Chapter 5. Quantum Mechanics - Inha

제22장. 교류회로

들어서며 1. 저항 회로

2. 축전기 회로와 전기용량 리액턴스 3. 인덕터 회로와 유도 리액턴스

4. RLC 회로와 임피던스 5. 교류 회로와 공명현상

제22장. 교류회로

목차

개념흐름도

전기와 자기

전하

쿨롱의 법칙

전기장

전위 가우스

법칙

자기장

비오-사바르 법칙

암페어 법칙

파라데이 법칙

전기회로

축전기

DC

회로 AC

회로 저항

인덕터

맥스웰 방정식

전자기파

기전력과 광학 전류

세부개념 흐름도

(모두 포함하면) 교류회로

저항회로 축전기 회로

인덕터 회로

저항

RLC 회로

전기용량 리액턴스 유도 리액턴스

임피던스

교류

자유전자의 유동속도 ~ 10^-5 m/s 60 Hz (일반적)

진폭(1/240 초 동안 전자가 이동한 거리) :

교류사용 이유

자연스런 형태  발전기 등 회전기계 변압기 사용: 승압, 감압

또다른 여러가지 응용성: 공명현상 등

인덕터 (Inductor) : 자기에너지 창고

인덕턴스(Inductance) L : 창고의 크기

들어서며

i

L i^B

= [T·m²/A=H : Henry]

t L i

d

− d



= m

10⁻⁷



저항회로

회로 방정식

1. 저항 회로

( )

^t

^{ }

^t



= ₀ sin

전류와 전위차는 동일 위상

(



 − v

_R

= ⁰ )

( ) ( )

R t R

t t

i   

0

sin

=

=

t i

₀

sin 

=

0

0

,

0

= =

  

i R

( ) ^{t − iR = 0}



f 2 

 =

저항회로에서의 전력 손실

1. 저항 회로

( ) ( )

^{t t i R t}

i

P =



= ₀² sin²



평균



=

 ^T Xdt

X T

0

1

평균 전력 R i P = ²



d 2 )]

2 cos(

1 2 [

d ) ( 1 sin

1 d ₀²

0 2 2 0

0 2 0 0

2

2 i

t T t

t i t T i

t T i

i = ^T = ^T = ^T − =



 

^



^

R i₀²

2

= 1

제곱평균제곱근 [유효값, 실효값]



= ^T

rms X t

T X

0

2d ) 1

(

R i i

V

P = _{rms rms} = _rms²

 _



 



 =  ²  = ⁰ = ₀ = ⁰ = 0.707 ₀ 2

, 707 . 0

2 V V

V i i

i

i_{rms rms}



R i

_rms

rms

=



전력

예제 22.1 유효전류와 유효전압

전력이 100 W인 전구를 낀 전등을 유효전압이 220 V인 전원에 연결하였다.

(a) 전등에 흐르는 유효 전류와 최대 전류의 세기를 구하여라.

(b) 전등에 연결된 전선들의 저항을 무시한다면 전구의 저항은 얼마인가?

풀이]

(a) 평균 전력

A 455 . V 0

220 W

100 =

=

=

rms rms

i P



rms

i

rms

P = 



=

=

= 484

455 . 0

V 220

A R i

rms

rms

A 643 . 0

0

= i

_rms

2 = i

(b) 전구의 저항

2. 축전기 회로와 전기용량 리액턴스

축전기 회로

회로 방정식

( )

^t

^{ }

^t



= ₀ sin

( ) ( ) − = 0 C

t t q



( )

^{t Cv}

( )

^{t C t}

q = =



₀ sin



( ) ( )

C t t

t C t t q

i 



 



 cos

/ cos 1

d

d

₀

0

=

=

=

용량 리액턴스() ]

[ 2

1

1 = 

= C fC

X_C





전압이 전류보다 1/4 주기만큼 느림

)

90 sin(

cos )

(

⁰

=

₀

+

^

= t i t

X 

_C

 

C rms

rms

i X

V =

: 축전기에 대한 옴의 법칙

예제 22.2 축전기 회로

아래의 회로에서 C = 10 F, f = 50 Hz, V₀ = 31.8 V이다. 용량 리액턴스와 전류의 진 폭을 구하여라.

풀이]

용량 리액턴스

X

_C

C



= 1

A 1 . 318 0

V 8 .

0 31

0 =

= 

= XC

I V



 =

= 

= 318

F) 10

Hz)(10 50

2 (

1 2

1

6



-

 fC

X

_C

3. 인덕터 회로와 유도 리액턴스

인덕터 회로

회로 방정식

( )

^t

^{ }

^t



= ₀ sin

( ) ( )

d 0

=

− dt t L i

 t

= - ( e

₀

X

_L

)cos w ^t = i

₀

sin( w ^t - 90 )

L rms

rms

i X

V =

: 인덕터에 대한 옴의 법칙

( ) ( ) ^t

t L L t

t i t

i 



 

 sin d cos

d

^{0 0}





 



− 

=

=

=  

전압이 전류보다 1/4 주기만큼 빠름

유도 리액턴스() ]

[

2 

=

= L fL

X_L

 

예제 22.3 인덕터 회로

아래의 회로에서 L = 100 mH. f = 0.5 kHz, V₀ = 31.4 V이다. 유도 리액턴스와 전류 의 진폭을 구하여라.

풀이]

유도 리액턴스



=





=

=

314 H)

10 Hz)(100

500 2

(

2

3



-

 fL X

_L

L X

_L

= 

A 1 . 314 0

V 4 .

0 31

0 =

= 

= X L

I V

RC 회로 : 보다 실질적인 축전기 회로

회로 방정식

전류가 위상변화

RC 회로의 임피던스 :

전압과 전류의 위상 차이 :

4. RLC 회로와 임피던스

Z

] [

2

2 + 

= R X_C Z

R X_C

 = tan

( ) ( )

= 0

−

− C

t iR q

 t

( ) t = i (  t −  )

i

₀

sin

4. RLC 회로와 임피던스

RL 회로 : 보다 실질적인 인덕터 회로

RL 회로의 임피던스 :

전압과 전류의 위상 차이 :

R X _L

 = tan

] [

2

2 + 

= R X_L Z

교류전원

R

L

4. RLC 회로와 임피던스

RLC 회로

회로 방정식

전류가 위상변화

RLC 회로의 임피던스 :

전압과 전류의 위상 차이 :

전류 진폭

( )

²

^{[ ]}

2

+ − 

= R X

_L

X

_C

Z

R X X_L − _C

 = tan

( ) ( ) ( )

d 0

d =

−

−

− t

t L i

C t iR q

 t

( ) t = i (  t −  )

i

₀

sin

i

₀

 Z

⁰

=

( ) V

_R

( ) V

_C

( ) V

_L

( ) ^

₀

4. RLC 회로와 임피던스

위상 도표법

위상자

- sin 함수적으로 변하는 양들을 기술하는 회전 vector

- 단독회로의 전압 진폭

L L

C C

R

i R V i X V i X

V =

₀

, =

₀

, =

₀

직렬회로에서 전류는 공통

2 2

2

0

V ( V

_L

V

_C

)

R

+ −

 =

- 파타고라스 정리

2 0

0 2

0

) ( )

( i R + i X

_L

− i X

_C

=

X Z X

R i

C L

0 2

2

0

0

( )



 =

−

= +

2 2

( X

_L

X

_C

) R

Z  + −

: 임피던스



 X − X

4. RLC 회로와 임피던스

RLC 회로에서의 전력 손실

전력

( ) ( ) ( )

₀

sin 

⁰

sin(   )





  =  −

= t

t Z t

i t t

P

] sin ) cos(

) sin(

cos ) ( [sin

²

2

0

    

 t t t

Z −

=

평균 전력

 

2 cos 1 ₀² P = Z









 = =

Z R V

V_R

0

cos



; ) cos

(  전력인자

R i R

i₀² _rms² 2

1 =

=

 2 cos

1

₂

0

Z

= i

전력 손실은 오직 저항에서만 발생

예제 22.4 RLC 회로의 임피던스 계산

기전력이 220 V이고 진동수가 60 Hz인 교류 전원에 25 의 전기저항과 50 F인 축 전기 그리고 0.30 H인 인덕터를 직렬로 연결한 회로를 생각하자. (a) 이 회로의 임 피던스를 구하여라. (b) 이 회로에 흐르는 전류는 얼마인가? (c) 전압과 전류 사이 의 위상차를 구하여라.

풀이]

(a) 임피던 스



 =

= 

= 53.1

F) 10

Hz)(50 60

2 (

1 2

1

6



-



fC X_C

A 38 . 65 3

V 220 =

= 

= Z i_rms V^rms



=



=

= 2  fL ( 2  60 Hz)(0.30 H) 113 X

_L

( − ) = ( ) ( + − ) = 

+

= R

²

X

_L

X

_C ²

25

²

110 53

²

65 Z

X

X − (110 −53)  (b) 전류

(c) 위상차

5. 교류 회로와 공명현상

LC 진동회로

회로의 방정식

조화진동자 운동방정식과 동일

LC 회로에서 시간에 따른 에너지의 변화



 



 =

=

−

− i

t q t

L i C

q

d d d 0

d











 = − =

m kx k

t

m x ,



d

d

2 2

LC t

q t

C q q t

L q 1

, sin )

( d ,

d

2 0 2

=

=

−

=  

https://www.youtube.com/

watch?v=2_y_3_3V-so 관련영상

공명현상

는 진동수에 따라 달라지며,

일 때 최대의 유효전류 값을 갖는다

공명 진동수 (resonance frequency) - 주파수 선택 회로(동조회로)

최대의 유효전류는 저항에 반비례

5. 교류 회로와 공명현상

2

2 ( _{C L})

rms rms

X X

R i V

−

= +

L C f

f_o  ^o

 ²

2

1 =

= 0

−

_L

C

X

X

LC f_o

 2

= 1

R i

_rms

 Z

^rms



^rms

=

=

예제 22.5 공명진동수 계산

L = 10 mH, R = 15 , C = 100 F인 RLC회로가 있다. 공명진동수를 구하여라. 풀이]

공명진동수

Hz 159 F)

10 H)(100

10 10

( 2

1 2

1

6 -

3

=



= 

=



−

 LC

f

요약

교류전원이 연결되어 의 교류 전류를 갖는 직렬 RLC 회로

RLC 회로의 임피던스 :

전압과 전류의 위상 차이 :

진동하는 LC 회로에서 에너지는 축전기의 전기장과 인덕터의 자기장 사이를 주기적으로 오간다 . 에너지 보존법칙에 의해 LC 진동의 미분 방정식을 풀면 진동회로 공명진동수는

( )

² [ ]

2 + − 

= R X_L X_C Z

( )

t = i

(

t −

)

i ₀ sin

R X X_L − _C



= tan

LC f_o

 2

= 1