RbRx RA ∈ ∈ ∈ × , , ˆ ˆ ˆˆˆ α α

(1)

the row echelon form obtained at the end of Gauss elimination. Also, let

b

be the last column vector of the row echelon form. Then, prove by use of elementary matrices that if

x ˆ

is the solution of

A ˆ x ˆ = b ˆ

, then

x

x ˆ =

.(Strictly speaking,

x ˆ

is also the solution of (3.1))

Sol.)

Elementary operation은 3가지가 있는데 다음과 같다.(교재 p292) (i) Interchange of two rows

(ii) Additon of a constant multiple of one row to another row (iii) Multiplication of a row by a nonzero constant

c

Gauss elimination을 하려면 위 3가지 operation을 수행해야 하는데 elementary matrix로 위 3가지

operation을 수행할 있음을 보이도록 하겠다.

I

n^을

n× n

^matrix라고^하자.^그리고

E

_i^를

i

th 항이 1이고 다른 항은 0이 되는

1 × m

row-vector 라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[ ]

_n

e

i

=

^Δ

0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0

₁_× ,

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⋅

=

^Δ

⋅

n n

e e e

I

2 1

(3.2)

I

n^의

i

번째 row와

j

^{번째 row를}^바꿔서구한 matrix를

E

_ij라고 하자.

i

^번째 row에 scalar

α ≠ 0

^배만큼 ^곱하여 ^구한 matrix를

E

_i_(α₎^라고 ^하자.

j

^번째 row에 scalar

α

^배만큼 ^곱하고

i

^번째 row에 곱하여 구한 matrix를

E

_α₍_j₎₊_i^이라고 ^하자. 그러면,

E

_ij^,

E

_i₍_α₎^,

E

_α₍_j₎₊_i는 다음과 같이 표현된다.

⎥ ⎥

⎥ ⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎡

− j i

e e

e

M

1 1

⎥ ⎥

⎥ ⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎡ e e

2 1

M

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎡ +

− j i

i

e e

M

1 1

α

(2)

(3)

n j i j i j i j

i

E E E I

E

₊ ₋

=

₋ ₊

=

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 elementary matrices

E

_ij^,

E

_i₍_α₎^,

E

_i₊_j^가nonsingular임을 알 수 있다.

이제

x ˆ

을

b x

A ˆ ˆ = ˆ

(3.5) 의 해라고 하자. 그러면

A ˆ

_와

b ˆ

_{는 각각}

A

_와

b

_를elementary row operation을 하여 나온 결과물이 다. 따라서, 앞에서 보였듯이

n × n

matrix

A ˆ

_와

n

column vector

b ˆ

_은elementary matrix로 표현할 수 있다.

b E E E b

A E E E A

n n

1 1

ˆ ˆ

⋅⋅

⋅

=

⋅⋅

⋅

=

−

− (3.6)

이것을 식(3.1)에 대입하면 다음과 같다.

b E E E x A E E E

b Ax

n n n

n ₁

⋅ ⋅⋅

₁

ˆ = (

₁

⋅ ⋅⋅

₁

) ˆ

=

−

(3.7)

그런데 식(3.4)에 의해 (3.7)로부터

b

b E E E E E

b E E E E E E x A

n n n

n

ˆ

ˆ ) ˆ (

) ˆ (

ˆ

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

=

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

=

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

=

−

− −

−

(3.8)

따라서,

x ˆ

이 식(3.1)의 solution이 됨을 알 수 있다.

(4)

(5)

Sol.) 식(5.1)은 다음과 같이 나타내어 진다.

0 )

( py − r dx + dy =

(5.2)

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다(교재 p.23에서 식(12)).

0 ) , ( )

,

( x y dx + Q x y dy =

P

(5.3) 따라서,

P ( x , y )

^와

Q ( x , y )

은 다음과 같다.

1 ) , ( , )

, (

Δ

− =

= py r Q x y y

x

P

(5.4) 식(5.3)에 integration factor

F

^를 ^곱해주면,

= 0 + FQdy

FPdx

(5.5) Exactness condition에 따르면,

) ( )

( FQ

FP x

y ∂

= ∂

∂

(5.6)

이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x x

y

P FP F Q FQ

F + = +

(5.7)

) (x F

F =

^라고 ^두면 ^식(5.7)은 다음과 같이 나타내어 진다.

x

y

F Q FQ

FP = ′ +

(5.8)

식(5.8)를 양변을

FQ

^로 ^나누면 ^다음과 ^같다.

) ( ) 1 (

1 p x

x Q y P R Q

dx dF

F =

∂

− ∂

∂

= ∂

=

(5.9)

위 식을 이용하여

F (x )

^를 ^구하면 ^다음과 ^같다.(p.24의 Theorem1)

= ∫

= e

pdx

x F

pdx F dF

) ( 1

(5.10)

구한

F (x )

^를 ^식(5.5)에 대입하면,

rdx e dy pydx e

dy e dx r py e

FQdy FPdx

pdx pdx

= ∫

∫ +

∫ = +

∫ −

= +

) (

0 )

(

0

(5.11)

식(5.11)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

pdx

= ∫

∫

(6)

(7)

    



^{  }

_

  



^으로 부터 첫 번째 해_ ^{  }

두 번째 해_는 차수축소법에 의해_ _

^



^″_ ^′_^′  _^″



 



^′_ _^′



 _  식을 정리하면

^″^_^′  _  ^{  } ^{  } ^{  } _ 양변을_으로 나누고변수를 분리 하여 적분하면  

^′

^″

 

 ^′_{  }^′_{ }



   를 얻는다

따라서_ _ 이에 해당하는 일반해는

 ^ _^^{  } ^ _는 임의의 상수

b. 보조 방정식^     을 풀면

  중근 이므로 일반해는  _ _

__는 임의의 상수