1. 순열과 조합
1. 흰색 깃발 개, 파란색 깃발 개를 일렬로 모두 나열할 때, 양 끝에 흰색 깃발이 놓이는 경우의 수는?1)
(단, 같은 색 깃발끼리는 서로 구별하지 않는다.)
[3점][2012년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
2. 그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 A지점에서 출발하여 C지점을 지나지 않고, D 지점도 지나지 않으면서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?2 )
[3점][2013년 수능]
① ② ③
④ ⑤
3. 자연수 에 대하여 HC일 때, H의 값을 구하시 오.3 )
[3점][2012년 수능]
4. 같은 종류의 주스 병, 같은 종류의 생수 병, 우유 병을
명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?4) (단, 병도 받 지 못하는 사람이 있을 수 있다.)
[3점][2013년 수능]
① ② ③
④ ⑤
5.5) 숫자 에서 중복을 허락하여 개를 택할 때, 숫자 가 한 개 이하가 되는 경우의 수는?
[3점][2014년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
6.6) 흰색 탁구공 개와 주황색 탁구공 개를 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 흰색 탁구공과 주 황색 탁구공을 각각 한 개 이상 갖도록 나누어 주는 경우의 수는?
[4점][2014년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
7.7) 연립방정식
을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2015년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
8.8) 다음 조건을 만족시키는 자연수 , , 의 모든 순서쌍
의 개수를 구하시오.
[4점][2015년 수능]
(가) × × 는 홀수이다.
(나) ≤ ≤ ≤
수능 기출
확률과 통계
1. 순열과 조합
- 2 - 9.9 ) 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , , 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2016년 수능]
(가) , , , , 중에서 의 개수는 이다.
(나)
① ② ③
④ ⑤
10.1 0) 세 정수 , , 에 대하여
≤ ≤ ≤ ≤
를 만족시키는 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2016년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
11. 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수는?11 )(단, 는 상수이다.)
[3점][2012년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
12.1 2) 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수
의 값은?
[3점][2015년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
13.1 3) 그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 A지점에서 출발하여 B지점까지 최단거리 로 가는 경우의 수는?
[3점][2012년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
14.1 4) 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드 가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 가 적혀 있는 카드는 가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열하고 홀수가 적혀 있는 카드는 작은 수부터 크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는?
[3점][2013년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
15. 서로 다른 종류의 연필 5자루를 4명의 학생 A B C D 에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?
(단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) 15 )
[3점][2015년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
16. 방정식 를 만족시키는 음이 아닌 정수해 의 순서쌍 의 개수를 구하시오.16)
[3점][2012년 6월]
평가원 기출
1. 순열과 조합 17.1 7) 고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 개를 주문하
는 경우의 수가 일 때, 고구마피자, 새우피자, 불고기피자 를 적어도 하나씩 포함하여 개를 주문하는 경우의 수는?
[3점][2013년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
18.1 8) ≦ ≦ ≦ ≦ ≦ 을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[3점][2013년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
19.1 9) 방정식 를 만족시키는 이상의 정수 , ,
의 모든 순서쌍 의 개수는?
[3점][2013년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
20.2 0) 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수는?
[4점][2014년 6월]
㈎
㈏ 좌표평면에서 세 점 가 직선 위에 있지 않다.
① ② ③
④ ⑤
21.2 1) 네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택할 때, 세 수의 곱이 이하가 되도록 선택하는 경우의 수는?
[4점][2014년 9월]
① ② ③
④ ⑤
22.2 2) 자연수 에 대하여 을 만족시키는 1보다 큰 자 연수 의 순서쌍 의 개수가 28일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2014년 9월]
확률과 통계
1. 순열과 조합
- 4 - 23. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오. 23 )
[4점][2015년 6월]
(가) (나) ≠
24. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , 의 모 든 순서쌍 의 개수는? 24 )
[4점][2015년 9월]
(가)
(나) ≤
① ② ③ ④ ⑤
25. 다음 조건을 만족시키는 이상의 자연수 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오. 2 5)
[4점][2015년 9월]
(가)
(나) 는 모두 의 배수이다.
26. 다항식 의 전개식에서 의 계수는?2 6)
[2점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
27.2 7) 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값을 구하시오.
[3점][2012년 9월]
28.2 8) 이 이상의 자연수일 때, 에 대한 다항식
의전개식에서 의 계수를 이라 하자.
lim
→∞
의 값을 구하 시오.
[4점][2013년 9월]
29.2 9)
의 전개식에서 상수항이 일 때, 양수 의 값 을 구하시오.[3점][2014년 6월]
1. 순열과 조합
1) ①
양 끝에 흰색이 놓이면, 가운데 개는 흰색 깃발 개, 파란색 깃발
개를 일렬로 나열하는 방법의 수가 된다.
∴
2) ②
위의 그림과 같이 P지점과 Q지점을 잡자.
C지점과 D지점을 모두 지나지 않으면 P지점과 Q지점은 반드시 지난다.
따라서 구하는 경우는 A → P → Q → R → B를 지날 때이므로
경우의 수는
×
× × × × ×
3)
H C CC
∴
HHCC ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
4) ⑤
(ⅰ) 주스 병을 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는
CCC
×
(ⅱ) 생수 병을 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는
CC
×
(ⅲ) 우유 병을 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는
이다.
따라서 구하는 경우의 수는 × ×
5) ④
숫자 의 개수를 각각 라 하자.
(ⅰ) 숫자 가 택해지지 않은 경우 구하는 경우의 수는 를 만족 시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍
의 개수이므로
H C C
(ⅱ) 숫자 가 한 개 택해지는 경우 구하는 경우의 수는 를 만족 시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍
의 개수이므로
H C C
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는
6) ⑤
3명의 학생이 흰색 탁구공을 각각 , , 개씩 받는다면
≥ ≥ ≥ 인 자연수)
∴ CC …… ㉠
주황색 탁구공을 각각 ′, ′, ′개씩 받는다면
′ ′ ′ ′≥ ′≥ ′≥ 인 자연수)
∴ CC …… ㉡
㉠, ㉡에서 ×
7) ②
⋯ ㄱ
⋯ ㄴ
(ㄱ)에서 (ㄴ)을 변끼리 빼면
∴
(ㄴ)에서 를 대입하여 정리하면
따라서, 을 만족하는 음이 아닌 정수 의 순서쌍
의 개수는 서로 다른 3개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
×
×
이때, 는 항상 2이므로 순서쌍 의 개수도 45이다 8) 220
× × 가 홀수이므로, 는 모두 홀수이다 이때, ≤ ≤ ≤ 을 만족시키는 순서쌍 는
⋯ 에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 경우의 수와 같으므로
× ×
× ×
9) ④
[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?
인 것 개를 정하는 경우의 수는
C ×
×
··· ㉠
일 때 을 만족시키는 자연수 의 순서쌍 의 개수는
′ , ′ , ′ (단, ′ ′ ′는 음이 아닌 정수) 라 하면
′ ′ ′
′ ′ ′
을 만족시키는 순서쌍 ′ ′ ′의 개수와 같으므로
CCC
×
×
··· ㉡
㉠, ㉡에서 구하고자 하는 순서쌍의 개수는
×
10) ③
[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?
주어진 조건을 만족시키는 세 자연수 의 순서쌍
의 개수는 이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여
개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
이때 는 각각 음의 정수와 양의 정수의 값을 가질 수 있으므로 순서쌍 의 개수는 의 개수의
배와 같다.
따라서 구하는 순서쌍의 개수는
H× C×
C×
확률과 통계
1. 순열과 조합
- 6 -
× ×
× ×
×
11) ①
의 계수는 C이므로
C
∴
따라서, 이 계수는 C
⋅⋅
12) ②
⋯ 이므로 ×
×
∴ ∵
13) ④
A C
B
A 지점에서 C 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는
C 지점에서 B 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는 ×
14) ②
, 를 , 로, , , 를 , , 로 치환하여
, , , , , 을 일렬로 배열한 경우의 수와 같다.
∴ ×
(다른 풀이)
□ □ □ □ □ □ 에 대하여 2, 4와 1, 3, 5의 순서가 정해 진 나열이므로
2, 4 자리를 선택하는 경우의 수: C
남은 4자리에 1, 3, 5 선택하는 경우의 수: C
∴ C×C ×
15) ①
16)
순서쌍 의 개수는 , , , 의 개 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
∴
⋅⋅
⋅⋅
(개) 17) ②
서로 다른 3종류에서 중복을 허락하여 가지를 선택하는 경 우의 수가 36가지 이므로
∴
고구마 피자, 새우피자, 불고기 피자를 적어도 하나씩 포함하 여 7개를 선택하는 경우의 수는 는 자연수
의 해의 순서쌍과 같으므로
18) ④
부터 까지의 개의 수중에서 개의 수를 중복하여 뽑는 것이므로
∴
19) ③
′ ′ ′ 일 때, ′ ′ ′ ′ ′ ′≥
∴
×
×
20) ⑤
을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 의 개수는 HC 개 이다.
(나) 조건에서 는 한 직선 위에 있지 않으므로
≠ 즉, ≠ 이다
를 만족하는 다음 5가지를 제외한다.
따라서 순서쌍 를 구하면
이다.
따라서 만족하는 개수는 (개) 21) ③
네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택하는 경우의 수는
× ×
× ×
… ㉠
이때, 네 개의 자연수 은 각각 으로 나타낼 수 있고, 이므로 ㉠ 중에서
인 경우는 제외해야 하므로 구하고자 하는 경우의 수는
22) ９
자연수 에 대하여 을 만족시키는
보다 큰 자연수 는 (단, 는 자연수)꼴이므로
이라 하면 이고
을 만족시키는 자연수 의 순서쌍
개수가 일 때이다.
즉,
을 만족시키는 자연수 의 값은 이다.
23) 68
인 경우의 수에서 인 경우의 수를 빼면 된 다.
을 만족하는 음이 아닌 정수해 개수는
이고
① 일 때
을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는
가지
②
을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는
가지
③
을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는
가지
④
1. 순열과 조합
을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는
인 가지
따라서 구하는 순서쌍 ( ) 의 개수는
가지이다.
24) ① 1) 일 때,
(가)조건으로부터
(나)조건의 ≤ 에 모순 2) 일 때,
(가)조건으로부터 (나)조건의 ≤ 에 모순 3) 일 때,
(가)조건으로부터 ∴ H
4) 일 때,
(가)조건으로부터 ∴ H
1), 2), 3), 4)로부터 구하고자 하는 순서쌍 의 개 수는
25) 32
① 일 때,
단, 은 자연수)로 놓으면
⇒ 단, 은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 의 개수가 순서쌍 의 개수와 같으므로 가지이다.
② 일 때,
단, 은 자연수)로 놓으면 을 만족시키는 자연수 은 존재하지 않는다.
③ 일 때,
단, 은 자연수)로 놓으면
⇒ 단, 은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 의 개수가 순서쌍 의 개수와 같으므로 가지이다.
④ 일 때,
단, 은 자연수)로 놓으면
⇒ 단, 은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 은 밖에 없으므로 순서쌍 의 개수는 1가지이다.
⑤ ≥ 이면 만족시키는 순서쌍 은 존재하지 않는다.
따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 의 개수 는 가지이다.
26) ④
다항식 의 전개식의 일반항은
의 계수는
27) 12
의 전개식의 일반항은
이때, 항은 일 때이므로 의 계수는
×
××
이므로
28)
⋅ ⋅
lim
→∞
lim
→∞
29) 3
의 전개식의 일반항은
상수항은 일 때 이므로 상수항은 ⋅
∴ ∵
2. 확률
1. 상자 에는 빨간 공 개와 검은 공 개가 들어 있고, 상자 는 비어 있다. 상자 에서 임의로 개의 공을 꺼내 어 빨간 공이 나오면 [실행]을, 빨간 공이 나오지 않으면 [실행]를 할 때, 상자 에 있는 빨간 공의 개수가 일 확 률은?1 )
[실행] 꺼낸 공을 상자 에 넣는다.
[실행] 꺼낸 공을 상자 에 넣고, 상자 에서 임의로
개의 공을 더 꺼내어 상자 에 넣는다.
[3점][2012년 수능]
①
②
③
④
⑤
2. 다음 좌석표에서 행 열 좌석을 제외한 개의 좌석에 여 학생 명과 남학생 명을 명씩 임의로 배정할 때, 적어도 명의 남학생이 서로 이웃하게 배정될 확률은 이다. 의 값을 구하시오.2) (단, 명이 같은 행의 바로 옆이나 같은 열의 바로 앞뒤에 있을 때 이웃한 것으로 본다.)
[4점][2013년 수능]
3. 두 사건 와 는 서로 독립이고, P∪
, P
일 때, P∩의 값은?3) (단, 은 의 여사건이다.)
[3점][2012년 수능]
①
②
③
④
⑤
4.4) 주머니 에는 흰 공 개와 검은 공 개가 들어 있고, 주 머니 에는 흰 공 개와 검은 공 개가 들어 있다. 주머니
에서 임의로 개의 공을 꺼내어 흰 공이면 흰 공 개를 주 머니 에 넣고 검은 공이면 검은 공 개를 주머니 에 넣은 후. 주머니 에서 임의로 개의 공을 꺼낼 때 꺼낸 공이 흰 공일 확률은?
[4점][2014년 수능]
①
②
③
④
⑤
5. 두 사건 에 대하여 P ∩
, P P
일 때, P 의 값은?5 ) (단, 은 의 여사건이다.)
[3점][2013년 수능]
①
②
③
④
⑤
6.6) 두 사건 가 서로 독립이고 P
P
일 때, P∩의 값은? (단, 은 의 여사건이다.)
[3점][2014년 수능]
①
②
③
④
⑤
수능 기출
확률과 통계
2. 확률
- 2 - 7.7 ) 두 사건 에 대하여
∪
∩
일 때, 의 값은?
[3점][2014년 수능]
①
②
③
④
⑤
8.8 ) 두 사건 , 에 대하여 P
, P∩
일 때, P의 값은? (단, 은 의 여사건이다.) [4점][2015년 수능]
①
②
③
④
⑤
9.9 ) 두 사건 , 에 대하여 과 는 서로 배반사건이고 P P
일 때, P∩의 값은? (단, 은 의 여사건이다.) [3점][2015년 수능]
①
②
③
④
⑤
10.1 0) 두 사건 , 에 대하여 P
P
일 때, P ∩의 값은?
[3점][2016년 수능]
①
②
③
④
⑤
11.1 1) 두 사건 , 가 서로 독립이고 P c
, P ∩
일 때, P c의 값은? (단, c은 의 여사건이다.) [3점][2016년 수능]
①
②
③
④
⑤
12. 주머니 에는 , , , , 의 숫자가 하나씩 적혀 있는
장의 카드가 들어 있고, 주머니 에는 , , , , , 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 들어 있다. 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 의 배수이면 주머 니 에서 임의로 카드를 한 장 꺼내고, 의 배수가 아니면 주머니 에서 임의로 카드를 한 장 꺼낸다. 주머니에서 꺼낸 카드에 적힌 수가 짝수일 때, 그 카드가 주머니 에서 꺼낸 카드일 확률은?12 )
[3점][2012년 수능]
①
②
③
④
⑤
2. 확률 13. 어느 학교 전체 학생의 는 버스로, 나머지 는 걸
어서 등교하였다. 버스로 등교한 학생의
이 지각하였고, 걸어서 등교한 학생의
이 지각하였다. 이 학교 전체 학생 중 임의로 선택한 명의 학생이 지각하였을 때, 이 학생이 버스로 등교하였을 확룔은?13 )
[3점][2013년 수능]
①
②
③
④
⑤
14.1 4) 어느 마라톤 대회에 참가한 명의 동호회 회원 중 마라 톤에서 완주한 회원 수와 기권한 회원 수가 다음과 같다.
(단위: 명)
구분 남성 여성
완주한 회원 수 27 9
기권한 회원 수 8 6
참가한 회원 중에서 임의로 선택한 한 명의 회원이 여성이었을 때, 이 회원이 마라톤에서 완주하였을 확률이 이다. 의 값 을 구하시오.
[3점][2014년 수능]
15.1 5) 어느 학교의 전체 학생 명을 대상으로 수학동아리 가 입여부를 조사한 결과 남학생의 와 여학생의 가 수학 동아리에 가입하였다고 한다. 이 학교의 수학동아리에 가입 한 학생 중 임의로 명을 선택할 때 이 학생이 남학생일 확 률을 , 이 학교의 수학동아리에 가입한 학생 중 임의로 명 을 선택할 때 이 학생이 여학생일 확률을 라 하자. 일 때, 이 학교의 남학생의 수는?
[4점][2015년 수능]
① ② ③ ④ ⑤
16.1 6) 어느 회사의 직원은 모두 명이고, 각 직원은 두 개의 부서 A, B 중 한 부서에 속해 있다. 이 회사의 A부서는
명, B부서는 명의 직원으로 구성되어 있다. 이 회사의 A 부서에 속해 있는 직원의 가 여성이다. 이 회사 여성 직 원의 가 B부서에 속해 있다. 이 회사의 직원 명 중에 서 임의로 선택한 한 명이 B부서에 속해 있을 때, 이 직원 이 여성일 확률은 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2016년 수능]
17. 흰 공 개, 검은 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 개의 공의 색이 서로 다르면 개의 동전을 번 던지고, 꺼낸 개 의 공의 색이 서로 같으면 개의 동전을 번 던진다. 이 시 행에서 동전의 앞면이 번 나올 확률은?17 )
[3점][2013년 수능]
①
②
③
④
⑤
18.1 8) 한 개의 동전을 번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수와 뒷 면이 나오는 횟수의 곱이 일 확률은?
[3점][2016년 수능]
①
②
③
④
⑤
확률과 통계
2. 확률
- 4 - 19.1 9) 주머니 안에 , , , 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 장 의 카드가 있다. 주머니에서 갑이 장의 카드를 임의로 뽑고 을이 남은 장의 카드 중에서 장의 카드를 임의로 뽑을 때, 갑이 뽑은 장의 카드에 적힌 수의 곱이 을이 뽑은 카드에 적힌 수보다 작을 확률은?
[3점][2012년 9월]
①
②
③
④
⑤
20. 어느 도서관 이용자 명을 대상으로 각 연령대별, 성 별 이용 현황을 조사한 결과는 다음과 같다.
구분 세이하 대 대 세이상 계
남성
여성
이 도서관 이용자 명 중에서 대가 차지하는 비율은 이다. 이 도서관 이용자 명 중에서 임의로 선택한 명이 남 성일 때 이 이용자가 대일 확률과, 이 도서관 이용자 명 중에서 임의로 선택한 명이 여성일 때 이 이용자가 대일 확 률이 서로 같다. 의 값을 구하시오. 20)
[4점][2015년 9월]
21. 주머니에 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 개 의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시 에 꺼내어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀있는 수를 라 할 때, ≤ ≤ ≤ 일 확률은? 2 1)
[4점][2015년 9월]
①
②
③
④
⑤
22.2 2) 두 사건 A와 B는 서로 배반사건이고 P A∪B P B 일 때, P A의 값은?
[점][2014년 9월]
①
②
③
④
⑤
23.2 3) 두 사건 에 대하여
∩
일 때,
∩
∪
의 값은? (단, ∩ ≠ 이다.)
[3점][2014년 9월]
① 3 ②
③ 4 ④
⑤ 5
24. 두 사건 , 에 대하여 P∩ P∩
, P∪
일 때, P∩의 값은? (단, 은 의 여사건이다.)24)
[4점][2015년 9월]
①
②
③
④
⑤
평가원 기출
2. 확률
25. 두 사건 , 가 서로 독립이고 P
, P∩ P∩
일 때, P 의 값은? (단, 은 의 여사건이다.)25)
[3점][2015년 9월]
①
②
③
④
⑤
26.2 6) 명의 학생 A B C D E가 김밥, 만두, 쫄면 중에서 서 로 다른 종류의 음식을 표와 같이 선택하였다. 이 명 중에 서 임의로 뽑힌 한 학생이 만두를 선택한 학생일 때, 이 학 생이 쫄면도 선택하였을 확률은?
[3점][2012년 9월]
①
②
③
④
⑤
27.2 7) A가 동전을 개 던져서 나온 앞면의 개수만큼 B가 동 전을 던진다. B가 던져서 나온 앞면의 개수가 일 때, A가 던져서 나온 앞면의 개수가 일 확률은?
[3점][2012년 9월]
①
②
③
④
⑤
28.2 8) 휴대 전화의 메인 보드 또는 액정 화면 고장으로 서비스 센터에 접수된 건에 대하여 접수 시기를 품질보증 기간 이내, 이후로 구분한 결과는 다음과 같다.
(단위: 건) 구분 메인 보드 고장 액정 화면 고장 합계
기간 이내
기간 이후
접수된 건 중에서 임의로 선택한 건이 액정 화면 고장 건일 때, 이 건의 접수 시기가 품질보증 기간 이내일 확률이
이다. 의 값을 구하시오. (단, 메인 보드와 액정 화면 둘 다 고장인 경우는 고려하지 않는다.)
[3점][2013년 9월]
29.2 9) 어느 학교의 독후감 쓰기 대회에 , 학년 학생 명이 참가하였다. 이 대회에 참가한 학생은 다음 두 주제 중 하나 를 반드시 골라야 하고, 각 학생이 고른 주제별 인원수는 표 와 같다.
(단위: 명)
구분 학년 학년 합계
주제
주제
합계
이 대회에 참가한 학생 명 중에서 임의로 선택한 명이
학년 학생일 때, 이 학생이 주제 를 고른 학생일 확률을
이라 하고, 이 대회에 참가한 학생 명 중에서 임의로 선 택한 명이 주제 를 고른 학생일 때, 이 학생이 학년 학 생일 확률을 라 하자.
의 값은?
[3점][2013년 9월]
①
②
③
④
⑤
확률과 통계
2. 확률
- 6 - 30.3 0) 다음 조건을 만족시키는 좌표평면 위의 점 중에서 임의로 서로 다른 두 점을 선택한다. 선택된 두 점의 좌표 가 같을 때, 이 두 점의 좌표가 2일 확률은?
[4점][2014년 9월]
(가) 는 정수이다.
(나)
①
②
③
④
⑤
31.3 1) 어느 직업 체험 행사에 참가한 명의 A 고등학교
학년 학생 중 남학생과 여학생의 수는 다음과 같다.
(단위 : 명)
구분 남학생 여학생
학년
학년
이 행사에 참가한 A 고등학교 학년 학생 중에서 임의로 선 택한 명이 여학생일 때, 이 학생이 학년 학생일 확률은?
[3점][2014년 9월]
①
②
③
④
⑤
32.3 2) 한 개의 주사위를 는 번 던지고 는 번 던질 때,
의 배수의 눈이 나오는 횟수를 각각 , 라 하자. 의 값이 일 확률은?
[3점][2013년 9월]
①
②
③
④
⑤
2. 확률
1) ④
주어진 실행에 의하여 상자 B에 있는 빨간 공의 개수가 인 경우는 다음과 같다.
ⅰ) 빨간 공 개, 검은 공 개를 뽑은 경우
C
C×C
ⅱ) 검은 공 개 뽑은 후 빨간 공 개, 검은 공 개인 경우
C
C
× C
C⋅C
이므로 ⅰ), ⅱ)에 의해
이다.
2)
명이 자리에 앉는 경우의 수는
이때, 적어도 명의 남학생이 서로 이웃하게 배정되는 사건을 라 하면 은 명의 남학생이 서로 이웃하게 배정되지 않는 사 건이다. 이때, 사건 이 일어날 경우는 다음 두 가지이다.
따라서 이 일어나는 경우의 수는 × ×
∴ P P
× ×
× × ×
× × ×
∴ ×
[다른 풀이]
여사건은 이웃한 남학생이 없는 경우이므로
×
∴
3) ⑤ 조건에서
ⅰ) P P P∩
P P⋅P
(∵는 독립)
∴ P
ⅱ) P∪ P P P∩
P P P⋅P
(∵ 는 독립)
∴
P
P
P
∴ P
P∩ P⋅P P⋅ P
×
(∵ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여)
4) ⑤
주머니 A에서 흰 공을 꺼내는 경우와 검은 공을 꺼내는 경우로 나누어 생각하면
ⅰ) 흰 공을 꺼내는 경우
×
ⅱ) 검은 공을 꺼내는 경우
×
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 확률은
5) ②
P P 에서
P P ∩
P
P ∩
∴ P ∩ P ∩ ×
∴ P P ∩ P ∩
6) ②
두 사건 , 가 서로 독립이므로
P∩ P⋅P P⋅ P
×
7) ②
∪ ∩에서
∪ ∩ ∩
∴∩
∩ ∩
∴
8) ⑤
∩
이때, ∩ ∩
이므로
∩
9) ②
이고, 과 가 서로 배반사건이므로
∩
∴ ∩ ∪
10) ①
[출제의도] 확률의 관계식에서 확률의 값을 구할 수 있는가?
P P P∩
이므로
확률과 통계
2. 확률
- 8 - P∩
×P
×
11) ④
[출제의도] 확률의 성질을 이용하여 조건부확률을 구할 수 있는가?
Pc
에서 P
∴ P
또, 두 사건 가 서로 독립이므로 P∩
에서
P
∴ P
그리고 두 사건 가 서로 독립이면 두 사건 c 도 서로 독립이므로
Pc P
12) ④
주머니에서 꺼낸 카드가 짝수일 경우를 모두 구하면 다음의 두 가지 경우이다.
ⅰ) 주사위가 또는 이 나오고, A 주머니에서 짝수가 나올 확률은
×
ⅱ) 주사위가 또는 또는 또는 가 나오고, B 주머니에서 짝수가 나올 확률은
×
따라서, 구하는 확률(조건부확률)은
13) ⑤
버스로 등교하는 사건을 , 지각하는 사건을 라 하면 구하는 확률은 사건 가 일어났을 때 사건 가 일어 날 조건부확률이므로
P P P ∩
P ∩ P ∩ P ∩
×
×
×
14)
참가한 회원 명 중에서 임의로 선택한 한 명이 여성인 사 건을 , 마라톤에서 완주하였을 사건을 라 하면 구하는 확 률은
∩
∴ ×
15) ④
남학생인 사건을 , 수학동아리에 가입한 사건을 라 하자
에서
∩
∴∩
에서
∩
∴∩
이때,
∩
∩ 이고 이므로
∩
∩
∴
따라서, 구하는 남학생의 수는
×
명
16)
[출제의도] 조건부확률을 이용하여 확률을 구할 수 있는가?
직원 명을 두 부서 A B와 남자, 여자로 나누어 표로 나타내면 다음과 같다.
A 부서 B 부서
남자
여자
(단위 : 명)
여성 직원의 수를 이라 하면 B 부서에 속해있는 여성 직원의 수는 이므로 에서
임으로 택한 직원이 B 부서인 사건을 , 여성직원이 사건을 라 하면
P P P∩
따라서
이므로 ×
17) ①
(ⅰ) 꺼낸 공의 색이 다른 경우
꺼낸 공의 색이 다르고, 개의 동전을 번 던져서 앞면이 번 나올 확률은
C
C×C
×C
×
(ⅱ) 꺼낸 공의 색이 같은 경우
꺼낸 공의 색이 같고, 개의 동전을 번 던져서 앞면이 번 나 올 확률은
C
CC
×
×
2. 확률 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은
18) ①
[출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가?
한 개의 동전을 번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 , 뒷면이 나오는 횟수를 라 하자.
이때 ⋅ 인 경우와 확률은 다음과 같다.
(ⅰ) 일 때,
C
(ⅱ) 일 때,
C
그러므로 구하는 확률은
19) ③
나올 수 있는 모든 경우의 수는 C×C (가지) 을이 뽑은 장의 카드에 적힌 수를 라 하고
갑이 뽑은 장의 카드에 적힌 두 수의 곱을 라 할 때 가능한 경우의 수는 다음과 같다.
(ⅰ) 일 때, ×
∴ 가지
(ⅱ) 일 때, ×
×
∴ 가지
따라서 구하는 확률은
C×C
20)
도서관 이용자 명 중에서 대가 차지하는 비율이 이 므로 × ⇔ ⋯ ㉠
도서관 이용자 명 중에서 임의로 택한 명이 남성일 때 이 이용자가 대일 확률과 임의로 택한 명이 여성일 때 이 이용자가 대일 확률이 서로 같으므로
⋯ ㉡
㉠, ㉡으로부터 , ∴
21) ①
1) 1을 두 개 포함한 경우
1의 공 두 개를 다른 것으로 취급해 계산한다.
××
2) 1을 한 개 포함한 경우(1,2,3,4)
×
1), 2)에 의하여
∴
22) ⑤
두 사건 와 는 서로 배반사건이므로 P A∩B
따라서
P A∪B P A P B P B 이므로
×
23) ①
P∩
P P P∩
P∩
P∩
P∩ P∩
24) ④
P∩ (는 상수)라 놓으면 P∩ P∩
이므로
P P∩ P∩
P P∩ P∩
그런데 P∪ P P P∩
이므로
∴
25) ②
, 가 서로 독립이므로
, 가 서로 독립이고, , 가 서로 독립이다.
따라서 주어진 식에 P
와 P P 를 대입하면 P∩ P∩ P ⋅P P ⋅P
P ⋅ P P ⋅P
⋅ P
⋅P
⋅P
⇒ ⋅P
∴P
26) ③
명 중 임의로 뽑힌 한 학생이 만두를 선택한 학생일 사건을
, 쫄면을 선택한 학생일 사건을 이라 하면 구하는 확률은
P ∣ P P ∩
27) ④
A가 2개의 동전을 던져서 앞면이 한 개 나오고, B가 동전을 한 번 던져서 앞면이 한 번 나올 확률은
×
A가 2개의 동전을 던져서 앞면이 두 개 나오고, B가 동전을 두 번 던져서 앞면이 한 번 나올 확률은
×
따라서 구하는 확률은
