ГРНТИ 27.31.17 УДК 517.925
3. Дифференциальные свойства минимизируемого функционала
Для практического решения такую задачу обычно сводят к следующей оптимизационной задаче:
Найти минимум целевого функционала ( ) ∫ ( | ( ))
где функция ( ) является решением прямой задачи, и требуется минимизировать среднеквадратичную невязку производной функции потенциала и функции замеров ( ).
В свою очередь, для численного решения таких задач чаще всего применяются градиентные методы, формулировка которых использует значение производной соответствующего функционала.
Цель данной работы состоит в исследовании дифференциальных свойств данного функционала.
∫ ( ( )
| )( ( )
| ) | |
∫ ( | )( ( ) | ) ∫ ( | ) ∫ (
| ) | (4)
Задача , -
{
( ) ( ) | ( )
|
{
, - , -
{ , - , -
Задача , -
{
( ) ( ) | ( )
|
{
, - , -
{ , - , - Почленно вычтем из задачи , - задачу , -:
(9)
* +
( )
{
|
{
( ) * + ( ) * + ( ) * +
Домножим первое уравнение системы (5) на произвольную функцию и проинтегрируем по всей области :
∬ ∬
∬
∬
∬ ∬ ( ) ∬
⏟
∬
⏟
Последовательно применим для каждого из интегралов формулу интегрирования по частям:
∫
| ∫ Тогда
∫ ∫
∫
| ∫
|
(
|
⏟
∫
)
| ∫
Тогда, т.к. ∫ ∫ , интегрируем повторно по : ∫
| ∫ ∫
Т.к. интеграл инвариантен относительно переменных интегрирования, то отсюда сразу получаем формулу для
∫
| ∫ ∫
Складывая с и выполняя группировку, получаем для :
∫
| ∫
| ∬ ( ∬
∬
)
⏟
Зависимость от находится здесь (в границах областей интегрирования)
Пользуясь произвольностью , подберем его так, чтобы оно удовлетворяло нижеприведенным условиям. Такое конкретное значение назовѐм :
| (
| ) |
|
}
Тогда соотношение (4) ( ) ( ) ∫ (
| ) ∫ (
| )|
перепишется в виде
( ) ( ) ∫ (
| ) ( ∬
∬
) Разделив это равенство на и переходя к пределу при получим
( ) ( )
( ( ) ) ( ) ( )
( ∬
∬
) Итак,
( ) ( )
( ∬
∬
) или
( ) ( )
( ) (6)
где ∬ ∬
Значит, для того, чтобы выяснить, существует ли этот предел (т.е. производная Гато), и его свойства, необходимо детально рассмотреть вид областей интегрирования в зависимости от знаков направлений и .
2) Далее в формуле (6) рассмотрим 4 возможных случая областей интегрирования при
1) ; 2) ; 3) 4) . Для краткости обозначим их: 1) ( ); 2) ( ); 3) ( ); 4) ( ). Каждый случай соответствует «диагональному»
вариационному сдвигу области в направлениях: вправо-вниз, влево-вниз, влево-вверх, вправо- вверх (напомним, что ось направлена вглубь Земли, т.е. вниз). Проиллюстрируем это рисунком 1:
Рисунок 1
Рассмотрим подробно, например, случай 2. Сделаем подробный рисунок (Рис.2):
Рисунок 2
Обозначим ∫ ( ) ∬ ( ) , ∫ ( ) ∬ ( ) .
В правой части равенства (6) отвлечемся от множителя , и рассмотрим только выражение в скобках. Выполним преобразования. Тогда в правой части (6) будет:
∫ ( )
∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) (7) где
∫ ∫ ( )
( )
∫ ∫ ( )
( )
при . При этом и также будут .
Применяя в (7) теорему о среднем на малых областях интегрирования, запишем
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
(8)
где ( ), ( ), ( ), ( ).
Тогда в пределе с учѐтом множителя и обнулением слагаемых и , имеем:
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ , ( ) ( )-
∫ , ( ) ( )-
т.е.
( ∫ ( )
∫ ( )
)
∫ , ( ) ( )- ∫ , ( ) ( )- (9) Аналогично рассматриваются все остальные случаи. Обозначив
∫ , ( ) ( )-
∫ , ( ) ( )-
сведѐм результаты по случаям в общую таблицу:
Случай № Знаки
Формула: ( )
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
Объединяя рассмотренные случаи в общую формулу, получаем выражение
( ∫ ( )
∫ ( )
) | | ∫ , ( ) ( )-
| | ∫ , ( ) ( )-
представляющее собой формулу (7) из утверждения теоремы, ч.т.д.
ВЫВОД: Доказанная теорема показывает, что градиентный метод неприменим к данной задаче, т.к. он требует наличия производной Гато, а полученная функциональная производная (7) является только лишь производной по направлению, не являясь производной Гато.
Заключение: Так как целевой функционал недифференцируем по Гато, то классические градиентные методы в данной задаче неприменимы. Однако сохраняется возможность применить
различные методы негладкой оптимизации, например, субградиентный метод, а также генетические алгоритмы, которые вообще не требуют дифференциальных свойств функционала. Далее планируется исследовать возможность применения этих методов к поставленной задаче и выполнить сравнительный анализ полученных результатов.
Список использованной литературы
1 Хмелевской В.К., Костицын В.И. Основы геофизических методов. Перм. ун-т. – Пермь, 2010.
2 Закатов П.С. Курс высшей геодезии. М. «НЕДРА», 1976, с. 268.
3 Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск, 2009, с. 41.
4 Sigalovsky M. Optimization methods for incorrect problems with conditions on the boundary part in the simple 2D case (report) // Inverse Problems in Finance, Economics and Life Sciences, Almaty/Novosibirsk conf.; Almaty, December 26-28, 2017.
УДК 519.6 ГРНТИ 27.41.19
M.А. Султанов 1
1к.ф.-м.н., и.о. профессора Международного казахско-турецкого университета имени Ходжи Ахмеда Ясави, г. Туркестан, Казахстан
ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ Аннотация
В работе рассмотрено численное решение прямой задачи рассеяние. Прямая задача рассеяния состоит в определении поля заданных источников при заданных геометрических и физических характеристиках рассеивателей. Применяя методы теории потенциала простого слоя решение уравнения Гельмгольца представляется в виде функции Ханкеля нулевого и первого порядков. Для численного решения прямой задачи рассеяния в пространстве Соболева вводится параметризированный оператор потенциала простого слоя и параметризированный оператор нормальной производной, которое обусловлено заданием граничной кривой в параметризованном виде. Показано, что решение прямой задачи, искомый в виде потенциала простого слоя, удовлетворяет систему интегральных уравнений, которые описываются с введенными операторами. Численное решение рассмотрено для случая рассеяние плоской волны на диэлектрическом цилиндре с невыпуклым поперечным сечением, граница которой задано параметрическим представлением.
Ключевые слова: рассеяние, уравнение Гельмгольца, прямая задача, интегральное уравнение, потенциал простого слоя, функция Ханкеля, численное решение
Аңдатпа M.А.Султанов 1
ШАШЫРАУ ТУРА ЕСЕБІН ЖУЫҚ САНДЫҚ ШЕШУ
1 Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің профессор м.а., ф.-м.ғ.к., Түркістан қ., Қазақстан
Жұмыста шашырау тура есебін сандық шешу қарастырылған. Шашырау тура есебі шашыратқыштардың берілген геометриялық және физикалық сипаттамаларында берілген кӛздердің ӛрістерін табудан тұрады. Жай қабат потенциалы теориясының әдістерін пайдалана отырып Гельмгольц теңдеуінің шешімі нӛль және бірінші ретті Ханкель функциясы түрінде бейнеленеді. Шашыраудың тура есебін сандық шешу үшін Соболев кеңістігінде жай қабат потенциалының параметрленген операторы және нормаль туындының параметрленген операторы енгізіледі, бұл шекаралық қисықтың параметрленген түрде берілуімен байланысты. Жай қабат потенциалы түрінде ізделінетін тура есептің шешімі енгізілген операторлармен сипатталатын интегралдық теңдеулер жүйесін қанағаттандыратындығы кӛрсетілген. Сандық шешу кӛлденең қимасы дӛңес емес диэлектрик цилиндрде жазық толқынның шашырауы жағдайы үшін қарастырылған, оның шекарасы
параметрлік түрде берілген.
Тҥйінді сӛздер: шашырау, Гельмгольц теңдеуі, тура есеп, интегралдық теңдеу, жай қабат потенциалы, Ханкель функциясы, сандық шешу
Abstract M.A. Sultanov1
APPROXIMATE NUMERICAL SOLUTION OF THE DIRECT SCATTERING PROBLEM
1 Cand. Sci.(Phys-Math), professor of the International Kazakh-Turkish University named after Khoja Ahmed Yasawi, Turkestan, Kazakhstan
The numerical solution of the direct scattering problem is considered. The direct problem of scattering consists in determining the field of given sources for given geometric and physical characteristics of scatterers. Applying the methods of the theory of the potential of a simple layer, the solution of the Helmholtz equation is represented as a Hankel function of zero and first orders. For the numerical solution of the direct scattering problem in the Sobolev space, a parametrized potential operator of a simple layer and a parametrized normal derivative operator are introduced, which is due to the specification of the boundary curve in a parametrized form. It is shown that the solution of the direct problem, sought in the form of the simple layer potential, satisfies the system of integral equations that are described with the operators introduced. The numerical solution is considered for the case of scattering of a plane wave by a dielectric cylinder with a nonconvex cross section whose boundary is given by a parametric representation.
Key words: scattering, Helmholtz equation, direct problem, integral equation, simple layer potential, Hankel function, numerical solution
Введение
Методы теории потенциалов и граничных интегральных уравнений, как хорошо известно [1, 2, 3, 4], занимает особое место в исследовании граничных задач, связанных с рассеянием акустических или электромагнитных волн ограниченными телами. Это позволяют сводить краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных в многомерных областях (как правило, в неограниченных областях) к интегральным уравнениям на многообразиях меньшей размерности (на границе расеивателя). Эти методы находят широкое применение при построении многих математических моделей различных физических процессов, при доказательстве теорем единственности и устойчивости краевых задач, а также служат теоретической основой разработки численных алгоритмов таких задач [5-9]. В прямой задаче рассеяния требуется определения поля заданных источников при заданных геометрических и физических характеристиках рассеивателей. В случае решения прямых задач рассеяния разработаны и развиты методы на основе применения метода граничных интегральных уравнений. Вместе с тем, с точки практических приложений и их реализации остается актуальным разработка приближенных численных алгоритмов решения прямых задач рассеяния.
В работе рассмотрено численное решение прямой задачи рассеяние для случая рассеяние плоской волны на диэлектрическом цилиндре с невыпуклым поперечным сечением, граница которой предполагается заданным параметрическим представлением. Мы рассмотрим диэлектрические рассеиватели и ограничимся случаем цилиндра бесконечной длины. Предположим, что односвязанная область Ў с границей 2 класса С2 представляет собой поперечное сечение диэлектрика, имеющий постоянное волновое число
k
q cRe k
q 0
иIm k
q 0
и включен в однородное тело с положительным волновым числом k0. Обозначим через v единичный внешний нормаль к . Тогда, при падающей плоской волнеu x
i e
ik x d0 с направлением единичного вектора d , прямая задача рассеяния для электромагнитных волн моделируется следующей задачей:для уравнения Гельмгольца найти решения uHloc1
Ў2\
иv H
1
2
0
0
u k u
в Ў2 \ , v kq2v0 в
(1) удовлетврояющие условиям, u
u
v v
v v на , (2)
1/ 2
lim 0 0,
s s r
r u ik u r x
r
, (3)
где uuius, usрассеянная волна, (3) – условие излучения Зоммерфельда. Условие (3) эквивалентно следующему асимптотическому поведению рассеянной волны
ik x0 1s e x
u x u O
x x
x
,
равномерный по всем направлениям (здесь uрассеянное поле на дальнем расстоянии, определяемый на единичной окружности S1 в Ў ). Приведенные выше функции 2 u и v представляют собой электрическое поле, которое параллельно оси цилиндра, а (1) соответствует гармонически по времени уравнению Максвелла, условия (2) означает непрерывность тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей.
Постановка прямой задачи
Задача рассеяния вперед (1) - (3) имеет не более одного решения для трехмерного случая [1], [10]. Существование решение может быть доказано с помощью граничных интегральных уравнений в комбинации с потенциалами простого и двойного солев. Здесь мы опираемся на решение прямой задачи, основанный на применении потенциала простого слоя [1]. Для этого мы обозначим через
, : 0(1)
, ,k 4
x y iH k x y x y
фунтаментальное решение уравнение Гельмгольца с волновым числом k в Ў в терминах функции 2 Ханкеля нулевого и первого порядков. Для волнового числа
k k
q иkk0 вводим в пространстве Соболева операторы потенциалов простого слоя
1/2 1/2
k
:
S H
D H
согласно
Sk
x : 2 k
x y, y ds y , x ,
и операторов нормальной производной
1/2 1/2
k
:
K H
H
согласно
,
: 2 k , ,
k
K x x y y ds y x
x
vСвойства этих операторов и пространство Соболева изложены в [11-12]. Тогда из соотношений скачков вытекает, что потенциалы простого слоя
x : kq
x y, q y ds y , x ,
v
: 0
, 0 , 2\ ,s
u x k x y y ds y x
будет решением задачи рассеяния (1)–(3) при условии, что плотности
q and0 удовлетворяют систему интегральных уравнений
0
0 0
0 0
2 | ,
2 ,
q
q
i
k q k
i
q k q k
S S u
K K u
v (4) которых в дальнейшем будем называть уравнениями поля. При условии, что k0 не является собственным значением задачи Дирихле для оператора (
- оператор Лапласа), с помощью теории Рисса-Фредгольма в работе [13] показано, что cистема (7) имеет единственное решение в
1/2 1/2
H
H
. Поэтому будем считать, что k0 не является собственным значением задачиДирихле для оператора в области
. После введения оператора дальней зоны
1/2 2 1
:
S H D L S с помощью
S
x :
eik x y0
y ds y , xS1,и асимптотики функции Ханкеля заметим, что изображение дальнего поле для решения задачи рассеяния (1) - (3) дается следующей формулой
uS0
в терминах решения (4).
Численное решение прямой задачи
Для численного решения уравнения (4) будем предполагать, что граничная кривая задается в параметризованной форме
z t
: 0 t 2
.
Тогда
z, учитывая зависимость операторов на граничной кривой, введем параметризированный оператор потенциала простого слоя
1/2 2 1/2
: 0,2 0,2 0,2
S Hk
C
H
с помощью соотношения
,
: 02 0 1
k 2
S z t i
H k z t z z d и параметризированный оператор нормальной производной
1/2 2 1/2
: 0,2 0,2 0,2
K H
k
C H
по формуле
2
1 1 0
, :
k 2
z t z z t
K z t ik H k z t z z d
z t z z t
для
t 0,2
. Здесь мы использовали равенство 1' 1
0 1
H H для функции Ханкеля H1 1 нулевого и первого порядков. Также, мы можем писать
a
a
2, a
1
для любого вектoраa a a
1,
2
, т.е. aполучается путем вращения по часовой стрелке на 90 градусов. Тогда параметризированная форма системы интегральных уравнений (4) задается соотношением
0
0 0
0 0
, , 2 ,
, , 2 grad .
q
q
i
k q k
i
q k q k
S z S z u z
K z K z z u z
z
(5) Ядро
t, : 2i 0 1
M H k z t z z и
2
1 1 0
t, : 2
z t z z t
L ik H k z t z z
z t z z t
операторов
S
k иK
k
может быть записано в следующем виде
2
1 2
2
1 2
, , ln 4sin , ,
2
, , ln 4sin , ,
2
M t M t t M t
L t L t t L t
где
1 0
, 1 ,
M t 2 J k z t z z
22 , : , 1 , ln 4sin ,
2 M t
M t
M t
t
1 , : 1 ,
2
z t z z t
L t k J k z t z z
z t z z t
22 , : , 1 , ln 4sin .
2 L t
L t
L t
t
Для численного примера рассмотрим рассеяние плоской волны на диэлектрическом цилиндре с невыпуклым поперечным сечением, граница которой задается параметрическим представлением
cos 0.65cos2 0.65,1.5sin , 0 2 .
z t t t t t
Из асимптотики функций Ханкеля можно сделать вывод о том, что изображение дальней зоны поля от потенциала простого слоя us с плотностью 0 задается в виде
: ik x y0 0
, 1u x e y ds y x S
,здесь 4
0
. 8 ei
k
Последнее выражение может быть оценено с помощью составного правила трапеций после решения системы интегральных уравнений (4) для 0, т.е. после решения (5) для 0.
В таблице 1 приведены некоторые значения приближения для дальнего поля в направлении d и противоположном направлении d . Направление падающей волны d(1,0), а волновые числа равны k01 и kd 2 3 .i Можно отметить, что экспоненциальная сходимость проявляется хорошо.
Таблица 1. Численный результат для прямой задачи рассеяния
n Re u d
Imu d
Reu
d Imu
d
8 -0.601724 -0.005355 -0.246032 0.318496 16 -0.601896 -0.005619 -0.246183 0.318605 32 -0.601901 -0.005628 -0.2461956 0.318605 Заключение
В работе исследовано и получено численное решение прямой задачи рассеяние. В прямой задаче рассеяния необходимо определить поле заданных источников при заданных геометрических и физических характеристиках рассеивателей. Для приближенного численного решения прямой задачи рассеяния применяется методы теории потенциала простого слоя и методы граничных интегральных уравнений. При этом решение уравнения Гельмгольца представляется в виде функции Ханкеля нулевого и первого порядков и вводятся в пространстве Соболева параметризированный оператор потенциала простого слоя и параметризированный оператор нормальной производной. Эти
интегральные операторы задают систему уравнений для неизвестных потенциалов, решая которых получаем приближенное решение исходной прямой задачи рассеяния. Приближенное численное решение рассмотрено для случая рассеяние плоской волны на диэлектрическом цилиндре с невыпуклым поперечным сечением, граница которой задано параметрическим представлением.
Полученные результаты могут найти применение в обратной задаче определения неизвестной границы рассеивателя по данным о рассеянном поле.
Список использованной литературы:
1 Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяяния. – М.: Мир, 1987
2 Ваганов Р.Б. Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1982.
3 Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук 3.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. – Киев: Наукова думка, 1984.
4 Кинг Р., Тай-Цзунь У. Рассеяние и дифракция электромагнитных волн – М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1962 5 Сумбатян М., Скалия А. Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике –М .:ЛитРес, 2017
6 Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории дифракции. – М.: Физический факультет, 2012.
7 Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции - М.: Изд-во МГУ, 1987.
8 Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях вращения // Докл.АН СССР, 1983, т.269, № 2, с. 329-333.
9 Harju M., Fotopoulos G. Numerical Solution of Direct and Inverse Scattering Problems in 1D with a General Nonlinearity // Computational Methods in Applied Mathematics, vol. 14, Issue 3, 2014, pp.347-360
10 Kress R. and Roach G.F. Transmission problems for the Helmholtz equation. //J. Math. Phys., 19, 1978, pp. 1433–1437.
11 Kress R. Integral Equations. 2nd. ed - Springer Verlag, Berlin 1998.
12 Serranho, P. A hybrid method for inverse scattering for shape and impedance // Inverse Problems, 22, 2006, pp. 663–
680.
13 Colton D. and Kres, R Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. 2nd. ed. - Springer, Berlin, 1998.
УДК 519.6 ГРНТИ 27.41.19
М.А. Султанов 1, Д.А. Бердышева 2, Р. Ибрагимов 3 , А.С. Ерназар 4
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ
1 к.ф.-м.н., и.о. профессора Международного казахско-турецкого университета имени Ходжи Ахмеда Ясави, г. Туркестан, Казахстан
2 мнс, Институт информационных и вычислительных технологий КН МОН РК, г.Алматы, Казахстан
3 д.п.н, профессор Южно-Казахстанского педагогического университета, г. Шымкент, Казахстан
4 магистрант Международного казахско-турецкого университета имени Ходжи Ахмеда Ясави, г. Туркестан, Казахстан
Аннотация
В работе численно решена задача продолжения гравитационных аномальных полей в сторону возмущающих масс. Рассматриваемая задача формулируется как задача Неймана для уравнения Лапласа в области вне зоны аномалии. Для удобства она переформулируется как задача Дирихле. Решение задачи продолжения представляется в виде потенциала простого слоя и сводится к интегральному уравнению первого рода. Интегральный оператор задачи является самосопряженным и ограниченным оператором, но в общем случае не является положительным, поэтому непосредственное применение итерационного метода невозможно.
В связи с этим проводится симметризация уравнения. Для численного решения задачи продолжения применяется метод сопряженных градиентов. Проведены результаты вычислительных экспериментов по
восстановлению гравитационного поля при различных уровнях погрешности измерений правой части уравнения.
Ключевые слова: гравитационное поле, задача продолжения, уравнения Лапласа, оператор, погрешность, метод сопряженных градиентов
Аңдатпа
М.А. Султанов 1, Д.А. Бердышева 2, Р. Ибрагимов 3 , А.С. Ерназар 4 ЕКІ ӚЛШЕМДІ ГРАВИТАЦИЯЛЫҚ ӚРІСТЕРДІ ЖАЛҒАСТЫРУ ЕСЕБІН
ТҤЙІНДЕС ГРАДИЕНТТЕР ӘДІСІМЕН САНДЫҚ ШЕШУ
1 Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің профессор м.а., ф.-м.ғ.к., Түркістан қ., Қазақстан
2 ҚР БжҒ министрлігі Ғылым комитетінің Ақпараттық және есептеу технологиялары институтының кіші ғылыми қызметкері, Алматы қ, Қазақстан
3 Оңтүстік Қазақстан педагогикалық университетінің профессоры, п.ғ.д.
Шымкент қ., Қазақстан
4 Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің магистранты, Түркістан қ., Қазақстан
Жұмыста гравитациялық аномальді ӛрістерді қобалжытушы массаларға қарай жалғастыру есебі сандық шешілген. Аномалия аймағынан тыс аймақта қарастырылатын есеп Лаплас теңдеуі үшін Нейман есебі ретінде сипатталады. Ыңғайлылық үшін ол Дирихле есебі ретінде қайта сипатталады. Жалғастыру есебінің шешімі жай қабат потенциалы түрінде ӛрнектеледі және бірінші текті интегралдық теңдеуге келтіріледі. Есептің интегралдық операторы ӛз-ӛзіне түйіндес және шенелген оператор болады, алайда жалпы жағдайда оң анықталған оператор болмайды, сондықтан жай итерация әдісін тікелей қолдану мүмкін болмайды. Осыған байланысты теңдеуді симметризациялау жүргізіледі. Жалғастыру есебін сандық шешу үшін түйіндес градиенттер әдісі қолданылады. Теңдеудің оң жағының ӛлшеу алшақтықтарының түрлі деңгейлері үшін гравитациялық ӛрісті тіктеу бойынша есептеу тәжірибелерінің нәтижелері келтірілген.
Тҥйін сӛздер: гравитациялық ӛріс, жалғастыру есебі, Лаплас теңдеуі, оператор, алшақтық, түйіндес градиенттер әдісі
Abstract
NUMERICAL SOLUTION OF TWO-DIMENSIONAL CONTINUATION OF GRAVITY FIELD PROBLEMS BY CONJUGATE GRADIENT METHOD
Sultanov M.A. 1, Berdysheva D.A. 2, Ibragimov R. 3, Ernazar A.S. 4
1 Cand. Sci.(Phys-Math), professor of the International Kazakh-Turkish University named after Khoja Ahmed Yasawi, Turkestan, Kazakhstan
2 Junior researcher, Institute of Information and Computing Technologies of the Science Committee of the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan, Almaty, Kazakhstan
3Doctor of Pedagogical Sciences, Professor of South Kazakhstan Pedagogical University, Shymkent, Kazakhstan
4Graduate student of International Kazakh-Turkish University named after Khoja Ahmed Yasavi, Turkestan, Kazakhstan
The problem of continuation of gravitational anomalous fields in the direction of perturbing masses is solved numerically. The problem under consideration is formulated as the Neumann problem for the Laplace equation in the region outside the anomaly zone. For convenience, it is reformulated as the Dirichlet problem. The solution of the extension problem is represented as the potential of a simple layer and reduces to an integral equation of the first kind.
The integral operator of the problem is a self-adjoint and bounded operator, but in general it is not positive, so the direct application of the iteration method is impossible. In this connection, the equation is symmetrized. For the numerical solution of the continuation problem, the conjugate gradient method is applied. The results of computational experiments on the restoration of the gravitational field are performed at various levels of error in the measurements of the right-hand side of the equation.
Key words: gravitational field, continuation problem, Laplace equation, operator, error, conjugate gradient method Введение
В геофизических исследованиях важное значение имеют методы грави- и магнитометрии, а также электроразведки. Эти методы основаны на изучении гравитационного поля на поверхности Земли и вблизи нее. Оно связано с аномалией силы тяжести, обусловленное неоднородными по плотности массами. При этом основными параметрами вступают плотности масс, их размер и глубина
залегания. Методы грави- и магниторазведки применяют для поисков полезных ископаемых, в исследованиях верхних слоев земной коры и др [1, 2].
На основе решения задачи продолжения в сторону возмущающих масс идентифицируются в той или иной степени положение аномалий гравитационных и электромагнитных полей. Математическая модель задачи сводится к решению интегрального уравнения первого рода, решение которого неустойчиво. Для его численного решения применяются различные методы регуляризации некорректно поставленных задач [3,4].
Задачи продолжения решения дифференциального уравнения с части границы области исследованы М.М.Лаврентьевым [5], в работе [6] разработаны методы определения моментов возмущающих аномальных масс по измеренным значениям производных потенциала.
Численные методы решения обратной задачи грави- и магнитометрии, основанные на понятии регуляризациии некорректных задач, которое ввел А.Н.Тихонов, разрабатывались В.И.Страховым [7], Б.В. Гласко [8], В.И.Старостенко [9] и др.
В работах [10,11] предложены итерационные методы решения интегрального уравнения первого рода трехмерной задачи продолжения, в том числе с ядром Пуассона. В работе П.Н.Вабищевича [12]
рассмотрен итерационный метод решения двумерной задачи продолжения с выбором итерационого параметра методом простой итерации и методом скорейшего спуска. Как указано в этой работе, в задачах с очень малыми погрешностями в правых частях целесообразно использовать метод сопряженных градиентов, когда скорость сходимости этих методов бывает недостаточно.
В настоящей работе рассматривается применение итерационного метода сопряженных градиентов для численного решения двумерной задачи продолжения гравитационных полей.
Постановка задачи и метод решения
Пусть U гравитационный потенциал аномалии, расположенный в толще Земли. Обозначим через
x
горизонтальную координату, а ось z направим вертикально вверх, причем на земной поверхности z0. Рассмотрим задачу продолжения гравитационного потенциала при z0вплоть до аномалий, глубина залеганий которых естьH
.Рисунок 1. Иллюстрация к задаче продолжения
Будем рассматривать задачу продолжения гравитационного потенциала от возмущающих масс (области
M M
1,
2 на рис.1) . В области вне аномалии потенциалU x t ,
удовлетворяет уравнению Лапласа2 2
2 2
0, .
U U
z H
x x
(1)На земной поверхности по данным натурных измерений ставится условия (наблюдается вертикальная первая призводная потенциала)
, 0
.U x x
x
(2) Из физических соображений, еще одно краевое условие имеет вид
, 0.
U x
(3) При этом на функцию x
накладываются естественные ограничения на поведения приx
, обеспечивающие ограниченность решения.Задача (1)-(3), рассматриваемая при z0 есть обычная краевая задача (задача Неймана) для уравнения Лапласа. Мы будем рассматривать задачу продолжения решения этой корректной задачи в прилегающую область, в которой H z 0.
Задача продолжения (1)-(3) не совсем удобно для исследования при z0 из за граничного условия (2). Для удобства переформулируем еѐ как задачу продолжения для u U/x:
2 2
2 2
0, ,
u u
z H
x x
(4) , 0 ,
u x x
(5) , 0.
u x
(6) В случае (4)-(6) мы имеем задачу продолжения решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Для приближенного решения задачи продолжения (4)-(6) используются различные численные алгоримтмы. Как в [12], мы будем применять метод интегральных уравнений. Гравитационный потенциал от аномалий будем приближать потенциалом простого слоя с носителем, расположенным на отрезке 0 x L и глубине z H. Тогда, с точностью до множителя, имеем
2
20
, ln , , .
L
U x t
r d r x zH z H (7) Для условия (2) получим
2
2
0
, , .
L z H
u x t d z H
x z H
(8)Тогда, с учетом (5) и (8) получим интгеральное уравнение первого рода для определения неизвестной плотности
:
0
,
L
K x d x
, (9)где ядро
K x ,
является симметричным ядром и имеет вид
,
2 2K x H
x H
.
Запишем уравнение (9) в виде операторного уравнения первого рода
A (10) Здесь
0
,
L
A
K x d .Хорошо известно, что интегральный оператор A H: H, где
H L
2 0, L
, является самосопряженным и ограниченным оператором, но не является положительно определенным операторам, вследствие чего прямое применение итерационного метода неправомерно. Поэтому необходимо предварительная симметризация уравнения (10):* *
A A A
, (11) после которой затем используется итерационный метод. Здесь A*сопряженный оператор к операторуA
.Численный алгоритм решения задачи
Для численного решения интегрального уравнения (10) будем использовать равномерную сетку
0.5 , i 1, 2,...,
h x x i h N, Nh = L
.
Приближенное решение обозначим через
v
i v x
i, i 1, 2,..., N
. Применяя квадратурную формулу прямоугольников интеральному операторуA
поставим в соответствие следующий сеточный оператор
1
,
N
h i i j j
j
A v x K x
v h
. (12)Тогда сеточным аналогом уравнения (11) является
* *
,
h h,
hv f A A f A
A A
(13)Для численного решения (13) будем применять метод сопряженных градиентов [13]. Приведем алгоритм метода сопряженных градиентов применительно к уравнению (13).
На «нулевой» итерации выполняются подготовительные действия:
1. Полагаем k0.
2. По заданному начальному приближению v 0 (обычноv 0 0) вычис-ляем невязку
0 0
r f A v
.3. В качестве направления движения выбирается
p
1 r
0 . На первой и следующих итерациях ( 1, 2,...,k ) выполняются следующие действия:
4. Вычисляем номер текущей итерации k k 1.
5. Вычисляем коэффициент
1 1
, / ,
k k
k
r r p p
k k
A
. ( , скалярное произведение вH
h) 6. Находим новое приближение решения k k 1
k k
v v
p
.7. Вычисляем новую невязку
1
k k
.
k k
r r
A p
8. Проверяем условие окончания итерационного процесса, например,
k /
r b . (
норма,
точность решения) Если условие выполняется, то алгоритм завершается.9. Вычисляем коэффициент
1 1
, / , .
k k k k
k
r r r r
10. Определяем новое направление движения
1 k
.
k k k
p
r p
11. Переходим на шаг 4.
12. Конец алгоритма.
Результаты вычислительных расчетов
В проведенных расчетах нами использована модельная задача с двумя аномалиями кругового сечения с центрами
x z1, 1
0.8,0.3 ,
x z2, 2
1.1,0.4
. Точное решение задачи (4)-(6) при этих данных имеет вид
1
1
2 1 1
2 2
2
2 2 2
2, z z z z
u x z c c
x x z z x x z z
.
Примем
c
1 0.3, c
2 1.2,
т.е. можно считать, что более глубокая аномалия имеет в четыре раза большую мощность.Приведем результаты вычислительных расчетов решения задачи продолжения в случае, когда 0.225
H . В вычислительных расчетах предусмотрено использование различных сеток. Нами приведены результаты для случая N100. Наиболее важной представляется зависимость точности восстановления гравитационного аномального поля в зависимости от погрешности во входных данных
. Погрешности во входных данных моделировались тем, что точное решение в узлах сетки возмущались по закону: 2 1 , , 1, 2,..., ,
2
ix x x x x i N
где
x
нормально распределенная от 0 до 1 случайная величина. Параметр определяет уровень погрешности в задании правой части уравнения (10), причем
x x L .
На рис. 2 показано график точного решение задачи, а на рис.3 приведено графики точного решения на различных глубинах
H
.Рисунок 2. График точного решения Рисунок 3. Графики точного решения на различных глубинах
На рисунках 4, 5 представлены данные, полученные при решении задачи методом сопряженных градиентов с погрешностьями 0,1 и 0, 01 во входных данных (поля на земной поверхности z0). Приведены точные и найденные поля на глубине z 0, 2.