적분 (정적분 정의)

1.

^AB  BC  ∠B  ˚ 인 직각삼각형 AB C가 있다. 변 AB를 등분한 점을 오 른쪽 그림과 같이 B_ B_ B_ ⋯,B_{  }이라 하고, 각 점에서 변 ^BC에 평행하게 직선을 그어 변 ^AB와 만나는 점을 각각 C_ C_ C_ ⋯ C_{  }이라 할 때

lim

 → ∞

 



  

  

B_kC_k^의 값은?1)

[1점][1996학년도 수능]

①　_



 ②　_



 ③　_



 ④　_



  ⑤　

2.

다음은 정적분



_^{ }의 근삿값의 오차의 한계를 구하 는 과정의 일부이다.

그림 (가)

그림 (나)

그림 (가), (나)와 같이 폐구간  1을 등분하여 얻은 개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 라 하자. ≤  가 되는 의 최솟값은?^{2 )}

[3점][2001학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

다음은 연속함수     의 그래프이다.

구간  에서 함수  의 역함수  가 존재하고 연속일 때, 극한값

lim

 →∞_{  }



^



^



^





^{ }



^

  



^

와 같은 값을 갖는 것 은?3)

[4점][2005학년도 수능]

①



_^{    ②}



_^    

③







   ④







    

⑤







      

4.

^AD  , ^AB ^  BC  인 등변사다리꼴 ABCD에서 변 AB를 등분한 점을 각각 P_ P_ P_ ⋯  P_{  }이라 하고 각 점에서 변 BC에 평행한 직선을 그어 변 CD와 만나는 점을 각 각 Q_ Q_ ⋯  Q_{  }이라 할 때,

lim

 → ∞





^PQ_^  P_Q_^  P_Q_^  ⋯  P_Q_^



의 값을 구하시오. 4)

[점][2007년 7월]

A P_ P_

P_{  }

D Q_

Q_

Q_{  }

단원 : 적분 (정적분 정의)

5. lim

→∞_{    }



^{ }_

^







^ 일 때,   의 값은? 5)

[3점][2007년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

6.

함수    ^ 일 때,

lim

 → ∞





  







^{  }





^{의 값을 구하시}

오.⁶⁾

[3점][2008학년도 수능]

7. lim

→∞



^^

 ^

 ^

  ^

 ^

  ^

⋯ 

^

  ^



^{ }

 일 때,

  의 값을 구하시오. (단,  는 서로소인 자연수)7)

[3점][2008년 10월]

8.

함수     ^에 대하여 그림과 같이 구간    을 등 분한 후, 구간 ^





_



  

 

 





를 밑변으로 하고 높이가 



^





^인

직사각형의 넓이를 _라 하자.

(단, 은 자연수이고      ⋯ 이다.)

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 8)

[4점][2006년 9월]

<보 기>

ㄱ.

lim

 → ∞



  



_



_^{}

ㄴ.

lim

 → ∞_{  }



^{     }

ㄷ.

lim

 → ∞_{  }



^{  }_^



_^{}

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.

⁹⁾ 모든 실수 에 대하여 함수 는     를 만족시 키고,   ≤  ≤  에서 다음과 같이 정의된다.

  ^ 

이 때,

lim

→∞

_{  }



^{ }



^{  }





의 값을 구하시오.

[3점][2009년 10월]

10.

함수    ^     ≥    가 있다. 그림과 같이  이상인 자연수 에 대하여 폐구간  을 등분한 각분점 (양 끝점도 포함)을 차례로   _ _ _ ⋯ _{  } _ 이라 하자. 폐구간 _{  } _를 밑변으로 하고 높이가  _인 직사 각형의 넓이를 _라 하자.     ⋯ 

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이

__{ }

^

^ 

일 때,

lim

→∞_{  }



^{ }_^의 값을 구하시오. ^{1 0)} [4점][2010학년도 수능]

11.

′  인 이차함수   와 임의의 두 실수  에

대하여 서로 다른 두 점 A, B     를 지나 는 직선의 기울기와 같은 값을 갖는 것은? ¹¹⁾

[점][2010년 7월]

①

lim

→∞_{  }



^{ }



^





^

 ②

lim

→∞_{  }



^{ }



^{  }





^



③

lim

→∞_{  }



^{ }



^{    }





^

 ④

lim

→∞_{  }^{  }



^



^{  }





^



⑤

lim

→∞_{  }^{  }



^



^{  }





^



12.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가 있다.  이상인 자연수 에 대하여 폐구간  을 등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례대로   _ _ _ ⋯ _{  } _ 이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 1 2)

[4점][2010년 9월]

ㄱ.   (은 자연수)이면 ^{  }_{  }



^

^

_^

^

^≦_{  }^{  }



^

^

_^

^

^이다.

ㄴ.

lim

→∞_{  }



^{ }_^



^





^  



^{ }



^





^

^

_^{}

ㄷ. _{  }^{  }



^

^

_^

^

^≦







≦_{  }



^{ }

^

_^

^

[보 기]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

13.

¹³⁾ 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)   

(나)   이면 ′  이다.

이상인 자연수 과  ≦  ≦ 인 자연수 에 대하여, 곡선

  ′와 세 직선 _{  }



  , _{  }



,   으로 둘러싸인 도 형의 넓이를 _라 하면

^



__⋯_



_{ }



^ ^

가 성립한다. 곡선   와 축, 축,   로 둘러싸인 도 형의 넓이가 _



일 때,   의 값을 구하시오. (단,   는 서로 소인 자연수이다.)

[4점][2010년 11월]

14.

사차함수   의 그래프가 그림과 같을 때,

lim

→∞

_{  }



^{ }



^{  }





^{ }

을 만족시키는 정수 의 개수는?14 )

[4점][2012년 6월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

15.

삼차함수     ^ ^   에 대하여

lim

 → ∞_{  }



^{ }_^



^{   }





의 값은?15 )

[4점][2011년 10월]

① _{ }



 ② _{ }



 ③  ④ _



 ⑤ _





16. lim

 → ∞_{  }



^



^{  }





^

의 값을 구하시오. ^{16 )}

[3점][2011년 7월]

17.

함수        가 극한값

lim

→∞_{  }



^{ }



^





^



lim

→∞_{  }



^



^



^





^{ }



^

  



^

  

  을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.17)

[4점][2011년 10월]

18.

¹⁸⁾ 좌표평면 위의 두 점 O  , A 이 있다. 자연수 에 대하여 OA^를 등분한 점을 차례로 A_, A_, ⋯ , A_{  }이라 하 고, 점 O는 A_, 점 A는 A_이라 하자. 점 A_를 지나고 축과 수직인 직선이 함수   ^ ^   의 그래프와 만나는 점을 B_라 하자. (  , , , ⋯ , )

A_{  }A_를 밑변으로 하고, ^A_B_를 높이로 하는 직사각형 개의 넓이의 합을 _이라 할 때, 

lim

→∞

_의 값을 구하시오.

[점][2012년 7월]

19.

¹⁹⁾ 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다.  이상의 자연수 에 대하여 변 BC를 등분한 각 분점을 점 B에 서 가까운 것부터 차례로 P_, P_, P_, ⋯, P_{  }이라 하고, 변 CD를 등분한 각 분점을 점 C에서 가까운 것부터 차례로 Q_, Q_, Q_, ⋯, Q_{ }이라 하자.  ≤  ≤   인 자연수 에 대하 여 사각형 AP_Q_D의 넓이를 _라 하자.

lim

 → ∞

_{  }^{  }



^{ 일 때, }의 값을 구하시오.

[4점][2013년 4월]

A

C D

B

P_ P_ P_ ⋯ P_ ⋯ P_{  }

Q_ Q_ Q_

⋮ Q_

⋮ Q_{  }



20.

²⁰⁾ 함수   ^에 대하여

lim

 → ∞_{  }



^ 

 



^{  }





^{의 값은?}

[점][2013년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

21.

²¹⁾ 연속함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)    (나)







  



lim

→∞



  





^



^





^{ }



^

  



^

의 값은?

[4점][2013년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





22.

²²⁾ 함수   ^ 가

lim

→∞

_{  }



^{ }



^





^{ }

을 만족시킬 때, 상수 의 값을 구하시오.

[4점][2014학년도 수능]

23.

²³⁾ 그림과 같이 곡선    ^ 위에 세 점 A  , B  , C 이 있다. 이상의 자연수 에 대하여 선분 OC 를 등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로

O  D_, D_, D_, ⋯, D_{  }, D_ C라 하자.

직선 AD_가 곡선과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 P_라 하고, 점 P_에서 축에 내린 수선의 발을 Q_라 하자.     ⋯ 

삼각형 AP_Q_의 넓이를 _라 할 때,

lim

 → ∞

_{  }



^{  이다.}

의 값을 구하시오.

[4점][2014년 4월]

O

A B

D_ D_ D_{  }



Q_  C

P_ D_

⋮

⋮

   ^ 



^{ D}





^{ D}



24.

²⁴⁾ 이차함수   의 그래프는 그림과 같고,    이 다.

lim

→∞





  







^





^{ }

일 때, ′의 값은?

[4점][2014년 9월]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





25.

²⁵⁾ 이차함수   ^ 에 대하여

lim

 → ∞



  







^{  }





^{ }_^

의 값은?

[4점][2014년 7월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





26.

²⁶⁾ 함수   ^   에 대하여

lim

→∞_{  }



^{ }_^



^





의 값을 구하시오.

[4점][2016년 9월]

27.

²⁷⁾ 함수   ^ 에 대하여

lim

→∞





  







^





의 값을 구하시오.

[4점][2016년 10월]

28.

²⁸⁾  인 이차함수 와 함수  ^이 다음 조건을 만 족시킨다.

(가) 모든 실수 에 대하여   이다.

(나)

lim

 → ∞





  





^



^





^{ }



^





^{ }

두 곡선   와   로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시 오.

[4점][2016년 7월]

1) ④

__^



^





^이므로

lim

→∞





  

  

__^

lim

→∞





  

  



^





^

 

lim

→∞

_{  }^{  }

 

^





^

 



_^{  }_

2) ②

위 그림에서 알 수 있듯이 는 그림(가)의 가장 큰 직사각형의 넓이와 그림(나)의 가장 작은 직사각형의 넓이의 차와 같다. 따라서

_{ }



·  

·  

 

 

≤ 

∴  ≥  ⋯

즉, 구하는 의 최솟값은 이다.

3) ③

  







^



^





^{ }



^

  



^







^



^





^{ }



^





^



^





^{ }



^





^







^



^





^{ }



^





^

⋯



^



^





^{ }



^

 



^



  



^{  }



^





^{ }



^





^{⋯ }



^

  



^



  



  

  





^





^



∴ (주어진 식)  







 









4) 10





lim

→∞

 

^{  }



^{  }



^{  }⋯



^{  }



^



lim

→∞



  





^{  }

 ․





_^{   }







^  ∴     

6) 

lim

→∞

_{  }



^{ }



^{  }





^_→∞

^lim

_{  }

^

^{ }



^{  }





^⋅

⋅

 





_^    





_^{ }

 

 





^ 

^







 





^

 

 

 





 

    

7) 

[출제의도] 정적분의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(준식)

lim

→∞

 _{  }



^



^{  }





^

^

_^{ }





^









 



∴ 

8) ⑤ ㄱ.

lim

→∞



  



_ 

lim

→∞



  





^

×



^





^

^lim

_{→∞  }

^

^



^

 ×



^





^





lim

→∞_{  }



^



^

∙ 

×



^

∙ 





^



^

^

_^{ (참)}

ㄴ. _{  }



^

^

^{  }

^

^_{  }



^



^





^





^{ }

 



^

  



 

 _{  }



^

 

^





^



^

 



^



 ^

 _{  }



^{        }_^

∴

lim

→∞



  





^_{  }



^

lim

→∞

^

^   

  (참) ㄷ.

lim

→∞_{  }



^{  }

^lim

_{→∞  }



^



^

×



^





^

^lim

_{→∞  }



^



^

 ×



^





^



 



lim

→∞



  



 

^





^





^{ }





_^{ (참)}

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

9) 25

lim

→∞





  







^{  }





 









  





_{ }^{} ∵     





^{  }



^{}   

 

 

^



^{ }      



 ^

       ^_{ }

^

^  에서

  ,       

∴   ,    ∴    ^  따라서, _{ }





 

^





^{ }



^이므로

lim

 → ∞_{  }



^{ }_^{ }_{ → ∞}

^lim

_{  }



^{ }_^․_^

 

^





^{ }



 







^  





^ 

^







 



^

 





^{ }

11) ②

′   이므로



^{  이다.}

따라서 A , B     를 지나는 직선의 기울기는

  

 

 

 

 







  



 



lim

→∞_{  }



^{ }



^{  }





^





lim

→∞_{  }



^{ }



^{  }





^



12) ② ㄱ. (반례)

_{  } _ 

  

 이므로

  



  



_

은 [그림1]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

ㄴ. _ ^이므로

lim

→∞_{  }



^{ }_^



^

_{  }  _



 



 ^lim

→∞



  



_{  }



lim

→∞



  



_





 



 ^lim

→∞_{  }



^{ }



^

  



^



lim

→∞_{  }



^{ }



^





^





 



 ^lim

→∞_{  }^{  }



^



^





^



lim

→∞_{  }



^{ }



^





^





 



 ^





 







 











 (참) ㄷ. (반례) ㄱ의 [그림2]에서







는 곡선   와 축 및 두 직선      로 둘러싸인 부분의 넓이이고, _{  }^{  }





_

은 직사각형들의 넓이의 합을 나타내므로

  



  



_





_^{  (거짓)}

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

13) 83

[출제의도] 구분구적법의 정의를 알고, 이를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

    ⋯ 에 대하여

__⋯_ 









′

  _^



 



^





^{   }



^





^{ }

이므로,





^





^{ }





^





^{ }



^





^{  이다.}

따라서 곡선   와 축, 축,   로 둘러싸인 도형의 넓이 는





_^{ }_{ → ∞}

^lim

^_^_{  }



^{ }_^



^







lim

 → ∞

_{  }



^{ }_^



^





^





^{ }



^





^{ }







_^



^

^ ^ 



^

 



14) ⑤

lim

→∞

_{  }



^{   }_^_→∞

^lim

_{  }



^{   }   _









^{    이므로}





_^{   }_

16) 





lim

→∞_{  }



^



^{  }





^

 









^ 

17) 

[출제의도] 구분구적법을 이해하고 정적분을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

lim

→∞_{  }



^



^

 



^



lim

→∞_{  }



^



^

 



^



^

  

 



^

  



lim

→∞_{  }



^



^

 



^



lim

→∞_{  }



^



^





^

  

lim

→∞

 _로 놓으면   ,   ,   



준식



_^   



_^{ }





_^   ^ _^    

  , 따라서   

18) 11

_을 그림으로 나타내면 아래와 같이 된다.



  

AA_

A_ O A_ B_

B_

B_



lim

 →∞

_의 값은 아래 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로,



  

O   



lim

 →∞

_ 







^ ^   

 







^ ^     

19) 100

_{   }



× 

  

× 





^{  }





20) ④

lim

 → ∞_{  }



^{ }_^



^{  }





^{ }



_^  

21) ⑤

_



  





^



^





^{ }



^

  



^

이라 하면

_



  





^



^





^{ }



^

  



^



 





^



^





^{ }



^{ }





^



^





^{ }



^





^{ }





^



^





^{ }



^





^{ ⋯}

 

 



^



^

  



^{ }



^

 



^{ }





^



^





^{ }



^

 



 

 





^





^{ }





^





^{ ⋯  }





^

  



^{ }

 _{  }^{  }



^



^





^





 _라 하면 

 이므로

lim

→∞_{  }^{  }



^



^





^





lim

→∞_{  }^{  }



^{ }









 





_^{ }_^

lim

→∞

_

lim

→∞



^{ }  

^

  





^





^





 

lim

→∞_{  }^{  }



^



^





^



   

 



22) 

lim

→∞





  







^





 

×

lim

→∞_{  }



^{ }



^





^⋅



 

×



_^{ }_^×



_^{ }

 

×



_^_{ }



^









 

×



^{  }





   



∴   

    

   

∴   

23) 11

∴ _{ }





^{  }

 

^



^

 

lim

 → ∞





  



_

lim

 → ∞





  









^{  }



 

^





^





^













    ^_{  }





따라서   

이고   

24) ➁

   으로 잡으면 문제에서 

→  , 

→  ,

lim

→∞_{  }



^{ →}







로 변형

lim

→∞





  







^





^{ }

 에서

⇒



_^{ }



_^{   }_

^

^_^{ }_^_

^





 

  



∴   

 ^  를 관하여 미분하면

′   

∴ ′  25) ①

lim

→∞_{  }



^{ }



^{  }





^{ }_^



lim

→∞_{  }



^{ }



^{  }



  

^





^{ }



^





^{   }



^





lim

→∞



  







^{  }



  

^{  }





^{ }



^





lim

→∞_{  }



^

 

^{  }





^{ }

 

^{  }





^{ }



^







_^{    }_

26) 

[출제의도] 급수와 정적분의 관계를 이용하여 극한 값을 구할 수 있는가?

lim

→∞



  



^





^





^

^lim

_{→∞  }

^

^{ }





^





^





_^{}









^    





^ ^ 



 ^ ^ ^









       

27) 9

[출제의도] 급수와 정적분의 관계를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다.



  라 하면

 → ∞lim

_{  }



^{ }



^





^ → ∞^lim 

_{  }



^{ }





^{ }



^{  }_^{ }_^{ }

lim

 →∞_{  }

 

^



^



^{ }



^



^

^

_  이므로

  ≤  ≤ 에서  ≥ 이다.

두 함수   ,   의 그래프가 축 대칭이므로 함수

    의 그래프는 축 대칭이다.

두 곡선   ,   로 둘러싸인 부분의 넓이는



_{ }^  



_{ }^ 

 







   

따라서 구하는 넓이는 