Engineering Mathematics II

(1)

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Integral Theorems Integral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10 4 Green’s Theorem in the Plane

10.4 Green s Theorem in the Plane 10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem

10.9 Stokes s Theorem

2

(3)

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Integral Theorems Integral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10 4 Green’s Theorem in the Plane

10.4 Green s Theorem in the Plane 10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem

10.9 Stokes s Theorem

3

(4)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

z ^면적분

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

z ^면적분

( ) [ ( ) ( ) ( ), , ] ( ) ( ) ( ) .

:

는 구분적으로 매끄럽다

곡면

S r u,v = x u,v y u,v z u,v = x u,v i+ y u,v j+ z u,v k

v

u r

r N = ×

∗

법선벡터

:

( )

( ) ( )

∫∫

v u v u

r r r

N r

n N ×

= ×

=

∗ 1 1

:

단위법선벡터

( )

( ) ( )

면적분 에서

대해 에

벡터함수

, ,

:

N N

n n

N r

F n

F F

=

∗

•

=

• ∫∫

∫∫

dudv dudv

dA

dudv v

u v

u dA

S

R S

법선성분 의

:

∗ F•n F

[ ] ⁼[ ] ⁼[ ] ( )

= F₁,F₂,F₃ , N N₁,N₂,N₃ , n cosα,cosβ,cosγ α, β, γ n

F

는 과 좌표축 사이의 각도

( )

( ) ∫∫( )

∫∫

+ +

= +

+

=

+ +

=

•

⇒

S S

dxdy F

dzdx F dydz F dudv

N F N F N F

dA F

F F

dA ₁cos ₂cos ₃cos

F n α β γ

( ) ∫∫( )

∫∫ ⁺ ⁺ ⁼ ⁺ ⁺

=

S R

dxdy F

dzdx F dydz F dudv

N F N F N

F₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ ₁ ₂ ₃

(5)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

Ex. 1 곡면을 통과하는 유출량

. 3

0 2

2 0

을 통과하는 물의 유출량을 계산하라

기둥면

포물

S : y = x , ≤ x ≤ , ≤ z ≤

10

[³ ⁶⁶ ] ^, ^m_s ^.

.

3 0

2 0

2

이고 속도는 로 측정된다

속도벡터

계산하라 유출량을

물의 통과하는

을 기둥면

포물

xz , , z

z ,

x ,

x y : S

=

≤

≤ F

v

2 2 =

=

⇒

=

=u z v y x u

x

[ ] ⁽ ⁾ ^{( )} [ ]

[¹^,² ^,⁰] [⁰^, ⁰^, ¹] [² ^, ¹^, ⁰]

6 , 6 , 3

, 3 0

, 2 0

,

2 2

−

=

−

×

=

×

=

≤

=

⇒

=

⇒

=

u u

uv v

S v

u ,v

u,u S :

u x y v

z u x

v u r r N

F r

[ ] [ ] [ ]

( ) 6 6

, , ,

, ,

,

2 −

=

•

∴ S uv

v u

N F

( ) _∫( ) _∫( ) ( ) ^⎡ ^⎤

∫∫

∫∫ ^• ⁼ _∫∫^{3 2}( ² ⁻ ) ⁼ _∫³( ² ² ⁻ )²₌ ⁼ _∫³( ² ⁻ ) (⁼ ³ ⁻ )³₌ ⁼ _⎢⎣^⎡ ³ _⎥⎦^⎤

∫∫ 6 6 3 6 12 12 4 12 ³ 72 m³sec

0 3

0 2 0

2 0 2

2 0 0

2

v S u

v v

dv v

dv u

v u dudv

uv dA

n F

해법 다른

[ ] [ ] [ ]

( )³ ^{( )}⁶ ³ ⁴ ³ ⁶ ³ ² ⁷²

4 6

3

0 cos , 0 cos , 0 cos

0 , 1 , 2 0 , 1 , 2 cos

, cos , cos

3 2

3 2 2 3

3 4 2

=

<

>

⇒

−

=

−

=

∫

∫∫

∫∫ ^dA ^{d d} ^d ^d ^d ^d

x u

F

N n N

N α β γ α β γ

해법 다른

( )³ ^{( )}⁶ ³ ⁴ ³ ⁶ ³ ² ⁷²

4 6

3 ³

0 0

2 0 0

0 0

2 − = − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

=

• ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

∫∫ ^dA ^z ^dydz ^dz^dx ^z ^dz ^dx

S

n F

(6)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

10

. 3

0 2

2 0

기둥면

포물

S : y = x , ≤ x≤ , ≤ z ≤

2

⇒ 2

[³ ⁶⁶ ] ^, ^m_s ^.

.

3 0

2 0

2

속도벡터

물의 통과하는

을 기둥면

포물

xz , , z

z ,

x ,

x y : S

=

≤

≤ F

v

[ ] ( ) ( ) [ ]

[¹^,² ^,⁰] [⁰^,⁰^,¹⁰] [² ^,²^,¹⁰^,⁰] ³ ^, ³ ^,⁶^,⁶

,

2 2

−

=

×

=

×

=

≤

=

⇒

=

⇒

=

u u

uv v

S v

u ,v

u,u S :

u x y v

z u x

v

u r

r N

F r

( ) ⁶ ⁶

• = ² −

∴ F S N uv

( ) _∫( ) _∫( ) ( ) ^⎡ ^⎤

∫∫

∫∫ ^• ⁼ _∫∫^{3 2}( ² ⁻ ) ⁼ _∫³( ² ² ⁻ )²₌ ⁼ _∫³( ² ⁻ ) (⁼ ³ ⁻ )³₌ ⁼ _⎢⎣^⎡ ³ _⎥⎦^⎤

∫∫ 6 6 3 6 12 12 4 12 ³ 72 m³sec

0 3

0 2 0

2 0 2

2 0 0

2

v S u

v v

dv v

dv u

v u dudv

uv dA

n F

해법 다른

[ ] [ ] [ ]

( )³ ^{( )}⁶ ³ ⁴ ³ ⁶ ³ ² ⁷²

4 6

3

0 , 1 , 2 0 , 1 , 2 cos

, cos , cos

3 2

3 2 2 3

3 4 2

=

<

>

⇒

−

=

−

=

∫

∫∫

∫∫ ^dA ^{d d} ^d ^d ^d ^d

x u

F

N n N

N α β γ α β γ

해법 다른

( )³ ^{( )}⁶ ³ ⁴ ³ ⁶ ³ ² ⁷²

4 6

3 ³

0 0

2 0 0

0 0

2 − = − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

=

• ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

S

n F

(7)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

10

. 3

0 2

2 0

기둥면

포물

S : y = x , ≤ x≤ , ≤ z ≤

[³ ⁶⁶ ] ^, ^m_s ^.

.

3 0

2 0

2

속도벡터

물의 통과하는

을 기둥면

포물

xz , , z

z ,

x ,

x y : S

=

≤

≤ F

v

2

⇒ 2

[ ] ( ) ( ) [ ]

[¹^,² ^,⁰] [⁰^,⁰^,¹⁰] [² ^,²^,¹⁰^,⁰] ³ ^, ³ ^,⁶^,⁶

,

2 2

−

=

×

=

×

=

≤

=

⇒

=

⇒

=

u u

uv v

S v

u ,v

u,u S :

u x y v

z u x

v

u r

r N

F r

( ) _∫( ) _∫( ) ( ) ^⎡ ^⎤

∫∫

∫∫ ^{3 2} ² ³ ² ² ² ³ ² ³ ³ ³

( ) ⁶ ⁶

• = ² −

∴ F S N uv

( ⁻ ) ⁼ ( ⁻ ) ⁼ ( ⁻ ) (⁼ ⁻ ) ⁼ _⎢⎣^⎡ _⎥⎦^⎤

=

• ∫∫ ∫ = ∫ =

∫∫ 6 6 3 6 12 12 4 12 ³ 72 m³sec

0 3

0 2 0

2 0 2

2 0 0

2

v S u

v v

dv v

dv u

v u dudv

uv dA

n F

해법 다른

[ ] [ ] [ ]

( )³ ^{( )}⁶ ³ ⁴ ³ ⁶ ³ ² ⁷²

4 6

3

0 , 1 , 2 0 , 1 , 2 cos

, cos , cos

3 2

3 2 2 3

3 4 2

=

<

>

⇒

−

=

−

=

∫

∫∫

∫∫ ^dA ^{d d} ^d ^d ^d ^d

x u

F

N n N

N α β γ α β γ

해법 다른

( )³ ^{( )}⁶ ³ ⁴ ³ ⁶ ³ ² ⁷²

4 6

3 ³

0 0

2 0 0

0 0

2 − = − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

=

• ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

S

n F

(8)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

10

z ^{곡면의 방향}

• 방향의 변경 :^{방향의 변경}n을 n으로대체하는 것은면적분에 1을 곱하는 것과 일치한다

• 매끄러운 곡면은 방향을 가질 수 있다 (Orientable).

• 구분적으로 매끄러운 곡면도 방향을 가질 수 있다.

.

1

으로대체하는 것은면적분에 을 곱하는 것과 일치한다

을 −n −

n

구분적 매 러운 곡면 방향을 가질 수 있다.

• 매끄러운 곡면의 충분히 작은 조각도 항상 방향을 가진다. 그러나 전체 곡면에 대해서는 성립하지 않을 수도 있다. 예. 뫼비우스의 띠

(9)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

10

z

방향을 고려하지 않는 면적분

• ^G( )^dA ^G( ( )^u ^v ) ( )^u ^v ^dudv

R S

, ,

:

다른 형식

∫∫ ^r = ∫∫ ^r ^N

면적분의

( )^x ^y [ ^f ] [ ^f ] [ ^f ^f ] ^f ^f

f z

S _u _v _u _v _u _v _u _v

2 2

2

1 2

1 , , ,

1 , 0 ,

0 , 1

,

:

⎞

⎞ ⎛

⎛

+ +

=

−

=

×

=

×

=

⇒

= N r r

( ) ( ( )) ^dxdy

y f x

y f x f y x G dA

G

R S

2 2

*

1 ,

, ,

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

=

⇒ ∫∫ ^r ∫∫

• S A( )S dA dudv

R

v u

S ∫∫

∫∫ ⁼ ^×

=

:

면적

r r

의

( ) ( ) ^dxdy

y f x

S f A y

x f z S

R S

∫∫ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

=

⇒

=

2 2

1

,

:

∫∫_R* ⎝ ∂x⎠ ⎜⎝ ∂y⎟⎠

(10)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

Ex. 4 구의 면적

( )^, [ ^cos ^cos ^, ^cos ^sin ^, ^sin ]^,⁰ ² ^, ₂ ₂ ^.

에 대해 직접 계산하여라

구

r u v = a v u a v u a v ≤u≤ π −π ≤v≤π

[

² ² ² ² ⁱ ² ⁱ

]

[ ]

= +

=

×

2 2

2

1 sin

cos , 1 sin

cos

sin cos

, sin cos

, cos cos

v v

u u

v v

a u v

v a

u r

r

(

⁺ ⁺

)

⁼

=

×

⇒ ² cos⁴ cos² cos⁴ sin² cos² sin² ¹² ² cos

r_u r_v a v u v u v v a v

( )⁼ ∫ ∫ ⁼ ∫ ⁼

⇒ ² ^{2 2} cos 2 ² ²cos 4 ²

π

π π

π

πa vdv a

dudv v

a S

A

−

−π2 0 π 2

(11)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

Ex. 4 구의 면적

( )^, [ ^cos ^cos ^, ^cos ^sin ^, ^sin ]^,⁰ ² ^, ₂ ₂ ^.

에 대해 직접 계산하여라

구

r u v = a v u a v u a v ≤u≤ π −π ≤v≤π

[

² ² ² ² ⁱ ² ⁱ

]

[ ]

= +

=

×

2 2

2

1 sin

cos , 1 sin

cos

sin cos

, sin cos

, cos cos

v v

u u

v v

a u v

v a

u r

r

(

⁺ ⁺

)

⁼

=

×

⇒ ² cos⁴ cos² cos⁴ sin² cos² sin² ¹² ² cos

r_u r_v a v u v u v v a v

( )⁼ ∫ ∫ ⁼ ∫ ⁼

⇒ ² ^{2 2} cos 2 ² ²cos 4 ²

π

π π

π

πa vdv a

dudv v

a S

A

−

−π2 0 π 2

(12)

10

10.6 .6 Surface Surface Integrals Integrals ((면 면적분 적분))

PROBLEM SET 10.6

HW 30 ( ) (b) ( ) (d) HW: 30 (a), (b), (c), (d)

(13)

10

10.7 .7 Triple Triple Integrals. Divergence pp Integrals. Divergence gg gg Theorem of Gauss

Theorem of Gauss

((삼중적분 삼중적분. Gauss . Gauss의 의 발산정리 발산정리))

z 삼중적분 : 공간의 닫힌 유한한 영역에서 함수의 적분 z

좌표평면

(

삼차원

)

에

평행한

평면으로

T

를

분할한다

.

z ( )

( , ) .( : )

,

부피 상자의 번째

만든다 합을

형태의 같은

와

택하여 을

점 한 상자에서 각

k ΔV ΔV

z ,y x f J

z ,y x

k n

k k k k n

k k k

∑

=

z

( , ) ( )

1

y

f _k

k k k k k

n ∑

=

(x^,y^,z)

가

T

를

포함하는

영역에서

연속이고

f

( ^, ^, ) ^.

,

한다 삼중적분이라 의

에서의 영역

극한을 수렴

이 수열

가정 제한된다고

의해 곡선에

매끄러운 유한개의

는

z y x f T

J T

⇒ n

(14)

10

10.7 .7 Triple Triple Integrals. Divergence pp Integrals. Divergence gg gg Theorem of Gauss

z Gauss의 발산정리(삼중적분과 면적분 간의 변환)

T :

닫혀있고

유한한

입체

T

T S

F : 1

:

벡터함수 가지는

편도함수를 차

연속인 영역에서

포함하는 를

연속이며

표면 의

곡면으로 가지는

방향을 매끄러우며

구분적으로 경계가

[ ] ⁼[ ]

= F F F

이고

S

의 외향 법선벡터

n cosα cosβ cosγ

이면

F

dA dV

S

T ∫∫

∫∫∫ ⁼ ^•

⇒ divF F n

[ ] [ ]

( ) ∫∫( )

∫∫

∫∫∫ ⎟⎟ ⁼ ⁺ ⁺ ⁼ ⁺ ⁺

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

=

S S

T

dxdy F

dzdx F dydz F dA

F F

F dxdydz

z F y

F x

F

F F F

3 2

1 3

2 1

3 2

1

3 2 1

cos cos

cos

cos , cos , cos S

, ,

γ β

α

γ β

α

이면

법선벡터 외향

의

이고

n

F

⎠

⎝ ^S ^S

T y

(15)

10

10.7 .7 Triple Triple Integrals. Divergence pp Integrals. Divergence gg gg Theorem of Gauss

Ex. 1

발산정리에 의한 면적분의 계산

Ex. 1 발산정리에 의한 면적분의 계산

다음 적분을 계산하라.

(^x³^dydz ^x²^ydzdx ^x²^zdxdy)

I =∫∫ + +

( )^와 ^원판 ^과 ( )^으로 ^이루어진 ^닫힌^표면

원기둥 0 0

:

x² y² a² z b z z b x² y² a²

S

≤ +

=

≤

= +

( ) ^{d d d} ^{d d} ^d

x x

x x z

x F y x F x

F₁ ³ ₂ ² ₃ ² ² ² ² ²

i

5 3

div

,

θ θ

θ

= +

+

=

⇒

=

적용 극좌표

F

( )

( ^r )^rdrd ^dz

dxdydz x

I

dz rdrd dxdydz

r y r

x

b 2 a

2 2

2 5 cos

5

sin

, cos

θ θ

θ

π

=

⇒

=

∫ ∫ ∫

∫∫∫

적용 극좌표

( )

b a a dz

dz a d

y

b b

z r

T

4 2 4

2 4

0 0 0

5 5 cos

5 ^π θ θ π π

θ

=

= ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫∫∫ = = =

b a dz

dz d

z

z 0 0 cos 5 0 4 4

5 4

θ θ

θ ∫

∫ ∫ =

= =

(16)

10

10.7 .7 Triple Triple Integrals. Divergence pp Integrals. Divergence gg gg Theorem of Gauss

Ex. 1

발산정리에 의한 면적분의 계산

Ex. 1 발산정리에 의한 면적분의 계산

다음 적분을 계산하라.

(^x³^dydz ^x²^ydzdx ^x²^zdxdy)

I =∫∫ + +

( )^와 ^원판 ^과 ( )^으로 ^이루어진 ^닫힌^표면

원기둥 0 0

:

x² y² a² z b z z b x² y² a²

S

≤ +

=

≤

= +

( ) ^{d d d} ^{d d} ^d

x x

x x z

x F y x F x

F₁ ³ ₂ ² ₃ ² ² ² ² ²

i

5 3

div

,

θ θ

θ

= +

+

=

⇒

=

적용 극좌표

F

( )

( ^r )^rdrd ^dz

dxdydz x

I

dz rdrd dxdydz

r y r

x

b 2 a

2 2

2 5 cos

5

sin

, cos

θ θ

θ

π

=

⇒

=

∫ ∫ ∫

∫∫∫

적용 극좌표

( )

b a a dz

dz a d

y

b b

z r

T

4 2 4

2 4

0 0 0

5 5 cos

5