단원 : 미적분Ⅱ-극한, 미분, 적분

1.

¹⁾

lim

→∞cos^  sin^ cos^  sin^

를 치역으로 하는 집합의 원소의 개수는?



    



[1999년 경찰대]

2.

²⁾ 함수  가 다음 두 식

      



_^    을 만족할 때,



_{ }^{ } 의 값을 구하면?

[2001년 경찰대]

3.

³⁾ 다음 그림은 다항함수  의 도함수   ′의 그래프이 다. 함수  의 극대점, 극소점, 변곡점의 개수를 차례로 나열 하면?

[3점][2002년 사관학교]







  ′

4.

^{4 )} 두 일차식   ,   를 각각

   



_^{sin  }











cos^ 

  









cos^   











sin^ 

라 할 때, 방정식       의 근은?

[3점][2002년 사관학교]

① _

  

  

② _

  

  

③ _

  

  

④ _

  

  

⑤ _

  

  

5.

^{5 )} 다음의 극한값을 구하면?

[4점][2002년 사관학교]

lim

→∞



^^ ^

^

 ^ ^

^

 ^ ^

^

…  ^ ^

^



①  ln  ② ln  ③ _



ln  ④ _



ln  ⑤  ln 

단원 : 미적분Ⅱ-극한, 미분, 적분

6.

^{6) 부등식}  





^   sin      을 만족하는 양의 정수 을 구하시오.

[4점][2002년 사관학교]

7.

⁷⁾ 폐구간    에서 _{   } cos   sin  

의 최댓값은?

[2003년 경찰대]

8.

⁸⁾ _

lim

 → ∞



^{  }

  

  

 ⋯   





^{ 일 때,}

  





ln_

 의 값은?

[4점][2003년 사관학교]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





9.

^{9 )} 함수    ^ ln 의 역함수를  라 할 때, ′의 값 은?

[4점][2003년 사관학교]

① _



 ② _

  

 ③ _

  



④  ⑤   

10.

^{10) 아래 그림은}  ≦  ≦ π 에서 정의된 함수

    cos    cos  의 그래프이다.

이 때,









   

의 값은?

[4점][2003년 사관학교]







 



 

    



① _



 ② _



^ ③  ④ ^ ⑤ _



^

11.

¹¹⁾ 함수    log



^  

^ 

이 연속인 구간은?

[2004년 경찰대]

①   ∞  ②   ∞

③    ∪  ∞ ④    ∪  ∞

⑤  ∞ 

12.

^삼차함수    ^  ^   이   tan 와   cot

에서 극값을 가질 수 있게 하는 양의 정수 의 값 중 최소인 것은? 1 2)

[2004년 경찰대]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

13.

¹³⁾   의 부정적분  와   의 부정적분  가 다 음 관계식을 만족한다.

    

    

     

    

       일 때,     의 값은? (단, 는 자연로 그의 밑이다.)

[3점][2004년 사관학교]

①   ②  ③    ④    ⑤ 

14.

¹⁴⁾ 수열



^log 

log 



^{의 극한값을 , 수열}

 

^{  }





^



^{의 극한값}

을 라 할 때,   의 값은 ?

[점][2005년 사관학교]

①  ② _



 ③  ④ _



 ⑤ 

15.

¹⁵⁾ 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 OAB에서

AB OA 의 중점을 각각 A_ B_ 이라 한다. 또 ^A_B_ AA_의 중점을 각각 A_ B_ 라 하고, ^A_B_ A_A_의 중점을 각각 A_ B_이라 한다. 이와 같이 ^A_B_ A_{  }A_ 의 중점을 각각 A_{  } B_{ }로 정하는 과정을 한없이 계속할 때,

lim

 → ∞

tan ∠AOA_n의 값은?

[점][2005년 사관학교]

① _



^

② _



^

③ _



^

④ _



 ⑤ _





16.

¹⁶⁾ [보기]의 함수 중

lim

→ 

 의 값이 존재하는 것을 모두 고 른 것은?

[3점][2007년 사관학교]

[보기]

ㄱ.   ^sin 



ㄴ.   



^^{ }^{는 유리수}는 무리수

ㄷ.        

(단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17.

¹⁷⁾ 그림과 같이 모든 자연수 에 대하여 직선   이 함수

 



^





^의 그래프와 만나는 점을 A_, 축과 만나는 점을 B_이라 하자. 사각형 A_B_B_{  }A_{  }의 넓이를 _이라 할 때,

  



∞

_의 값은?

[4점][2009년 사관학교]

 A_

      

B_ B_{  }

A_{  }

 



^





^

O



18.

¹⁸⁾     log_라 할 때, ＜＜에서 방정식 log_





 

_{ }

을 만족시키는 모든 의 값을 가장 큰 수부터 차례대로 나열한 것을 _ _ _ ⋯이라 하자. 이 때, _{  }



^∞의 값은? (단,    는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[4점][2009년 사관학교]

① _



 ② _



 ③ _



 ④  ⑤ 

19.

¹⁹⁾ 모든 실수 에 대하여 두 함수  가

  



    ≠  

     ,   cos

로 정의될 때,

lim

 → 

 ∘  

lim

 → 

 ∘ 의 값은?

[3점][2009년 사관학교]

①   ②  ③  ④  ⑤ 

20.

²⁰⁾ 두 함수     ,   sin  에 대하여 옳은 것만을

<보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,   는 보다 크지 않 은 최대의 정수이다.)

[4점][2011년 사관학교]

ㄱ. 함수  는   에서 연속이다.

ㄴ. 함수  ∘ 는 모든 정수에서 연속이다.

ㄷ. 함수  ∘ 는 모든 실수에서 연속이다.

21.

²¹⁾ 함수 _{    }



ln에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대 로 고른 것은?

[4점][2012년 사관학교]

ㄱ. 함수   의 최댓값은 _



이다.

ㄴ. ^＞^

ㄷ. 열린 구간  에서     의 그래프는 위로 볼록하다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

22.

²²⁾ 그림과 같이   에서 극댓값,   에서 극솟값을 가지는 삼차함수   가 있다. (＜＜)

함수     ^{ }  에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대 로 고른 것은?

[3점][2012년 사관학교]

ㄱ. ′＞

ㄴ. ′  ′ ＞ ㄷ.   ′ ＞

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

23.

²³⁾ 함수      ln에 대하여 등식

^       ′ 를 만족시키는 가 열린 구간

 ^에 존재한다. ln의 값은?

[2점][2012년 사관학교]

① _



 ② _



  

③ _

  



④ _

  

 ⑤ _

  



24.

²⁴⁾ 자연수 에 대하여 _{ }

^

 _{  }



^{  일 때,}

lim

→∞



^ 



^{의 값은?}

[3점][2012년 사관학교]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

25.

²⁵⁾ 수열



_



^



_



^이  이상인 모든 자연수 에 대하여 sin 

   _

_

   _

_

을 만족시킬 때,

^



lim

→∞

^



^ _



^ _



의 값을 구하여라.

[4점][2012년 사관학교]

26.

²⁶⁾ 닫힌 구간 ^

_{ }



 

에서 정의된 함수 _{  }

  sin  sin 

에 대 하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2013년 사관학교]

ㄱ.  ≥ 

ㄴ. ′  인 가 열린 구간



^{ }





^{에 존재한다.}

ㄷ. 함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의 넓 이는    ln 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

27.

²⁷⁾   에서 정의된 함수 _{  }

^

ln ^

에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?



^단 →∞

^lim

^

ln ^

 이다



[4점][2013년 사관학교]

ㄱ.   ^에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ.   에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ.   에서 방정식   의 실근의 개수는 이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

28.

²⁸⁾

lim

→ 

  ^ cos^

의 값은?

[2점][2013년 사관학교]

① _



 ② _



 ③  ④  ⑤ 

29.

²⁹⁾

lim

→∞

_{  }



^



^{ }



^





^{의 값은?}

[3점][2013년 사관학교]

①    ②    ③   

④    ⑤   

30.

³⁰⁾ 함수  



        ≤ 

     에 대하여

  







_{ }^{ }_ ^{의 값은?}

[4점][2014년 경찰대]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





31.

³¹⁾

lim

→

^ 

ln  의 값은?

[2점][2014년 사관학교]

① _



 ② _



 ③  ④ _



 ⑤ 

32.

^{32) 두 연속함수}  에 대하여 두 수열



^



^



^



^{을 다음} 과 같이 정의하자.

_







   _



  



      ⋯

 ^      일 때, _ _의 값은?

[3점][2014년 사관학교]

①  ② _



 ③ _



 ④  ⑤ _





33.

³³⁾ 두 함수   ^^      ^{ }^   는 각 각       에서 극댓값을 갖는다. 두 함수  의 극솟값을 각각 _ _라 할 때, _ _의 값은? (단,  는 상수이다.)

[4점][2014년 사관학교]

①   ②     ③  ④    ⑤ 

34.

³⁴⁾ 그림과 같이 곡선 _{  sin }



  ≤  ≤ 와 직선   

    가 있다. 곡선 _{  sin }



와 직선    축으로 둘 러싸인 부분의 넓이를 _ 곡선 _{  sin }^와 직선   로 둘러 싸인 부분의 넓이를 _라 하자. _ _일 때, 상수 의 값은?

[3점][2014년 사관학교]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





35.

³⁵⁾ 모든 실수 에서 미분가능하고 역함수가 존재하는 함수

에 대하여

lim

→  

  

 



lim

→  

  

  가 성립한다. 함수 의 역함수를 라 할 때,

lim

→  

  의 값은?

[3점][2014년 사관학교]

① _



 ② _



 ③  ④  ⑤ 

36.

³⁶⁾  ≤  ≤ 에서 정의된 함수 _{  } sin    cos 

에 대하여 곡선

  와 축, 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 _ 곡선

  와 축 및 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이를 _라 하자. __의 값은?

[4점][2014년 사관학교]

① _{ln }^ ② _{ln }^ ③ _{ ln }^

④ _{ ln }^ ⑤ _{ ln }^

37.

³⁷⁾ 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위 를 움직이는 점 C가 있다. 호 BC의 길이를 이등분하는 점을 M 이라 하고, 두 점 C M에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 각각 D N이라 하자. ∠CAB  라 할 때, 사각형 CDNM의 넓이를

라 하자.

lim

→  ^



 일 때, 의 값을 구하여라.

(단, 점 C는 선분 AB의 양 끝점이 아니다.)

[4점][2014년 사관학교]

38.

³⁸⁾ 함수    sin 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대 로 고른 것은?

[4점][2014년 사관학교]

ㄱ. 함수 는   에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. 직선   는 곡선   에 접한다.

ㄷ. 함수 가   에서 극댓값을 갖는 가 구간



^

 





^{에 존재한다.}

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

39.

³⁹⁾ 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎  ≤   일 때,   ^ 이다.

㈏ 모든 실수 에 대하여          이다.







의 값은?

[4점][2014년 사관학교]

①    ②    ③   

④    ⑤   

40.

⁴⁰⁾ 자연수 에 대하여 직선   이 두 함수   log_,

  log_의 그래프와 만나는 점을 각각 A_, B_이라 하자. 삼각 형 _{AB  B}과 삼각형 _{AA  B  }의 넓이를 각각 _, _이라 할 때,

lim

→∞_

_

의 값은?

[4점][2015년 경찰대]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





41.

⁴¹⁾ 함수   log_   ( ≥ )에 대하여

_  , _  _, ⋯ , _  _{  }, ⋯ 로 나타낼 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[5점][2015년 경찰대]

<보 기>

ㄱ.   이면 _ ≤ _이다.

ㄴ. _{ ≥ }



일 때

lim

→∞

_는 수렴한다.

ㄷ. 임의의 자연수 , 에 대하여 _  _이면

   또는   이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

42.

⁴²⁾ 그림과 같이 직선    (    )이 세 곡선 _{    }



^ ,

 



^  ^,   sin^ 및 축과 만나는 점을 각각 A, B, C, D라 하자. 두 삼각형 AOB, COD의 넓이를 각각 _, _라 할 때,

lim

→ _

_

의 값은? (단, O는 원점이다.)

[4점][2015년 사관학교]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





43.

⁴³⁾ 두 함수 _{  }



, _{  }



(  )에 대하여 좌표평면에서 직선   가 두 곡선   ,   와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 곡선   에 대하여 점 P에서의 접선을 , 곡 선   에 대하여 점 Q에서의 접선을 이라 하자. 두 직선

, 이 이루는 예각의 크기가 _



일 때, 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.

[4점][2015년 사관학교]

44.

⁴⁴⁾ 자연수 에 대하여 함수   ^ln 의 최솟값을 이라 하자. _{ ≤ }



 을 만족시키는 모든 의 값의 합을 구하시오.

[3점][2015년 사관학교]

45.

⁴⁵⁾ 함수   ^{  }과 상수 가 다음 조건을 만족시킨다.

곡선    위의 점  에서의 접선의 방정식을

  라 할 때,   이면   이고,

  이면   이다.

곡선   와 접선    및 축으로 둘러싸인 부분의 넓 이는   ^이다. 의 값을 구하시오.

[4점][2015년 사관학교]

46.

⁴⁶⁾ 연속함수 가 모든 실수 에 대하여

  ^









를 만족시킬 때,



_^{의 값은?}

[3점][2016년 사관학교]

①    ②    ③   

④  ⑤   

47.

⁴⁷⁾ 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 인 부채꼴OAB가 있다. 선분OB 위에 ^_{OC }



인 점C를 잡고, 점 C를 지나고 선분OA와 평행한 직선을 이라 하자. 호AB 위를 움직이는 점 P에서 선분OB와 직선 에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 할 때, 삼각형PQR의 넓이의 최댓값은?

[4점][2016년 사관학교]

① _



^ ② _



^ ③ _



^

④ _



^ ⑤ _



^

48.

⁴⁸⁾  ≥ 에서 정의된 함수 _{  }

  ^

 의 역함수를 라 할

때,

lim

→∞

_{  }



^{ }



^{  }





^{의 값은?}

[4점][2016년 사관학교]

① _



 ^ ② _



 ^ ③ _



  ^

④ _



  ^

⑤ _



 ^

49.

⁴⁹⁾ 함수

 











  sin ( ≤ )

   sin (  )

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2016년 사관학교]

<보 기>

ㄱ.

lim

→

    ㄴ. 함수 는 _{  }



에서 연속이다.

ㄷ. 함수 ^은   에서 미분가능하다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

50.

⁵⁰⁾ 이차함수 가

  , ^{′}

lim

→

ln 

 



을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2016년 사관학교]

51.

⁵¹⁾ 좌표평면에서 곡선   cos가 두 직선   ,   



^{    }_^



와 만나는 점을 각각 P, Q라 하고, 곡선   cos

가 축과 만나는 점을 R라 하자. 세 점 P, Q, R를 지나는 원 의 중심을 C  라 할 때,

lim

→ 

  이다. 의 값을 구하시오.

[4점][2016년 사관학교]

52.

⁵²⁾ 자연수 에 대하여

_{   }



 

 

 ⋯   ^{  }·  

 이라 할 때, 다음은

lim

 → ∞

_의 값을 구하는 과정이다.

  ^ ^ ^ ⋯   ^{  }· ^{  }

 가   ^· 

  ^

^

이므로

_{   }



 

 

 ⋯   ^{  }·   







_^{    } ⋯   ^{  }· ^{  }





_^ 가   ^







  ^

^



이다. 한편, _{ ≤ }

  ^

^

≤ ^이므로

 ≤







  ^

^

 ≤







^  나

이다. 따라서

lim

 → ∞



_^  ^

^

  이므로

lim

 → ∞

_







가 이다.

  tan 



^{ }

   





^{로 놓으면}

lim

 → ∞

_



_^{ 가 }



_^  tan^ sec^

  다

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , , (다)에 알맞 은 수를 라 할 때,  ×  ×의 값은?

[4점][2017년 사관학교]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





53.

⁵³⁾

lim

 → 



  cos ^sec의 값은?

[3점][2017년 사관학교]

① _

^

 ② _



 ③  ④  ⑤ ^

54.

⁵⁴⁾ 곡선 _{  tan }



 와 직선 _{  }



 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[3점][2017년 사관학교]

① _



ln  ② _



ln  ③ ln  ④  ln  ⑤  ln 

55.

⁵⁵⁾ 함수  



_^{에 대하여}



_^{의 값은?}

[4점][2017년 사관학교]

① _



  

② _



  

③ _



  

④ _



  

⑤ _



  

56.

⁵⁶⁾ 지수함수   ^    의 그래프가 직선   와 만 나는 점의 좌표를 라 하자. 함수

 



^{ } ^{ ≤ }  

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 의 값은?

[4점][2017년 사관학교]

① ^{   } ② ^{   }



③ ^{   }



④ ^{  } ⑤ ^{  }

57.

⁵⁷⁾ 곡선   sin^  ≤  ≤ 의 두 변곡점을 각각 A, B라 할 때, 점 A에서의 접선과 점 B에서의 접선이 만나는 점의 좌표 는    이다.   의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수 이다.)

[4점][2017년 사관학교]

58.

⁵⁸⁾ 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 _



인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 점 P를 지나고 선분 OB와 평행한 직선이 선분 OA와 만나는 점을 Q라 하고 ∠AOP   라 하자. 점 A를 지름의 한 끝점으로 하고 지름이 선분 AQ 위 에 있으며 선분 PQ에 접하는 반원의 반지름의 길이를 라 할 때,

lim

 →  

 

  ^이다. ^ ^의 값을 구하시오.



^단, _{    }^{이고, , 는 유리수이다.}



[4점][2017년 사관학교]

O  Q A



P B

1) 3

주어진 식을 변형하면 lim

→ ∞  tan^

  tan^가 된다. lim

→ ∞^값은 의 크기에 따라 나누어 고려하면 다음과 같다.

1)  tan     :     

 또는 

    인 경우

lim

→ ∞tan^  이므로 lim

→ ∞  tan^

  tan^ 

2)  tan     : 

   

 또는 

   

인 경우

lim

→ ∞

tan^  ∞이므로 lim

→ ∞  tan^

  tan^

 

3) tan    :   

인 경우 lim

→ ∞tan^  이므로 준 식의 값은  따라서,

lim

→∞cos^  sin^ cos^  sin^

의 값은 가지이다.

2) -1

주어진 조건의 양변을 적분하면



_^      



_^{   }

    로 치환하면   이므로



_^      



_^{   }

따라서



_^    



_^     이다.



_{ }^{   }



_{ }^{   }



_^{   }



_^{   }





 



   



_^{   }



_^{   }





 



     





_^      3) ⑤

 _



   

 

  ′







_^{sin  }







sin^ 





_^{cos  }







cos^ 



 ^







sin^ 



^

^







cos^ 



 ^









  cos





^

^









  cos





_{  }















_{  }

















^

 





^



^

 





∴     

  

5) ③

준식

lim

→∞







 

^{ }

_







^



^





^

 

 



^





^



^





^

 

 



^





^



^





^

⋯ 

 



^





^



^





^{ }





 

^{× }



lim

→∞



  





 



^





^



^





^

× 





_^  ^

^



 

ln  ^ _^_{ }





6) 

구간  ≦  ≦ 에서  ≦ sin  ≦ 이므로



_^{  }



_^  sin   



_^{ }

^  _^



_^  sin   ^ _^ ^ 



_^  sin   ^

 ^ 



_^  sin   ^  

∴   

7) _





주어진 식을 미분하면

′   cos   ^ cos ⋅ cos      sin    ⋅  sin  

 cos    ^

  sin    cos  

 cos   ^

 ^    

8) ⑤

_

lim

→∞



^{  }





^



^{  }





^



^{  }





^⋯



^{  }





^



lim

→∞



^{  }





^

 

^{  }





^



^

 

^{  }





^



^⋯

 

^{  }





^



^

 ⋅^⋅^⋅ ⋯ ⋅^       ⋯  ^

  

ln_{ }



 

∴ _{  }



^{ }_ln^_^_{  }



^{ }_{  }^{  }



^{  }





^{ }



9) ②

  ^ ln 이므로

  ^ ln 을 양변을 에 관하여 미분하면



 ^ 

 

 ^ 

′  

  ^ 



이므로 ′ 





 



     

 (∵   ^ ln  ∴    ) 10) ③

준식 











^cos



^{  }





^



^cos



^{  }





^













 cos



^{  }





^{ }

^







 cos



^{  }





^



_sin



^{  }





^











_sin



^{  }





^











^{sin }

 sin 





^



^{sin }

 sin 





^{ }

11) ③

진수조건(진수 )을 만족하는 값의 범위에서 연속이므로



^  

^ 

   ≠    

^ 

 

양변에   ^을 곱하면   ^          (단,  ≠ ) 따라서,

         12) ②

주어진 조건에 의하여 ′  의 두 근은 tan  cot이다.

      

    

정리하면       이다.

양변을 에 관하여 미분하면

′′     ′

   ′     

  

 ′

  양변을 적분하면 ln    

    ^{ }

양변에   을 대입하면  ln

    ^{  ln} ^^ln ^

∴       

14) ①

ⅰ) 수열



^log

log



^{의 극한은}

 

lim

→∞log

log 

lim

→∞log  log

log



lim

→∞

log

log 

    

   (∵

lim

→∞

   ∞)

ⅱ) 수열

 

^{  }





^



^{의 극한은}

 

lim

→∞



^{  }





^{     }

∴      15) ③

__ _이라 두면

lim

→∞

tan



^∠



^

lim

→∞_

_ 이므로 아래 그림에서

B_

O A  

 B

A_x_ y_

A_x_ y_

A_x_ y_ A_x_ y_

삼각형의 한 변의 길이를   라 두면

ⅰ) ∴

lim







^



^{ × cos}×



^{ }



^



^



^



^⋯



 ×



^{  }

 





^×



^{ }



^





^



^





^⋯



 × 

× 

 



^





^

  



ⅱ) ∴

lim

→∞

_

   

 ×sin 





^





^{ × sin }





^





^{ × sin }







^





^ ×sin 





^





^ × sin 

⋯

 × sin 

×



 

^





^





^



^





^⋯



^

 

^





^



^





^



^





^⋯



^



 

^

 ×







 

^{ }

_







^





 

 



^





^



^





^{ }





 

^{ }





∴

lim

→∞





^∠



^

lim

→∞_

_

 







^



 

^

16) ③ ㄱ.   ≦ sin 

≦ 이므로

lim

 → 



^{sin }





^{ 이다.}

ㄴ. 유리수인 경우 (좌극한)=(우극한)=0 ㄷ. (좌극한)=0, (우극한)=1

그러므로

lim

 → 

 의 값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17) ①

_{ }



⋅B_nB_{n  }



^AnB_n  A_{n  }B_{n  }



 

⋅⋅

 

^





^



^





^{  }



∴_{  }



^{∞ }_^







^{      }



^{ }

18) ④ log_





 

_{ 이므로} ^





 

_{ 이어야 한다.}

∴ ≦ 

   여기서, log_    

(단, 는 정수,  ≦   )라 두면  

∴_{  }



^{∞ }

  





 

19) ③

 



cos    ≠ 

   

 



cos    cos  ≠ 

cos     

∴

lim

→

 ∘  

lim

→

 ∘ 

lim

→

 ∘   ∘ 

lim

→

cos    cos        20) ③

ㄱ.    ×   

lim

→

 











lim

→ 

    ×   

lim

→ 

   ×  

∴   에서 연속

ㄴ.







 

    

lim

→

 











lim

→ 

     

lim

→ 

     

∴   에서 불연속 ㄷ.     

lim

→

 











lim

→ 

     

lim

→ 

    

∴   에서 연속

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21) ⑤

  

ln 에서

′  ^

 ln   

^

 ^

  ln 

″ ^

  ln   ^

 ^

  ln 

  ⋯  ⋯ _^

 ⋯

′   

″   

  극대  변곡 

lim

→ 



lim

→ 

ln  ∞



ㄱ.   는   일 때, 최댓값    를 갖는다. (참) ㄴ.   일 때, 는 감소함수이므로



 ln   

 ln 

위 부등식을 변형하면

⋅ln   ⋅ln 에서 ln ^ ln ^

∴ ^ ^ (참)

ㄷ. 열린구간  에서 ″  이므로   의 그래프는 위로 볼록하다. (참)

22) ①

  ^{ }에서

′  ^{ }  ^{ }′

ㄱ. ′  ′이고

그림에서 ′  이므로 ′   (참) ㄴ. 그림에서   , ′   이므로

′  ′ ^{ }  (거짓) ㄷ.   , ′  이므로

 ^{ } 

′ ^{ } 

∴ ′   (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

23) ④

′  ln   

  

^  

   

^ 

   

  

     



∴ ln     



24) ②

_{ }

^

 _{  }



^{     }_^_{  }



^



^{  }



^





^이므로

lim

→∞

_

lim

→∞





  





^{  }



^













^   









  ^











 ^



 

∴

lim

→∞

_  

lim

→∞

_  ^



 ^ 25) 

 



^



→∞일 때, → 이므로  라 하면 ^



lim

→∞

^_ __ _



lim

→^

⋅cos^

sin

⋅cos^

sin^



lim

→

⋅



^ sin



^⋅_cos^_

 

26) ⑤ ㄱ. 구간 



  

_에서  ≤ sin ≤ 이고  ≤   sin ≤ 이므로

    sin

sin

≥ 이다. (참) ㄴ.   , 



^





^{ }이므로 롤의 정리에 의해서

′  인 가 열린 구간



^{ }





에 존재한다. (참) ㄷ. 열린 구간



^{ }





^{에서 sin ≠ 이므로}

열린 구간



^{ }





^{에서   이다.}

ㄴ에서   , 



^





^{ 이므로}

함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는



_^{이다.}

  sin  라 하면 cos  이고

  일 때,   이고   

일 때,   이므로



_^{}



_^  sin

sin







_^  sin

sin cos







_^

  



 



_^



  



^

 



  ln _^   ln  (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄴ. ′   sin^

cos  sin  sin cos

′  , ′



^





^{ }이므로 사이값의 정리에 의하여

′  인 가 열린 구간



^{ }



에 존재한다. (참)