1 16
‘가’형
2013학년도 대학수학능력시험 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반 드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참 고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
두 행렬
에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은?1)[2점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
2.
sin 일 때, sin의 값은?2) (단, 이다.)[2점][2013학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
3.
좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값 은?3)[2점][2013학년도 수능]
① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 11
4.
무리방정식
의 모든 실근의 곱은?4) [3점][2013학년도 수능]① ② ③
④ ⑤
5.
그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로 망을 따라 A지점에서 출발하여 C지점을 지나지 않고, D지점도 지나지 않으면서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?5)[3점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
2 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
6.
쌍곡선 위의 점 에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수직이다. 의 값은?6) (단, 는 양수이다.)[3점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
7.
화재가 발생한 화재실의 온도는 시간에 따라 변한다. 어떤 화 재실의 초기 온도를 ℃, 화재가 발생한 지 분 후의 온도를℃라고 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.
log (단, 는 상수이다.) 초기 온도가 ℃인 이 화재실에서 화재가 발생한 지
분 후의 온도는 ℃이었고, 화재가 발생한 지 분 후의 온도는 ℃
이었다. 의 값은?7)
[3점][2013학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
8.
어느 학교 전체 학생의 는 버스로, 나머지 는 걸어서 등교하였다. 버스로 등교한 학생의
이 지각하였고, 걸어서 등 교한 학생의
이 지각하였다. 이 학교 전체 학생 중 임의로 선택한 명의 학생이 지각하였을 때, 이 학생이 버스로 등교하 였을 확룔은?8 )
[3점][2013학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
9.
좌표평면에서 원점을 중심으로
만큼 회전하는 회전변환을
, 직선 에 대한 대칭변환을 라 하자.
합성변환 ∘ ∘ 에 의하여 직선 이 직선
으로 옮겨질 때, 의 값은?9) (단, 는 상수 이다)
[3점][2013학년도 수능]
①
② ③
④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 3
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3 16
P ≤≤
10.
A지점에서 출발하여 거리가 km 떨어진 B지점까지 이동한 후 같은 길을 따라 A지점으로 돌아오려고 한다. 처음 km는 일 정한 속력으로 걷다가 나머지 km는 처음 걷는 속력의 배의 속력으로 이동하고, 돌아올 때는 처음 걷는 속력보다 시속 km 더 빠르게 이동하려고 한다. 왕복하는 데에 걸리는 총 시간이 시간 분 이하가 되도록 할 때, 처음 걷는 속력의 최솟값은?1 0)(단, 속력의 단위는 km시이다.)
[3점][2013학년도 수능]
①
②
③
④ ⑤
11.
흰 공 개, 검은 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주 머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 개의 공의 색이 서로 다르면 개의 동전을 번 던지고, 꺼낸 개의 공의 색이 서로 같으면 개의 동전을 번 던진다. 이 시행에서 동전 의 앞면이 번 나올 확률은?11)[3점][2013학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
12.
연속함수 가
를 만족시킬 때,
의 값은?12)[3점][2013학년도 수능]
① ②
③
④ ⑤
13.
확률변수 가 정규분포 N 을 따르고 다음 조건을 만 족시킨다.(가) P ≥ P ≤
(나) E
P ≤ 의 값을 오른쪽 표를 이용하여 구한 것은?1 3)
[3점][2013학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
수 리 영 역
4 ‘가’형
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14.
그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 원 O가 있다. 원 O의 중심을 지나고 선분 AB와 수직인 직선이 원과 만나는 개의 점 중 한 점을 C라 하자.점 C를 중심으로 하고 점 A와 점 B를 지나는 원의 외부와 원 O의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림 을 이라 하자.
그림 R에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 O의 반원을 이등 분한 개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 개의 원 안에 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양 의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
그림 에서 새로 생긴 개의 도형에 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 개의 원 안에 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있 는 부분의 넓이를 이라 할 때,
lim
→∞
의 값은?14)
[4점][2013학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
15.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 의 그래프는 그 림과 같고, 삼차함수 는 최고차항의 계수가 이고, 이다. 합성함수 ∘ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때,의 값은?15)
[4점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
16.
두 이차정사각행렬 A B가,
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것 은?16) (단, 는 단위행렬이다.)
[4점][2013학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ. ㄴ.
ㄷ. (단, 는 영행렬이다.)
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
‘가’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5 16
17.
수열
은 이고, ⋅
≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.
[ 보 기 ] 주어진 식에 의하여
⋅
≥ 이다.따라서 이상의 자연수 에 대하여
가
이므로
가 이다.
이라 하면
가 ≥ 이고
이므로 나 ≥ 이다.
그러므로
×
나
≥ 이다.위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 이라 할 때,
의 값은?1 7)
[4점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
18.
자연수 에 대하여 포물선 의 초점 F를 지나는 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하자. PF 이고
FQ 이라 할 때,
의 값은?18 )
[4점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
19.
삼차함수 는 을 만족시킨다. 함수 를
라 할 때, 함수 의 그래프가 그림과 같다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?19)
[4점][2013학년도 수능]
[ 보 기 ]
ㄱ. 방정식 은 서로 다른 개의 실근을 갖는다.
ㄴ. ′
ㄷ.
을 만족시키는 자연수 의 개수는이다.
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
6 ‘가’형
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20.
좌표공간에서 정사면체 ABCD의 한 면 ABC는 평면 위에 있고, 꼭짓점 D는 평면 위에 있다. 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 일 때, 정사면체 ABCD의 한 모서리의 길이는?20)
[4점][2013학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
21.
함수 과 실수 에 대하여 곡선 위의 점 에서 축까지의 거리와 축까지의 거리 중 크 지 않은 값을 라 하자. 함수 가 한 점에서만 미분가능하 지 않도록 하는 의 최댓값은?21)
[4점][2013학년도 수능]
①
②
③
④ ⑤
단답형(22~30)
22.
함수 ln 에 대하여 ′의 값을 구하시오.22 )[3점][2013학년도 수능]
23.
함수 cos
sin의 최댓값은 이다. 의값을 구하시오.23)
[3점][2013학년도 수능]
수 리 영 역
‘가’형 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7 16
24.
일차변환 → 를 나타내는 행렬을 라 하자. 행렬 으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표가 일 때, 의 값을 구하 시오.2 4)
[3점][2013학년도 수능]
25.
표준편차 가 알려진 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가인 표본을 임의추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 의 신 뢰구간이 이었다. 같은 표본을 이용하여 얻은 모 평균에 대한 신뢰도 의 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수를 구하시오.25) (단, 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P ≤≤ , P ≤≤ 로 계산한다.)
[3점][2013학년도 수능]
26.
한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P가 선분 AH 위를 움직일 때,
PA ⋅PB
의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오.26)
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013학년도 수능]
27.
자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P을 다음 규칙에 따 라 정한다.(가) 세 점 P P P의 좌표는 각각 ,
이다.
(나) 선분 PP 의 중점과 선분 P P 의 중점은 같 다.
예를 들어, 점 P의 좌표는 이다. 점 P의 좌표가
일 때, 의 값을 구하시오.2 7)
[4점][2013학년도 수능]
수 리 영 역
8 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
28.
그림과 같이 AB AD 인 직사각형 ABCD 모양의 종이 가 있다. 선분 AB 위의 점 E와 선분 DC 위의 점 F를 연결하 는 선을 접는 선으로 하여, 점 B의 평면 AEFD 위로의 정사영 이 점 D가 되도록 종이를 접었다. AE 일 때, 두 평면 AEFD 와 EFCB가 이루는 각의 크기가 이다. cos의 값을 구하시 오.28) (단, 이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)[4점][2013학년도 수능]
29.
삼각형 ABC에서 AB 이고 ∠A ∠B 이다. 변 AB 위의 점 D를 ∠ACD ∠BCD가 되도록 잡는다.lim
→
CD
일 때, 의 값을 구하시오.29) (단,
)
[4점][2013학년도 수능]
30.
좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역
≤ ≤ log
에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를 이라 하자.
(가) 좌표와 좌표는 서로 같다.
(나) 좌표와 좌표는 모두 정수이다.
예를 들어, 이다.
의 값을 구하시오.30)
[4점][2013학년도 수능]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는 지 확인하시오.
수 리 영 역
‘가’형 9
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9 16 2013학년도 수능기출 가형 해설지
1) ④
따라서 행렬 의 모든 성분의 합은 [다른 풀이]
행렬 의 성분의 합은 , 행렬 의 성분의 합은 . 따라서
2) ② sin
이므로
cos
sin
∵ ＜＜
∴ sin sincos ×
×
3) ③
A , B 이고
AB를 로 내분하는 점의 좌표는
에서 ,
∴ 4) ②
에서
라 하면 ,
∴ ∵
다시 환원하면
에서 양변 제곱하고 이항하면 근과 계수와의 관계에서 두 실근의 곱은 이다.5) ②
위의 그림과 같이 P지점과 Q지점을 잡자.
C지점과 D지점을 모두 지나지 않으면 P지점과 Q지점은 반드시 지난다.
따라서 구하는 경우는 A → P → Q → R → B를 지날 때이므로 경우의 수는
×
× × × × ×
6) ①
점 이 쌍곡선 위의 점이므로
⋯⋯ ㉠ 이 쌍곡선의 점근선은 ±
이고 점 에서의 접선의 방정식은 즉
이다.
직선
와 직선
가 수직이므로
×
∴ 을 ㉠에 대입하면
∴
7) ①
이고
일 때 이므로
log
×
∴
또, 일 때, 이므로
log , log
log ,
∴
8) ⑤
버스로 등교하는 사건을 , 지각하는 사건을 라 하면 구하는 확률은 사건 가 일어났을 때 사건 가 일어 날 조건부확률이므로
P P P ∩
P ∩ P ∩ P ∩
×
×
×
9) ⑤
회전변환 의 행렬을 , 대칭변환 의 행렬을 라 하면
cossin sin cos
,
이고합성변환 ∘ ∘ 의 행렬은 이다.
′′
에서
′
′
이 ′ ′ 으로 옮겨지므로
⋯⋯ ㉠㉠이 와 같아야 하므로
수 리 영 역
10 ‘가’형
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따라서
연립하여 풀면
∴
10) ③
처음 걷는 속력을 라 하면
≤
⋅ ≤
≥ , ≥
≤ ≥
에서 이므로 ≥
따라서 구하는 최솟값은
이다.
11) ①
(ⅰ) 꺼낸 공의 색이 다른 경우
꺼낸 공의 색이 다르고, 개의 동전을 번 던져서 앞면이 번 나올 확률은
C
C×C
×C
×
(ⅱ) 꺼낸 공의 색이 같은 경우
꺼낸 공의 색이 같고, 개의 동전을 번 던져서 앞면이 번 나올 확률은
C
CC
×
×
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은
12) ④
에서
라 하면
이므로
⋅
⋅
∴ 13) ④
(가)에서 P ≥ P ≤ 이므로
이때, V E E 이므로 V ∴
∴ P ≤ P
≤
P ≤ P ≤≤
∵ P ≤≤ P ≤≤
[다른 풀이]
(가)조건에서
그래프의 대칭의 중심은 이므로
(나)조건에서
∴
P ≤ P ≤
P ≤≤
14) ③
에서 새로 만들어지는 모든 모양의 넓이의 합을이라 하면
은 반원의 넓이에서 활꼴의 넓이를 빼면 되므로
․․
․
위의 그림과 같이 에서 새로 생긴 원의 반지름의 길이를 라 하면
에서
∴ ×
따라서 수열
은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열이다.∴
lim
→ ∞
∞
[다른 풀이]
[그림 1]
[그림 2]
에서 새로 생긴 작은 원의 반지름을 이라 하고 새로 생긴 작은 원의 색칠된 부분의 넓이를 이라 하자.
은 반원에서 [그림 1]의 색칠된 부분의 넓이를 빼면 되므로
⋅
⋅⋅
[그림 2]에서
∴
새로 생기는 작운 원들은 직전 원의 개수의 배씩 생기므로 (공비)
⋅
수 리 영 역
‘가’형 11
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11 16
∴
15) ⑤
는 상수)라 하면
합성함수 ∘ 가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 가 불연속점 에서 연속이면 된다.
(ⅰ) 일 때
∘
lim
→
lim
→
∵ 는 삼차함수이므로 연속함수이다.)
lim
→ ∘ 이므로
에서 ⋯⋯ ㉠ (ⅱ) 일 때
∘
lim
→
lim
→
lim
→
∘ 이므로
에서 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 ,
∴ 따라서
[다른 풀이]
함수 는 ≠ ≠ 인 모든 실수 에서 연속이고, 함수 는 모든 실수에서 연속이다.
따라서 ∘ 는 ≠ ≠ 인 모든 실수에서 연속이다.
결국 ∘ 가 ≠ ≠ 에서 연속인 조건을 구하면 된다.
가 다항함수이므로
lim
→
lim
→
, 에서
⋯⋯ ㉠
lim
→
lim
→
,
lim
→
lim
→
∴ ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 이고,
이는 이 서로 다른 세 실근 을 가진다는 의미이다.
∴ 따라서 ⋅⋅
16) ③
ㄱ. (참) 에서
∴
ㄴ. (참) 에서 ⋯⋯ ㉠
에서
㉠을 대입하면
양변의 오른쪽에 를 곱하면
∴ [다른 풀이]
⋯⋯ ①
⋯⋯ ②
①②에서
이 존재하므로
∴ ㄷ. (거짓) ㄱ, ㄴ에서
이고, 이므로
⋯⋯ ㉡
∵ㄴ
∵㉡
∵ㄴ
이때, 라 가정하면 이므로
, 즉 가 되어 모순이다.
∴ ≠
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
17) ④
⋅
⋯⋯ ㉠ ⋅
⋯⋯ ㉡㉠㉡ 하면 ⋅
⋅
이라 하면
⋅
≥
이므로
≥ ∴
≥ ∴ ⋅ ,
따라서 ⋅
18) ①
포물선
의 초점은 F
이다.세 점 P F Q에서 준선
에 내린 수선의 발을 각각
수 리 영 역
12 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
P′ F′ Q′이라 하면 FF′
이고,
포물선의 정의에 의해 PP′ QQ′
⋅ ⋅ ,
,
∴
⋅⋅
[다른 풀이]
P에서 준선에 내린 수선의 발을 H Q에서 준선에 내린 수선의 발을 H, Q에서 PH에 내린 수선의 발을 R, P에서 축에 내린 수선의 발을 S라 하면
PF PH, FS
, QF QH
∆PQR∆FPS
PQ PR FP FS이고
∴
⋅⋅
19) ⑤
′ 라 하면
라 하자.
＞이므로 의 가까운 오른쪽에서
＞따라서 와 의 그래프는 다음과 같다.
ㄱ. (참) 방정식 은 구간 , , 에서 각각 실근을 갖는다.
ㄴ. (참) 에서 감소 상태에 있으므로 ′＜
ㄷ. (참) ＜이라 할때
이므로
일 때, ＜
일 때, ＜
일 때,
일 때, ＞
일 때, ＞
일 때,
일 때,
≥ 일 때,
따라서
＞을 만족시키는 자연수 은 로써개이다.
ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
[다른 풀이]
[그림 1] [그림 2]
라 하면는 사차함수이므로 위 두 그림중 하나이다.
′이므로 두 그림 중 ′ 을 만족하는 경우는 위의 [그림 2]이다.
따라서 의 그래프는 아래와 같다.
ㄱ. 는 개의 극점을 가지는 사차함수이므로 ′ 은 서로 다른 개의 실근을 갖는다.
ㄴ. ′ ㄷ.
이다.
∴
∴
수 리 영 역
‘가’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
13 16
∴
∴
∴
∴
∴
∴
≥ 이면 이므로
을 만족하는 자연수 은
의 3개이다.
20) ②
점 D의 좌표를 라 할 때,
DG가 평면 의 법선벡터가 되므로
∴
이때, 점 D 는 평면 위의 점이므로
∴ 즉,
따라서 DG
한 변의 길이가 인 정사면체의 높이가
이므로 구하는 정사면체의 한 변의 길이는
× [다른 풀이]
삼각형 ABC의 무게중심 을 G라 하자.
D에서 평면 ABC에 내린 수선의 발은 삼각형 ABC의 무게중심 G 이므로
DG ⊥평면ABC이므로 DG
∴ D
D가 평면 위에 있으므로
∴
∴ D
D에서 평면 ABC까지의 거리는
DG
정사면체의 한 모서리의 길이를 라 하면
DG
∴ 21) ⑤
＞에서
′
′ 에서 또는
… … …
′
↘ ↗
↘
곡선 위의 점 에서 축까지의 거리와 축까지의 거리 중 크지 않은 값을 라 하므로 곡선 와 직선 , 와 만나는 교점을 찾는다.
이때, 미분가능하지 않은 점이 한 곳만 있으려면
＞에서 곡선 와 직선 가 만나지 않거나 접해야 한다.
접점의 좌표를 라 하면
⋯⋯ ㉠이고
에서 접선의 기울기가 이므로
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ∴
∴
따라서 의 최댓값은 이다.
22)
ln 에서
′ ln ⋅
ln
∴ ′
23)
cos
sin
cos․cos sin․sin
sin cos sin sin
sin cos sin
단 sin cos
최댓값
따라서
24)
→ 에서
수 리 영 역
14 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
∴
∴
25)
표본평균을 라고 하면 모평균에 대한 신뢰도 의 신뢰구간은
이므로
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
㉠㉡을 하면 ∴
을 ㉡에 대입하면
∴
따라서, 신뢰도 의 신뢰구간은
× ×
따라서, 신뢰도 의 신뢰구간에 속하는 자연수는
⋯ 이므로 모두 개다.
26)
PA∙ PB PA⋅PH이고 PA PH이므로 산술-기하평균에 의하여
PA PH≥
PA⋅PH∴ PA⋅PH≤
따라서 PA∙ PB의 최댓값은
이므로
27)
점 P의 좌표를 나열하면 ⋯이므로 점 P의 좌표 는 이다.
점 P의 좌표를 나열하면
⋯이므로
홀수번째 항으로 이루어진 수열은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므로
점 P의 좌표 는 ⋅
∴
[다른 풀이]
P의 좌표를 이라 할 때,
선분 PP 의 중점과 선분 P P 의 중점이 같으므로
⋯⋯ ㉠
수열
에서 , , , …이므로
또한, 수열
에서 , , 이므로㉠에 의하여
…
∴ ⋅
따라서 P의 좌표는 이므로
28)
B에서 EF에 내린 수선의 발을 H라 하면, 삼수선의 정리에 의해
DH⊥EF
두 평면 AEFD와 EFCB가 이루는 각 는 두 평면의 교선 EF에 수직인
BH와 DH가 이루는 각의 크기와 같다.
cos BH
DH
이제 종이를 다시 펼치면 그림과 같다.
∆BDA∝∆BEH이므로
EB HB DB AB
HB
⋅
DH DB BH
∴ cos BH
DH
∴ cos ×
[다른 풀이]
AE 이므로 BE
DE 이므로 BD
FC 라 하면 DF
한편, △BDF, △BCF는 모두 직각삼각형이므로
BF
∴
∴ △DEF
× × , △BEF
× × 이때, △BEF의 평면 ABCD 위로의 정사영이 △DEF이므로 cos
수 리 영 역
‘가’형 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15 16
∴ cos ⋅
29)
∠BCD 라 하면 사인법칙에서
sin
CD
sin
AD
sin
CD
sin
BD
AD sin
sin CD BD sin
sin CD
AD BD 이므로 CD
sin
sin
sin
sin
한편, 이므로
∴
lim
→
CD
lim
→
sin
sin
⋅ sin
sin⋅
lim
→
sin
sin
∴ ⋅
[다른 풀이]
∠BCD
∠BCA
∆ABC에서 사인법칙에 의해
sin
sin
BC
∆BCD에서 사인법칙에 의해
sin
BC
sin
CD
∴ CD
sin
sin
sin
sin
⋅sin
sin
∴
lim
→
CD
lim
→
sin
⋅
sin
⋅sin
sin
sin
⋅
∴ ×
30)
과 log 은 서로 역함수 관계에 있으므로 직선
에 대하여 대칭이다.
은 이고 ≤ 를 만족시키는 정수 의 개수이다.
일 때 만족하는 는
⋯ 까지의 개와 ≤ 를 만족시키는 자연수 가 있다.
이때, , , , ,, 이므로
× × × × ×
[다른 풀이]
은 ≤ ≤ log 을 만족하는 정수의 개수이다.
두 함수 log 이라 놓으면
는 증가함수이고 서로 역함수이다.
위 그림에서 ≤ 를 만족하는 정수 의 개수를 구하면 된다.
ⅰ) 일 때
≤ 이므로
≤ ≤ 이면 주어진 조건을 만족한다. (개 존재)
ⅱ) 일 때
≤ 을 만족하는 양수 를 구하면 된다.
라 하면
, ,
이므로
일 때
일 때
⋯ 일 때
⋯ 일 때,
일 때 따라서 ⅰ), ⅱ)에서
이면
이면
⋯ 이면
⋯ 이면
이면
수 리 영 역
16 ‘가’형
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∴
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