◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반 드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참 고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
의 값은?1 )[2점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
2.
이차방정식 의 두 근이 일 때, 의 값은?2 )
[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
3.
sin tan
의 값은?3)
[3점][2001학년도 수능]
① ②
③
④
⑤
4.
일 때, ′ 의 값은?4)[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
2001학년도 대학수학능력시험 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
자연계
수 리 영 역
2 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5.
거리가 인 두 평행한 평면으 로 반지름의 길이가 인 구를 잘 라서 얻어진 두 단면의 넓이의 합의 최댓값은?5)[3점][2001학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
6.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표는?6)
[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
7.
일 때, 행렬 는?7)(단, 는 의 역행렬)
[3점][2001학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
8.
복소평면 위의 다음 곡선 중 그 위의 어떠한 두 점 에 대하여도 복소수
이 순허수가 될 수 없는 것 은?8)
[3점][2001학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
수 리 영 역
자연계 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9.
일차변환 를 나타내는 행렬이
라 하자. 오른쪽 그림의 꺾인 선분
를 에 의하여 옮겨서 얻은 꺾인 선분과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 는?9)
[2점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
10.
구간 에서 정의된 연속확률변수 의 확률밀도함수가 로 주어졌을 때, 상수 의 값은?10 )
[3점][2001학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
11.
삼차함수 가 서로 다른 세 실수 에 대하여 ′ ′ 을 만족시킨다. 를 와 로 나타내면?11)
[2점][2001학년도 수능]
① ②
③
④
⑤
12.
그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리 가 모두 인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 와 에서 출발하여 이외 의 교차로 에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 가 되는 의 위치를 모두 표시 하면?12)[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
4 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
13.
다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 에 대한 설명이다.(가) 점 와 점 는 축 위에 있다.
(나) 점 와 좌표는 점 의 좌표보다 크다.
(다)
점 의 좌표를 각각 라 할 때, 옳은 것 은?13)
[3점][2001학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
14.
좌표평면의 제 사분면 위의 점 에 서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 라 하자. 점 에 대하 여 를 만족시키는 점 의 자취의 개형은?1 4)
[3점][2001학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
15.
자연수 에 대하여 을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 이라 하자. <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?15)[3점][2001학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ. =4
ㄴ. ≤ ≤
ㄷ. 인 자연수 은 없다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16.
전체집합 의 서로 다른 두 부분집합 에 대하여 ∪ ∩의 가장 작은 원소가 에 속할 때,⇨라 하자. 의 부분집합 , ,
에 대하여 옳은 것은?16)
[3점][2001학년도 수능]
① ⇨⇨ ② ⇨⇨ ③ ⇨⇨
④ ⇨⇨ ⑤ ⇨⇨
수 리 영 역
자연계 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
17.
다음은 지수법칙 으로부터 모든 양수 에 대하 여 log log log가 성립함을 증명한 것이다.(단, ≠ ≻ )
[ 증 명 ]
log log로 놓으면
㈎
지수법칙으로부터 ㈏
로그의 정의에 의하여 log ㈏ 그러므로 log log log이다.
위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?17) [3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
18.
다음은 ∆ABC에서 BC≺ AC≺ AB일 때, 삼각형 내부의 한 점 P에 대하여 ≺
임을 증명한 것이다.
[ 보 기 ] 가정에 의해 BC≺ AC≺ AB 이므로
∠A ≺ ∠B ≺ ∠C
점 P를 지나고 선분 BC에 평행한 직선 이 선분 AB AC 와 만나는 점을 각각 D E라고 하자.
선분 DE와 선분 BC가 평행하므로
∠ADE ∠B ∠AED ∠C 따라서, ∠A ≺ ∠ADE ≺ ∠AED 그러므로 ∆ADE에서
㈎ ⋯⋯ ①이고
PA ≺ AD ⋯⋯ ②
∆BDP에서 PB≺ PD DB ⋯⋯ ③
∆EPC에서 PC≺ PE EC ⋯⋯ ④
①, ②, ③, ④에서
PA PB PC ≺ AB AC 위의 증명에서 (가)에 알맞은 것은?18 )
[2점][2001학년도 수능]
① ≺ ≺
② ≺ ≺
③ ≺ ≺
④ ≺ ≺
⑤ ≺ ≺
수 리 영 역
6 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
19.
그림에서 선분 는 원 의 지름 이고, ∠
⊥ 이다.
∠ 일 때, sin의 값은?19) [3점][2001학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
20.
함수 의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로회전시켜서 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수
의 그래프가 되는 의 범위는?20)
[2점][2001학년도 수능]
① ≥ ② ≥ ③ ≤
④ ≤ ⑤ ≤ ≤
21.
다음은 정적분
의 근사값의 오차의 한계를 구하 는 과정의 일부이다.
그림 (가)
그림 (나)
그림 (가), (나)와 같이 폐구간 1을 등분하여 얻은 개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 라 하자. ≤ 가 되는 의 최솟값은?21)
[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
22.
영어의 알파벳 ⋯에 십진법의 수 부터 에 해당하는 이진법의 수 , ,⋯, 을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 와 의 각 자리의 수를 비교하여 같 으면 , 다르면 을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를∧라 하자. 예를 들면,
∧ , ∧
각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 과 연산∧을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호 가 인 알파벳은 이다. 암호가 인 알파벳은?22)
[2점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
자연계 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
23.
좌표평면 위의 네 점 , , , 에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하 는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 에 고 정시키려 한다. 로봇팔을 점 를 중심으로 회전 가능하고, 점
로부터의 거리가 로봇팔의 길이
이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소 로 할 수 있는 점 의 좌표는?23)
[3점][2001학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
24.
다음은 세계 석유 소비 증가 추세에 관한 글들이다.…… 매년 석유 소비량을 조사한 결과, 최근 년 동안 소비된 석유의 양은 그 이전까지 소비된 석유의 양과 같다.
예를 들어 년부터 년까지 소비된 석유의 양은
년까지 소비된 석유 전체의 양과 같다. ……
이와 같은 석유 소비 추세가 계속된다고 가정하고, 현재까지 소 비된 석유의 양을 , 현재의 석유의 매장량을 라 할 때, 앞으로 몇 년 동안 석유를 사용할 수 있겠는가?24 )
[3점][2001학년도 수능]
① log
② log
③ log
④ log
⑤ log
주관식 문항(25 30)
25.
삼차함수 의 역함수 가 를 만족 시킬 때, 의 값을 구하시오.25)[3점][2001학년도 수능]
26.
다항식 를 로 나눈 나머지가 일 때,를 로 나눈 나머지를 구하시오.26)
[2점][2001학년도 수능]
수 리 영 역
8 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
27.
두 벡터 이 수직일 때, 양 수 의 값을 구하시오.27)[2점][2001학년도 수능]
28.
문자 에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어 를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면 등은 수신이 불가능하고 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구 하시오.28)
[2점][2001학년도 수능]
29.
함수 가 을 만족시킬 때,
의 값을 구하시오.29)[3점][2001학년도 수능]
30.
정적분
의 값을 소수점 아래 둘째 자 리까지 구하시오.30)
[2점][2001학년도 수능]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
자연계 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2001학년도 수능기출 [자연계] 해설지 (00/11/15)
1) ⑤
2) ②
근과 계수와의 관계에서
∴
⋅ ⋅ 3) ①
sin
, tan
에서
(주어진 식) ⋅
4) ①
준식을 에 대해 미분하면
′ ′ ′
∴ ′ 5) ④
주어진 그림에서 위, 아래의 단면은 원이다.
즉, 반지름의 길이를 각각 , 로 놓고 위 그림을 얻을 수 있다.
구의 중심에서 위의 단면까지의 거리를 로 놓으면
,
따라서, 두 단면의 넓이의 합은
따라서
일 때, 넓이의 합은 최댓값
π를 갖는다.
6) ②
위 의 점 에서의 접선의 방정식은
에서
∴
8) ⑤
이 순허수이면
≠
즉, 에서
arg
arg
arg arg
±
따라서, 곡선 위에 존재하는 두 복소수 는 서로 수직인 두 직선 위에 각각 놓여 있어야 한다.
이 때, 아래 그림을 보면
이 순허수가 될 수 없는 경우는 ⑤이다.
① ②
③ ④
⑤
9) ③
일차변환
cos sin
sin cos 이다.즉, 원점을 중심으로 한 회전변환과 같다.
여기서, A B가 옮겨진 점을 A′ B′이라 하면 S∆OAB S∆OA′B′이고
∆OAB는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 구하는 넓이는
× × sin ×
수 리 영 역
10 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
∴ 11) ④
′ 이고 는 삼차함수이므로
꼴로 나타낼 수 있다.
또한 이므로
∴ ⋯⋯ ㉠ 한편 ′ 이므로
⋯⋯ ㉡
㉠을 ㉡에 대입하고 정리하면
∴
12) ①
두 차량이 움직인 거리를 각각 라 하면
(단, 는 양의 정수)
∴ 또는 또는
각각의 경우에 해당하는 점 의 위치를 모두 모아서 그림으로 나타내면 위와 같다.
[참고]
두 차량 가 움직인 거리의 합이 가 되기 위해서는 가지 경우가 있다.
ⅰ) 가 움직인 거리가 , 가 움직인 거리가 인 경우
ⅱ) 가 움직인 거리가 , 가 움직인 거리가 인 경우
ⅲ) 가 움직인 거리가 , 가 움직인 거리가 인 경우
13) ④
그림에서 알 수 있듯이 점 A B C D에 대하여, 각각의 좌표
의 크기는
∴
[별해]
(다)에서 이므로
서로 다른 네 점 로 만들어지는 사각형 는 마름모이고 이므로 삼각형 는 정삼각형임을 알 수 있다.
또한 (가)와 (나)를 통해서 가능한 위치는 다음 두 가지 경우가 있다.
ⅰ) ⅱ)
(ⅰ) 점 가 ⅰ)의 위치에 있을 때 점 는 사각형 가 마름모이므로 중의 하나로 표현된다.
그러나 의 경우 ≠ 이므로 적합하지 않고,
의 경우에도 ≠ 이므로 적합하지 않다.
그러므로 점 는 이 된다.
(ⅱ) 점 가 ⅱ)의 위치에 있을 때 점 는 사각형 가 마름모이므로 중 하나로 나타내어진다.
그러나 의 경우 ≠ 이므로 적합하지 않다.
또한 의 경우에도 ≠ 이므로 적합하지 않다.
그러므로 점 는 가 된다.
∴
(ⅰ)과 (ⅱ)를 통해 이다.
14) ①
점 P , A , R , Q 에 대하여
에서
이다.이 때, 양변을 제곱하면,
수 리 영 역
자연계 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
,
∴
따라서, 그래프는 그림과 같다.
하지만. 점 P 가 사분면 위의 점이므로, 실선만이 구하는 자취이다.
15) ⑤
ㄱ. × 이므로 이다.
ㄴ. 모든 자연수 에 대하여, 을 오진법으로 나타냈을 때, 일의 자리수는 중에 하나이다.
ㄷ. →
→
× →
× →
× × →
× × →
× × → ⋮
으로 자연수 의 제곱 에 대하여,
은 이 계속 반복됨을 알 수 있다.
따라서 인 자연수는 은 없다.
16) ③
집합 , , 에 대하여,
∪ , ∩
∪ , ∩
∪ , ∩ 이고,
∪ ∩ 에서 ⇨
∪ ∩ 에서 ⇨
∪ ∩ 에서 ⇨이다.
∴⇨⇨ 17) ④
지수와 로그의 정의에서
대변은 이므로
∠ ∠ ∠ ⇔ 이다.
19) ④
그림과 같이 점 D에서 AB에 내린 수선의 발을 E라 하자.
OA OB 로 놓으면 AE ED EO
즉, BD
BE ED
따라서, 직각삼각형 BDE로부터sin BD
DE
cos BD
BE
∴ sin sincos ⋅
×
20) ①
삼차함수 의 그래프가 원점을 중심으로 이동하여 실수 전체에서 정의된 어떤 함수가 되려면, 아래의 [그림1]과 같이 그래프의 위아래로 교차하면 안 된다. 즉 [그림2]와 같이 의 그래프가 에서 주어진 삼차함수 의 접선이거나, 을 기준으로 양의 방향으로는 주어진 삼차함수의 그래프가 위에 있고, 음의 방향으로는 주어진 삼차함수의 그래프가 아래에 있으면 된다.
따라서, ′ 에서 ′ ≥ 이다.
[그림1] [그림2]
21) ②
수 리 영 역
12 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
∴ ≥ ⋯
즉, 구하는 의 최솟값은 이다.
22) ③
∧ 이므로
와 은 다르다. ∴
와 은 다르다. ∴
와 은 같다. ∴
와 은 같다. ∴
와 은 다르다. ∴
∴ × ×
번째 알파벳은 이다.
23) ④
그림과 같이 네 점 , 를 차례로 A B C D라 하고 선분 AB BC의 수직이등분선의 교점 을 M이라하자.
로봇팔이 고정된 점 P가 M일 때
이므로 로봇팔의 길이는 이면 된다.한편 점 P가 어느 위치에 있든
≥
이므로≥ 또는 ≥이다.
즉, 로봇팔의 길이는 이상이 되어야 한다.
따라서, 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 P의 위치는 점 M 이다.
[별해]
라 하면 두 점 사이의 거리가 최대인 것은 이므로
로봇팔의 고정점 까지의 거리가 최소인 곳에 설치해야 한다.
까지의 거리가 최댓값이 최소인 점은 의 중점이므로 로봇팔의 고정점의 좌표는
이다.24) ②
석유 소비량의 변화를 그림으로 나타내면
따라서 년이 회만큼 지난 후에 현재의 석유 매장량 가 모두 소모된다고 하면
⋯
,
∴ log
그러므로 앞으로 석유를 사용할 수 있는 기간은
log
(년)25) ⑤
역함수의 성질에서 ⇔ 즉 이면, 이다.
따라서, 에서 26)
를 로 나눈 몫을 라 하면 나머지가
이므로
∴
즉, 를 로 나눈 나머지는 이다.
27)
두 벡터는 수직이므로 내적은 이다. 따라서
로부터
∘ × × ×
,
∴ ∵
28)
에서 중복을 허락하여 개를 뽑아 나열하는 방법의 수는
여기서 가 연속하여 있는 경우를 생각한다.
(ⅰ) 가 개 연속할 때,
, , 즉, 개 (ⅱ) 가 개 연속인 경우,
즉, 개
따라서, 수신 가능한 단어의 수는 (개) 29)
따라서,
⋯
⋯
∴
30)
