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2014학년도 11월 고1 전국연합학력평가
정답 및 해설
•
2교시 수학 영역•
1 ④ 2 ② 3 ④ 4 ⑤ 5 ③
6 ① 7 ① 8 ② 9 ⑤ 10 ②
11 ④ 12 ⑤ 13 ② 14 ③ 15 ③ 16 ① 17 ③ 18 ⑤ 19 ② 20 ④ 21 ① 22 2 23 4 24 52 25 25 26 48 27 29 28 5 29 27 30 150
1. [출제의도] 다항식 계산하기
2. [출제의도] 인수분해의 뜻 이해하기
따라서
3. [출제의도] 집합 연산하기 집합 ∩
따라서 모든 원소의 합은
4. [출제의도] 함수의 합성 이해하기
∘
5. [출제의도] 연립이차부등식 이해하기
에서
∴ 또는 ⋯⋯㉠
≤ 에서 ≤
∴ ≤ ≤ ⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서 ≤ 따라서 정수 의 개수는
6. [출제의도] 무리함수의 정의역 이해하기 무리함수 의 정의역이 ≤ 이므로 함수 의 그래프가 점 을 지나므로 따라서
7. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기 주어진 식을 에 대한 내림차순으로 정리하면
에 대한 항등식이므로 ,
∴ , 따라서 [다른 풀이]
이 에 대한 항등식이므로
를 대입하면 ∴
을 대입하면 ∴ 따라서
8. [출제의도] 집합의 연산 활용하여 문제해결하기 전체 신입사원의 집합을
소방안전 교육을 받은 사원의 집합을 심폐소생술 교육을 받은 사원의 집합을 라 하면
, ,
두 교육을 모두 받지 않은 사원의 수는
∪ 이므로
심폐소생술 교육 또는 소방안전 교육을 받은 사원의 수는 ∪
∪ ∩에서
∩
∴ ∩
따라서 심폐소생술 교육만을 받은 사원의 수는
∩
9. [출제의도] 유리함수의 점근선 이해하기
이므로
점근선은 두 직선
,
이므로
∴
따라서
10. [출제의도] 직선의 수직조건 이해하기 직선 의 기울기가
절편이 이므로 직선 과
축에서 수직으로 만나는 직선은
이 직선이 을 지나므로
따라서
11. [출제의도] 복소수의 성질 활용하여 식의 값 추론하기 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
,
∴
∴ 또는
이므로 , 따라서
12. [출제의도] 부등식의 영역 활용하여 문제해결하기 백미를 kg ≥ , 현미를 kg ≥
구입하고자 할 때
식이섬유의 양은 ≥ 을 만족시키고 칼슘의 양은 ≥ 을 만족시킨다.
백미와 현미를 구입하는데 드는 비용을 라 하면
의 값이 최소일 때는
직선 가 두 직선 ,
이 만나는 점 을 지날 때이다.
∴ 의 최솟값은
따라서 는
O
13. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 이해하기
의 두 실근을 , 라 할 때
라 하고
방정식 의 두 실근을 , 라 하면 ,
근과 계수의 관계에 의하여 이므로
× 따라서 [다른 풀이]
근과 계수의 관계에 의하여 두 실근의 합은
따라서
14. [출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기 함수 와 함수 의 그래프가 만나는 점의 좌표는 의 근이므로
또는
∴A , B
선분 AB 의 중점을 M 라 하면
AP BP 이므로 직선 MP 는 선분 AB 를 수직이등분한다.
직선 AB 의 기울기가 이므로 선분 AB 를 수직이등분하는 직선은 기울기가 이고 점 M 를 지난다.
∴
점 P의 좌표는 함수 의 그래프와 직선 가 만나는 점의 좌표이다.
∴ ±
따라서 ∵
15. [출제의도] 집합의 포함관계 추론하기
∩이므로 ∪∩
∪∩을 만족시키는 집합 는 집합 의 원소인 , 를 포함하고,
집합 의 원소인 , , 을 포함하지 않아야 한다.
이므로 집합 의 부분집합 는
⊂⊂ 을 만족시킨다.
따라서 부분집합 의 개수는
16. [출제의도] 고차방정식의 해 추론하기
(는 자연수, ＜＜)에서
×
∴ 가
무리수가 서로 같을 조건에 의하여
⋯⋯㉠
× ⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서
㉠× ㉡에 의하여 을 소거하면
∴ 나
2
∴ , 따라서
17. [출제의도] 조건의 뜻 이해하여 명제의 성질 추론하기 ㄱ. ∩이므로 ⊂ ∴ → (참) ㄴ. ∪이므로
∩ ∅이고 ⊂ ∴ → (참)
ㄷ. [반례] ∩≠ ∅일 때 ⊄ ∴ → ∼ (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ
18. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기
축과 수직인 직선을
라 하면P
, Q PQ
≥
×
단, 등호는 일 때 성립
따라서 선분 PQ 의 길이의 최솟값은
19. [출제의도] 평행이동 활용하여 문제해결하기 원 의 방정식은 원 을 직선 에 대하여 대칭이동한 후
축의 방향으로 만큼 평행이동한 원 의 방정식은 원 과 원 의 중심을 각각 C , D 라 하면 선분 AB 는 선분 CD 에 의해 수직이등분된다.
선분 AB 와 선분 CD 가 만나는 점을 H라 하면
AH BH
원 과 원 의 반지름의 길이가 이므로
CH DH
∴원 가 원 의 중심을 지날 때, CD 이므로 원 의 중심은
∴ 따라서
B A
D H C
20. [출제의도] 역함수의 성질 활용하여 문제해결하기 함수 와 는 역함수의 관계이므로 함수
의 그래프와 직선 가 만나는 점 A
점 C 는 점 B 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점이므로 C
점 B
를 지나고 기울기가 인 직선은
∴
점 A 에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하면
AH
BC
따라서 삼각형 ABC 의 넓이는
× AH× BC
21. [출제의도] 대칭이동의 성질 이해하여 문제해결하기 그림과 같이 원 위의 점 P 를 주어진 조건에 의해 옮긴 점 Q 는 원 위를 움직인다.
점 Q 를 접점으로 하는 원 의 접선 중 직선 AB 에 평행하고, 점 Q 의 좌표가 음수일 때, 삼각형 ABQ 의 넓이가 최대이다.
기울기가 인 원 의 접선의 방정식은
±
직선 ± 과 원 가 만나는 점이 Q 이므로 ±
±
± ,
∵
∴삼각형 ABQ 의 넓이가 최대인 점 Q 의 좌표는
점 P는 점 Q 를 축에 대하여 대칭이동한 후
축의 방향으로 만큼 평행이동한 점이다.
∴점 P의 좌표는
따라서 점 P 의 좌표는
A P
Q
O
B
22. [출제의도] 원의 방정식 이해하기 주어진 원의 방정식을 변형하면
원의 반지름의 길이가 이므로
따라서
23. [출제의도] 인수정리의 뜻 이해하기 조립제법을 이용하여 인수분해하면
∴
은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
따라서 모든 실근의 합은
24. [출제의도] 나머지 정리의 의미 이해하기 나머지 정리에 의하여
,
×
25. [출제의도] 이차함수의 최대·최소의 뜻 이해하기
라 하면
≤ ≤ 이므로 ≤ ≤
일 때, 최솟값
일 때, 최댓값
따라서
26. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 이해하기 방정식 의 실근은
함수 와 의 그래프가 만나는 점의 좌표이다.
≥ 이고
의 그래프는 의 그래프를
축에 대하여 대칭이동한 그래프이므로
와 의 그래프는 그림과 같다.
의 그래프와 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이므로
만나는 점의 좌표는 ,
∴방정식 의 근은
또는
따라서 모든 실근의 곱은
O
27. [출제의도] 연립이차방정식 이해하여 문제해결하기 주어진 연립이차방정식에서
,
, 를 두 근으로 하는 이차방정식은
3
을 만족시키는 실수인 , 가 존재하므로
≥
≥
∴ ≤ 또는 ≥
따라서 이하의 자연수 의 개수는
28. [출제의도] 함수의 뜻을 알고 함숫값 추론하기 함수 의 그래프에 의해
, 이므로
≤ 인 경우 이므로 함수 가 일대일대응이라는 조건에 모순
∴
∴ ,
인 경우 이므로 모순
∴ ,
, 이므로 따라서
29. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 활용하여 추론하기 최고차항의 계수가 각각
, 인 두 이차함수
, 의 그래프의 축은 직선 이므로
, 조건 (나)에서 ≤
≤ 부등식 ≥ 의 해가 ≤ ≤ 이므로 최고차항의 계수가
인 이차부등식은
≤
≤
∴
×
∴
따라서
× × ×
30. [출제의도] 선분의 내분을 이해하고 문제해결하기 좌표평면 위에 정사각형 ABCD 를 점 C 가 원점과 일치하도록 놓으면
A , B , C , D
점 F 는 선분 AD 를 로 내분하는 점이므로 F
두 점 C , F를 지나는 직선은 이고 점 D′ 라 하면 선분 DD′ 의 중점
이 직선 위에 있으므로
⋯⋯㉠
두 점 D , D′ 을 지나는 직선은 직선 와 수직이므로
⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서
,
∴D′
직선 A′H는 직선 CD 와 평행하므로 기울기가 이고 점 D′ 을 지나므로
⋯⋯㉢
∴A ′
직선 AD 의 방정식은
⋯⋯㉣
㉢, ㉣에서 H
점 M은 점 H와 좌표가 같으므로
∴M
점 A ′ 이 선분 MC 를 로 내분하는 점이므로
∴ 따라서
OC
A
B A′
F D D′
M H
