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





2.

행렬 

 

^{ }  에 대하여 ^{ }의 모든 성분의 합은?

(단, 는 단위행렬, ^{ }는 의 역행렬이다.)2)

[2점][2008년 5월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

^ ÷^ ×



^





^{ 의 값은?3)}

[2점][2008년 5월]

①  ② ^



③ ^



④  ⑤ ^



4.

^을 만족하는 이차정사각행렬 에 대하여 의 역행렬을  라 할 때, 두 실수   의 합   의 값은?

(단, 는 단위행렬 는 영행렬이다.)⁴⁾

[3점][2008년 5월]

①   ② _{ }



 ③  ④ _



 ⑤ 

5.

두 함수   ^   log_에 대하여 옳은 것을 <보기>

에서 모두 고르면?⁵⁾

[3점][2008년 5월]

<보기>

ㄱ. ^   ^



ㄴ.      ㄷ. 



^



^





^{ }

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ,ㄴ

④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

�

6.

^{이차정사각행렬} 가 ^^



   ^{ }



를 만족할 때,

의 모든 성분의 합은?6 )

[3점][2008년 5월]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

2008년 5월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘나’형

수 리 영 역

2 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

7.

  인 실수 에 대하여 log_의 지표를 이라 할 때, 옳 은 것을 보기에서 모두 고르면? (단,   는 를 넘지 않는 최 대의 정수이다.) ^{7 )}

[3점][2008년 5월]

< 보 기 >

ㄱ.  log_   

ㄴ. log_의 지표는 이다.

ㄷ. log_ log__{ }^{ 이면} ^은  자리의 정수 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8.

 ≧ 인 자연수 에 대하여 다항식   ^을 ^   로 나눈 나머지를 라 할 때, lim

→∞^ ^



의 값은?⁸⁾

[4점][2008년 5월]

①  ②  ③  ④   ⑤  

9.

^수열_의 첫째항부터 제항까지의 합 _이

_  · ^ 일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? 9)

[3점][2008년 5월]

< 보 기 >

ㄱ. _ 

ㄴ.  _은 등비수열이다.

ㄷ.  log__은 등차수열이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

다음은 어느 인터넷 사이트의 지도 상단에 있는 버튼의 기능 을 설명한 것이다.

1) 버튼을 한 번 클릭할 때마다 지도가 배로 확대되고, 번 클릭하면 클릭 전의 배로 확대된다.

2) 버튼을 한 번 클릭할 때마다 지도가 배로 축 소되고, 번 클릭하면 클릭 전의 _



 배로 축소된다.

버튼을 번, 버튼을 번 클릭하면 클릭전 지도의 배가 된다. 이 때, 의 값은?10)

[3점][2008년 5월]

① ^



② ^



③  ④ ^



⑤ ^



11.

그림은 두 함수       의 그래프이다.

    에서 로그부등식 log_  를 만족하는 값의 범위는?¹¹⁾

[4점][2008년 5월]

①      ②     

③      ④     

⑤     

수 리 영 역

‘나’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12.

^은 자리 정수이고,



^





^은 소수점 아래 번째 자리 에서 처음으로 이 아닌 숫자가 나타난다. 이때,   의 값 은? (단, log_  ) 12)

[3점][2008년 5월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

13.

^   ^ 이라 할 때, log_를 와 의 식으로 바르 게 나타낸 것은? 13 )

[3점][2008년 5월]

① _

  

  

② _

  

  

③ _

  

  

④ _

  

  

⑤ _

  

  

14.

실수에서 정의된 함수 _{  }

^ ^ 

^{  }

의 최댓값은?¹⁴⁾ [4점][2008년 5월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

15.

모든 실수 에 대하여 행렬 를  



^{  }    ^



이 라 하자. 다음은  ≧ 인 모든 자연수 에 대하여

^^  ^{  } 

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

임의의 실수  에 대하여

 ㈎ ㈏………㉠

(ⅰ)   일 때, ㉠에 의하여

^^    이 성립한다 (ⅱ)   일 때, 성립한다고 가정하면 ^^  ^{  } 이다.

  일 때, 성립함을 보이자.

^{  }^ ^  ^{  } 

^{  } ^   ^{  } ㈐ ^{  }   ^ 

그러므로     일 때도 성립한다.

따라서  ≧ 인 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

은 이 증명에서 ㈎~㈐에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은?1 5)

[4점][2008년 5월]

(가) (나) (다)

①       

②       

③       

④         

⑤         

16.

○○보고서에 의하면 년 예상되는 세계 석유 소비량은

이고 전년도에 비해 매년 씩 증가한다고 가정할 때, 매장된 석유는 년부터 년 간 사용할 수 있는 양이라고 한다. 대 체에너지 개발을 통해 년부터 세계 석유 소비량을 전년도에 비해 매년 식 감소시킨다고 할 때, 석유가 완전히 고갈되는 해는? (단, ^  log_   log_  )16)

[4점][2008년 5월]

① 년 ② 년

③ 년 ④ 년

수 리 영 역

4 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

17.

그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 내접하는 정사각형을 그린다. 원의 내부와 정사각형의 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 개를 그려 어둡게 칠한다.

여기에 아래의 과정을 반복한다.

<과정>

ㄱ. 안에 있는 정사각형에 내접하는 원을 그리고 그 원 에 내접하는 정사각형을 그린다.

ㄴ. 새로 그려진 원의 내부와 정사각형 외부에 모두 접 하는 가장 큰 원 개를 어둡게 칠한다.

[  일 때] [  일 때]

정사각형의 개수가 모두 일 때, 어두운 부분의 넓이를 _이라 하자. 이 때 lim

 → ∞

_의 값은?17)

[4점][2008년 5월]

① ^  ^  ② ^ ^ 

③ ^ ^  ④ ^  

⑤   ^ 

단 답 형

18.

등차수열_^{에 대하여}

_  _ _ _ _ _ _ 일 때, _ _의 값을 구하 시오.18)

[3점][2008년 5월]

19.

일반항이 _{ }^{  }, _  ^{  }인 두 수열 _  _ 에 대하여 _ _· _인 수열  _이 있다. _ ^ _이고

_  _일 때, 상수 의 값을 구하시오. (단,  ≠ )1 9)

[3점][2008년 5월]

20.

^무한급수 _



  

 ^

    

 ^

    ^

⋯이 수렴 하도록 하는 모든 정수 의 합을 구하시오.²⁰⁾

[3점][2008년 5월]

수 리 영 역

‘나’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

21.

함수   lim

→ ∞^ 

^{  }   

에 대하여 



^{ }





^{ 의}

값을 구하시오. 21 )

[3점][2008년 5월]

22.

lim

→ ∞ ·    ·   ⋯   

  ^

의 값을 구하시오.²²⁾ [3점][2008년 5월]

23.



 

^ 

 

^ 

 

^ 

 

^ 를 만족하는 이차정사각행렬

에 대하여 ^

 

^ 

 

^ 라 할 때,   의 값을 구하시오. (단, ^{ }는 의 역행렬이다.) 23)

[4점][2008년 5월]

24.

방정식 ^log ^의 모든 근의 곱을 구하시오.²⁴⁾

[4점][2008년 5월]

25.

그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 블록을 쌓아 10층 의 탑모형을 만들었다. 탑모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 모든 정사각형 모양의 면에 자연수를 1부터 차례대로 한 개식 빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수를 구하시오.25)

[4점][2008년 5월]

수 리 영 역

6 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

26.

두 무한수열  _   _의 일반항이

_ cos  _ sin 

  

 일　 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? ²⁶⁾

[4점][2008년 5월]

< 보 기 >

ㄱ. 수열



^_

_



^{은 수렴한다.}

ㄴ. 수열  _ _은 수렴한다.

ㄷ. lim

→ ∞

_ _  lim

→ ∞

_lim

→∞

_

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

27.

수열 _에서 _ 이고 모든 자연수 에 대하여

_{  } _ 일 때, _{  }



^{ }_^_{  } ^{의 값은?27)}

[3점][2008년 5월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





28.

지수함수   ^{  } 의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동 하였을 때, 얻을 수 있는 함수를 <보기>에서 모두 고르면? (단 이동횟수와 순서는 제한하지 않는다.) ^{28 )}

[4점][2008년 5월]

< 보 기 >

ㄱ.  



^





^{   }

ㄴ. _{  }^log_    ㄷ.   log_    

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29.

이차정사각행렬 전체의 집합 에 대하여

집합  ^∈일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, 는 단위행렬이고, 은 자연수이다.)29)

[4점][2008년 5월]

< 보 기 >

ㄱ. ∈이면 ^∈이다.

ㄴ. ∈이면 ^∈이다.

ㄷ. ∈, ∈이면 ∈이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

30.

  에 대한 연립방정식



     

      가        이외의 해를 가질 때, ^ ^   ^ 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단,  는 실수이다.)30)

[4점][2008년 5월]

※ 확인 사항

수 리 영 역

‘나’형 7

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2008년 5월 고3 모의고사 나형 해설지

1) ⑤

[출제의도] 로그의 성질을 이해하기 log_^  log_  log_^_{  }





2) ①

[출제의도] 역행렬을 구하여 행렬 연산하기

^{ }^{ }이므로





 ^{  }





 

^{ }  



 ^{  }



∴ 모든 성분의 합은  3) ①

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기 (준식)  ^



÷^



× ^  4) ③

[출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 역행렬 구하기

^   이므로 ^{ }  이다.

       이므로     이다.

5) ④

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 값 구하기 ㄱ. ^_{ ≠ }



 이므로 ^≠ ^^



 ^



∴ 거짓 ㄴ.   log_   log_       ∴ 참 ㄷ. 



^



^





^{   log}

 log_^  log_   ∴ 참 6) ①

[출제의도] 행렬의 거듭제곱 이용하여 성분 구하기

^^^{ }가 존재하므로 ^, ^이므로





^{   } 



^{이다. 성분의 합은}  이다.

7) ③

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하기 log_       ≦    라 하면

ㄱ.  ≦ log_    이므로  log_    ∴참

ㄴ. log_    log_     이므로 지표는  이다.

∴거짓

ㄷ.           



log_^  log_  



^{ }





^{  }

log_^의 지표는  이고

^은  자리 정수이다. ∴참

  을 대입하면 ^  

∴   ^ ^,    ^ ^{  }

   ^ ^{  }

lim

→∞^ ^

 ^ ^{  }

  

9) ⑤

[출제의도] 부분합으로 표시된 수열의 일반항 구하기

___{  }   ≧  

__ 이므로

_  · ^     · ^     · ^{  } ㄱ. _ 

ㄴ.  _은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이다.

ㄷ.  log__은 첫째항이  log_  공차가  log_ 인 등차수열이다.

10) ②

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활문제 해결하기

클릭 전 지도의 크기를 라 하면 ^ 이므로   ^



이며,

^_{ }



이므로   ^{ }



이다. 확대버튼 번, 축소버튼 번을 클릭하면

^^



^





^



^{ }





^  ^



이므로 ^



11) ②

[출제의도] 로그부등식의 해 구하기 로그의 밑이 이므로

ⅰ     일 때,   의 해는     이다.

ⅱ   일 때,   의 해는     에서 없다.

∴ ⅰ  ⅱ에 의하여 해는      12) ①

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

log_^ log_  이므로 ^은 자리의 정수이고, log_



^





^{ log}       이므로



^





^{은 소수점 아래 }번째 자리에서 처음으로 이 아닌 수가 나타난다.

∴     

13) ⑤

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 표현하기

  log_    log_ log_  log_  log_

log_  log_

   

  

14) ⑤

수 리 영 역

8 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

15) ②

[출제의도] 수학적귀납법으로 행렬의 거듭제곱 증명하기

㈎ 

㈏     

㈐ 

16) ②

[출제의도] 로그를 활용한 실생활 문제 해결하기 매장된 석유량    

^ 

,

년부터 년 동안의 소비량   

  ^

이므로

  

  ^

   

  ^



  

 

  ^

    ^

log_  log_

log_    log_  

      

  



≒ 이므로 년에는 고갈될 것으로 예측할 수 있다.

17) ⑤

[출제의도] 무한등비급수의 합을 적용한 문제 해결하기

번째 그린 정사각형을 _, _의 외접원을 _, 원 _의 반지름의 길이를 _, _의 내부와 _의 외부에서 접하는 최대원의 넓이를 _, 반지름의 길이를 _이라 하면

_  _{   }

^

 _ ∴ _



^^





^{  }

_ 

_{ }

^

 _

 ^

^  

_{ }

^

^  



^^





^{  }

_ 



^^

^  



^^





^{  }



^{ }

^  ^



^





^{  }

∴ lim

→∞

_



  

∞

_{ }



^  ^

  



∞



^





^{  }

 

^  ^

× 

  



    ^ 

18) 

[출제의도] 등차중항을 이용하여 항의 값 구하기

_ _ _ _ _ _이므로 준식은 _ _ 이다.

_   에서 공차   

∴ _ _ _      ×   

19) 

[출제의도] 등비수열의 공비구하기

_ ^{  } ·  ^{  }   ^{  }이므로

 은 첫째항이  이고 공비가 인 등비수열이다.

20) 

[출제의도] 무한등비급수의 수렴범위 구하기 공비가 

  

이므로    

  

 

    이며    일 때도 수렴하므로 수렴하는 모든 정수 의 합은 이다.

21) 

[출제의도] 무한등비수열의 극한값 구하기





^{ }





^_{→ ∞}^lim



^{ }





^{ }



^{ }





^{  }



^{ }





^{ }

 

  lim

→ ∞^ 

^{  }  ·   

 

∴ 



^{ }





       

22) 

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값 구하기 (분자)  ^  ^ ^   

(분모)



  



   



  



^



  





 

  

 

  

이므로

(준식)lim

→ ∞



  

 

  

^ ^  

 

23) 

[출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬의 성분구하기



 

^ 

 

^ 

 

^ 

 

^ ^이므로



 

^{ }  

 

^{ }  ^,

_{  }





 

^{ } 



 ^{  }







  ^{ }



^,

^



^{  }  



준식 ^

 

^ 

 

^

∴     

24) 

[출제의도] 로그방정식의 해 구하기 양변에 밑을  으로 하는 로그를 취하면 log_^log  log_ ^이며 log_^log log_^이므로

log_ ^ log_     log_  라 하면

^     은 서로 다른 두 실근을 가진다.

이를 log_  log_라하면 두 근은 합은

수 리 영 역

‘나’형 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

[출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 도형문제 해결하기

한 개의 빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수는 탑모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 정사각형 모양의 면의 수와 같다.

위에서 보이는 면의 수 ^ ^ ^  ⋯  ^ ^  

앞, 위, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 면의 수

  ×       ⋯   

이므로 보이는 면의 수는 모두 761이다.

26) ③

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

_            ⋯

 _            ⋯이므로 ㄱ. lim

→ ∞_

_

   ㄴ. lim

→ ∞

_ _ 

ㄷ.  _   _모두 발산하므로 성립하지 않는다.

27) ④

[출제의도]부분분수로 표현된 수열의 합 구하기

_  이므로

__{  }

    

 ×   

 이다.

  





__{  }

 



  









^  

    





 





^

 





^{ }



28) ④

[출제의도] 지수함수의 평행과 대칭이동 이해하기 ㄱ.     ^{   }







^





^{  밑이 }

 이므로 평행이동, 대칭이동으로 일치하지 않는다.

ㄴ. 준식 →   에 대칭 → 축 방향으로  만큼 평행이동하면 ㄴ이 된다.

ㄷ. 준식→   에 대칭 → 축 방향으로 

 만큼, 축 방향으로



 만큼 평행이동하면 ㄷ이 된다.

29) ③

[출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기 ㄱ. ^^ ^^^

∴^∈

ㄴ.  ^^   ^^

  ^^

 ^

∴ ^∈

ㄷ.(반례) 



   ^{ }







  ^{ }



^{일 때,}



^{   }





      



    의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

      ^ 이며  는 원의 방정식

 ^   ^ 을 만족한다.

그림에서 ^ ^   ^ 은 점    에서 원위의 점  까지의 거리이므로 최대값값은 ^  , 최솟값은 ^  이다.

∴ ^   ^     