ГРНТИ 27.31.17 УДК 517.925
5. Построение решения краевой задачи. Справедлива следующая теорема
Теорема 1. Пусть выполнены условия I ІV,тогда решение у(t,) краевой задачи (1) (2) существует на сегменте 0t1, единственно и представимо формулой
t
t
ds s F s t K ds
s F s t K
ds s F j s
K
j j
t ds s F j s
K
j j
t
ds s F j s
K
j j
t t
a t a t a t
y
0
1
. ) ( ) , , 1( 2 ) 1 ( ) , , 0( 2 1
1 0
) ( ) , , 1 )( ( 0 1
0 1 2
) 1 , 3( 1
0
) ( ) , , 1 )( ( 0 1
0 2 2
) 1 , 2(
1 0
) ( ) , , 0 )( ( 1 1
0 1 2
) 1 , 1( ) , 3( ) 3
, 2( ) 2
, 1( ) 1
, (
(13)
Доказательство. Для доказательства теоремы непосредственной проверкой достаточно убедиться что функция, заданная по формуле (13), удовлетворяет всем условиям определения решения краевой задачи (1), (2). Неравенство (12) обеспечивает единственность решения задачи (1), (2). Теорема доказана.
Список использованной литертауры
1 Касымов К.А., Нургабыл Д.Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т.40. – № 4 – С. 597-607
2 Касымов К.А., Жакипбекова Д.А., Нургабыл Д.Н. Представление решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных // Вестник Казахского национального университета им. Аль- Фараби – 2001. – №3, - С.73-78.
3 Nurgabul D. Asymptotic estimates for the Solution of a Restoration Problem with Initial Jump// Journal of Applied Mathematics. USA. Vol. – 2014 (2014), Article ID 956402
4 Дауылбаев М.К. Асимптотические оценки решений интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром. // Математический журнал. Институт математики МОН РК, -2008. - т.8. - №4 –C.57-63.
5 Касымов К.А., Дауылбаев М.К., Aтaхaн Н. Асимптотическое поведение решения сингулярно возмущенной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Сер.матем., механ. Алматы, № 3 (2012). -С. 28-347.
6 Нургабыл Д.Н. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с начальным скачком // Вестник Карагандинского государственного университета, серия математика. -2008, №1, С.40-47.
7 Нургабыл Д.Н. Построение решения сингулярно возмущенной краевой задачи имеющего начальный скачок // Вестник Кыргызского государственного Национального университета. 2001. сер.3., вып.6., С.173-177.
УДК 378.02:37.016 ГРНТИ 14.35.09
О.С. Сатыбалдиев1, А.M. Орынбасар2
1 д.п.н., профессор, Казахский национальный университет имени аль-Фараби, г.Алматы, Казахстан
2 PhD докторант, преподаватель, университет имени Сулеймана Демиреля, г.Каскелен, Казахстан
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ РОЛЬ ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Аннотация
Эффективность и качество педагогических вузов определяются прежде всего тем, насколько реальный выпускник соответствует идеальный модели педагога-мастера, в какой степени владеет он профессиональным мастерством. Наряду с теоретической подготовкой будущего учителя, должно быть обращено на него практическую подготовку, т.е. на выработку умений и навыков работы с соответствующим материалом в средней школе. Вооружению практическими навыкамии и умениями способствует практические занятия по соответствующей дисциплине и самостоятельная работа студентов. В статье задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования: составление математической модели; работа с моделью; ответ на вопрос задачи, а также дается некоторые рекомендации методического плана.
Ключевые слова: профессиональная подготовка, умения, навыки, высшая математика, задачи, самостоятельная работа.
Аңдатпа.
О.С. Сатыбалдиев1, Ә.M. Орынбасар2
ҤЙЛЕСІМДІЛІК ЕСЕПТЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ БОЛАШАҚ МАТЕМАТИКА МҦҒАЛІМДЕРІНІҢ КӘСІБИ ДАЯРЛЫҚТАРЫН ҚАЛЫПТАСТЫРУДАҒЫ РӚЛІ
1 п.ғ.д. профессор, Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы қ., Қазақстан
2 PhD докторант, оқытушы, Сулейман Демирель атындағы университеті, Қаскелен қ., Қазақстан Педагогикалық жоғары оұу орындарының сапасы олардың кәсіби шеберліктің негіздерін қалай меңгергендіктерімен және шебер-педагог моделімен айқындалады. Болашақ мұғалімдердің теориялық даярлықтарымен қатар, олардың практикалық даярлықтарына, яғни мектеп материалдары бойынша қандай іскерліктер мен дағдыларды олардың бойларына қалыптастыру мәселелеріне басты назар аударылу қажет. Ол дағдылар мен іскерліктерді студенттерге математикалық курстардың пратикалық сабақтары мен ӛзіндік жұмыстар арқылы қаруландыра аламыз. Бұл мақалада қарапайым үйлесімділік есептері қарастырылды, олар математикалық модельдеудің математикалық модельдерді құру; құрылған модельмен жұмыс істеу; есептің талабына жауап беру кезеңдері арқылы шешіледі және оларға әдістемелік тұрғыдағы ұсыныстар беріледі.
Тҥйін сӛздер: кәсіби даярлық, іскерлік, дағды, жоғары математика, есептер, ӛзіндік жұмыстар.
Abstract
PROBLEMS OF OPTIMIZATION AND THEIR ROLE FOR THE PROFESSIONAL TRAINING OF THE FUTURE TEACHER OF MATHEMATICS
Satybaldiyev O.S.1, Orynbassar A.M.2
1 Dr.Sci.(Pedagogical) Professor, Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan
2 PhD student, Lecturer, SuleymanDemirel University, Kaskelen, Kazakhstan
The effectiveness and quality of pedagogical universities are determined primarily by the extent to which a real graduate corresponds to the ideal model of a teacher-master, to what extent he owns professional skills. Along with the theoretical preparation of the future teacher, practical training should be directed to it. On the development of skills and skills of working with the relevant material in high school. Arming with practical skills and skills is facilitated by practical classes in the relevant discipline and independent work of students. In the article, optimization problems are solved by the usual scheme of three stages of mathematical modeling: compilation of a mathematical model; work with the model; the answer to the question of the problem, as well as some recommendations of the methodological plan.
Key words: vocational training, skills, skills, higher mathematics, tasks, independent work.
Важнейшей задачей вузовской методикой является задача изложения математических курсов в педагогическом вузе с таким уклоном, что без их изучения и глубокого усвоения из них хорошо подготовленных для работы учителей математики не получится. Вся история высшего педагогического образования свидетельствует о необходимости совершенствования профессиональной направленности преподавания специальных дисциплин в педвузе. При этом основное внимание, должно быть обращено на его практическую подготовку, т.е. на выработку умений и навыков работы с соответствующим материалом в средней школе. Вооружение практическими навыками и умениями способствует практические занятия по соответствующей дисциплине и самостоятельная работа студентов. Следовательно, необходимо создать такую систему упражнений для практических занятий и самостоятельной работы студентов, которая бы в полной мере отвечала требованиям профессиональной подготовки будущего учителя математики средней школы. Педагогический вуз должен давать студенту-будущему учителю прежде всего то, что от него как от специалиста потребует жизнь. Определить же это можно, лишь зная, какие задачи потребуется решать этому специалисту, какие знания, умения и навыки он должен иметь для выполнения будущей профессиональной деятельности.
В отличие от естественных наук математика не связана с действительностью непосредственно.
Число, уравнение, функция, предел, производная и т.д. является той реальностью, которая изучается высшей математикой. Студенты знакомятся с понятиями действительного числа, функции, предела, непрерывности, производной, которые являются понятиями достаточно высокой степени абстракции.
Поэтому перед преподавателями математических курсов стоит задача раскрытия студентам связей высшей математики с действительностью, зачастую непрямых и неочевидных, а также задачи разъяснения основы происхождения основных понятий высшей математики. Преподаватели
математических курсов должны одновременно с этим подчеркнуть, что стадия абстрактного мышления является для высшей математики столь же необходимой, как его связь с действительностью. Именно абстрактность понятий высшей математики, логическая разработанность ее теорий и составляет ее силу, делает ее мощным инструментом познания, обеспечивает ей широкую применимость. Большое значение для воспитания мировоззрения студентов, а, следовательно, и школьников имеет раскрытие роли практики в развитии высшей математики. Преподаватель высшей математики обязан разъяснить студентам, что именно практика, включающая современную технику, научную деятельность, направляет запросы человека к высшей математике и вместе с тем служит полигоном для проверки ее значимости, значимости ее конструкций и методов.
Конечно, например, задачи на максимум и минимум, предлагаемые в системе упражнений по высшей математике, довольно далеки по содержанию, по сложности и способам решения от проблем оптимизации в технике и на производстве, но, рассматривая их, можно дать будущему учителю представление о постановке проблемы, о ее важным практическом значении, об идее ее решение. Все это учитель должен уметь использовать в своей профессиональной деятельности. Требование к преподаванию высшей математики в различных учебных заведениях должны быть связаны с особенностью специальной подготовки в том или ином вузе. Поэтому задачи, предлагаемая нами для практических занятий и самостоятельной работы по высшей математике в педвузе, обладает рядом дидактических и методических особенностей, которые отличают ее от системы упражнений по высшей математике во втузе или университете.
Особную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека. С такими задачами в наше время приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалась как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы траспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носит обшие название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum - наилучший ).
В этой статье в самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.
Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования:
1) составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи.
Прежде чем переходить к конкретным примерам решения задач на оптимизацию, дадим некоторые рекомендации методического плана.
Первый этап. Составление математической модели.
1) Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину, т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет рѐчь. Обозначьте еѐ буквой у (или S, V, R, t – в зависимости от фабулы).
2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить у, примите за независимую переменную и обозначьте еѐ буквой х (или какой-либо иной буквой). Установите реальные границы изменения х (в соответствии с условиями задачи), т.е.
область определения для искомой у.
3) Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию ( ) которую нашли на втором шаге.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции ( ) найдите унаим или унаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются следующие теоретические материалы:
а) если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего знчений;
б) наибольшего и наименьшего значений неперывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него;
в) если наибольшее (наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.
Пример 1. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению еѐ ширины на квадрат высоты.
Какое сечения должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиусом R, чтобы еѐ прочность была наибольшей?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
1) Оптимизируемая величина у – прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей.
2) Прочность зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки. Объявим независимой
переменной х ширину балки. Поскольку осевые сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиусом R (рис.1), то таковы реальные границы изменения независимой переменной: ( )
3) Высота h прямоугольника связана с его шириной соотношением (по теореме Пифагора). Значит, .
Прочность балки у пропорциональна произведению , т.е. (где коэффициент k- некоторое положительное число).
Значит,
( ) , где ( ).
Математическая модель задачи составлена.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции ( ), ( ) надо найти унаиб. Имеем:
Найдѐм критические точки. Приравняв производную нулю, получим:
√
√
Заданному интервалу ( ) принадлежит лишь точка , причѐм
√ – точка максимума функции. Значит, по а), б), в), ( ) .
√ /
√ (здесь ( ) ( )).
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
В задаче спрашивается, какое сечения должна иметь балка наибольшей прочности. Мы выяснили, что ширина прямоугольника, служащего осевым сечением наиболее прочной балки, равна
√ . Найдѐм высоту:
Значит, √
√ , а потому √ .
Ответ: сечение балки должен служить прямоугольник, у которого отношение высоты к ширине равно √
Замечание. Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, но, разумеется, они принимают указанное отношение равным 1,4 (приближѐнное значение иррационального числа √ ).
Пример 2. В степи, на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к поисковой партии точки расположен райцентр. Поисковая партия отправляет курьера-велосипедиста в рай центр. Каков должен быть
маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе – со скоростью 10 км/ч?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Сделаем чертѐж. На рисунке 2 точка Р означает местонахождение поисковой партии, прямая l-шоссе, В- райцентр,
маршрут следования курьера, причѐм положение точки М между А и В пока неизвестно.
1) Оптимизируемая величина – время tдвижения курьера из Р в В; надо найти tнаим.
2) Пусть АМ = х. По смыслу задачи точка М может
занять любое положение между А и В, не исключая самих точек А и В. Значит, реальные границы изменения х таковы:
.
3) Выразим t через х. Имеем: √ √ Этот путь велосипедист едет со скоростью 8 км/ч, значит, время t1, затраченное на этот путь, выражается формулой
√ Далее, МВ = 15 – х. Этот путь велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, значит, время t2, затраченное на этот путь, выражается формулой
Найдѐм суммарное время t, затраченное на весь путь:
√
Итак, √
, - Это математическая модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
4) Для функции √ надо найти наименьшее значение на отрезке , -.
Находим t’:
√
( )
√
Производная существует при всех х. Найдѐм точки, в которых Имеем:
√ √ ( )
Значение х= 12 принадлежит отрезку [0; 15].
Таблица значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:
х 0 12 15
t
√
Следовательно,
(поскольку √ ).
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Так как tнаим достигается при х = 12, то велосипедисту надо ехать по такому маршруту РМВ, чтобы расстояние между точками А и М по щоссе было равно 12 км.
Пример 3. Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 500 литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
1) Оптимизируемся величина S – площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей.
2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной х сторону квадрата, служащего основанием бака.
Ясно, что x>0. Других ограничений нет, значит, . Таковы реальные границы изменения независимой переменной:
( )
3) Если h - высота бака, то откуда находим:
На рисунке 3 изображѐн прямоугольный параллелепипед, указаны его измерения. Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырѐх прямоугольников со сторонами х и
Значит, Итак, при V = 500
( )
Математическая модель задачи составлена Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции ( ) надо найти унаим. Для этого нужна производная функции:
( )
На промежутке ( ) критическая точка только одна: при
Заметим, что при выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Значит, х = 10 – единственная критическая точка, причѐм точка минимума функции на заданном промежутке, а потому согласно а), б), в), в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна 10 дм
Ответ: 10 дм.
Такие задачи дает возможность показать будущему учителю, что они служит достижению вполне конкретных методических целей: введению нового понятия; глубокому усвоению учащимися теоретического материала; выработке необходимых умений и навыков; возбуждению и развитию интереса к математике и ее методам.
Список использованной литературы
1 Сатыбалдиев О.С. Болашақ мұғалiмдер даярлайтын жоғары оқу орындарында математикалық анализ курсын оқытудың әдістемелік жүйесі. Дис... пед.ғыл.док. Алматы: 2003. -303б.
2 Мордкович А.Г. Профессинально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. ...док.пед.наук. М.: 1986. -355 с.
3 Сатыбалдиев О.С., Мордкович А.Г. Алгебра и началаматематическогоанализа. – М.: Учебник 10кл., ООО
«ИОЦ Мнемозин», Москва 2014г. - 298стр.
4 Сатыбалдиев О.С., Мордкович А.Г. Алгебра и началаматематическогоанализа. –М.: Задачник 10кл., ООО
«ИОЦ Мнемозин», Москва 2014г. - 202стр.
УДК 519.6 ГРНТИ 27.35.39
М.А. Сигаловский1
1PhD - докторант КазНУ им. Аль-Фараби; специальность: Математика
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЕВОГО ФУНКЦИОНАЛА В ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЛОКАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГРАВИМЕТРИИ
Аннотация
Рассмотрена обратная задача гравиразведки. Практическое решение таких задач связано с минимизацией целевого функционала нормы отклонения соответствующих значений функции состояния системы от результатов измерения. В работе исследуются дифференциальные свойства данного функционала с целью установить применимость стандартных методов минимизации функционалов. На практике возникают задачи определения местоположения, формы, глубины залегания, размеров, плотности и структуры тел по известным аномалиям поля гравитационного потенциала или вторых производных потенциала силы тяжести.
Математически они сводятся к решению соответствующих обратных задач. Здесь рассматривается задача восстановления местоположения гравитационной аномалии известной формы и структуры по результатам измерения гравитационного потенциала и его градиента на поверхности земли. Основное уравнение постановки задачи - уравнение Пуассона.
Ключевые слова: обратные задачи, гравиметрия, дифференциальные свойства функционала, производная Гато, производная по направлению.
Аңдатпа М.А. Сигаловский1
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ҚАСИЕТТЕРІН МАҚСАТТЫ ФУНКЦИОНАЛДЫҢ КЕРІ ГРАВИМЕТРИДІҢ БІР ЖЕРГІЛІКТІ МӘСЕЛЕСІНДЕ.
1 ал-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің PhD докторанты, Алматы қ., Қазақстан Қарсы гравитациялық зерттеу мәселесі қарастырылады. Осындай проблемаларды практикалық шешу жүйелік функциялардың тиісті мәндерін ӛлшеу нәтижелерінен ауытқу нормасының мақсатты функционалын азайтуға байланысты. Осы мақалада функционалды функцияның дифференциалдық қасиеттерін зерттей отырып, функционалдығын барынша азайтудың стандартты әдістерінің қолданылуын анықтауға болады. Іс жүзінде гравитациялық потенциалды ӛрістің белгілі бір ауытқуларынан немесе ауырлық әлеуетінің екінші туындыларынан орналасудың, пішінінің, тереңдігінің, мӛлшерінің, тығыздығының және құрылымдарының анықталуында проблемалар туындайды. Математикалық тұрғыдан, олар кері кері проблемаларды шешу үшін азаяды. Мұнда гравитациялық потенциалды және оның жер қыртысының градиентін ӛлшеу нәтижесінен белгілі формасы мен құрылымының гравитациялық аномалиясының орнын қалпына келтіру мәселесін қарастырамыз.
Мәселені тұжырымдаудың негізгі теңдеуі - Пуассон теңдеуі.
Тҥйін сӛздер: кері есептер, гравиметрия, функционалдың дифференциалдық қасиеттері, Гато туынды, бағыт бойынша туынды
Abstract
DIFFERENTIAL PROPERTIES OF THE TARGET FUNCTIONAL IN ONE REVERSE LOCATION PROBLEM OF GRAVIMETRY.
Sigalovsky M.A.1
1 doctoral student, Al-Farabi Kazakh National University, Almaty. Kazakhstan
The inverse gravity exploration problem is considered. The practical solution of such problems is connected with minimization of the target functional of the norm of deviation of the corresponding values of the system state function from the measurement results. In this paper, we investigate the differential properties of a given functional in order to establish the applicability of standard methods for minimizing functionals. In practice, problems arise in determining the location, shape, depth, size, density and structure of bodies from known anomalies of the gravitational potential field or the second derivatives of the gravity potential. Mathematically, they are reduced to solving corresponding inverse problems. Here we consider the problem of restoring the location of a gravitational anomaly of a known shape and structure from the results of measuring the gravitational potential and its gradient on the earth's surface. The basic equation for the formulation of the problem is the Poisson equation.
Key words: inverse problems, gravimetry, differential properties of the functional, the Gâteaux derivative, the directional derivative
1. Введение. На практике, в частности, при разведке и эксплуатации месторождений полезных ископаемых, возникают задачи определения местоположения, формы, глубины залегания, размеров, плотности и структуры тел по известным аномалиям поля гравитационного потенциала или вторых производных потенциала силы тяжести. С математической точки зрения они сводятся к решению соответствующих обратных задач. В настоящей работе рассматривается задача восстановления места расположения гравитационной аномалии известной формы и структуры по результатам измерения гравитационного потенциала и его градиента на поверхности земли.
2. Постановка задачи. Распределение потенциала гравитационного поля описывается уравнением Пуассона . Ограничимся рассмотрением вертикального среза, т.е. двумерным случаем.
Будем считать, что вне аномалии структура Земли однородна, т.е. имеет постоянную плотность, которая известна. Аномалия также имеет постоянную известную плотность, а также известную форму, которая для простоты предполагается прямоугольной. Однако место ее расположения неизвестно. Таким образом, требуется восстановить координаты центра расположения аномалии. В то же время на поверхности земли, т.е. для значения горизонтальной координаты, нам известны не только распределения потенциала по горизонтальной координате, но и его градиента (производной по вертикальной координате). При этом возникает проблема постановки краевых условий на боковых и нижней границах рассматриваемой области, где информация о системе отсутствует. Эта трудность преодолевается следующим образом: а) область поиска предполагается произвольно расширяемой; б) по мере продвижения к трем заглубленным границам прямоугольной области поиска разность текущего и «нормального» значения гравитационного потенциала стремится к нулю, а на границе равна нулю. Будем называть такую задачу локационной. Обозначим:
( ) ( ) – замеряемые текущие значения плотности и гравипотенциала соответственно; - «нормальная» плотность вмещающей породы; - «нормальный»
(невозмущенный) потенциал гравиполя; ( ), – функции разностей замеряемого в точке и нормального значений потенциала и плотности, соответственно; – прямоугольная область залегания ископаемого (целевая область); - область поиска с расширяемой границей (также прямоугольник, ), где – заглубленная трехзвенная часть границы прямоугольника , - длина верхней границы вдоль оси OX, Разность потенциалов вдоль части границы стремится к 0, вдоль верхней границы задана функцией | ( ); Условие на вертикальный градиент потенциала: | ( );
Тогда постановка обратной задачи запишется так:
Найти координаты центра ( ) прямоугольной целевой области так, чтобы функция ( ) удовлетворяла условию
| ( ) (1) где данная функция замеров ( ) вводится по результатам замеров первой производной гравипотенциала, а сама функция ( ) является решением прямой задачи:
{
| ( )
|
{ ( ) ( ) {
( )
где ( )
Для практического решения такую задачу обычно сводят к следующей оптимизационной задаче:
Найти минимум целевого функционала ( ) ∫ ( | ( ))
где функция ( ) является решением прямой задачи, и требуется минимизировать среднеквадратичную невязку производной функции потенциала и функции замеров ( ).
В свою очередь, для численного решения таких задач чаще всего применяются градиентные методы, формулировка которых использует значение производной соответствующего функционала.
Цель данной работы состоит в исследовании дифференциальных свойств данного функционала.