수리 영역

1 16

1.

^ × ^



의 값은? 1)

[2점][2007년 10월]

① ^ ②  ③ ^ ④  ⑤ ^

2.

^{두 포물선} ^   와 ^ 가 초점을 공유할 때, 상수

의 값은? ²⁾

[2점][2007년 10월]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

3.

행렬 



  ^{ }



일 때, ^{ }^{ }를 간단히 하면? (단, 는 단위행렬이다.) 3)

[3점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤  

4.

. 세 점 O , A , B 을 잇는 직각삼각형 AOB에서 세 내적값   에 대하여   AO ∙ AB,   BA∙ BO,

  OA∙ OB의 크기를 바르게 비교한 것은? 4)

[3점][2007년 10월]

①      ②      ③     

④      ⑤     

5.

^{분수부등식} _

  

    

  의 정수해의 개수는? 5)

[3점][2007년 10월]

① 개 ② 개 ③ 개 ④ 개 ⑤ 개

대전광역시교육청 주관

2008학년도 대학수학능력시험 10월 모의평가 문제지

수리 영역

가 형 제 2 교시

성명

1

수험 번호

2 ^{가 형 수리 영역}

6.

함수    log_일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 은 자연수이다.) 6 )

[3점][2007년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. ^{  }일 때,     이다.

ㄴ. ^{  }일 때, ^



^





    이다.

ㄷ. 수열  ^_{은 등차수열이다.}

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7.

무리방정식



^  ^   에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 7)

[3점][2007년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.    

일 때, 실근은 존재하지 않는다.

ㄴ. _^{   }일 때, 서로 다른 두 실근이 존재한다.

ㄷ.^{    }일 때, 실근이 오직 하나만 존재한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8.

다음은 어느 이차곡선을 작도하는 과정이다.

[1단계] 정점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원  를 그리고, 원 밖의 한 점 Q를 잡는다.

[2단계] 동점 R은 원  위를 움직인다.

[3단계] 두 점 P와 R를 지나는 직선 과 ^QR의 수직이등분 선 이 만나는 점을 O라 하자.

위 과정에서 점 O의 자취가 그리는 이차곡선에 대하여

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 8)

[3점][2007년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. ^OP와 ^OQ의 길이의 차는 일정하다.

ㄴ. 점^Q는 이차곡선의 초점이다.

ㄷ. 작도된 이차곡선을 반사거울로 생각하고, 점^P에서 이 곡선 위로 빛을 쏘면 점 ^Q를 지난다.

① ㄷ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수리 영역 ^{가 형} 3

3 16

9.

함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, <보기>에서 옳 은 것을 모두 고른 것은? ⁹⁾

[3점][2007년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.^{  }일 때, ^{′}는 항상 양수이다.

ㄴ. 함수^의 도함수^{′}는 연속함수이다.

ㄷ. 함수    

 는^{  }에서 미분가능하다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

^구 ^ ^ ^ ^ 위의 세 점 A^   , B ^   , C   에 대하여, 선분 AB를 포함하면서

 평면에 수직인 평면 가 있다. 또한, 점 A를 지나는 평면

위의 직선이 구와 만나는 점을 P라 하자. ^AP ^일 때, 평면 ACP와  평면이 이루는 각을 라면 cos^의 값은? 10)

[4점][2007년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





11.

연립일차방정식



    

       이   ,   이외의 해 를 갖도록 하는  에 대하여,   의 최대값은? 11)

[3점][2007년 10월]

① ^ ②  ^ ③ 

④ ^ ⑤  ^

12.

두 함수       ,     일 때,   

라 하자. 함수   에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 는 를 넘지 않는 최대 정수이다.) 1 2)

[3점][2007년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.^{  }에서 함수값은^이다.

ㄴ.^{  }에서 극한값은^이다.

ㄷ. 모든 정수에서 불연속이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. lim

→∞



    



^

^







^ 일 때,   의 값은? 13)

[3점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4 ^{가 형 수리 영역}

14.

다음은 _  _   _{  } _ _{  }     ⋯인 수 열



_



의 일반항을 구하는 과정이다.

_{  } _ _{  }에서 _{  } _{  } _ …㉠

_{  } _{  }   _{  }  _이라 하면,

_{  }   _{  }  _ …㉡

㉠과 ㉡에서        을 얻을 수 있다.

 는 이차방정식 (가) 의 두 근이다.

∴  

 ^

   

 ^

또는 _{  }



 ^

   

 ^

_{  } _{  }   _{  }  _에서

수열



^    _



^{은 첫째항이 }  _공비가 인 등비수열 이다.

_{∴   } _ _  _ ^{  } (1) _{  }



 ^

   

 ^

∴ _{  } 

 ^

_ (나) …㉢

(2) _{  }



 ^

   

 ^

∴ _{  } 

 ^

_ (다) …㉣

㉣ - ㉢을 하면, ∴ _ 

^

 (다)  (나) 이 된다.

위의 풀이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 14)

[3점][2007년 10월]

(가) (나) (다)

① _^     



^

 ^



^



^

 ^



^

② ^     



^

 ^



^



^

 ^



^{  }

③ _^     



^

 ^



^



^

 ^



^

④ _^     



^

 ^



^



^

 ^



^{  }

⑤ _^     



^

 ^



^



^

 ^



^

15.

아래 그림은 함수    log_ 의 그래프이다. 에 대한 방정 식  log_     의 세 실근의 비가     일 때, 세 실근의 합은? ¹⁵⁾

[4점][2007년 10월]



   log_ 

① _



^

② ^ ③ _



^

④ ^ ⑤ _



^

16.

함수  ^   의 그래프와 원 ^   ^     이 서로 접하고 있다. 아래 그림에서 어두운 영역을 축 둘레로 회 전시켰을 때 얻어지는 입체의 부피는 _



π이다. 이 때,   의 값은? (단,   는 서로소인 자연수이다.) ¹⁶⁾

[4점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수리 영역 ^{가 형} 5

5 16

17.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 OA_B_C_에서

∠O의 등분선이 ^A_B_ B_C_과 만나는 점을 각각 P_ Q_이라 하자. 점 O가 중심이고 ^OP_을 반지름으로 하는 부채꼴 OP_Q_을 그린다. [그림]에서 도형 B_Q_P_의 넓이를 _이라 하자. 호 P_Q_의 중점 B_, ^OA_ // ^C_B_인 ^OC_ 위의 점 C_,

OC_ // ^A_B_인 ^OA_ 위의 점 A_, 점 O를 꼭지점으로 하는 정사각형 OA_B_C_를 그린다. ^OP_과 ^A_B_가 만나는 점을 P_, OQ^_과 ^B_C_가 만나는 점을 Q_라 하자. 점 O가 중심이 고 ^OP_를 반지름으로 하는 부채꼴 OP_Q_를 그린다. [그림] 에서 도형 B_Q_P_의 넓이를 _라 하자. 이와 같은 과정을 계속 할 때,



  

∞

_의 합은? 17)

[4점][2007년 10월]

…

[그림1] [그림2] [그림3]

①     ②    ③ ^_{  }





④  ^_{  }^ ⑤  ^_{  }^

단답형

18.

등식 _{  }



^{    } _{  }



^{  }가 성립할 때, 상수  의 값을 구하시오. 18)

[3점][2007년 10월]

19.

수열



^



의 계차수열은 공비가 _



인 등비수열이다.

  



∞

_ 일 때, _의 값을 구하시오. 19)

[3점][2007년 10월]

20.

아래 그림과 같이 크기별로 가지 종류의 반원이 개 있다.

A지점에서 출발하여 B지점을 거쳐 다시 A지점으로 돌아올 때, 반원을 크기별로 적어도 한 번 이상 지나오는 최단거리의 방법 의 수를 구하시오. ²⁰⁾

[3점][2007년 10월]

6 ^{가 형 수리 영역}

21.

아래 그림과 같이 삼차함수   ^  의 그래프와 직선

  가 제사분면 위의 서로 다른 두 점 P  Q에서 만난다.

이 때, 세 점 A  P Q를 꼭지점으로 하는 ∆APQ의 넓이 가 최대가 되게 하는 양수 에 대하여 의 값을 구하시오.21)

[4점][2007년 10월]

P

Q

A

22.

아래 그림과 같이 정육각형 OABCDE의 변 BC를 등분한 점을 P_ P_…P_라 하자. ^OA  OE 라 할 때,

  



 OP_k     가 성립한다. 이 때, 두 실수  에 대하여

  의 값을 구하시오. 22)

[4점][2007년 10월]

23.

부터 까지의 자연수에서 크기가 인 표본을 임의추출하 여 순서쌍 _ _ _ _로 나타낸다. 서로 다른 순서쌍을 모두 구하여 각각을 __…_라 하자.

순서쌍 _(     … )에 속한 모든 성분의 합을 _라 할 때,



  





_

의 값을 구하시오. 23)

[4점][2007년 10월]

24.

아래 그림과 같이 높이가 cm이고 밑면의 반지름의 길이가

cm인 직원기둥 모양의 그릇에 물을 가득 채운 후, 그릇의 밑 면이 수평면과 °가 되도록 기울였다. 수면의 넓이를

^   ^  cm^라 할 때,  의 값을 구하시오. 24)

[4점][2007년 10월]

cm cm

수리 영역 ^{가 형} 7

7 16

25.

세 사람 가 한 번 의 시행으로 승부를 결정하는

‘가위, 바위, 보’ 게임을 하려 고 한다. 오른쪽 표는 이 세 사람이 게임을 할 때 ‘가위, 바위, 보’를 낼 각각의 확률을 나타낸 것이다. 가 혼자 이

겼다고 할 때, ‘보’를 내어 이겼을 확률은 _



이다. 이 때,    의 값을 구하시오. (단,   는 서로소인 자연수이다.) ²⁵⁾

[4점][2007년 10월]

미분과 적분

26.

함수   ^{ln }  에 대하여 ′의 값은? 26)

[3점][2007년 10월]

①  ② _



 ③  ④  ⑤ 

27.

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC 에서 ∠A  ^∘ AB 이다. 꼭지점 A로부터 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H,

∠B  라 할 때,

lim

 →  · ln  

CH 의 값은? 27)

[3점][2007년 10월]

①  ②  ③ _



 ④  ⑤ 

  

가위 _













바위 _



 

 



보 _



 

 



8 ^{가 형 수리 영역}

28.

아래 그림은 밑면 PQRS가 정사각형인 사각기둥에 대한 전 개도이다. 옆면의 대각선의 길이가 일 때, 사각기둥의 부피가 최대가 되게 하는 밑면의 한 변의 길이는? ²⁸⁾

[4점][2007년 10월]

① _



 ② _



^ ③  ④ _



^ ⑤ _



^

29.

두 수열



_



^



_



^{이 각각}



_{  } _



^  _^ 

_^ 









^{   }_{ }

_

  _^

_

_^

로 정의된다. 다음은 모든 자연수 에 대하여   __≦ 이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(1) 수열



^



의 일반항을 구해보자.

_ tan_ °  _ °이라 하자.

_{  } tan_ sec_ cos_

  sin_ 을 sin_ sin 

_ cos

_n

, cos_ cos^

_

 sin^

_ 임을 이용하여 정리하면, _{  } (가) 이다.

따라서 _ °, _ °, _ °,…이므로

_ °  ^{  }

° 이 된다.

∴_ tan



^{°  }^{  }

°



^{ cot}



^^{  }

°



^…㉠

(2) 수열



_



의 일반항을 구해보자.

_ tan_ °  _ °이라 하자.

_{  }   sec_ tan_

 (나) 이다.

따라서 _ °, _ °, _ °,…이므로

_ ^{  }

° 이 된다. ∴_ tan



^^{  }

°



^…㉡

_ ^{  }

° 라 하면, ㉠과 ㉡에 의하여 __   tan^_

 이

된다.

∴모든 자연수 에 대하여   tan_≦ (다) 이므로

  __≦ 이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 29)

[4점][2007년 10월]

(가) (나) (다)

① _tan



^

°  _



^{tan }

_

^



② cot_ tan



^{°  } ^

③ _tan



^

°  _



^tan

^

^{°   }

④ cot_ tan 

_

^



⑤ _tan



^

°  _



^tan

^

^{°   }^



수리 영역 ^{가 형} 9

9 16

단답형

30.

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 m인 구를 반으로 자른 모양의 그릇에  m^초의 속도로 물을 채우려고 한다. 수면 의 높이가 _



m가 되는 순간에 수면의 상승속도를 라고 할 때, 의 값을 구하시오. 3 0)

[4점][2007년 10월]

m

확률과 통계

31.

명의 학생이 대학수학능력시 험 월 모의평가 수리영역 가형 에서 얻은 점수를 조사하여 만든 줄기와 잎 그림이다. 이 자료에서 중앙값을 , 최빈값을 라고 할 때,   의 값은? 31)

[3점][2007년 10월]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

32.

확률변수 는 확률밀수함수

  ^

 ^{ }

  ^

인 정규분포를 따른다고 할 때, 확률 P  ≦≦ 를 구한 것은? ³²⁾

[3점][2007년 10월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

줄기 잎

   

    

     

        

      

     

    

(단, 줄기단위:, 잎단위:)

 P  ≦≦ 

 

 

 

 

10 ^{가 형 수리 영역}

33.

대전시는 국제컨벤션센터 유치 여부에 대한 시민들의 생각을 알아보기 위해 명을 임의추출하여 여론조사를 실시하였더니 그 중에 명이 찬성하였다. 모비율과 표본비율의 차가  이 하가 되도록 신뢰도 로 신뢰구간을 구하려고 한다. 이 때, 표본의 크기의 최소값은? (단, P ≦≦   이다.) 33)

[4점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

34.

트럼프 카드는 모두 장으로 이루어져 있다. 무늬는 스페이 드(♠), 다이아몬드(◆), 하트(♥), 클로버(♣) 종류가 있다.

각 무늬마다 A   …  J Q K 장이 있다. 카드 장 중 에서 장을 임의로 뽑을 때 모두 같은 무늬인 경우를 ‘플러쉬’

라 하고, 숫자 다섯 개가 연속일 때 ‘스트레이트’라 한다. 또한 플러쉬이며 스트레이트가 동시에 일어나는 경우를 ‘스트레이트 플러쉬’라 한다. 스트레이트플러쉬가 일어날 경우의 수는? (단, A  , J  , Q  , K  으로 취급하고,  다음 수는  로 간주한다. 예를 들어 J Q K A 도 연속된 수이다.) ³⁴⁾

[4점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

단답형

35.

명의 가족이 함께 산에 놀러갔다. 정원이 명인 케이블카가 있다. 이 가족이 한 줄로 서 있을 때, 케이블카를 가족 전체가 같이 탈 확률은 _



이다. 이 때,   의 값을 구하시오. (단,

 는 서로소이고, 케이블카는 명이 채워질 때만 운행한다.) 35)

[4점][2007년 10월]

수리 영역 ^{가 형} 11

11 16

이산수학

36.

개의 각 나라 사이에 직항로를 개설하기로 하였다. 어느 한 나라에 개설된 직항로의 개수를 , 개 나라 사이의 모든 직항로의 개수를 라 할 때,   의 값은? 36)

[3점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

37.

어느 대학생이 영국으로 배낭여행을 떠났다. 아래의 그림과 같은 모양으로 생긴 영국의 유명 도시 6곳 A B C D E F 모 두를 빠짐없이 여행하려고 한다. 같은 곳을 두 번 여행하지 않 고 가장 짧은 거리로 여행할 수 있는 방법의 경로는? (단, 그림 에 표시된 수는 도시와 도시간의 거리이다.) ³⁷⁾

[3점][2007년 10월]

A B

C

D E

F























① A → B → C → D → E → F ② A → B → E → C → D → F

③ A → C → D → E → B → F ④ A → C → B → E → D → F

⑤ A → D → C → E → B → F

38.

영어 알파벳 A  B  C  … Z에 십진법의 수 부터 에 해당하는 이진법의 수 _ _ … _을 순서 대로 대응시킨다. 어떤 이진법의 수 와 의 각 자리수를 비교 하여 서로 같으면 , 다르면 을 그 자리에 대응시켜 얻은 이 진법의 수를  ∧ 라 하자. 각 알파벳에 대응하는 이진법의 수 를 과 연산(∧)하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화한다. 암호문 _에 해당되는 알파벳은? 3 8)

[4점][2007년 10월]

① B ② N ③ R ④ W ⑤ Z

12 ^{가 형 수리 영역}

39.

어느 국제회의에서 개국 A B C D가 안건의 결정권이 있 고, 투표 권한은 각각 표, 표, 표, 표이다. 이 회의에 제안 된 안건이 통과되려면 표 이상의 찬성이 필요하다. 개국 A B  C D가 각각 투표에 미치는 영향력에 대하여 <보기>에 서 옳은 것을 모두 고른 것은? 39)

[4점][2007년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. 영향력이 인 국가가 있다.

ㄴ. B와 C가 투표에 미치는 영향력은 같다.

ㄷ. 각 국가의 투표 결과로 나올 수 있는 모든 경우는 

가지이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

40.

어느 양궁선수가 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 과녁 에 개의 화살을 쏘아 모두 맞춘다고 하자. 과녁에 꽂힌 개 의 화살 중 두 개의 화살 사이의 거리가 ^ 이하인 것이 반 드시 존재하기 위한 의 최대값을 라 할 때, 의 값을 구하 시오. ⁴⁰⁾

[4점][2007년 10월]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

수리 영역 ^{가 형} 13

13 16 2007년 10월 모의고사 대전교육청 가형 해설지

1 ② 2 ① 3 ② 4 ⑤ 5 ③

6 ④ 7 ③ 8 ② 9 ③ 10 ⑤

11 ⑤ 12 ① 13 ④ 14 ① 15 ②

16 ① 17 ④ 18 130 19 10 20 16 21 15 22 45 23 14 24 84 25 19

미분과적분

26 ③ 27 ④ 28 ⑤ 29 ① 30 16 확률과통계

31 ④ 32 ③ 33 ① 34 ② 35 10 이산수학

36 ③ 37 ① 38 ④ 39 ② 40 45

1) ②

^ × ^



 ^



× ^



  2) ①

포물선 ^   의 초점은   이고, 포물선 ^ 의 초점은   이다. ∴  

3) ②

^{ }_{ }

 





^{ } ^{ }







^  ^





^{ }^{ }  ^ ^{ }^이고

^{ }이므로 ^이다.

∴^{ }^{ }   4) ⑤

점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 이라 하면

  ∙   cos∠

 × 

  ∙  

  ∙   cos∠

 × 

∴     ∵   

5) ③

  

    

  의 양변에   ^  ^을 곱하여 정리하면

    ^     

^       ^   이므로

      이 된다.

∴      6) ④

ㄱ.   일 때,   이다. 따라서     이면

  이고   이면   이다. (거짓) ㄴ. 



^





^{ log}

  log_  log_  log_      (참) ㄷ. ^  log_^ log_^^  log_^ (참)

7) ③

무리방정식



^  ^   은 함수  



^  ^와     의 교점의

좌표이다. 함수  



^  ^의 그래프는 원점이 중심이고 반지름의

길이가 ^인 원의 상반부이다. 직선과 반원은   

일 때, 만나지 않고,

  

일 때, 접하게 되고, 

  ≦ 일 때, 서로 다른 두 점에서 만나고,

  일 때, 반드시 한 점에서 만나게 된다.

∴ 옳은 설명은 ㄱ,ㄷ이 된다.

8) ②

점 O의 자취를 그려보면 다음과 같은 쌍곡선이 된다.

점는 쌍곡선의 초점이며, OR, OQ의 길이는 같다. 따라서 OP-OR은 항상 일정하다. 점 에서 반대쪽 쌍곡면 점 로 빛을 쏘면 접선을 기준으로 입사각과 반사각이 같게 밖으로 빛이 반사해 나간다. 따라서, 옳은 것은 ㉠, ㉡ 이다.

9) ③

ㄱ. 함수 의 절편을      라 하자.

 











_{ }^_     

 

    ≦ 

로 정의된다.

  일 때, ′  

이다.

  이므로 ′  

 가 된다.

∴   일 때, ′ 이다. (참) ㄴ.

lim

→  

  

 

 이고

lim

→  

  

 

 이다.

는   에서 극한값이 존재하지 않는다.

∴함수 의 도함수 ′는   에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ. ′ 

lim

→

  

  





lim

→  

 



lim

→  

 

   이 된다.

∴함수     

 는   에서 미분가능하다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

10) ⑤

점 의 평면으로의 정사영을 라 하자.

∆는 ∠ 인 직각이등변삼각형이다.

그리고  ^  ^이다.

  이고 ∆는 이등변삼각형이다.

_∆_{ }



×^_{ × }

^

^

 

^

_∆_{ }



×^_{ ×  }



^

14 ^{가 형 수리 영역}

_cos _{ cos  }

^



∴ cos^  



11) ⑤

연립일차방정식을 행렬로 나타내면



  ^{ } 

  

^ 

 

^

     이외의 해를 가지려면



  ^  ^



의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

∴  ^      ∴ ^     

^   ^ 이므로 점  가 나타내는 도형은 중심이  , 반지름의 길이가 인 원이다.

점  에서 직선     까지의 거리는  ≦ 이어야 하므로

  ^

     

≦ 이다.

∴ ^ ≦  ≦  ^

∴ ^ ≦    ≦  ^

∴  의 최대값은  ^ 12) ①

ㄱ.      ×    ∴참 ㄴ.

lim

→



lim

→



 

lim

→



lim

→

   ×    ∴거짓 ㄷ. 거짓∵  에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ 13) ④

lim

→∞_{    }



^{ }_

^



lim

→∞

 

^{  }





^{  }

 



^{  }

⋯



^{  }





^





lim

→∞



  





^{  }

․





_^{   }







^  ∴     

14) ①

(가) : ^     

(나) : 

 ^

^

(다) : 

 ^

^

15) ②

함수   log_와     의 그래프를 방정식 log_    의 세 실근의 비가     가 되도록 그려보면 아래와 같다.

세 실근의 비가     이므로 세 실근을    라 하자.

는   log_와     의 교점의 좌표이고,와 는

  log_와     의 교점의 좌표들이다. 따라서

 log_    …①, log_    …②, log_    …③ 을 얻을 수 있다.

②-① : log_^ …④

③-① : log_^ …⑤

④와 ⑤에서 log_^ log_^을 얻을 수 있다.

따라서 ^ ^이 된다.

  이므로   

^

이 된다.

∴세 실근은 

^

^_{  }



^

이므로, 그 합은 ^ 이다.

16) ①

원의 중심 에서 직선  ^ ││까지의 거리가 1이기 때문에

∴   . ^   ^ 와 직선을 연립으로 풀면

∴   

.

V직선 



_^{}_^{ =} 

π

중심을 원점으로 평행이동을 통해 부피를 구해보면 V_원 



_^    ^ = π

_{   }^_{ }



^









=

π

∴ V V_직선 V_원= 



∴     

17) ④

_{   }



×  × ^

 ×   





^^





^{× }



   

^

 



  정사각형___대각선^

정사각형___대각선^

 ^ ^



^^





^

 



  



∞

_   

_

 

  



  

^

 



  ^_{  }





18) 130

_ ^ 라 하자. _{  }



^{   … 이고}

수리 영역 ^{가 형} 15

15 16

  





^  _ _… _이므로





  



^ 



  



^  _ _ ^   ^   

19) 10

_ __{  }^{  }



^{ }_^{  }

 _ _ _ _

^{  }

  



∞

_  ∴

lim

→∞

_ 

lim

→∞



^{ } _ _ _

^{  }



^{ }

∴ _ 

_

_ _ _

^{  } _

^{  }

∴



  

∞

_  



  

∞

_

^{  }

  

  

_

∴ _ 

20) 16

반원 1종류:1가지, 반원 2종류:2가지 반원 3종류:4가지, 반원 4종류:8가지 반원 5종류 : 16가지

∴ (가지) 21) 15

원점 O를 통과하는 직선을   (단,   )이라 놓으면

^    에서 ^     이다.

여기에서   이므로 ^     이다.

^     의 서로 다른 두 양의 근을   (  )라 하면

     이므로     



∆APQ의 넓이를 라 하면

∆OAQ ∆OAP

 

․․  

․․  

  

   



^  ^  ^  

∴_{ }







^ ^ ^

여기에서     ^ ^이라 하면,     

에서

    ^ ^의 최대값을 구해보자. ′    

이므로 넓이 는   

일 때, 최대값 

^

을 갖는다 따라서    × 

 

22) 45

아래 그림에서 OB  , OC  이다.

점 P_k는 선분 BC를     로 내분하는 점이므로

OP_k     

  OB OC

 

   

  



 OP_k  _{  }



^{ }   _ 

_{  }



^{ }_{  }



^{ }_{  }



^{ }_^{ }

   

   

 

     

이므로

   이다.

23) 14



_

_{ }



_

_ … 

_

_라 하면

_ _ … _는 주어진 문제에서 모집단이     …일 때, 크기가

인 표본집단의 평균들이다. 여기에서 표본평균의 평균



__… _

는 모집단의 평균과 같으므로



__… _

 

이다.

∴_{  }



^ 

_

 

_ _ … _

 



^

__…_



^{  × }

  

24) 84

수면의 넓이를 cm^라 하고 수면을 원기둥의 밑면에 정사영 시킨 도형은 아래 그림의 색칠한 부분과 같다. 이 도형의 넓이를 _cm^하라 하자.

_의 넓이는 부채꼴 OAB의 넓이에서 삼각형 OAB의 넓이를 뺀 것과 같으므로

_{ }



․^․

  

․^․sin 

    ^

그런데 __cos^ 에서

 ^   ^

∴     

25) 19

가 가위를 내어 혼자 이길 확률은 

× 보보,

가 바위를 내어 혼자 이길 확률은 

× 가위가위,

16 ^{가 형 수리 영역}

가 보를 내어 이길 확률은 

× 바위바위이다.

따라서  가 승리할 확률 :



× 

× 

+

× 

× 

+

× 

× 

 = 



 가 보를 내어 승리할 확률 : 

× 

× 

 = 



따라서 

 

이다.

∴     

26) ③

  ^ln에서 ln  ln^ 양변을 미분하면 

′

 

ln이다.

따라서 ′  

ln ^ln

ln

∴′  이다.

27) ④

∠B   AB 이므로 AC tan이다.

∠CAH  이므로 CH  ACsin   tan sin이다.

lim

 →  · ln   

CH



lim

 →  · ln  

tan sin



lim

 → 

 sin

· 

tan· ln   

 · 



lim

 → 

sin  ,

lim

 → 

tan  ,

lim

 → ln  

  이므로

lim

 → 

 sin

· 

tan· ln  

 · 





lim

 → 

 sin

·

lim

 →  tan·

lim

 → ln  

 · 

 가 된다.

28) ⑤

PS  ,

(기둥높이)



^  ^,

사각기둥의 부피   ^



^  ^이다.

미분하면

′ 



^  ^ ^



^  ^

 

 



^  ^

  ^  ^

 



^  ^

  ^ V′  의 해는 부피를 최대로 만든다.

∴   

^

29) ① (가)cos_

  sin_

을 정리하여보자.

sin_ sin 

_ cos

_n

, cos_ cos^

_

 sin^

_

분자는



^{sin }

_

 cos

_



^이고

분모는



^cos

_

 sin 

_



^cos

_

 sin 

_



^이므로

cos_

  sin_

=

cos

_

 sin 

_ cos

_

 sin 

_ 이다.

분모, 분자를 cos

_ 로 나누면



  tan 

_

  tan 

_

 

  tan°tan 

_ tan°  tan 

_

 tan



^{°  }

_



(나)  sec_ tan_

   cos_ sin_

에서

sin_ sin 

_ cos

_n ,

cos_ cos^

_

 에 의하여 tan 

_ 이 된다.

(다) _ ^{  }

° 에서 은 자연수이므로   _≦ °을 얻을 수 있다.

따라서   tan_≦ ^

 이 된다.

30) 16

채워지는 물의 양 는

 



_{ }^{    }_^_{  }^_^

 



 



^{  }

^ 





양변을 에 대하여 미분하면





   ^



여기에 부피의 증가량 와 높이가 

이므로

   

를 대입하면

  



^{  }





^



∴

  

이므로    × 

  

31) ④

     ,          32) ③

는  ^에 따른다.

 ≦≦    ≦≦   

  ≦≦     

33) ①

모비율 : , 표본비율 : ,

 

 



    



^

  

 



^



  



 ^

^

^

^

≦  ∴  ≧ 

34) ②

가지 종류의 모양 각각에 대하여 스트레이트 가능성은