1.
1) 구간 에서 정의된 연속확률변수 의 확률밀도함수 의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 확률 P ≦
의 값 은? (단, )
[점][2005년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
2.
2) 지난달에 시행된 학년도 모의대 학수학능력시험에서는 수험생의 상위 가 도심근교의 대학에 합격할 것으로 나타났다. 이 시험에 응시한 전체 수험생의 점수는 평균이 점 이고 표준편차가 점인 정규분포를 이루었고, 수험생이 명 거주하고
있는 K지역 수험생들의 점수는 평균이 점이고 표준편차가
점인 정규분포를 이루었다. K지역의 수험생 중 도심 근교의 대학에 합격할 것으로 나타난 인원수는? (단, 대학이나 학과는 고려하지 않는다.)
[점][2005년 사관학교]
① 명 ② 명 ③ 명
④ 명 ⑤ 명
3.
3 ) 이산확률변수 는 이항분포
을 따른다.
함수
의 최솟값이 이 되도록 하는 양수 에 대하여 의 값을 구하시오.[점][2005년 사관학교]
4.
4 ) 어느 대학에서는 공개선발시험으로 명의 학생을 선발하여 해외 연수를 보내려고 한다. 이 시험에 응시한 학생 명의 시험성적은 평균 점, 표준편차 점인 정규분포를 따른다고 한다. 다음 표준 정규분포표를 이용하여 선발된 학생의 최저점 수를 구하면?[3점][2006년 사관학교]
① 점 ② 점 ③ 점
④ 점 ⑤ 점
단원 : 통 계
P ≦ Z ≦ z
0.5 0.192 1 0.341 1.5 0.353 2 0.477
5.
5) 사건 가 회의 시행에서 일어날 확률이 일 때, 회의 독 립시행에서 사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 하자. 확 률변수 의 평균이 이고 분산이 라 할 때,
의 값은? (단, 은 일 때의 확률 이다.)
[3점][2006년 사관학교]
①
②
③
④ ⑤
6.
여론 조사에서 찬성과 반대 의견 이 거의 비슷한 어떤 안건을 투표 로 결정하려고 한다. 전체 유권자명 중 최소 %가 찬성해야 통과되는 것으로 정했을 때, 이 안건이 통과될 확률이 이하 이기 위한 의 값을 오른쪽 표준 정규분포표를 이용하여 구한 것은? 6)
[2007년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
7.
7) 그림은 가 적힌 정사면체의 전개도이다. 이 전개도로 만든 정사면체 를 두 번 던질 때, 밑면에 적힌 수 중 첫 번째 수를 , 두 번째 수를 라 하 자. 의 값을 확률변수 라 할 때, E의 값은?[3점][2007년 사관학교]
①
②
③ ④
⑤
8.
8 ) 어느 양식장에 있는 물고기의 무게 는 평균 g, 표준편차 g인 정 규분포를 따른다고 한다. 이 양식장 에서 마리의 물고기를 임의추출하 였을 때, 무게의 평균이 g이상 g이하일 확률을 오른쪽 표준정 규분포표를 이용하여 구한 값은?
[3점][2007년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
9.
9 ) 연속확률변수 의 확률밀도함수 의 그래프가 그림과 같 이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 반원의 호가 되도록 상수 의 값을 정할 때, 확률 P
≧
의 값은?(단, ≦ ≦ 이다.)
[3점][2007년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
P ≦≦
P ≦ Z
10.
10) 확률변수 가 정규분포 N 을 따를 때,P ≦ 이다. 확률변수 를 이라 할 때, P≧ 의 값은?
[3점][2007년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
11.
확률변수 가 보다 작은 자연수에서 값을 취하고 의 확 률분포가P
P
로 주어질 때, P ≧ 의 값은? 1 1)
[2008년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
12.
12) 어느 농장에서 생산된 포도송이의 무게는 평균 g, 표준편차 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장 에서 생산된 포도송이 중 임의로 송이를 추출할 때, 포도송이의 무게 가 g 이상인 것이 송이 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이 용하여 구한 것은?
[4점][2008년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
13.
13) 확률변수 는 정규분포 N 을 따르고, 확률변수 는 표준정규분포 N 을 따른다. 두 확률변수 의 확률밀 도함수를 각각 라 할 때, 다음 조건이 모두 성립한다.(가)
(나) 두 곡선 는
일 때 만난다.
두 곡선 로 둘러싸인 부분의 넓이가 일 때, 의 표준편차 의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[3점][2008년 사관학교]
O
P ≦≦
① ② ③ ④ ⑤
14.
14) 주머니 속에 1부터 5까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 5개 의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 수의 최솟값을 확률변수 라 하자. 이 때, 의 평균은?[3점][2008년 사관학교]
① ②
③
④
⑤
15.
≦≦ 의 모든 값을 취하는 확률변수 의 확률밀도함 수 는 다음을 만족시킨다.
P ≦≦ P ≦≦ 이고 P ≦≦
일 때, P ≦≦ 의 값은? 15)
[2009년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
16.
16) 어느 보험회사에서 운영하는 긴급 차량 서비스의 출동 시간 은 평균이 20분이고 표준편차가 4분인 정규분포를 따른다고 한 다. 이 보험회사의 긴급 차량 서비스를 요청한 고객 16명에 대 한 출동 시간의 평균이 18분 이상 21분 이하일 확률은?(단, P ≦≦ , P ≦≦ , P ≦≦ )
[2009년 경찰대]
① 0.7745 ② 0.8185 ③ 0.8664
④ 0.9104 ⑤ 0.9544
17.
17) 서류전형 후 필기시험을 실시하 는 어느 시험에서 명이 서류전 형에 합격하였다. 서류전형 합격자 는 필기시험에서 A, B, C, D 과목 중 과목을 반드시 선택해야 하고,각 과목을 선택할 확률은 모두 같다고 한다. 과목 중 A, B를 선택한 서류전형의 합격자의 수가 명 이상 명 이하일 확 률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[3점][2009년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
18.
18) 어느 임업연구소의 A, B 두 연구원이 소나무 군락지 의 소나무들의 생장 상태를 알아보기 위하여 그루의소나무들을 각각 그루로 나누어 키를 조사하였더니 오른쪽 표와 같은 결과를 얻었다. A, B 두 연구원이 각자 의 신뢰 도로 군락지의 소나무들의 키의 평균을 추정하였더니 신뢰구간 의 길이가 같았다. 소나무들의 키의 분포는 정규분포를 따른다 고 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 표준정규분포에서 P ≦≦ 로 계산한다.) [4점][2009년 사관학교]
19.
19) 가 양의 상수일 때 ≦ ≦ 에서 정의된 연속확 률변수 의 확률밀도함수 의 그래프가 그림과 같이 중 심의 좌표가 이고 반지름의 길이가 인 원의 일부, 중심 의 좌표가 이고 반지름의 길이가 인 원의 일부일 때, 확률 P ≦≦ 의 값은?[4점][2010년 사관학교]
O
①
②
③
④
⑤
P ≦≦
표본의 크기 표준편차
A연구원 그루 cm
B연구원 그루 cm
20.
다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다. 계
P
이 모집단에서 크기가 인 표본을 복원추출하여 구한 표본평균 을 라 하자. 의 분산이
일 때, 의 값은? 20)
[2010년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
21.
21) 어느 자영업자의 하루 매출액은 평 균이 만원이고 표준편차가 만원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자영업 자는 하루 매출액이 만원 이상일 때 마다 원씩을 자선단체에 기부하고만원 미만일 때는 기부를 하지 않는 다고 한다. 이와 같은 추세가 계속된다 고 할 때, 일 동안 영업하여 기부
할 총 금액이 원 이상이 될 확률을 오른쪽 표준정규분포 표를 이용하여 구한 것은?
[4점][2010년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
22.
22) A도시에서 B도시로 운행하는 고 속버스들의 소요시간은 평균이 분이 고, 표준편차가 분인 정규분포를 따 른다고 한다. 이 고속버스들의 소요시 간 중에서 크기가 인 표본을 임의추 출하여 구한 표본평균을 라 하자.P ≦ ≦ 를 만족시키는 표본의 크기의 값을 오 른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하 시오.
[3점][2010년 사관학교]
23.
어느 대민 봉사 센터의 전화 상담의 통화 시간은 평균이 분 이고 표준편차가 분인 정규분 포를 따른다고 한다. 이 봉사 센 터에 걸려오는 상담 전화 중 임의로 선택한 통의 통화시간의 합이 분 이상일 확률은?
(단, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.)23)
[2011년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
24.
24) 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따르는 확률변수 와 표준정규분포를 따르는 확률변수 가 다음 두 조건을 만족 시킨다.(가) P≧ P≧
(나) P≦ P≧
의 값은?
[3점][2011년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
25.
25) 이산확률변수 가 값 를 가질 확률이
(단, 이고 는 상수이다.) 일 때, 확률변수의 기댓값을 이라 하면 × × 이다. 세 자연수 의 합 의 값은?
[3점][2012년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
[표준정규분포표]
P ≦≦
P ≦≦
[표준정규분포표]
P ≤≤
26.
26) 어느 선박 부품 공장에서 만드는 부품의 길이 는 평균이 , 표준편 차가 인 정규분포를 따른다고 한 다. 이 공장에서 만든 부품 중에서 개를 임의추출한 표본의 길이의 평균을 라 할 때, 표본평균 와 모평균의 차가 일정한 값 이 상이면 부품의 제조과정에 대한 전면적인 조사를 하기로 하였 다. 부품의 제조 과정에 대한 전면적인 조사를 하게 될 확률이
% 이하가 되도록 상수 의 값을 정할 때, 의 최솟값은?
(단, 단위는 이고, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.) [4점][2011년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
27.
27) 주머니 속에 빨간 공 개, 파란 공 개가 들어있다. 이 주머 니에서 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중에서 더 많은 색 의 공의 개수를 확률변수 라 하자. 예를 들어 꺼낸 공이 빨간 공 개, 파란 공 개이면 이다. 라 할 때 확 률변수 의 평균을 구하시오.[4점][2011년 사관학교]
28.
28) 정규분포 N 을 따르는 모집단에 서 임의로 개의 표본을 뽑았을 때의 표본 평균을 라 하자. 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 P ≤ ≤ 의 값을 구한 것은?[3점][2013년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
29.
29) 프로야구 한국시리즈는 두 팀이 출전하여 번의 경기 중 번을 먼저 이기는 팀이 우승팀이 된다. A B 두 팀이 한국시리 즈에 출전하여 우승팀이 정해지기까지 치른 경기의 수를 확률변 수 라 하자. 매 경기마다 각 팀이 이길 확률은 모두
로 같 다고 할 때, E의 값을 구하여라. (단, 두 팀이 경기를 할 때 무승부는 없다고 가정한다.)
[4점][2013년 사관학교]
30.
30) 청소년 가장 가정을 돕기 위해 경찰청에서 기획한 수박판매 행사에 사용된 수박의 무게는 표준편차 kg인 정규분포를 따른 다고 한다. 이 수박들 중에서 개의 수박을 임의추출하여 무게 를 조사해보니 평균 kg이었다. 이 행사에 사용된 수박의 무게 의 모평균 kg을 신뢰도 로 추정할 때의 신뢰구간은 ≤ ≤ 이다. 이때 의 값은? (단, P ≤ ) [4점][2014년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
31.
31) 수직선 위의 원점에 위치한 점 A가 있다.주사위 개를 던질 때 의 배수의 눈이 나오 면 점 A를 양의 방향으로 만큼 이동하고, 그 이외의 눈이 나오면 점 A를 음의 방향으 로 만큼 이동하는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 회 반복할 때, 점 A의 좌표를 확
률변수 라 하자. 확률 P≥ 의 값을 오른쪽 표준정규분포 표를 이용하여 구한 것은?
[4점][2014년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
P ≦ ≦
P ≤≤
P ≤≤
32.
32) 책상 위에 있는 개의 동전 중 개는 앞면, 개는 뒷면이 나 와 있다. 이 중 임의로 개의 동전을 택하여 뒤집어 놓았을 때,개의 동전 중 앞면이 나온 동전의 개수를 확률변수 라 하자.
확률변수 의 평균을 구하여라.
[4점][2014년 사관학교]
33.
33) 주머니 속에 의 수가 각각 하나씩 적힌 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내 어 적힌 수를 확인하고 다시 집어넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 회 반복할 때, 꺼낸 개의 공에 적힌 수들 중 두 수의 합이 나머지 한 수와 같은 경우가 나오는 횟수를 확률변수 라 하자. 확률변수 의 평균 E의 값은?[3점][2014년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
34.
34) 두 개의 주사위를 던져 나오는 눈의 수 중 크거나 같은 수를 확률변수 라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오.
(단, , 는 서로소인 자연수)
[4점][2015년 경찰대]
35.
35) 다음은 확률변수 의 확률분포를 표로 나타낸 것이다. 계
P
E의 값은?
[3점][2015년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
36.
36) 정규분포를 따르는 두 연속확률변수 , 가 다음 조건을 만 족시킨다.(가) ( )
(나) P≤ P≥ (다) P≤ P≥
E의 값은?
[4점][2015년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
37.
37) 정규분포를 따르는 두 연속확률변수 , 가 다음 조건을 만 족시킨다.
(가) E
(나)
P≤ P≥ 를 만족시키는 상수 의 값은?
[3점][2015년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
38.
38) 어느 통신 회사의 스마트폰 사용 고객들의 올해 월의 데이 터 사용량은 모평균이 (GB), 모표준편차가 (GB)인 정규 분포를 따른다고 한다. 이 고객들 중에서 명을 임의추출하여 신뢰도 로 추정한 모평균 에 대한 신뢰구간이 일 때, ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오.
(단, 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P ≤≤ 으로 계산한다.)
[3점][2015년 사관학교]
39.
39) 확률변수 가 이항분포 B 를 따르고 E E 일 때, P
P
의 값은?
[4점][2016년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
40.
40) 눈의 수가 부터 까지인 주사위를 던져서 눈의 수가 또 는 이 나올 때까지 반복한다. 한 번 던지고 중지하면 원을 받고, 두 번 던지고 중지하면 원을 받는다. 이와 같이 계속 하여 번 던지고 중지하면 × 원을 받을 때, 받는 돈의 기 댓값은?[5점][2016년 경찰대]
① 원 ② 원 ③ 원
④ 원 ⑤ 원
41.
41) 어느 과수원에서 생산되는 사과의 무 게는 평균이 g이고 표준편차가 g인 정규분포를 따르고, 배의 무게는 평균이g이고 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산된 사 과 중에서 임의로 선택한 개의 무게의
총합을 g이라 하고, 이 과수원에서 생산된 배 중에서 임의로 선택한 개의 무게의 총합을 g이라 하자. ≥ 이고
≥ 일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것 은? (단, 사과의 무게와 배의 무게는 서로 독립이다.)
[3점][2016년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
42.
42) 어느 도시에서 운전면허증을 소지한 사람이 지난 년 간 교 통법규를 위반한 건수는 평균 건, 표준편차 건인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시에서 운 전면허증을 소지한 사람 중에서임의추출한 명이 지난 년 간 교통법규를 위반한 건수의 평 균이 건 이상이고 건 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분 포표를 이용하여 구한 것은?
[3점][2016년 경찰대]
① ② ③
④ ⑤
P ≤≤
P ≤≤
43.
43) 어느 과수원에서 생산되는 사과의 무 게는 평균이 g이고 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에 서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 개의 무게의 평균이 g 이상 g 이 하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?[3점][2016년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
44.
44) 이항분포 B
을 따르는 확률변수 의 평균이 일 때, 자연수 의 값은?[2점][2017년 사관학교]
① ② ③ ④ ⑤
45.
45) 확률변수 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 합계
P
E , V
일 때, P 의 값은?
[3점][2017년 사관학교]
①
②
③
④
⑤
46.
46) 한 개의 주사위를 번 던질 때, 의 배수의 눈이 번 이상 번 이하로 나올 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?[3점][2017년 경찰대]
① ②
③ ④
⑤
47.
47) 어느 공장에서 생산하는 군용 위장크 림 개의 무게는 평균이 , 표준편차가인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장 에서 생산하는 군용 위장크림 중에서 임 의로 택한 개의 무게가 이상일 확 률은 이다.
이 공장에서 생산하는 군용 위장크림 중에서 임의추출한 개의 무게의 평균이 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용 하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.)
[3점][2017년 사관학교]
① ② ③
④ ⑤
P ≤≤
P ≤≤
P ≤≤
1) ⑤
구간 에서 정의된 연속확률변수 X의 확률밀도 함수 는 이 구간에서 함수 와 둘러싸인 도형의 넓이가 이 되어야 하므로
× × ∴
∴ P X≦
× P
≦ X ≦
×
×
×
2) ①
ⅰ) 전체 수험생의 점수X는 정규분포N 을 따르고 수험생의 상위
가 도심근교의 대학에 합격할 것으로 나타났으므로 상위 에 들어가려면 점수X가 점 이상일 확률 P X ≧ k 이다.
P ≦ Z ≦
k
∴ P ≦ Z ≦
k
∴ (점)
ⅱ) K지역 수험생 명의 점수 Y는 정규분포 N 을 따르므로 P Y ≧ P Z ≧
P Z ≧
P ≦ Z ≦
∴ × 명 3)
X가 이항분포B
을 따르므로 EX k
k⋅P X k ×
V X
k
kP X k m ×
×
P X k
⋅P X k ak
k⋅P X k
⋅P X k
⋅P X k m
함수 는 일 때, 최솟값
이다.
∴
에서
∴
4) ②
시험 성적을 라고 하면 는 N 을 따르므로
점[⇐ ]이다.
5) ①
---①
---② [②÷①] :
∴
, (∵①)
P X r r
rnCrr
n r
6) ①
유권자 한 명을 조사할 때, 찬성할 확률은
으로 일정하므로
이 사건은 이항분포 B
로 고려할 수 있다.또한, 시행회수가 큰 수이므로 정규분포로 생각하면 유권자 중에서 찬성하는 사람의 수 X는
N
이다. 주어진 표준정규 분포표에서 P ≧
P ≦≦
이다.
X
이라 하면 ≧ 이기 위한 X의 범위는
X
≧ X ≧
따라서, 조건에 부합하는 X의 최솟값은 이다.
7) ⑤
네 수 에서 중복을 허락하여 두 번 꺼냈을 때, 두 수 와 의 차와 같으므로 가능한 모든 경우의 수는 가지이다. 두 수의 차가 이 되는 경우의 수는 가지이다. 두 수의 차가 이 되는 경우의 수는 각각
가지이다. 확률변수 ∣ ∣에 대한 확률분포표를 만들면 표와 같다.
따라서, 확률변수 의 기댓값 는
×
×
×
×
=
8) ①
임의 추출한 마리의 물고기의 무게 의 평균과 표준편차를 각각
라 하면
이므로 무게의 평균이 이상 이하일 확률은
≦≦
≦≦
9) ④
는 구간 에서 정의되는 확률밀도함수이므로
∴
, ∴
따라서, 점 를 각각
라 하면
≧
는 위 그림에서 빗금 친 부분과 같다.따라서.
≧
부채꼴 면적 △면적
×
⋅
⋅
10) ②
확률변수 가 정규분포 을 따르므로
∣ ∣≦ ≦ ≦
≦≦ ≦≦
≦≦
∴ ≦≦
따라서,
≧ ≧
≧ ≧
≦≦
11) ③
확률변수 X가 취할 수 있는 값이 이므로
P X 라 하면 확률분포표를 오른쪽 표와 같이 나타낼 수 있다.
X
P X
모든 경우에 대한 확률의 합이 이므로
∴
따라서
P X ≧ P X P X
×
≧ ≧
포도송이를 100송이 뽑았을 때 636g 이상인 포도송이의 개수를 확률변수
라 두면 ~ 가 되고 이 이항분포는 정규분포 에 근사해 간다.
∴≧ ≧
13) ②
이므로 위에 있는 그래프가 이므로 P ≦≦ P ≦≦ =0.048
∴P ≦≦ P
≦≦
P ≦≦
∴
⇒
14) ③
꺼낸 공들의 수의 최솟값을 확률변수 라 두고,
에 대한 확률분포표를 그리면
1 2 3 합
1
∴ 의 평균은
15) ③
조건에서 이므로 확률변수 의 확률밀도함수 는
에 대하여 대칭이고,
≦≦ 이므로 확률밀도함수의 성질에 의해 P ≦≦ P ≦≦
그러므로 조건 P ≦≦ P ≦≦ 에 의해 P ≦≦
P ≦≦ P ≦≦ P ≦≦
16) ②
보험회사의 긴급 차량 서비스의 출동 시간을 확률변수 라고 하면 는 정규분포 N 을 따른다.
크기가 인 표본의 표본평균을 라고 하면 E V
이므로 는 정규분포 N 을 따른다.
P ≦ ≦ P
≦≦
P ≦ ≦
는 이항분포
를 따른다.이 때, 720은 충분히 큰 수이므로 는 정규분포 에 근사한다.
∴ ≦≦ ≦≦
≦≦ ≦≦
18)
신뢰구간의 길이 ⋅⋅
여기서 는 해당 집단의 표준편차, 은 표본의 크기,
는 신뢰도에 해당하는 값이다.
나무가 총 100그루가 있으니 이다.
신뢰구간의 길이가 서로 같으므로
⋅⋅
⋅⋅
위 식을 정리하면 라는 식을 얻을 수 있다.
를 대입해서 정리하면 가 나온다.
∴
19) ④
주어진 그림은 확률밀도 함수기 떄문에
축으로 둘러쌓인 부분의 넓이는 1이다.
이 때, 그림1에 주어진 파란색 보조선을 그리면 주어진 부분의 넓이는 부채꼴, 직각삼각형, 사분원의 넓이의 합으로 표현됨을 알 수 있다.
주어진 부채꼴은 중심각의 크기가
, 반지름이 이고
직각삼각형은 밑변 , 높이는 이며 사분원은 반지름이 인 원 넓이의
이다.
∴ 넓이=
⋅⋅
⋅ ⋅
⋅⋅
∴
이 때, 구해야 하는 확률은 그림2의 빨간 보조선과 축으로 둘러쌓인 부분의 넓이를 구하면 된다. 이 때, 주어진 그림은 파란 보조선에 의해 직각삼각형과 부채꼴로 나눠서 구하면 된다.
직각삼각형은 밑변이 , 높이가 이고 부채꼴은 반지름이 , 중심각이
이므로 구하려는 확률
⋅ ⋅
⋅⋅
⋅
⋅ ⋅
O
O
<그림 1> <그림 2>
문제에서 V
이므로
∴ V
한편, V E E에서 E ×
× ×
E ×
× ×
이므로
,
, ,
∴
∵ ≥
21) ④
N(30, ) 31이상일 확률은 ≥ 이다.
기부하는 날 수를 확률 변수로 잡으면 이항 분포 B(600, )을 따른다.
이는 정규분포 N( )으로 근사한다.
222000원 이상이라는 것은 222일 이상인 것이므로 표준정규분포표를 이용해 값을 구하면 0.93이 된다.
22) 16
A도시에서 B도시로 운행하는 고속버스의 소요시간을 확률변수 라 두면
~ 을 따른다.
이 때, 크기가 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 는
~
를 따른다. ≦ ≦
P ≦ ≦
P
≦
≦
P
≦≦
P
≦≦
P
≦≦
P ≦≦ 이므로∴
⇒
23) ③
상담 전화 중 임의로 선택한 4통의 통화시간의 평균을 라 하면 구하는 확률은
≥ 즉, ≥ 일 확률이다.
전화 상담의 통화시간을 라 할 때, 는 N 을 따르므로
는 N
즉, N 을 따른다.∴ P≥ P≥
➪ … ➀ P≦ P≧ 에서
➪ … ➁
➀, ➁ 두 식을 연립해서 풀면
∴
25) ③
P
C 이므로 × E
⋅P
⋅C
⋅C
⋅C
⋅
∵ 이항분포 B
를 따르는 확률변수의 확률질량함수는 C
이고평균은
⋅C
×
따라서
⋅에서 ⋅ ⋅⋅
∴ , ,
∴
[다른 풀이]
항등식
C의 양변을 에 대하여 미분하면
×C 위 식의 양변에 을 대입하면
⋅
×C∴
×C ⋅ ⋅ 26) ④
신뢰도 일 때의 최대 오차를 구하는 것이므로
×
27) 59
계
××
의 평균
×
28) ④
모집단이 정규분포 N 을 따르므로 표본평균 는 정규분포 N 을 따른다.
∴ P ≤ ≤ P ≤≤
P ≤≤ P ≤≤
29) 93
최소 경기 이상 치러야 우승팀이 결정된다.
∴ P≤
ⅰ) 인 경우는 어느 한 팀이 경기를 연달아 이기는 경우이다.
∴ P ×
ⅱ) 인 경우는 어느 한 팀이 경기를 치루는 동안 승 패를 하고
번째 경기에서 이기는 경우이다.
∴ P ×
C
×
ⅲ) 인 경우는 어느 한 팀이 경기를 치루는 동안 승 패를 하고
번째 경기에서 이기는 경우이다.
∴ P ×
C
×
ⅳ) 인 경우는 두 팀이 경기를 치루면서 승 패를 하는 경우이다.
∴ P C
ⅰ)~ⅳ)에서
E ×E
⋅
⋅
30) ①
는 신뢰구간의 길이를 의미한다.
모표준편차가 이고 표본의 크기가 , P ≤ 이므로
× ×
이다.
[참고] 신뢰구간은
×
≤ ≤ ×
즉,
≤ ≤
이다.
31) ②
회의 시행 중 의 배수의 눈이 나온 횟수를 라 하면 그 외의 눈이 나오는 횟수는 이므로
이다.
≥ 에서
≥
∴ ≥
∴ P≥ P≥
P
≥
P≥
P ≤≤
32) 24
뒤집은 개의 동전 중 앞면인 것의 개수를 ( , , , )라 하자.
ⅰ) 일 때, 이고 이때의 확률은
C
C×C
이다.
ⅱ) 일 때, 이고 이때의 확률은
C
C×C
이다.
ⅲ) 일 때, 이고 이때의 확률은
C
C×C
이다.
ⅳ) 일 때, 이고 이때의 확률은
C
C×C
이다.
ⅰ)~ⅳ)에 의하여 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
합계
P
∴ E
∴ E
33) ③
주머니에서 꺼낸 개의 공에 적힌 수들 중 두 수의 합이 나머지 한 수와 같은 경우는
세 수가 (, , ) (, , ), (, , ), (, , )인 경우이다.
꺼낸 세 수가 위와 같을 확률은
C
이므로
확률변수 는 이항분포 B
를 따른다.∴ E ×
,
V ×
×
∴ E V E
34) 167
두 주사위에서 나오는 눈의 수를 각각 , 라 하자.
ⅰ) 인 경우는 로 한 가지이다.
ⅱ) ( , , ⋯, )인 경우의 수는
, 모두 이하인 순서쌍 의 개수에서
, 모두 이하인 순서쌍 의 개수를 뺀 값
이다.
ⅰ), ⅱ)에서
( , , ⋯, )인 경우의 수는 개다.
∴E
⋅P
∴ E E
∴ ,
∴
35) ⑤
P P P P 에서
∴
∴ E ×
×
×
×
36) ①
E , 라 하면 조건 (가)에 의하여
E , (∵ ) 조건 (나)에서
P≤ P≥
⇔ P
≤
P
≥
⇔
∴ (∵ ) 조건 (다)에서
P≤ P≥
⇔ P
≤
P
≥
(∵ )⇔
∴ (∵ )
∴ E
37) ② E 이므로
E E E
( )라 하면
P≤ P≥ 에서 P
≤
P
≥
따라서
에서
∴
38) 71
는 신뢰구간의 길이를 의미한다.
모표준편차가 (GB)이고 P ≤≤ 이므로
× ×
× ×
≤ 에서 ≥
