1.
1) 그림과 같이 일직선으로 된 해안가에 있는 두 등대 , 사 이의 거리는 이다. 이 해안가로부터 떨어진 해상에 두 지점 , 가 있다. 등대 와 로부터 지점까지의 거리 의 차와 등대 와 로부터 지점까지의 거리의 차가 모두 이다. 어떤 배가 해안선과 평행하게 분속 의 속력 으로 지점과 지점 사이를 통과하는 데 걸리는 시간은 몇 분인가?
[4점][2002년 사관학교]
㎞
㎞
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 포물선 의 축에 수직이고 초점을 지나는 현의 길이는?[3점][2003년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3) 타원 위의 점 에 대하여 의 최댓값 을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.[3점][2004년 사관학교]
4.
4 ) 아래 그림과 같이 포물선 의 초점 F를 지나는 직선과 이 포물선이 만나는 두 점을 A B 라 하자.
AF BF 일 때 직선 의 방정식은 이다. 이 때, 상수 에 대하여 의 값은?
[점][2005년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
5.
5 ) 오른쪽 그림과 같이 축 위의 점 P에서 원 에 그은 두 접선이 쌍곡선
과 만나는 교점을 각각 A B와 C D라 한다. AB 일 때, AB 와 축 과의 교점 F에 대하여
CF DF의 값을 구하시오.
[점][2005년 사관학교]
단원 : 이차곡선
6.
6) 쌍곡선 이 축과 만나는 점을 각각 A B라 하고, 직선 (단, )가 이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 C D 라 하자. 의 값이 변함에 따라 두 직선 AC 와 BD의 교점 P 는 곡선을 그린다. 이 때, 이 곡선의 두 초점 사이의 거 리는?[4점][2006년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
7.
7) 그림과 같이 쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 A, 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 만나는 점을 B라 하자.
삼각형 OAB의 넓이를 라 할 때,
lim
→∞
의 값은?
(단, O는 원점이다.)
[4점][2007년 사관학교]
P
A
O B
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 ) 오른쪽 그림과 같이 편평한 땅에 거 리가 떨어진 두 개의 말뚝이 있 다. 두 개의 말뚝에 길이가 인 끈 을 묶고 이 끈을 팽팽하게 유지하면서 곡선을 그렸다. 두 말뚝을 지나면서 이 곡선에 접하는 직사각형 모양의 꽃밭을 만들었을 때, 이 꽃밭의 넓이는?[3점][2006년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
9.
9 ) 그림과 같이 서로 합동인 두 타원 가 외접하고 있다.두 점 A B는 타원 의 초점, 두 점 C D는 타원 의 초점이고, 네 점 A B C D는 모두 한 직선 위에 있다. 두 점 B C를 초점, 선분 AD를 장축으로 하는 타원을 이라 하고, 두 타원 의 교점을 P라 하자.
AB 이고 BC 일 때, CP AP의 값은?
[4점][2007년 사관학교]
P
C D A B
① ② ③ ④ ⑤
10.
10) 그림과 같이 타원
의 두 초점을 F,F′이라 하고, 이 타원 위의 점 P에 대하여 선분 F′P가 타원
과 만나는 점을 Q라 하자. F′Q 일 때, 선분 FP의 길이는?
[3점][2008년 사관학교]
① ②
③
④
⑤
11.
11) 축을 준선으로 하고 초점이 축 위에 있는 두 포물선이 있 다. 두 포물선이 축에 대하여 서로 대칭이고, 두 포물선의 꼭 지점 사이의 거리는 이다. 두 포물선에 동시에 접하고 기울기 가 양수인 직선을 그을 때, 두 접점 사이의 거리를 라 하자.의 값을 구하시오.
[3점][2008년 사관학교]
12.
12) 그림과 같이 포물선 의 초점 F를 지나는 직선이 포 물선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하고, 두 점 P Q에서 준 선에 내린 수선의 발을 각각 A B라 하자. PF 일 때, 사각형 ABQP의 넓이는?[3점][2009년 사관학교]
P
QF A
B
O
①
②
③ ④
⑤
13.
13) 점 A 에서 포물선 에 그은 두 접선의 기울기 의 곱은?[2점][2010년 사관학교]
O
A •
①
②
③
④
⑤
14.
14) 좌표평면에서 그림과 같이 직선 위를 움직이는 점 A 에 대하여 선분 OA가 원 과 만나는 점을 B라 하자.평면 위의 점 P가 다음 조건을 모두 만족시키며 움직이면 점 P가 나타내는 도형은 어떤 쌍곡선의 일부가 된다.
•
• •
O B
A P
(가) AP AB
(나) 직선 AP는 직선 와 수직이다.
(다) 점 P의 좌표는 보다 크다.
이때, 이 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 점근선의 방정식 은? (단, O는 원점이다.)
[3점][2010년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
15.
15) 좌표평면에서 포물선 의 초점을 F, 준선을이라 하자. 점 F를 지나고 축에 수직인 직선과 포물선이 만 나는 점 중 제사분면에 있는 점을 P라 하자. 또, 제사분면 에 있는 포물선 위의 점 Q에 대하여 두 직선 QP, QF가 준선
과 만나는 점을 각각 R, S라 하자. PF QF 일 때,
FS
QF 의 값은?
[3점][2011년 사관학교]
O
Q P R
S F
①
②
③
④
⑤
16.
16) 좌표평면에서 타원
위의 점 P
에서의 접선을 이라 하자. 타원의 두 초점 F, F′과 직선 사이의 거리 를 각각 , ′이라 할 때, ′의 값을 구하시오.
[3점][2011년 사관학교]
17.
17) 그림과 같이 쌍곡선 위의 점P 에서의 접선을 이라 하고, 이 쌍곡선의 두 점근선 중 기울기가 양수인 것을 , 기울기가 음수인 것을 이라 하자. 과 의 교점을Q, 과 의 교점을 R라 할 때, QR PQ를 만족시키는 의 값은?
[3점][2012년 사관학교]
① ②
③ ④
⑤
18.
18) 포물선 의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A B라 하자. AF BF 일 때, 선분 AB의 길이 는?[3점][2013년 사관학교]
①
②
③ ④
⑤
19.
19) 좌표평면 위를 움직이는 두 점 A sin Bcos 와 점C 에 대하여 선분AB의 중점을 M이라 하고, CM이 최대일 때 점 M을 D 이 최소일 때 점M을 E라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것 은? (단, ≤ ＜)[4점][2012년 사관학교]
ㄱ. 점M이 그리는 도형은 타원이다.
ㄴ.CD CE
ㄷ.∠DOE 라 하면 tan
이다.
(단,O는 원점이다.)
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
20.
20) 그림과 같이 쌍곡선
의 한 초점 F 을 지나 고 축에 평행한 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 A B라 하자. AB 일 때, 와 사이의 관계식은?
(단, )
[3점][2013년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
21.
21) 그림과 같이 좌표평면에서 세 점 를 지나는 포물선이 있다. 인 범위에서 포물선 위를 움 직이는 점을 P라 할 때, 점 P를 중심으로 하고 축에 접하는 원을 그린 다음, 반직선 OP와 이 원의 교점 중에서 원점 O로 부터 더 멀리 있는 점을 Q라 하자. 점 Q가 그리는 도형과 축 및 직선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전 시켜 생기는 회전체의 부피는
이다. 의 값을 구하여라.
(단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014년 사관학교]
22.
22) 포물선 의 초점 F를 지나는 직선 이 포물선과 만나 는 두 점을 각각 A, B라 하자. AB 를 만족시키는 직선 의 기울기를 이라 할 때, 양수 의 값은?[3점][2015년 사관학교]
①
②
③ ④
⑤
23.
23) 좌표평면에서 두 점 A , B 을 초점으로 하고 장 축의 길이가 인 타원이 있다. 초점이 B이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 타원과 만나는 한 점을 P라 할 때, 선분 PB의 길이는?[3점][2015년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
24.
24) 쌍곡선 위의 점 에서의 접선이 점 를 지날 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[3점][2016년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
25.
25) 타원 의 두 초점을 F, F′이라 하자. 이 타원 위 의 점 P에 대하여 PF
PF′
일 때, PF× PF′의 값을 구하시오.
[3점][2016년 사관학교]
26.
26) 두 초점 F, F′을 공유하는 타원
과 쌍곡선
이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 하나를 P라 할 때,
PF PF′
의 값을 구하시오. (단, 는 양수이다.)[3점][2017년 사관학교]
27.
27) 그림과 같이 포물선 위의 한 점 P를 중심으로 하고 준선과 점 A에서 접하는 원이 축과 만나는 두 점을 각각 B, C라 하자. 부채꼴 PBC의 넓이가 부채꼴 PAB의 넓이의 배 일 때, 원의 반지름의 길이는? (단, 점 P의 좌표는 보다 크 고, 점 C의 좌표는 점 B의 좌표보다 크다.)[3점][2017년 사관학교]
P
B A
C
O
① ② ③
④ ⑤
1) ②
좌표평면에서 점 을 초점으로 하고 주축의 길이가 16인 쌍곡선을
라 두면 주축의 길이 : ∴
초점 : ∴ 그러므로 쌍곡선의 식
와 과의 교점의 좌표를 구하면 ± 이므로 점,간의 거리는
그러므로 걸리는 시간은
(분) 2) ④
⇔
의 그래프를 축으로 3만큼 축으로 2만큼 평행이동한 식이므로 초점의 좌표는 대칭축의 방정식은 이다.
포물선과 직선 만나는 점은 에서
또는 현의 길이는 6-(-2)=8 3)
라 두고 이 식을 타원에 대입하면
이 두 실근을 가져야하므로
≧
≦ ×
∴ ≦ 이므로
≦ ≦ 이므로 최댓값
∴
4) ④
교점A B의 좌표를 각각 라 두면 포물선 ⋅⋅에서
초점 F , 준선의 방정식은 이고
AF BF 이므로 포물선의 정의에서
⇔ ⋯⋯① 또, 내분점 공식에서
⇔ ⋯⋯②
①, ②에서 이다.
∴ A B
그러므로 직선의 방정식은 (직선 AF)
⇔
∴ 이므로 이다.
∴
∴ CF DF CD
6) ②
D t s
B
A
O
C t s
P x y
직선 AC와 BD의 교점 P x y라 두자.
⋯⋯⋯① 직선 AC의 방정식은
에서
⋯⋯⋯② 직선 BD의 방정식은
⋯⋯⋯③
②, ③을 연립하면
⋯⋯④
단,
에서
④를 ①식에 대입하면
×
×
×
그러므로 점P의 자취는
인 타원의 일부이다.
그러므로 초점은 에서 ±이므로 두 초점간의 거리는 ∴
7) ①
쌍곡선의 접선의 방정식이 이므로 일 때,
∴OA a
또한 점근선의 방정식이 이므로
에서
∴B
a b ,
P a b가 쌍곡선 위의 점이므로
에서
∴
∵
×
×
×
×
lim
lim
그러므로 타원의 식은 이다.
을 대입하면 ±
이므로
구하는 꽃밭의 넓이는 ∴ ×
m
9) ②
CP AP CP PB AP PB
AB BC CD AB BC
CD AB
10) ③
주어진 보조선을 그리고 라 두면
이므로
직각삼각형(∵∠′ )에서 피타고라스의 정리를 사용하면
∴
11)
두 포물선은 꼭지점으로부터 준선까지의 거리가 각각 2이면서 각각
축으로 2, -2 만큼 평행이동한 포물선의 방정식이므로, 포물선의 방정식은 각각 , 가 된다.
이 때, 이 두 포물선에 동시에 접하는 직선의 방정식의 기울기를 이라 두면, 첫 번째 포물선의 방정식에서의 기울기가 인 직선의 방정식은
이 되며, 두 번째 포물선의 방정식은
이 된다.
이 두 접선의 방정식이 일치해야 하므로
,
,
∴ ∵ 가 된다.
주어진 식에 값을 대입해서 직선의 방정식을 구해보면 가 된다.
이 때, 와 두 포물선과의 교점의 좌표를 연립해서 구해보면
가 된다.
그러므로 두점사이의 거리
∴
12) ④
AP와 축과의 교점을 C, BQ와 축과의 교점을 D, P에서 축에 내린 수선의 발을 H, AB와 축과의 교점을 E라 두자.
이 때, AC CP FH 이고, ∆PFH에서 PH 이다.
∴ PQ의 직선의 방정식⇒
이므로 이다.
이 식을 에 대입하면 이므로
13) ③기울기를 이라고 두면
가 접선의 방정식이 된다.
이 접선이 (-2, 4)를 지나므로 대입하면
이 되고,
이므로
이다.
14) ④
동경을 로 두면, cos
∴ cos
, 이므로 P의 좌표는
cos
cos
가 된다.
또한, 좌표는 2tan이다. 즉, cos
cos
sin
쌍곡선의 방정식 꼴을 만들기 위해서 분모에 cos이 있고 분자에 sin이 있으니 1-sin 꼴을 만들어 약분되게 한다.
즉, cos
cos
sin
∴ ,
∴
15) ②
O Q P R
S F
점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H, 점 Q에서 준선에 내린 수선의 발을 H′라 하면
PF QF PH QH이고 PH 이므로 QH 이다.
∆QPF∾∆QRS이므로 닮음비는 이다.
따라서 FS
QF
PH
QH′ PH 이므로
이다.
16) 16
⋯⋯ ㉠ 점근선의 방정식은 ±
⋯⋯ ㉡
㉡을 제곱하여 정리하면 ⋯⋯ ㉢
㉠에서
이고 이것을 ㉢에 대입하면
즉, ⋯⋯ ㉣ 그런데 은 쌍곡선
위의 점이므로
에서 이므로
㉣은
근과 계수와의 관계에서 위 방정식의 두 근의 합은 으로 일정하다.
따라서 쌍곡선
위의 점 P 에서 그은 접선이 두 점근선과 점 Q, R에서 만날 때, 선분 QR의 중점은 점 P가 된다. 즉,
QR PQ
∴ 18) ④
점 A, B에서 축에 내린 수선의 발을 각각 A′, B′이라 하고 준선 에 내린 수선의 발을 각각 H, H라 하자.
BF 이라 하면 AF 이고
포물선의 정의에 의해서 AH , BH 따라서 점 A, B의 좌표는 각각 , 이다.
△FAA′과 △FBB′은 닮음이고 닮음비는 이다.
FA′ 이고
FB′ 이므로
FA′ FB′ 에서
따라서 에서
sin cos 즉,
⋯⋯ ㉠
따라서 는 타원위에 존재한다.
ㄱ. 중점 M은 ㉠을 축 방향으로 만큼 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 것이므로 중점 M이 그리는 도형은 타원이다. (참)
ㄴ. ㄱ에서 점 C 은 장축의 연장선 위에 존재하므로 점 C와 D는 타원의 장축의 양 끝점이다.
∴ CD
, CE
∴ CD CE (참)
ㄷ. ∠DOC , ∠EOC 라 하면 OC 이므로 tan CD
tan CE
이므로
tan tan tantan tan tan
(참)
20) ①
쌍곡선이 축에 대하여 대칭이고 AB 이므로 점 A의 좌표는
이다.
그런데
이므로 점 A의 좌표는
⋯⋯ ㉠이다.
㉠을
에 대입하면
양변에 을 곱하여 정리하면
점 P 에서 준선 에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여
OP PH
점 P에서 축에 이르는 거리가 이므로 PQ
∴ OQ OP OQ
따라서 점 Q는 원점을 중심으로 하고 반지름이 인 반원 위에 존재한다.
따라서 구하는 부피는 반지름이 인 구의 부피
×
이다.
∴ ,
∴
22) ④
F 이므로 직선 의 방정식은
점 A, B의 좌표를 각각 , 라 하면 , 는
직선 과 포물선 와의 교점의 좌표이므로 방정식 의 두 근이다.
또한, 포물선의 준선의 방정식이 이므로
AF , BF
AB AF BF 이므로
AB 에서
∴ ⋯⋯ ㉠
에서
위의 이차방정식의 두 근이 , 이므로 근과 계수와의 관계에 의하여
⋯⋯ ㉡
그림과 같이 점 P를 제사분면 위의 점으로 정하고 PB 라 하자.
점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H, 직선 에 내린 수선의 발을 I라 하면 포물선의 정의에 의하여 PH 이므로
BH 이고 AH 이다.
타원의 정의에 의하여 PA PB 이므로 PA 직각삼각형 PAH와 PBH에서
PA AH PB BH
∴
24) ①
점 이 쌍곡선 위의 점이므로
⋅
∴ ⋯⋯ ㉠
쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은
즉,
직선 이 점 를 지나므로
∴ ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ,
∴ [다른 풀이]
점 이 쌍곡선 위의 점이므로
⋅
∴ ⋯⋯ ㉠
에서 음함수의 미분법에 의하여
⋅
∴
점 에서의 접선의 기울기는 두 점 , 를 지나는 직선의 기울기와 같으므로
⋅
에서
따라서 타원의 장축의 길이는 × 이다.
타원의 정의에 의하여
PF PF′ ⋯⋯ ㉠
PF
PF′
에서 PF′ × PF ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 PF , PF′
∴ PF× PF′
26) 40
초점은 ′ ∴
PF PF′
′ ′
× 27) ④
점는 초점이므로 , 점를 라 하고 점에서 축에 내린 수선의 발을 라 하면 점는
∠ ∠
⋯①
는 포물선 위의 점이므로 대입하면
⋯②
①, ②를 연립하면 원의 반지름
