◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
의 값은? 1)[2점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
2. lim
→ ∞
의 값은?2)
[2점][2008년 6월]
① ②
③
④
⑤
3.
이차정사각행렬 와 두 행렬
,
에 대하여일 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? 3)
[2점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
4.
다항함수 에 대하여 극한값lim
→
가 존재한다.
다항함수 가 를 만족시킬 때,
lim
→
의 값은? 4)
[3점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
2008년 6월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘가’형
수 리 영 역
2 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5.
양수 에 대하여 연립부등식
＜
≦
을 만족시키는 정수 가 개일 때, 이 개의 정수의 합은? 5) [3점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
6.
구간 에서 정의된 연속확률변수 의 확률밀도함수 는 다음과 같다.
≦
≦ ≦
P ≦ X ≦
일 때, 의 값은? 6)
[3점][2008년 6월]
① ②
③
④
⑤
7.
삼차함수 의 그래프 위의 점 P 을 접점으로 하는 접선을 이라 하자. 직선 에 수직이고 점 P를 지나는 직선이 곡선 와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 의 값의 범위는? 7)[3점][2008년 6월]
① ＜＜
또는 ＜＜
②
＜＜ 또는 ＜＜
③ ＜＜ 또는 ＜＜
④ ＜＜ 또는
＜＜
⑤ ＜＜
또는
＜＜
8.
세 다항함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다.모든 실수 에 대하여 (가) ＞
(나)
≧
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 8)
[3점][2008년 6월]
<보 기>
ㄱ. 방정식 은 실근을 갖지 않는다.
수 리 영 역
‘가’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9.
그림과 같이A 지점과 B 지점 사이의 거리가 km, B 지점과 C 지점 사이의 거리가 km인 도로가 있고 영희와 철수는 다 음과 같이 A 지점에서 C 지점까지 이동하였다.영희는A 지점을 출발하여D 지점과E 지점을 거쳐C 지점 까지 평균속력 km/시로 이동하였다.
철수는A 지점을 출발하여B 지점까지는 평균속력 km/시, B 지점에서C 지점까지는 평균속력 km/시로 이동하였다.
B 지점과 E 지점 사이의 거리는 km이고, D 지점과 E 지 점 사이의 거리는 km이다. 영희와 철수가 동시에 출발하여 영희가 철수보다 시간 먼저 도착하였을 때, 의 값은? 9)
[4점][2008년 6월]
①
②
③
④
⑤
10.
서로 다른 두 다항함수 , 에 대하여 함수
＜
≧
가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 상수 의 개수를
라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?1 0)
[4점][2008년 6월]
<보기>
ㄱ. , 이면 이다.
ㄴ.
ㄷ. 이면 ∘ ∘ 이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.
함수 는 구간 에서 이고, 모든 실수 에 대하여 이다. ＞에 대하 여 함수 가
≠
일 때, 합성함수 ∘ 가 에서 연속이다.
의 최솟값은? 11)
[4점][2008년 6월]
① ②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
12.
자연수 과 ≦ ＜ ≦ , ≦ ＜ ≦ 을 만족시키는 네 정수 에 대하여 좌표평면에서 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으로 하고 넓이가 인 정 사각형의 수를 라고 하자. 다음은
의 값을 구하는 과정 이다. (단, 는 이하의 자연수이다.)
그림과 같이 넓이가 인 정사각형 ABCD를 만들 때, 두 점 A B의
좌표가 주어지면 좌표의 차가
인 변 AB를 택하는 경우의 수는 (가) 이다. 또 두 점
A D의 좌표가 주어지면 좌표의 차가 인 변AD를 택하는 경우의 수는 (나) 이다. 따라서
이다. 그러므로
(다)
(가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?12)
[3점][2008년 6월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
13.
실외 공기 중의 이산화탄소 농도가 일 때, 실내 공간 에서 공기 중의 초기 이산화탄소 농도 를 측정한 후, 시간 뒤의 실내 공간의 이산화탄소 농도 와 환기량m/시)의 관계는 다음과 같다.
×
(단, 는 양의 상수이고,m는 실내 공간의 부피이다.) 실외 공기 중의 이산화탄소 농도가 이고 환기량이 일정할 때, 초기 이산화탄소 농도가 인 빈 교실에서 환기를 시작 한 후 시간 뒤의 이산화탄소 농도를 측정하였더니 이었 다. 환기를 시작한 후 시간 뒤에 이산화탄소 농도가 가 되었다. 의 값은? 13)
[4점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
14.
그림과 같이 길이가 인 선분 AB가 있다.선분 AB의 삼등분점 A B을 중심으로 하고 선분 AB을 반 지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 P Q 이라 고 하자.
선분 AB의 삼등분점 A B를 중심으로 하고 선분 AB를 반 지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 P Q 라고 하자.
선분 AB의 삼등분점 A B을 중심으로 하고 선분 AB을 반 지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 P Q 이라 고 하자.
이와 같은 과정을 계속하여번째 얻은 두 호 PnAnQn,PnBnQn 의 길이의 합을 이라 할 때,
∞의 값은?14)[3점][2008년 6월]
①
② ③
④
⑤
15.
그림과 같이 나무에 개의 전 구가 맨 위 첫 번째 줄에는 개, 두 번째 줄에는 개, 세 번째 줄에 는 개, …, 열 번째 줄에는 개가 설치되어 있다. 전원을 넣으면 이 전구들은 다음 규칙에 따라 작동한 다.(가) 이 이하의 자연수일 때, 번째 줄에 있는 전 구는 초가 되는 순간 처음 켜진다.
(나) 모든 전구는 처음 켜진 후 초 간격으로 꺼짐과 켜 짐을 반복한다.
전원을 넣고 초가 되는 순간 켜지는 모든 전구의 개수를 이 라고 하자. 예를 들어 이다.
의 값은?15)
[3점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
6 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
16.
공차가 인 두 등차수열
의 첫째항부터 제 항까지의 합을 각각 이라 하자.
일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?16)
[4점][2008년 6월]
<보 기>
ㄱ. 이면 이다.
ㄴ.
ㄷ. ≠ 이면 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
17.
함수 log 의 그래프와 함수 log 의 그래프 가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A B라고 하자.＞인 자연수 에 대하여 함수 log 의 그래프와 함수
log 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 Cp q D r s 라고 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 점A의 좌표는 점B의 좌표보다 작고 ＜이 다.) 17)
[4점][2008년 6월]
<보 기>
ㄱ.＜
＞
ㄴ. 직선 AB의 기울기와 직선 CD의 기울기는 같다.
ㄷ. 점 B의 좌표와 점 C의 좌표가 같을 때, 삼각형 CAB의 넓이와 삼각형 CBD의 넓이는 같다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
‘가’형 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
단 답 형
18.
수직선 위를 움직이는 두 점 P Q의 시각 일 때의 위치는 각각
이다.
두 점 P Q의 속도가 같아지는 순간 두 점 P Q 사이의 거리를 구하시오. 18)
[3점][2008년 6월]
19.
자연수 에 대하여 함수 lim
→∞
＞이 에서 미분가능할 때, 의 값을 구하시오. 19)
[3점][2008년 6월]
20.
함수
는 에서 극솟값 를 가진다.
함수 의 그래프 위의 점 에서 접하는 직선을 이라 할 때, 점 에서 직선 까지의 거리가 이다. 의 값을 구하시오. 20)
[4점][2008년 6월]
21.
에 대한 부등식
＞의 모든 해가 에 대한 부등식
＞의 해가 될 때, 좌표평면에서 점 가 나타내는 영 역의 넓이를 구하시오. (단, ＞이다.)21)
[4점][2008년 6월]
수 리 영 역
8 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
22.
두 자리의 자연수 에 대하여 log log 이 최대가 되는의 값을 구하시오. (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이 다.)22 )
[4점][2008년 6월]
23.
모든 계수가 정수인 삼차함수 는 다음 조건을 만족 시킨다.(가) 모든 실수 에 대하여 이다.
(나) (다) ＜′＜
함수 의 극댓값은 이다. 의 값을 구하시오.2 3) [3점][2008년 6월]
24.
집합 Y Z 에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 → 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 → 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수
∘ → 를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 일 확률은
이다. 의 값을 구하시오. (단, ,는 서로소인 자연수이 다.) 24)
[4점][2008년 6월]
(가) 의 임의의 두 원소 에 대하여 ≠ 이면 ≠ 이다.
(나) 의 치역은 이다.
25.
그림과 같은 모양의 종이에 서로 다른 가지 색을 사용하여 색칠하려고 한다. 이웃한 사다리꼴에는 서로 다른 색을 칠하고, 맨 위의 사다리꼴과 맨 아래의 사다리꼴에 서로 다른 색을 칠한 다. 개의 사다리꼴에 색을 칠하는 방법의 수를 구하시오. 25)[4점][2008년 6월]
수 리 영 역
‘가’형 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
미분과 적분
26.
폐구간 에서 삼각방정식 sin
cos의 모든 해의 합은? 26)
[3점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
27.
함수
＞에 대하여 <보기>에서 옳은 것 을 모두 고른 것은? 27)[3점][2008년 6월]
<보 기>
ㄱ.
lim
→ ∞
ㄴ.
lim
→ ∞
ㄷ. ≧ 일 때,
lim
→ ∞
이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
28.
연속함수 가lim
→ cos
를 만족시킬 때,
lim
→
이다. 의 값은? (단, ＞ ＞이다.) 28) [3점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
10 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
29.
눈높이가 m인 어린이가 나무로부터 m 떨어진 지점에서 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라 본 선이 이루는 각이 이었다. 나무로부터 m 떨어진 지점까지 다가가서 나무를 바라보았더니 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나 무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이
가 되 었다. 나무의 높이는 m 또는 m이다. 의 값은? 29)
[4점][2008년 6월]
① ② ③
④ ⑤
단 답 형
30.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형ABCD에서 변AB 를 연장한 직선 위에 BE 인 점E가 있다. 점E를 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 인 정사각형EFGH에 대하여∠BEF 일 때, 변FG와 변AB의 교점을K, 변FG와 변BC의 교점을L 이라 하자. 삼각형KBL의 넓이를 라 할 때,lim
→
이다. 의 값을 구하시오. (단, ＜＜
이고, 는 서로 소인 자연수이다.) 30)
[4점][2008년 6월]
수 리 영 역
‘가’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2008년 6월 고3 모의고사 가형 해설지
1) ⑤
× 2) ②
로 놓으면
→ ∞이면 → ∞
∴ (주어진 식)
lim
→∞
lim
→∞
3) ⑤
가 역행렬이 존재하므로 의 양변의 왼쪽에 를 곱하면
따라서, 행렬 의 모든 성분의 합은 3이다.
4) ①
lim
→
의 값이 존재하므로
lim
→
∴
∴
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
⋅
5) ①
해는
≦ ≦ 해의 정수해가 총 4개인데,ⅰ) (정수)일 때
정수 의 개수는 ≦ 에서 개 ≦ 에서 개 ∴ ,
이때 정수해는 1, 2, －3, －4
ⅱ) ≠(정수), ≠(정수)일 때 정수 의 개수는 ≦ 에서 개 ≦ 에서 개
, ㉠ P ≦≦
, ㉡
㉠, ㉡에서
,
∴
7) ③
P 에서 법선의 방정식을 구하면
′ 이므로
(단, ≠ ) ㉠
(∵ ′ 이면 법선이 축에 수직이 되어 부적합)
㉠과 가 서로 다른 세 점에서 만나므로
이것이 서로 다른 세 실근을 갖는다.
이 인 근을 갖지 않으므로, 서로 다른 두 실근을 가지면 된다.
∴
이때 ≠ 이므로
또는
8) ③
조건 (가)에 의해 모든 실수 에 대해 이고 이거나 ㉠ 이고 ㉡ 또,
(나)
×
≧
수 리 영 역
12 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9) ④
D에서 변 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자.
AD
AH DH
따라서, 영희의 소요시간은
AD DE EC
철수의 소요시간은
AB
BC
이므로
∴
±
±
± 그런데 BE 에서 ∴
∴
10) ⑤
ㄷ. 의 실근의 개수를 개라 하면 한편, ∘ ∘
⇔
⇔ 이므로 ∘ ∘
∴ 참
따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
11) ②
가 에서 연속이므로
㉠
lim
→
lim
→
㉡
㉠, ㉡에서
lim
→
에서
이므로
…
따라서, 구하는 의 최솟값은
이다.
12) ④
좌표의 차가 인 변 AB를 택하는 경우의 수는 점 A의 좌표가
부터 까지 가능하므로
◀ (가) 마찬가지로, 점 A의 좌표는
부터 까지 가능하므로
◀ (나)
◀ (다)
13) ②
초기 이산화탄소 농도 이고, 1시간 뒤 즉 일 때 이산화탄소 농도 이므로
수 리 영 역
‘가’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이라하면
AB AP BP 이므로
∠PAB ∠PBA
두 호 PAQ, PBQ의 길이의 합
× ×
또 선분 A B 의 삼등분점이 A, B이므로
AB A B
∴
따라서, 수열 의 공비는
,
이므로 초항
⋅
∞
15) ⑤
초가 될 때 켜지는 전구 개수 =
열 까지 모든 전구 개수 =
(n초가 되었을 때 꺼져있는 전구 개수)
∴
⋯
∴
[다른풀이] 1번째줄, 2번째줄에 있는 전구는 14초가 될 때까지 모두 7번씩 켜지고 전구의 개수는 3개 이므로 ×
3번째 줄, 4번째 줄에 있는 전구는 모두 7개가 있고 켜지는 횟수는 모두 6번씩이므로 ×
이와 같은 방법으로
× × × × ×
에서 의 계수를 비교하면
×
∴ ∴ 참 ㄷ. 이면 ≠ 이다.
이므로
가 돼서 이 존재한다.
즉, ≠ 이면서 ≠ 이고 주어진 조건을 만족하는 이 존재한다.
∴ 거짓
따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.
17) ④
log, log 의 교점의 좌표를 구하면
에서
일 때 ,
일 때 ,
∴ A
log
∴ B
log
log는 축에 대하여 대칭인 함수이므로
log, log , log 의 그래프는 다음과 같다.
ㄱ. 이므로 그림에서
,
∴ 참 ㄴ. log, log 의 교점을 구하면
에서
,
∴ C
log
, D
log
직선 AB의 기울기는
log
log
log
직선 CD의 기울기는
log
log
log
수 리 영 역
14 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
18) 12
P, Q의 속도를 구하면 P′ , Q′
두 점의 속도가 같아지는 시각은
, ∴ 시각 일 때 두 점 사이의 거리는
PQ
에서 일 때에는 PQ
19) 21
각 구간에서 를 구하면 (ⅰ) : (ⅱ) :
(ⅲ) :
에서 미분 가능하므로 a) 연속조건 :
lim
→
lim
→
∴
b) 미분가능조건 : ′
∴
a)와 b)에서 ,
∴
20) 16
ⅰ) ′
∴ 에서 극솟값을 가진다.
⋅ ⋅ ∴
ⅱ) 점 에서의 접선은 ′
과 점 (3, －9) 사이의 거리 는
≦ , ≧
그림으로 표현하면, 교점은 (10, 10) 따라서, 영역의 넓이 는
⋅⋅
22) 80
i) ≦ 이면 log 이므로 log log log
이고
log
이 최대이어야 하므로
ii) ≦ 이면 log 이므로 log log log
이고
log
이 최대이어야 하므로
따라서, i), ii)에서 log
log
이므로 구하는 은 80이다.
[다른풀이] log log을 수직선 위에 나타내어보면
log 일 때
이 보다 왼쪽에 있는 최대수일 때 즉 일 때 이 최대이다.
이 두 자리수 이므로 일 때 이 최대이다.
23) 32
는 정수) 에서 기함수 조건(∵ (가)) 때문에 따라서, 이다.
(나)에서 ㉠
수 리 영 역
‘가’형 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이고 함수 각각에 대하여 ∘ 의 치역이 가 아닌 경우는 모두 0 또는 모두 1에 대응하는 경우이고 아래 그림과 같이 2가지 뿐이므로 구하는 확률은
25) 30
서로 다른 3가지 색을 A B C라 하고 맨 위의 사다리꼴에 A를 칠하고 그 밑에 있는 사다리꼴에는 B를 칠하는 경우를 수형도로 그리면 다음과 같다.
∴ 첫 번째칸에 A를 칠하고 두 번째칸에 C를 칠하는 경우도 같으므로 A로 시작되는 경우는 10가지
따라서, 5개의 사다리꼴에 색을 칠하는 방법의 수는 30가지이다.
[다른풀이] 전체 가지수는 × × × ×
맨 위의 사다리꼴과 맨 아래의 사다리꼴이 같은 색으로 칠해지는 경우는 i) 맨 위의 사다리꼴과 맨 아래의 사다리꼴에 색을 칠하는 방법; 3가지 ii) 가운데 세 사다리꼴에 색칠하는 방법은
맨 위의 사다리꼴의 색을 정 가운데 사다리꼴에 색칠한 경우 4가지 맨 위의 사다리꼴의 색을 정 가운데 사다리꼴에 색칠하지 않은 경우 2가지
i), ii)에서 × 가지
따라서, 5개의 사다리꼴에 색을 칠하는 방법의 수는 가지이다.
26) ③ sin
sin
cos cos cos 이므로
cos cos에서 cos
∴ cos ±
cos
이면
cos
이면
따라서, 모든 해의 합은 이다.
ㄴ.
lim
→∞
이므로
라 하면
lim
→∞
lim
→∞
수렴하는 함수의 곱은 수렴하므로
lim
→∞
⋅
lim
→∞
×
lim
→∞
× ∴ 참 ㄷ.
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
그런데, → ∞이면 → ∞ 이므로
lim
→∞
lim
→∞
이므로
∴
lim
→∞
∴ 거짓
따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
28) ②
lim
→ cos
lim
→ cos cos
cos
lim
→sin
⋅
lim
→sin
⋅
⋅
⋅
lim
→
따라서,
lim
→
이므로
lim
→
를 반드시 만족하는 상수
는 일 때이다.
29) ①
주어진 그림을 단순화하면 그림과 같다.
그림에서 AH 라 둔다.
∠BQH ∠BPH
∠BQA ∠BPA 라고 하면
수 리 영 역
16 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
이 식을 정리하면 따라서, 근과 계수의 관계에서
30) 65
KE
EF
cos 이므로 KE cos
∴ KB cos
또, ∠BKL
에서
KB
BL
tan
cot∴ BL KB⋅cot
⋅KB⋅BL
cos
×
cos
⋅cot
cos
cos
⋅sin cos
sin cos
cos
∴
lim
→
lim
→ sin cos ⋅
cos
lim
→
sin cos ⋅ cos
cos cos
lim
→ sin cos ⋅ cos sin
⋅⋅
∴
