수리 영역

(1)

먼저 자신이 선택한 계열의 문제지인지 확인하시오.

답안지에 필요한 인적 사항(학교명, 학년, 반, 번호, 성명)을 쓰시오.

컴퓨터용 사인펜 또는 연필을 사용하여 수험 번호, 생년월일, 학년 구분, 계열, 성명을 해당란에 정확히 표기하시오.

단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기 하시오.

문항에 따라 배점이 다릅니다. 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1^.. 다음 식을 간단히 하면? (2점)

① 2‡ ^② 2°

③ 2· ^④ 2⁄ ‚

⑤ 2⁄ ⁄

2^.. ^{무리방정식} x€ -^øπx€ -^¥1=3^{의 두 근을} ^a, ^{b라 할 때, a}€ +^b€^의

값은? (3점)

① 7 ^② 9

③ 10 ^④ 12

⑤ 15

3^.. _nlim_⁄¶ f^{ ^} +_nlim_⁄¶ f^{1+ ^} -^:@3 f(x)dx^{를 간}

단히 하면? (2점)

①:)1 f(x)dx ^②^:)2 f(x)dx

③:)3 f(x)dx ^④^:!2 f(x)dx

⑤:!3 f(x)dx

4^.. 오른쪽 그림은 삼차함수 y=f(x)^의

그래프이다. 이 그래프를 이용하여 부 등식 {0^{을 만족하는 정수} x^{의 개수를 구하면?} ^(2점)

① 2 ^② 3

③4 ^④ 5

⑤6

1111f(x+2)f(x) ^O

y

－2 2 x

y＝f(x)

15n1

15nk

2n-1¡

k=0

15n1

15nk

¡n k=1

2+2‹ +2ﬁ +2‡ +2·

1111111112222—⁄ +2—‹ +2—ﬁ +2—‡ +2—·

수리 영역

( )반 ( )번 성명 ( )

가 형 ^100분 ^100점

(2)

5^.. xy^평면,yz^평면,zx^{평면과 평면} 6x+2y-3z+4=0^{에 모두}

접하는 구 S^{가 있다. 구}S^{의 중심의} x^좌표, y^좌표, z^{좌표가 모}

두 양수라고 할 때, 원점 O^{에서 구} S 위의 점까지의 거리의 최

소값은? (3점)

① '3 ^② ^'3 -1

③2-^'3 ^④ 2^'3 -1

⑤2^'3 -2

6^.. ^행렬A, B가 이차 정사각행렬일 때, 다음 <보기> 중에서

AB=BA이기 위한 충분조건을 모두 고르면?

(^단,E^{는 단위행렬}) ^(4점)

① ㄴ ② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7^.. 오른쪽 그림과 같이 평면 위에 놓여 있는 정사면체 ABCD^에

윗면의 반지름의 길이가 6^{인 원}

기둥의 중심선이 평면 BCD^에

수직인 상태로 놓여 있다. 이 때, 원기둥과 평면 ACD^{의 공통 부}

분을 S^{라 하자. 평면} ACD^{에 수}

직인 방향으로 평행한 빛을 비출 때, 평면 BCD^{에 생긴 도형} S

의 그림자를T^{라 하면, 도형}T^{의 넓이는?}

(^단,S^{는 △}ACD^{의 내부,}T^{는 △}BCD^{의 내부에 있다.}) ^(4점)

①180^p ^②108^'2^p

③108^'3^p ^④216^'2^p

⑤324^p

8^.. 정규분포를 따르는 모집단에서 표본을 추출하여 모평균 m^을

추정하고자 할 때, 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

(3점)

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

B

A

S

T

C

D 빛,

ㄱ. A€ B=BA€

ㄴ. A€ B=E

ㄷ. A€ B=A+E

<보기>

ㄱ. 신뢰도를 높이면서 표본의 크기를 작게 하면 신뢰구간의 길이는 길어진다.

ㄴ. 표본평균X’의 분산은 표본의 크기가 클수록 커진다.

ㄷ. 모집단의 표준편차를 알고 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기를4배 늘리면 신뢰구간의 길이는;2!;배로 줄어든다.

<보기>

(3)

9^.. ^행렬 A=^¶ ^•,E=^¶ •이 다음 두 조건을 모두 만족 할 때, 행렬 A€^{과 같은 것은?} ^(3점)

① -4E ^② A+E

③ A+2E ^④ A+4E

⑤ 4E

10^.. ^공비가 1^{이 아닌 등비수열} {a«}^{의 첫째항부터 제}n^항까지의

합을 S«이라 할 때, 다음 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (^단,n^은 2 ^{이상의 자연수}) ^(3점)

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11^.. ^구간(0, 1)^{에서 함수}f(x)^가 0 (x^{가 무리수}) f(x)=

;n!; {x=^;;nM;, m^,n^{은 서로소인 자연수}^}

과 같이 정의될 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

(4점)

① ㄴ ② ㄱ, ㄷ

③ ㄴ, ㄷ ④ ㄷ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

12^.. ^함수 få(x)=aÆ^{이라 하고} y=få(x)^{의 역함수를} y=gå(x)^라

하자. 다음 <보기> 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

(^단,a>1, 0<^a<^b) ^(4점)

① ㄱ ② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ( { 9

1 00 1 a bc d

Ⅰ. A-2E의 역행렬이 존재하지 않는다.

Ⅱ. x, y^{에 대한 연립방정식}^¶ ^{•¶ •}=^{¶ •이} x€ +y€ =1을 만족하는 해를 갖는다.

00 xy

a d

2 -2

ㄱ. b«=a™«^{이라 하면 수열}{b«}^{은 등비수열이다.}

ㄴ. c«=a«≠¡-a«^{이라 하면 수열}{c«}^{은 등비수열이다.}

ㄷ. d«=S™[«≠¡]-S™«^{이라 하면 수열}{d«}^{은 등비수열이다.}

<보기>

ㄱ. få(^a)<fa€(^b)

ㄴ. få(^a)>gå(^a)

ㄷ. ga€(^a)<gå(^b)

<보기>

ㄱ. _xlim

⁄ ;3@;f(x)=^;3!;

ㄴ. f(x)^는x=;3@;에서 불연속이다.

ㄷ. lim

x⁄ f(x)=0

ㄹ. f(x)^는x=₁₅₃^'2 ^{에서 불연속이다.}

2

'2

1532

<보기>

(4)

13^.. ^원점 O^에서 x^{축의 양의 방향으로}

움직이는 점 P^{와 점} A(0, 2, 0)^에서

출발하여 점 B(0, 0, 2)^{로 움직이는}

점 Q^{가 있다. 점} P^{는 매초} 1^{씩, 점} Q

는 매초2씩 움직일 때, 몇 초 후에 두 점 P, Q 사이의 거리가 최소가 되는

가? (3점)

① ;2!;초 ② 초

③ 초 ④ 초

⑤ 초

14^.. ^{다음은 포물선} y€ =4px의 초점에서 이 포물선 위의 임의의 점에서의 접선에 내린 수선의 발은 항상 y축 위에 있음을 증명 한 것이다.

15^.. ^다음은n^{이 자연수이고,}x>2^{일 때,}x^« ±⁄ -2^« ±⁄ ^과 (n+1)2^« (x-2)의 대소를 비교하는 과정이다.

위의 과정에서 ㈎~㈑에 알맞은 것을 순서대로 적으면? (3점)

① x^{« -2«} , ^증가, >, ^}

② x^« ±⁄^-(n+1)^2«x, ^감소, <, <

③ x^{« -2«} , ^증가, =, >

④ x^« ±⁄^-(n+1)^2«x, ^증가, >, ^{

⑤ x^{« -2«} , ^증가, ^}, >

16^.. 다음 그림과 같이 길이가 2^{인 원의 지름을}1^：2^{로 내분하여}

각각을 지름으로 하는 원을 만들고 그 두 원의 넓이의 합을 S¡^,

둘레의 길이의 합을 L¡이라 하자. 이 때, 만들어진 두 원 중 큰 원의 지름을 다시 1^：2로 내분하여 각각을 지름으로 하는 원을 만들고 그 두 원의 넓이의 합을S™, 둘레의 길이의 합을L™^{라 하자.}

이와 같은 과정을 한없이 반복하여S«, L«을 구할 때, 무한급수

(S«+L«)^{의 합은?} ^(4점)

① 6^p ^② 7^p

③ 8^p ^④ 9^p

¡¶

n=1

2

f(x)=(x^«±⁄ -2^« ±⁄ )-(n+1)2^{« (}x^{-2)로 놓으면} f'(x)=(n+1)^,l㈎Ll.

n^{이 자연수이고,}x>2^이므로f'(x)>0

따라서, f(x)^는,l㈏Ll.함수이다.

또, f(2)^,l㈐Ll.0^이므로f(x)^,l㈑Ll.0^이다.

∴x^« ±⁄ -2^«±⁄ ^,l㈑Ll.(n+1)2^{« (}x^-2) 5^'3

14236

2^'2

14235

'3

1423

'2

1422

z

x

O y Q 2

2 B

A P

포물선 y€ =4px^{의 접선에 대}

하여 접점P^{의 좌표를} (x¡, y¡)^{이라 하자.}

y¡=0^{일 때 성립한다.}

y¡⁺0일 때 접선의 방정식은

y= x+^,l㈎Ll.y ^㉠

또, 초점 F에서 접선 ㉠에 내린 수선의 발을H^{라 하면, 직선} FH^{의 방정식은}

y=- x+^,l㈏Ll. ^yy ^㉡

점H의 좌표는 ㉠, ㉡에서x=^,l㈐Ll.

따라서, 두 직선의 교점은 항상y^{축 위에 있다.}

1442py¡

y

O x

y²＝4px P(x1, y1)

H F

(5)

17^.. 오른쪽 그림과 같이 지진의 규 모를 나타내는 진도는 진앙지로부 터 100km 떨어진 곳에 있는 지진 계의 바늘의 최대편진폭을 마이크 로미터(lm) 단위로 재서 그 값을

상용로그로 표시한 것이다. 2006^년12월 강릉 서쪽 지역에서 진 도4.8의 지진이 발생하였으며 진도3.3의 여진도 수차례 발생하 였다. 진도 4.8^{과 진도} 3.3을 관측한 지진 관측소에서 지진계의 바늘의 최대편진폭을 각각 a^lm^,b^lm라고 할 때, ;bA;의 값은?

(3점)

① 10^'1^å0 ^② 15^'1^å0

③ 20^'1^å0 ^④ 25^'1^å0

⑤ 30^'1^å0

18^.. ^다항식f(x)가 다음 두 조건을 만족할 때, f(3)^{의 값을 구하}

시오. (3점)

19^.. ^{크기가 각각} 3, 6^{인 두 벡터}a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 일 때, lim_x_⁄₀ ^{의 값을 구하시오.} ^(4점)

20^.. 직선으로 되어 있는 해안선을 따라 10km ^{떨어진 두 지점} A^,B^{에서 직선} AB^{와 평행하게} 800m/분의 속력으로 항해하는 배까지의 거리를 측정하였다. 처음 거리를 측정할 때, A^{에서 측}

정한 거리와 B에서 측정한 거리의 차가 8km^{였다. 그로부터} 20

분 후 다시 측정하였더니 역시 거리의 차가8km^였다.

이 때, 해안선에서 배까지의 최단 거리는 k^'3 km^{이다. 상수} k

의 값을 구하시오. (4점)

21^.. ^확률변수 X^{는 정규분포} N (m, ^r€)^{을 따른다.}^;6!;X^{의 분산}

이 1^이고 P (X^{35)=P(X^}65)^{일 때,}m+^{r의 값을 구하시}

오. (3점)

10km 800m/분,

A B

|2a¯+4xb¯|-|b¯|

111111232x

1p3

단답형

최대편진폭,

13m＝0.001mm

Ⅰ. _xlim_⁄¶ =3 ^Ⅱ.lim_x_⁄₂₁₁₁₁₂f(x€ -4) =4 f(x) x-2

11112322x€ -2x-3

(6)

22^.. 1^{x<100^{이고 방정식}logx€ -[logx€ ]=2log^;x!;-2^[log^;x!;]

을 만족하는 모든x의 값들의 곱을 구하면10^;aB;^{이다. 이 때,}a+b

의 값을 구하시오. (^단,a^,b는 서로소인 자연수이고[x]^는x^보다

크지 않은 최대의 정수이다.) ^(4점)

23^.. ^자연수 n^{에 대하여} n^행에 1^열부터 n열까지 차례로 다음 그 림과 같은 규칙으로 나열하였다.

이 때, 7^{열에서 그 값이}7인 행의 개수를 구하시오.

(^단,[x]^는x보다 크지 않은 최대의 정수) ^(3점)

24^.. ^{두 함수} f(x), g(x)가 모두 기함수일 때 합성함수g( f(x))

에 대하여 :-

;4A;

;2A; g( f(x))dx=A, ^:

;4a

A; g( f(x))dx=B

라 하면 :

;2a

A; g( f(x))dx=xA+yB가 성립한다. 이 때, 두 실수

x, y^{에 대하여}x€ +y€^{의 값을 구하시오.} ^(4점)

25^.. 인터넷으로 통장의 돈을 이체하기 위해서는 4^{자리의 통장 비}

밀 번호가 반드시 필요하다. 만일 통장 비밀 번호를 연달아5^번

잘못 입력하면 더 이상 인터넷 뱅킹을 할 수 없게 된다. 그런데, 철수는 그만 자신의 통장 비밀 번호를 잊어버렸다. 통장 비밀 번 호에 대해 철수가 알고 있는 것은 자신의 비밀 번호가0^{으로 시}

작하지 않고, 비밀 번호의 일의 자리 숫자는 5^{, 백의 자리 숫자}

는2^{이며, 비밀 번호가}9로 나누어떨어진다는 것이다. 철수는 자 신이 알고 있는 사실에 근거하여, 비밀 번호로 가능한 4^{자리 수}

를 모두 나열한 다음에 그 중에서 하나씩 선택해서 입력해 보기 로 하였다. 이 때, 철수가 옳은 통장 비밀 번호를 입력해서 인터 넷으로 통장의 돈을 이체할 수 있을 확률은;bA;이다. a+b^{의 값을}

구하시오. (^단,a^,b^{는 서로소인 자연수}) ^(4점)

3행, 2행, 1행, 1

2 1

3 1 1

4행, 4 2 1 1

5행, 5 2 1 1 1

1열, 2열, 3열, 4열, 5열,

n행, 1 n

2 n

3 n

n n n열,

(7)

26^.. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (3점)

① ㄱ ② ㄴ

③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

27^.. 평면 위를 움직이는 점P^{의 시각}t=0^{에서의 위치를} (^'3, 1)^{, 시각}t (t^}0 )^{에서의 위치를}(x, y)^{라 할 때,}

¶ •=^¶ ^•¶ ^•

인 관계가 있다고 한다. t=1^{일 때 점} P^{의 속도벡터} v¯^가x^축과

이루는 각의 크기h의 값은? (^단,0<^h<^p) ^(4점)

① ② ;6“;

③;4“; ④;3“;

⑤;2“;

28^.. ^극한 lim_x_⁄₀^;x!;ln ^{의 값은?} ^(4점)

① -n ^②-1

③1 ^④n

⑤2n+1

29^.. 다음은 세 양의 실수 a, b, c^가 ^;2!;<a<b<c^{를 만족할 때,}

세 수a^å, b^∫, c^ç의 대소를 비교하는 과정이다.

위의 과정에서 ㈎, ㈐, ㈒에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

(3점)

① lnx-1^{, 극대, 증가}

②lnx^{, 극소, 감소}

③lnx^{, 극대, 감소}

④lnx+1^{, 극소, 증가}

⑤lnx+1^{, 극대, 증가}

30^.. ^{좌표공간의 세 점}(x, 0, 0), (x, 2Æ , 0), (x, 0, 2Æ )^{을 꼭지}

점으로 하는 삼각형이x=0^에서x=1까지 연속적으로 이동할 때 생기는 공간도형의 부피는 이다. 이 때, 두 자연수 p, q^의

곱pq의 값을 구하시오. (^단,p, q^{는 서로소}) ^(4점)

112plnq2

단답형

eÆ +e‹ Æ +eﬁ Æ +^y+e^[€^{« —⁄ ]}Æ

1111111111225e€ Æ +e› Æ +eﬂ Æ +^y+e€^« Æ

1312p

'3 1-t€ 2t 1

-2t 1+t€

xy

미분과 적분

f(x)=xÆ (x>0)^{이라 하면}

ln f(x)=xln x, f'(x)=xÆ (^,l㈎Ll.)

이므로 x=^{,l㈏Ll.에서} ^{,l㈐Ll.이고,}0<x<^,l㈏Ll.에

서,l㈑Ll.하며x>^{,l㈏Ll.에서}^{,l㈒Ll.하므로} a^å<b^∫<c^ç

ㄱ. lim_x_⁄₀ =1 ^ㄴ.lim_x_⁄₀ =^;2!;

ㄷ. lim_x_⁄₀₁₁₁₂e^|x|-1 =1 x

1-cos|x|

11111x€

sin|x|

1113x

<보기>

(8)

26^.. ^다음은 20일 동안 학교에 가는데 걸리는 시간을 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다.

학교에 가는데 걸리는 시간의 평균을 m^{, 중앙값을} n^{, 최빈값을} f라 할 때, 다음 중 옳은 것은? (4점)

① m<n<f ^② m<n=f

③ n<m<f ^④ n<m=f

⑤ m=n=f

27^.. 어느 마을에서 고추를 재배하는 농가는 전체의 ;3!;, 인삼을

재배하는 농가는 전체의 ;6%;이고, 고추와 인삼을 재배하는 농가 는 전체의 ;4!;이다. 이 마을에서 12개의 농가를 임의로 추출할 때, 이 농가 중에서 고추 또는 인삼을 재배하는 농가의 수를 확 률변수 X라고 하자. 이 때, X^{의 평균은?} ^(3점)

① 7 ^② 8

③9 ^④10

⑤11

28^.. CD 플레이어를 생산하는 어느 공장 에서는 공정 과정에서 1%^{의 불량률이}

발생한다고 한다. 이 공장에서 생산되는

CD ^{플레이어 중에서} 99^{개를 임의로 추}

29^.. n개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수의 최대값을 확률변수X^{라 하면}X^{k (k=1, 2, ^y, 6)^{일 확률}

P (X^{k) =^{,lL.이므로}X=k^{일 확률}P (X=k) =^,lL.이다.

이 때, P (X=2)^{의 값은?} ^(3점)

① ;6!; ②;1¡0;

③;1£0; ④;2¡1;

⑤;2¢1;

30^.. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이 가1^{인 정삼각형} ABC^{가 있고, 각 꼭}

지점 위를 화살표 방향으로 움직이는 점 P가 있다. 한 개의 주사위를 던져 서 나오는 눈의 수가 m^{이면 점} P^를

정삼각형 ABC^{의 변을 따라} m^만큼

움직인다. 점A^{에서 출발한 동점}P^{가 주사위를}n^{번 던진 후}A, B, C에 있을 확률을 각각a«, b«, c«^{이라 하면}a«≠¡=pa«+qb«+rc«

이 성립한다. 이 때, ;pq!r;의 값을 구하시오. ^(4점)

B C

A P

단답형

¡¶

n=1

확률과 통계

줄기 잎

2 4 6 8 8

3 0 0 2 4 4 6 6 6 8 8

4 0 2 2 4 6 8

(^{줄기 단위：}10^{분, 잎 단위：}1^분)

z P(0^{Z^{z) 1.50 0.43 1.75 0.46 2.00 0.48

<표준정규분포표>

수리 영역

수리 영역

( )반 ( )번 성명 ( )

가 형 100분 100점

단답형

단답형

미분과 적분

단답형

확률과 통계

가 형 ^100분 ^100점