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이학석사학위논문
Balanced Homodyne Detection을 통한 결맞은 상태의 단층 촬영
Quantum tomography for coherent state
using balanced homodyne detection
2012년 8월
서울대학교 대학원 물리학과
김 동 훈
Balanced Homodyne Detection을 통한 결맞은 상태의 단층 촬영
지도교수 안 경 원
이 논문을 이학석사학위논문으로 제출함.
2012년 8월
서울대학교 대학원 물리학과
김 동 훈
김동훈의 이학석사학위 논문을 인준함.
2012년 8월
위 원 장 제 원 호 (인)
부위원장 안 경 원 (인)
초 록
본 실험에서는 791nm cw laser를 이용하여 Balanced homodyne detection 을 통해 결맞은 상태(coherent state)를 단층 촬영(tomography) 하였다.
두 번의 실험을 거쳐 한번은 공진기(cavity)를 지나지 않는 신호(signal)와 다 른 한번은 공진기(cavity)를 지난 신호(signal)를 이용하여 국소발진기(local oscillator)와 모드매칭(mode matching)을 통해 homodyne 실험을 진행하였 고, 각각 신호(signal)의 세기(intensity)를 키워가며 그리고 국소발진기(local oscillator)의 세기(intensity)를 키워가며 측정을 반복했다.
또한 이 데이터를 바탕으로 역 Radon 변환(Inverse radon transformation) 을 이용하여 Wigner 분포함수(Wigner distribution function)을 재구성할 수 있었다.
주요어 : Homodyne detection, 단층촬영(tomography) , Wigner 분포함수 (Wigner distribution function), 결맞은 상태 (coherent state)
학번 : 2010-20360
1. 서론 --- 1
2. 배경 이론 2.1 복사장의 양자화 --- 2
2.2 결맞은 상태 --- 7
2.3 Wigner 분포 함수 --- 15
2.4 역 Radon 변환 --- 18
3. 실험 방법 3.1 Balanced homodyne 측정 --- 20
3.2 공간적 모드매칭 --- 28
3.3 빼기 회로 --- 29
4. 실험 결과 4.1 공간적 모드매칭의 결과--- 32
4.2 Balanced homodyne 결과 4.2.1 공진기를 통과 하지 않은 신호--- 37
4.2.2. 공진기를 통과한 신호--- 40
4.3 Wigner 분포함수의 재구성 --- 45
5. 결론 및 계획 --- 50
목 차
1. 서 론
1926년 Erwin Schrödinger는 양자 동역학(Quantum dynamics)의 첫 예로써 결맞는 상태(coherent state)를 제시했다. [1]
이 결맞는 상태는 X와 P의 조합으로 구성된 좌표계에서 위상(phase)을 바꿔 가며 변화하며 고전 조화 진동자(classical harmonic oscillator)의 형태로 일 찍이 고전 전자기학에서 예측한 빛의 진행과 유사한 형태를 나타낸다.
이 논문에서는 이런 고전적인 특성을 잘 보여주는 빛의 양자역학적인 특성 을 balanced homodyne detection을 이용한 양자역학적 단층 촬영(Quantum tomography)을 통해 확인할 것이다. [2][3] 그 과정은 balanced homodyne detection으로 장(field)의 진폭(amplitude) 또는 위상(phase)에 따라 변하는 Quadrature를 측정하고 이를 역 Radon 변환(Inverse radon transformation) 을 통해 위상 공간(phase space)에서 Wigner 분포함수(Wigner distribution dunction)로 재 이미지화하여 측정한 빛이 결맞는 상태임을 확인한다.
2. 배경 이론
2.1 복사장의 양자화
고전 전자기학에서 빛은 Maxwell의 네 가지 방정식을 통해 전자기파임을 알 수 있었다. 하지만 1900년 M.Planck에 의해 양자화 개념이 만들어지고 A.Einstein에 의해 빛이 광자로 이루어져 있음을 알게 되면서 빛을 물리적으 로 정확히 설명하려면 양자화 된 복사장으로 취급하는 양자 광학이 필요함을 알게 되었다.
먼저 복사장의 양자화에 대해 다뤄보자. 양자 물리가 고전 물리와 구분되는 가장 큰 차이는 물리량들이 연산자로 표현이 된다는 것이다. 따라서 고전적 으로 전기장으로 표현되는 전기장 벡터 와 자기장 벡터 를 연산자로 바 꿔 표현하여 양자화를 진행한다. 과정은 다음과 같다. [4]
우선, 전하와 전류가 없는 자유 공간 에서의 Maxwell 방정식을 생각해보자.
∇ ×
∇ ×
∇ ∘
∇ ∘
이 때 전기장의 전파 방정식은
∇
(2.1.2)
으로 유도된다. 위 식을 만족하고 아래 그림과 같이 완전 도체로 이뤄진 공 진기(cavity) 안에 x-축 방향으로 편광 되어 있고 z-축으로 진행하는 전기장 을 생각해보자.
X
0 L Z
Y
그림 2.1.1 길이 L을 갖는 공진기(cavity) 안에서의 전기장
이 전기장의 모든 모드를 푸리에급수(Fourier series)로 전개해보면,
sin (2.1.3)
여기서,
똑같은 방식으로 자기장 역시
cos (2.1.4)
로 표현된다. 이때의 임의의 한 모드 의 한주기당 평균에너지는 다음과 같 다.
(2.1.5)
우선 전기장에 대해
sin
sin
다음으로 자기장에 대해
따라서 모든 모드에 대해 Hamiltonian은 다시
(2.1.8)
으로 표현되고 식에서 볼 수 있듯이 서로 독립적인 조화진동자(Harmonic oscillator)들의 에너지와 수학적으로 동일한 형태를 가짐을 알 수 있다.
다음과 같이 표현되는 두 연산자
exp
exp
를 이용하여 전기장과 자기장을 다시 표현하면 각각,
sin
cos 으로 표현되며, 여기서
이고 이는 전기장의 단위를 나타낸다.2.2 결맞은 상태
결맞은 상태는 양자 조화 진동자의 상태 중 고전 물리에서 다룬 조화 진동 자와 가장 가까운 운동의 형태를 보여준다. 이는 다음과 같이 확인할 수 있 다. [5]
먼저 앞장에서 연산자화 된 전기장에 대한 기댓값 즉, 소멸 연산자 (anihilation operator)에 대한 고유 상태 (Eigen state)를 찾기 위해 라는 상태를 다음과 같이 정의 하자.
(2.2.1)
다시 를 number state 의 완전 집합으로 표현하면
∞ (2.2.2)따라서 (2.2.1)식을 다시 표현하면
∞
∞
∞ (2.2.3)
따라서 (2.2.3)식에서 볼 수 있듯이
(2.2.4)
그러므로 결맞은 상태는 다음과 같이 표현된다.
∞
(2.2.5)
규격화(normalization)를 통해 를 찾아보면,
′
′ ′
′
∞ exp(2.2.6)
여기에서 exp
임을 알 수 있다.
그리하여 결맞은 상태는 다음과 같다.
exp
∞
(2.2.7)
이제 이를 바탕으로 전기장 연산자의 기댓값을 구해보면,
≧
∘ ∘
sin ∘
(2.2.8)
여기서
를 극좌표 형식으로 바꾼 exp 를 이용하였다. 앞에서 확인 할 수 있었듯이 전기장의 기댓값은 정확한 값을 가지며 고전 전기장에 봤던 sine함수의 형태를 나타냄을 알 수 있다.또한 이를 이용해서 전기장이 가지는 요동(fluctuation)의 크기를 알 수 있 다. 우선 전기장 제곱한 것의 기댓값을 구해보면
sin ∘ (2.2.9)
으로 나오고 이를 바탕으로 전기장의 요동의 크기를 구해보면
∆
(2.2.10)
을 얻을 수 있다.
위의 결과에서 볼 수 있듯이 전기장의 요동에 광자의 개수 n이 포함되지 않 음을 확인할 수 있고, 이는 광자에 관계없이 아무것도 없는 진공에서 요동하 는 값이 존재한다는 것을 의미하며 우리가 얻는 전기장 신호의 값엔 제거할 수 없는 잡음(Noise)이 포함되어 있음을 알 수 있다.
또한 결맞은 상태는 최소 불확정성을 가지는 상태임을 확인할 수 있다.
우선 와를 와로 다시 나타내면
이고 불확정성의 크기를 구하기 위해 ∆와 ∆를 구해보면,
∆
(2.2.11)
∆
(2.2.12)
그리고
∆
(2.2.13)
따라서 결맞음 상태는
∆ ∘∆
(2.2.14)
의 최소 불확정성을 만족하는 양자 상태이다.
위상공간(phase space)에서 앞선 결과들을 고찰해보면 시간에 따른 결맞은 상태의 특징을 더 직관적으로 이해할 수 있다.
우선,
(2.2.15)
로 정의되는 두 quadrature 연산자를 도입하자. 과 역시 앞서 확인한 최 소 불확정성을 만족하는 양자 상태임을 쉽게 확인할 수 있다. 이를 만족시키 는 의 2차원 공간에서 에 값에 대응하며 ∆∆를 반지름으로 갖는 위상 공간을 생각하자.
결맞은 상태에서는
(2.2.16)
으로 나타나고 이를 그림으로 보면
∆
∆
∆
그림 2.2.1 위상공간에서의 결맞은 상태
(2.2.17)
이며 그림에서 색칠된 원은 불확정도를 뜻한다. 그림 [2.2.1]를 θ를 0에서 2π 까지 변화시키면 그 궤적은 다음과 같이 나타난다.
그림 2.2.2 0에서 2π까지 변화시킨 궤적과 불확정도
이를
에 평행한 면에 사영(projection)시키면 다음과 같이 나타난다.
t
그림 2.2.3 평행면에 사영시켰을 때의 그래프
수식적으로는 시간에 따른 상태의 변화는
exp
로 나타나고, exp
exp cos
exp
exp sin
(2.2.18)
이고 앞장의 전기장을 quadrature 연산자로 다시 표현하면 다음과 같다.
sin
(2.2.19)즉, 전기장의 시간에 다른 기댓값은
exp
exp sincos
(2.2.19)로 시간에 따라 sine 함수의 형태를 나타냄을 확인할 수 있다.
2.3 Wigner 분포 함수
광학적 Homodyne 단층촬영을 통해 측정한 결과를 올바르게 판단하기 위해 서는 위상 공간 상에서의 확률 분포를 나타내어주는 Wigner 분포 함수 (Wigner distribution function)을 이용한다. Wigner 분포 함수가 구현되는 형 태를 보면 양자 역학의 연산자가 포함된 복잡한 계산 없이 바로 직관적인 판 단을 내릴 수 있는 방법을 제공해 준다.
Wigner 분포 함수는 1932년 Wigner가 Bolzmann 공식의 양자 수정항을 유 도하는 과정에서 수학적인 편의를 위하여 도입하였다. [6]
식의 형태는 다음과 같다.
exp (2.3.1) 여기서, exp (2.3.2)
는 Wigner 특성 함수이다. 이 Wigner 분포 함수를 양자 광학에 적용하면
(2.3.3)
으로 나타나고 여기에서
(2.3.4)으로 정의하면 Wigner 특성 함수는 다음과 같이 표현된다.
exp (2.3.5)
그리고 Wigner 분포 함수는
exp (2.3.6)으로 정의된다. 따라서 이 Wigner 분포 함수를 결맞은 상태 에 대해 구 해보면 Campbell-Baker-Hausdorff theorem [7]
exp exp
expexp
exp
exp exp
(2.3.7)
에 의해 Wigner 분포 함수는
exp exp exp (2.3.8)이고 이를 에 대한 복소 좌표계(complex coordinate)에서 가우시안 적분 (Gaussian integral)
exp ±
(2.3.9)
을 이용하면 Wigner 분포함수는
(2.3.10)
으로 표현된다. 따라서 모든 곳에서 양수 값을 가지는 위 결과는 고전물리에 서 예측한 결과와 일치한다. 고전물리에서 양수 값을 가지는 이유는
(2.3.11)을 만족하는 Wigner 분포 함수 W(q,p)는 양자역학에서의 규격화 (Nomalization) 형태
(2.3.12)의 형태와 비슷하므로
는 의 확률밀도와 비교된다. 그런데 고전물 리에서는 확률 값이 음의 값을 가질 수 없으므로 결맞은 상태는 고전물리의 조건을 만족하는 상태라는 것을 알 수 있다.
이는 Squeeze state에서 Wigner 분포 함수가 음의 값을 가지는 비고전적인 상태를 고려하여 W(q,p)를 Quasiprobability 밀도(denstiy)라 부른다.
2.4 역 Radon 변환
직접적으로 측정할 수 없는 물리량을 사영(Projection)된 형태로 측정하고 이를 다시 역으로 사영하여 원래의 상(Image)을 재구성하는 방법이다. [8]
구체적인 과정은 다음과 같다.
Balanced homodyne으로는 θ에 따라 변하는 qudrature 값만 측정할 수 있 다. 빛의 상태를 판단하기 위한 Wigner 분포 함수로 나타내기 위해서는 3 차원의 분포를 사영(Projection)시켜 각도에 다른 단면의 형태로 변환시키는 Radon 변환을 역이용한다. 쉽게 그림으로 도식화하면 다음과 같다.
그림 2.4.2 역 Radon 변환
위 그림과 같이 각도에 따른 사영된 상을 재조합해서 원래의 3D 상(image) 을 재구성시킨다. 이때 사용한 식은 다음과 같다.
∞
∞
∞
∞
exp
(2.4.1)
3. 실험 방법
3.1 Balanced homodyne 측정
Homodyne 측정은 강한 국소발진기(Local oscillator)를 이용해 약한 신호 (Signal)의 진폭(Amplitude)과 위상(Phase)을 측정하기 위한 방법으로 잘 알 려져 있다.
빛살가르개(Beam splitter)를 통해 신호(Signal)와 위상(Phase)을 조절할 수 있는 국소발진기(Local oscillator)를 공간적으로 겹치게 하는데, 빛살가르개 (Beam splitter)를 거쳐 섞여진 빔(Beam)을 각각 두 개의 광다이오드 (Photodiode)에 들어간다. 광다이오드(Photodiode)에서 광전류(Photo current) 로 변환된 광학적 신호들은 빼기 회로(Subtracting circuit)을 통해 서로 빼지 고 진폭(Amplitude)과 위상(Phase)의 곱으로 나타나는 부분만이 오실로스코 프(Oscilloscope)에 전압의 변화로 측정된다. 이를 이용하여 신호(Signal)의 Quadrature 값의 변화를 알아낼 수 있다. 과정을 간략히 묘사하면 다음과 같 다.
고전적인 관점에서 보면
방향에서 나온 빔(Beam)은
exp
exp
exp
exp
cos
sin(3.1.1)
으로 표현할 수 있다.
그림 3.1.1 Balanced homodyne detection 실험 개요
방향에서 나온 빔(Beam)은
exp
exp
exp
exp
sin(3.1.2)
따라서 빼기회로(Subtracting circuit)을 통과해 측정되는 값은
sin (3.1.3)위와 같은 사인(sine) 형태로 나타남을 예상할 수 있다.
이를 양자 역학적으로 생각해보면,
exp
exp
여기서
exp
(3.1.4)
이를 바탕으로 quadrature 값을 정의해보자.
우선,
(3.1.5)이므로 앞의 식은 다음과 같이 표현된다.
exp exp
(3.1.6)
여기서
≡
로 정의함으로써 quadrature
의 값은
(3.1.7)
임을 알 수 있다.
이제 빔(beam)이 결맞은 상태일 때 어떤 값으로 측정될지 예측해보자.
결맞은 상태의 정의
(3.1.8)여기서 exp이다 이를 앞선 식에 적용시키면
exp
exp (3.1.9)이고 따라서,
exp exp
expexp
exp expexpexpexp exp cos
(3.1.10)
따라서
cos
(3.1.11)임을 알 수 있다. 결국 측정한 결과 값은 위 식처럼 사인(sine) 함수의 형태 가 나옴을 예측할 수 있다.
다음으로 실제 실험의 구성을 살펴보자.
실험은 하나의 빔(beam)을 둘로 갈라 한쪽을 신호(signal)로 다른 한쪽을 국 소발진기(local oscillator)로 하여 측정한 실험 ①과 공진기(cavity)를 통과시 킨 신호(signal)과 국소발진기(local oscillator)를 이용한 실험 ②가 있다.
먼저 실험 ①의 구성은 다음과 같다.
Fiber를 통해 나온 791nm의 파장(wavelength)를 가진 가우시안 빔(Gaussian beam)을 초점(focal length) 4.5mm의 볼 렌즈에 통과시켜 202μm의 mode waist의 가우시안 빔(Gaussian beam)으로 만든다. 다음으로 λ/2 wave plate 와 PBS를 설치하는데, 이는 PBS를 통해 나눠진 두 빔(beam)을 λ/2 wave plate를 이용해 각 포트(port) 나오는 빔(beam)의 세기(intensity)를 조절해 한쪽은 강한 세기(intensity)를 가진 국소발진기(local oscillator)로 다른 한쪽 은 약한 세기(intensity)를 가진 신호(signal)로 이용하기 위함이다. 국소발진 기 부분(Local oscillator part)는 PZT(Piezo electric transducer)를 이용해 빔 (beam)의 위상(Phase)을 변화시켜주며, 이때 PZT엔 0V에서 500V까지의 전
신호 부분(Signal part)에서는 신호(signal)의 세기(intensity) 조절을 위해 ND filter를 설치했다. 이제 신호(signal)와 국소발진기(local oscillator)를 두 번째 PBS를 이용해 두 빔(beam)을 혼합(mixing)시키고 공간적 모드 매칭 (spatial mode matching)을 통해 서로 정확히 겹치게 한다. 그리고 λ/4 wave plate 와 PBS를 이용해 혼합된 빔(beam)의 세기(intensity)를 반반으로 정확 히 나눠준 후 각각을 초점거리 50mm렌즈를 써서 각각의 광다이오드 (photodiode)에 정확히 맞춘다.
실험 ②에서는 공진기(cavity)를 통과한 신호(Signal)는 초점거리 300mm를 가지는 렌즈를 통과하면서 평행 빔(beam)이 된다. 곧이어 초점거리 100mm 인 렌즈를 거쳐 초점(focus)되면서 지름 30μm인 핀홀(pinhole)을 통과하고 초 점거리 50mm의 렌즈를 통과하면서 mode waist는 다시 조절된다. 다음으로 국소발진기(Local oscillator)쪽을 살펴보면 Fiber를 통해 나온 791nm laser는 초점거리 4.5mm의 볼 렌즈를 지나면서 초점(focus)되고 λ/2 Wave plate를 이용해 편광의 방향을 조절해준다. 다음으로 PBS를 설치하여 위아래 방향의 편광 성분만을 통과시키고 다음으로 150mm의 렌즈를 설치하여 평행 빔을 만들어 준다. 위아래 방향의 편광 성분만을 남기는 것은 앞선 공진기(cavity) 를 통과한 신호(signal)의 편광 방향과 일치시키기 위함이고 신호(signal)가 특정 방향의 편광 성분만 가지는 것은 공진기(cavity)의 특성과 관계가 있다.
더불어 국소발진기(local oscillator)는 PZT(Piezo electric transducer)를 이 용해 빔(beam)의 위상(phase)을 변화시켜주며 이때 PZT엔 0V에서 150V까 지의 전압을 걸어준다. (PZT는 0V에서 150V까지 걸어줄 때 17μm까지 움직 인다) 이제 신호(signal)와 국소발진기(local oscillator)를 빛가르개(beam splitter)를 이용해 두 빔(beam)을 혼합(mixing)시키고 공간적 모드 매칭 (spatial mode matching)을 통해 서로 정확히 겹치게 한 후 초점거리 50mm 렌즈를 써서 APD에 정확히 맞춘다. 실험 구성은 다음과 같다.
그림 3.1.3 실험 ②의 구성
3.2 공간적 모드 매칭
두 빔(beam)을 정확히 겹치게 하기 위해서 공간적 모드 매칭(spatial mode matching)을 사용하였다.
방법은 세기 프로필(intensity profile)을 공간적으로 겹치게 만들고 위상 프 로필(phase profile)을 모드 매칭(mode matching) 시켜 두 빔(beam)이 정확 히 겹치게 되어 전파되게 만든다.
본 실험에서는 CCD를 설치하여 영상으로 봐가면서 두 빔 크기(Beam size) 를 맞추고 위상(Phase) 변화하는 국소 발진기(Local oscillator)와 신호 (Signal)의 모드(Mode)의 중심을 맞춰가는 형식으로 진행하였다. 실험 구성 은 다음과 같다.
그림 3.2.2 CCD로 mode matching
이때 사용한 CCD는 Watec사의 Monochrome-camera인 WAT-525ex 모델이 며 맺힌 영상은 가로 1 pixel 당 8.4μm 세로 1 pixel 당 9.8μm이다.
3.3 빼기 회로
서로 다른 두 빔(Beam)의 세기(intensity)의 차이를 정밀하게 측정하기 위해 서는 우선 광학적 신호를 전기적 신호로 바꿔주고 이를 서로 배주는 장치가 필요하다. 이 장치의 구성은 다음과 같다.
우선 외관은 알루미늄 상자로 되어 있으며, 앞면에 적당한 간격으로 구멍 2 개를 뚫어 빛가르개(beam splitter)를 통과한 두 빔(Beam)이 각 구멍에 위치 한 광다이오드(Photodiode)에 입사되게끔 만들었다. 두 광다이오드 (Photodiode)엔 각각 +15V(185V), -15V(185V) 의 반대 부호의 전압을 걸어 주었고 이는 직류 전원공급장치(DC power supply)를 이용하였다.
그림 3.3.1 Subtracting circuit 구성
실험 ①과 ② 각각 광다이오드(photodiode)와 사태 광다이오드(avalanche photodiode) 에 걸리는 전압이 다르므로 실험 ②의 경우는 괄호로 따로 표기 하였다.
실험 ① 광다이오드(photodiode)의 전압에 대한 감도(sensitivity)는 아래와 같이 나오며,
그림 3.3.2 Photodiode 제원
빼기 회로(Subtract circuit)를 나와서 오실로스코프(Oscilloscope)에 측정되는 전압 값은 다음과 같다.
(3.3.1) ( ≃ )
실험 ②에서 쓴 APD(C30902SH)의 응답치(responsivity)는 다음과 같으며,
그림 3.3.3 APD의 제원
빼기 회로(Subtract circuit)을 나와서 오실로스코프(Oscilloscope)에 측정되는 전압 값은 다음과 같다.
응답치(responsivity) 이며 총 이득값(tatal gain)은 6250 V/W 이 다.
4.실험 결과
4.1 공간적 모드매칭
실험 ①,② 모두 공간적 모드 매칭(spatial mode matching)을 이용해 두 빔 (beam)을 혼합(mixing) 시켰으며 여기서는 공진기(cavity)를 통과시킨 실험
②의 경우를 다루겠다.
CCD를 이용해 광학적으로 모드(Mode)를 측정한 상(Image)은 다음과 같다.
그림 4.1.1 공진기(Cavity) 통과된 신호의 상
-100 0 100 200 300 400 500 600 700 0
10000 20000 30000 40000 50000
Intensity (a.u.)
horizontal pixel
L.O.
Probe trans.
Fit Curve 1 Fit Curve 2 두 상(Image)의 프로필(Profile)을 비교해보면 다음과 같다.
그림 4.1.3 상(image)의 프로필(profile)
위와 같이 국소 공진기(Local oscillator)와 신호(Signal)의 Mode waist를 측 정한 결과는 각각 1.4mm와 1.7mm이다. [9]
다음은 모드 매칭(Mode matching)을 실시한 데이터이다. 너무 작은 세기 (Intensity)를 갖는 빔(Beam)이어서 파워미터(Power meter)로 세기 (Intensity)를 측정할 수는 없었다. 따라서 모드매칭(Mode matching)의 효율 을 계산식에 따르면
(4.1.1)
0.06 0.08 0.10 0.12 -0.12
-0.09 -0.06 -0.03
one-side output of bs (V)
time(sec)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
그림 4.1.4 한쪽을 막고 측정한 homodyne 출력(output)
이지만 APD를 통해 측정된 전압 값은 세기(intensity)에 비례하는 값이므로 위 식에서 세기(intensity) 대신 측정된 전압 값을 넣어도 무방하다.
실험시 APD에 국소발진기(Local oscillator)의 빔(Beam)만 넣었을 때의 측 정된 전압 값은 15mV
∝
이고, 마찬가지로 신호(Signal)의 빔(Beam)만 넣었을 때 측정된 전압 값은 12mV∝
이다. 이제 두 빔(Beam)을 공간 적 모드 매칭(Spatial mode matching)시키고 이를 APD에 입사했을 때 오실 로스코프(Oscilloscope)를 통해 측정한 전압의 진폭은 식의 분자에 해당하고 위의 그림에서 확인 할 수 있듯이 12mV이다. 따라서 이 값을 위의 식에 대 입해보면 공간적 모드 매칭(Spatial mode matching)의 효율이 44%가 됨을-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -0.003
-0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002
Homodyne output(V)
Time(sec) 4.2 Balanced homodyne 결과
4.2.1 공진기를 통과하지 않은 신호
먼저 같은 국소 발진기(local oscillator)의 세기(intensity) 범위에서 공진기 (cavity)를 통과하지 않고 하나의 빔(beam)을 둘로 갈라 한쪽을 신호(signal) 로 다른 한쪽을 국소발진기(local oscillator)로 하여 실행한 실험 ①의 결과를 확인해 보자. 아래의 그래프들에서 볼 수 있듯이 이미 이론에서 예측했던 Sine 함수의 형태가 나옴을 확인 할 수 있다.
그림 4.2.1 Signal에 아무것도 안 넣었을 때
1 2 -0.10
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Homodyne output(V)
Time(sec)
-300 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Ramp(V)
V 0.080 : peak Peak to
, 20uW 830uW
: L.O , 10 8.16 n
:
Signal = ´
8±
1 -0.10
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Homodyne output(V)
Time(sec)
-280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Ramp(V)
V 0.11 : peak Peak to
, 20uW 830uW
: L.O , 10 1.55 n
:
Signal = ´
19±
그림 4.2.2
V 0.64 : peak Peak to
, 20uW 830uW
: L.O , 10 90 5.
n :
Signal = ´
24±
V 2.26 : peak Peak to
, 20uW 830uW
: L.O , 10 6.52 n
:
Signal = ´
25±
그림 4.2.4
그림 4.2.5
1 -0.5
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Homodyne output(V)
Time(sec)
-300 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Ramp(V)
1 -2.0
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Homodyne output(V)
Time(sec)
-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Ramp(V)
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -3
-2 -1 0 1
probe transmission (V)
time (sec) 4.2.2 공진기를 통과한 신호
이제부터 공진기(Cavity)를 통과시킨 신호(Signal)과 국소발진기(Local oscillator)를 이용한 실험 ②의 측정 결과와 비교해 보자. Cavity lock과 laser lock을 이용하여 다음과 같이 공진기(Cavity)를 통과한 Signal을 가능 한 범위에서 최대한 안정화 시켰다. (SNR ≃ 5.06)
그림 4.2.6 cavity,laser lock을 통해 안정화 시킨 공진기를 통과한 신호
이를 이용하여 두 빔(Beam)을 공간적 모드 매칭(Spatial mode matching)한 후 빼기 회로(Subtracting circuit)를 통과시켜 측정한 데이터를 국소 발진기 (Local oscillator)의 세기(Intensity)에 따라 정리한 것은 다음과 같다. 그림에 서 알 수 있듯이 앞장에서 이론으로 예상했던 사인Sine 함수의 형태가 나옴
0.00 0.03 -0.1
0.0 0.1
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -20 -10 0 10
0.00 0.03
-0.2 0.0 0.2
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
그림 4.2.7 국소 발진기의 세기가 3.4 nW일 때
0.00 0.03 -0.8
-0.4 0.0 0.4
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
-0.04 0.00 0.04
-0.8 -0.4 0.0 0.4
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
그림 4.2.9 국소 발진기의 세기가 15.7 nW일 때
-0.04 0.00 0.04 -0.5
0.0 0.5
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
0.12 0.16
-0.5 0.0 0.5
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
그림 4.2.11 국소 발진기의 세기가 32.1 nW일 때
그림 4.2.12 국소 발진기의 세기가 38.2 nW일 때
0.09 0.12 0.15 0.18 -0.5
0.0 0.5
Homodyne(V)
Time(sec)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
그림 4.2.13 국소 발진기의 세기가 48.5 nW일 때
앞서 얻어낸 결과를 추려 보기 쉽게 도표에서 비교해보면 다음과 같다.
그림 4.2.14 국소 발진기의 세기에 따른 homodyne 출력값의 변화
위와 같이 국소 발진기(Local oscillator)의 세기(Intensity)가 커질수록 APD를 통해 측정되는 Homodyne의 결과 값도 증가함을 볼 수 있다.
다음은 앞서 예상했던 국소 발진기(Local oscillator)의 세기(Intensity)가 증가 함에 따른 측정 전압 값의 관계를 확인해보자. 마찬가지로 앞서 수식으로 예 측했던 결과를 실제 실험을 통해 확인 할 수 있다.
0 10 20 30 40 50 0.00
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
sq a u re o f p e a k to p e a k (V )
2L.O intensity(nW)
그림 4.2.15 국소 발진기의 세기에 따른 homodyne 출력값 크기변화
4.3 Wigner 분포 함수의 재구성
얻어낸 데이터를 가지고 Matlab을 이용하여 역 Radon 변환(Inverse radon transformation)하여 Wigner 분포 함수(Wigner distribution function)를 재구 성했다.
실험 ①에 대한 Wigner 분포 함수(Wigner distribution function)를 재구성 한 데이터는 다음과 같다. x축과 y축은 각각 이고 단위는 광자의 개수를 나 타낸다.Signal의 intensity를 증가시켜가며 Wigner 분포 함수(Wigner distribution function)의 형태가 어떻게 변하는지 확인하였다. 세기는 광자의 수에 비례하는 양이므로 다음과 같이 원점에서 멀어져가는 것을 확인할 수 있다. 앞에서 다뤘던 이론에서 확인할 수 있듯이 위상공간에서 원점에서 분 포함수까지의 거리의 제곱은 광자수를 나타낸다.
실험 ②에 대한 Wigner 분포 함수(Wigner distribution function)는 심한 잡 음(noise) 때문에 형태를 분석할 수 없었다. 따라서 본 논문에서는 실험 ①의 Wigner 분포 함수(Wigner distribution function)을 다루기로 한다.
그림 × 일때 좌표계에서의 그래프
그림 × 일때 좌표계에서의 그래프
그림 일때 좌표계에서의 그래프
그림 × 일때 좌표계에서의 그래프
그림 × 일때 좌표계에서의 그래프
5. 결론 및 계획
본 실험에서는 791nm 파장의 레이저를 이용하여 Balanced homodyne 측 정을 위한 실험 장치를 완성하고 각각 신호(signal)의 세기(intensity), 국소 발진기(local oscillator)의 세기(intensity)를 변화시켜가며 측정한 데이터를 바탕으로 역 Radon 변환(Inverse Radon transformation)을 이용해 Wigner 분포 함수(Wigner distribution function)를 재구성하여 양자역학적 단층촬영 (quantum tomography)을 실행하였다.
실험 ①의 경우 하나의 레이저 빔(laser beam)을 PBS를 이용해 두 빔 (beam)으로 갈라 한쪽을 신호(signal), 다른 한쪽을 국소 발진기(local oscillator)로 이용하였다. 이 때 신호(signal)의 광자(photon) 개수를
×
에서 ×
까지 측정하였고 이를 이용하여 Wigner 분포 함수 (Wigner distribution function)를 재구성 하였다.실험 ②의 경우 실험 ①과 달리 신호 부분(signal part)을 공진기(cavity)에 통과시켜 측정하였는데 이때 신호(signal)는 cavity lock과 laser lock을 이용 하여 SNR이 5.06 정도로 안정화 시켜 실험을 실행했다.
이 경우 국소 발진기(local oscillator)의 세기(intensitiy)를 15.7nW에서 48.5nW까지 차례로 증가시켜가며 실험을 진행하였고 balanced homodyne detection의 특징들을 확인할 수 있었다.
본 실험에서 나아가 좀 더 민감한 양자역학적 단층촬영(quantum tomography)를 완성하면 평균 광자 수(mean photon number) 100개에서 peak to peak 100mV에서 10mV의 쇼트잡음(shot noise)을 볼 수 있을 것이 라 예상된다. 이를 위해서는 본 실험에서 발생했던 전체 신호대비 4%의 요 동(fluctuation)과 세기 드리프트(power drift) 현상을 해결해야 할 것이다.
위 현상이 나타나는 원인으로는 빔(beam)의 편광(polarization)의 변화와
빔 경로(beam path) 진동에 의한 것으로 추측되며 편광자(polarizer)를 설치 하여 광학 기기(optics)에 의한 편광 소멸(depolarization)을 줄이고 좀 더 안 정된 설치대(mount)를 이용하여 거울(mirror)과 PBS의 진동을 최소화 시키 면 더 향상된 민감한 양자 역학적 단층 촬영(quantum tomography)을 할 수 있을 것이라 예상된다.
더 나아가서는 본 실험은 Microlaser를 이용한 Schrödinger cat state 구현 실험에서 측정도구로서 활용될 수 있을 것이다
6. 참고 문헌
[1] E. Schrödinger, Naturwissenschaften 14, 664 (1926).
[2] K. Vogel, Phys Rev. A 40, 2847–2849 (1989).
[3] D. T. Smithey, M. Beck, Phys. Rev. Lett. 70, 1244–1247 (1993).
[4] Marlan O. Scully and M. Suhail Zubairy, Quantum Optics (Cambridge University Press, 1997).
[5] Christopher C. Gerry and Peter L. Knight, Introductory Quantum Optics (Cambridge University press, 2005).
[6] E. P. Wigner, “On the quantum correlation for thermodynamic equilibrium,” Phys. Rev., vol. 40, (1932).
[7] F. Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906).
[8] Deans, Stanley R, The Radon Transform and Some of Its Applications (John Wiley & Sons, 1983).
[9] Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. (John Wiley & Sons, 1991).
Abstract
We obtained the quantum tomography for coherent state using balanced homodyne detection. Also we use 791nm cw laser.
We tried two experiment. One is accumulating signal get through cavity and the other is signal don't get through cavity. After that we match the mode with local oscillator.
We tried to measure homodyne data variating intensity of the signal and local oscillator.
Also we reconstruct wigner function using inverse radon transformation.
Key Words : Homodyne detection, tomography , Wigner distribution function, coherent state
student number : 2010-20360
