рывных функций есть функция непрерывная.
§ 4. Н ЕКО ТО РЫ Е СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Х НА О Т Р Е З К Е
В настоящем параграфе мы приведем без док а
зательства несколько основных теорем о ф ункциях, непре
рывных иа отрезке.
73
Т е о р е м а 1. Если функция f (,v) непрерывна на отрезке [а, Ь], то существует по крайней мере одна точка х — с, в которой функция f (х) достигает своего наибольшего зна
чения на отрезке [а, Ь], т. е. для всех х == с будет f (с), и существует по крайней мере одна точка x — d, в кото
рой функция f (х) достигает своего наименьшего значения на отрезке [а, Ь], т. е. для всех х ~ d будет / (х) ^ f (d) (рис. 32).
3 а м с ч а и и е. Для функций, непрерывных на интервале, тео
рема несправедлива. Например, среди значений непрерывной на интервале (0,1) функции у = х (рис. 33) нет ни наибольшего, ни наименьшего.
Т е о р е м а 2 (теорема Коши). Если функция f( x) не
прерывна на отрезке [а, 6] и принимает на его концах различные по знаку значения, т. е. f ( a) -f (Ь) 0, то суще
ствует по крайней мере одна точка с £ [а, Ь], в которой функция / (х) обращается в 0, т. е. /(c ) — 0 [а<^с<^Ь) (рис. 34).
74
Геометрически это означает, что непрерывная кривая, расположенная в одном конце отрезка [а, Ь] над осыо абсцисс, а в другом конце под ней, обязательно пересечет ось абсцисс внутри отрезка [а, Ь].
С л е д с т в и е. П усть функция f (х) непрерывна на [а, Ь ] и f(a) = A, f(b) = B. Н е ограничивая общности, предпо
ложим, что А < ^ В . Тогда какое бы число С, удовлетво
ряющее условию А < ^ С < ^ В , мы ни взяли, всегда найдется точка с £ [ а , Ь] такая, что f(c) — C (рис. 35). Действи
тельно, рассмотрим функцию g( x) — f ( x) — С. Она непре
рывна на [a, b], g ( a ) < i 0 и g (b )^ > 0. Следовательно, по теореме 2 найдется такая точка с £ [ а , Ь], что g{c) = 0, т. е. g ( c ) = f ( c ) — С = 0, или f(c) = C. Геометрически это утверждение означает, что если функция, непрерывная па отрезке, принимает в каких-либо двух точках различные значения, то эта функция принимает и любое промеж у
точное меж ду ними значение.
Так, на рисунке 35 функция / (х) принимает в точках а и b соответственно различные значения f( a) — A и f (6) — В и для произвольного значения С (А С В) находится такая точка с £ ( а , Ь), что f(c) = C.
t ЛИНЕЙНЫ Е А Л ГЕБРА И Ч ЕС КИ Е
У РА ВН ЕН И Я И МЕТОДЫ ИХ Р Е Ш Е Н И Я Г л а в а V
§ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ А Л ГЕБРА И ЧЕС КИ Х УРАВНЕНИЙ
В элементарной алгебре изучаются системы одного, дв ух и трех уравнений I -й степени. Мы тож е будем здесь исследовать системы уравнений 1-й степени (их принято называть линейными уравнениями), но для нас число уравнений системы не будет играть существенной роли.
Мы будем применять общепринятые обозначения для коэффициентов системы линейных алгебраических уравн е
ний. Например, система трех уравнений будет иметь сл е
дую щ ий вид:
| а „ * | - р С1[лХл- | - aj = Ь\
j 0-і\Х\ "Г а У.х 1 ~ г а -яхз — b-i ' а г\Х\ ~ г <332Xj %!-V3 = ол
Неизвестными в системе являются х и х», ху, коэффи
циенты системы — a,j ( і — \, 2, 3, / = 1, 2, 3); bu bit b3 — правые части системы уравнений. Каждый коэффициент аі;- имеет два индекса; 1-й указывает номер уравнения или номер строки системы, а 2-й — номер неизвестного. Реше
нием такой системы, мы будем называть набор чисел си ел, с:и который при подстановке их в систему уравнений соответственно вместо д'ь х>, л:Л обращает эти уравнения в числовые тождества. Следует помнить, что числа сь с.,, сЛ представляют о д н о решение системы уравнений, а не три.
Д р угое дело, что такой набор чисел, который обращал бы уравнения в тождества, может быть не единственным.
Вопрос о том, существует ли вообще решение системы уравнений п если сущ ествует, то сколько таких решений, мы рассмотрим позж е.
76
Все сказанное выше можно распространить на системы произвольного числа линейных алгебраических уравнений.
Система из п уравнений с п неизвестными будет иметь вид:
В этом случае набор чисел с ь с.1у съ сп, обращаю
щий в тождества все уравнения, называется решением системы. Вопрос о существовании таких решений и об их количестве, если оии существуют, оставим пока открытым.
Скажем только, что система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение (т. е. хотя бы один набор чисел сь с.ъ . . . , сп, удовлетворяющий системе), и система называется несовместной, если она совсем не имеет реше
ний. Выпишем таблицу коэффициентов при неизвестных в системе (1):
Любая такая таблица (даже не обязательно связанная с какой-либо системой уравнений) носит название квад
ратной матрицы /г-го порядка и содержит п2 элементов.
Матрица называется квадратной потому, что количество строк в таблице совпадает с количеством столбцов. Строкой мы назовем совокупность элементов таблицы вида аі}-, где І фиксировано, a j пробегает все значения от 1 до п, напри
мер: <2-21, С1лл, • • • , С1±п'
Столбец — это набор элементов aif, записанных сверху вниз, где / фиксировано, a І пробегает все значения от 1 до п, например:
f ci\\X\ - j - ОцХп-j - а 13л'3 - [ - • • • ~\~ а \пхп — Ь\
I - { - СІ-іяХл - { - влцХл - { - . . . - | - йяпХ п = Ьл
{ СІщХі вщХз, - j - - | - . . . а.\\пХ п = 6 3
0
) 0>п\Х 1 | 0-П'1Х . ^71'ІХ‘Л І ••• І &ППХП---- Ь'аи а1, ап . . . аиД а.21 а,г.2 а.гл . . . а1п
AJ3 a.vt
77
Если число строк в таблице равно т, а число столбцов п ( Шу Ь п ) у то таблицу называют прямоугольной матрицей:
Эта матрица, очевидно, содерж ит т - п элементов.
М ат рицу, содержащую одну строку или один столбец из п элементов, мы будем называть п-мерным вектором.
Решение (сь с.г, . . . , сп) системы (1) также является /г-мерным вектором. Наконец, столбец правой части
тож е /i-мерный вектор.
Пусть теперь, кроме системы (1), имеется еще и д р у гая система п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:
Системы (1) и (2) называются эквивалентными, если любое решение системы (1) является решением системы (2), и, наоборот, любое решение системы (2) является решением системы (1).
II р и м е р. Рассмотрим две системы уравнений:
Нетрудно видеть, что решением обеих систем будет набор (0; 1). Других решений системы не имеют.
В том случае, когда вектор правой части нул евой , т. е.
все bi = 0 ( і = 2, /г), система (1) называется одно
родной.
§ 2. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
В предыдущем параграфе мы ввели понятие мат
рицы. Здесь мы определим различные алгебраические опе
рации над матрицами. Пусть даны две матрицы Л И В, имеющие т строк и /г столбцов (обычно элементы матриц 78
обозначаются строчными буквами, а сами, матрицы — про
писными):
/ Ьи • •• Ь\п \ В =
/«11 а{2 ..' • «1я \
н
а,21 #23 • 1• • Clin 1
\а т1arlVi . •■•@тп/
Ьах Ь.jo . . . Ь.іп
\bt1ll • • • ь, /
Определение.
Дее матрицы А и В называются равными, если их соответственные элементы равны: а-^ — Ьц.
Определение.
Матрица С называется суммой матриц А и В, если каждый ее элемент равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т. е. сі;- = аі}- -j- Ьі;-, или
j a n а 1а I ^11 ^1-2 • • • \ Ьц bon . • ■ b~2r
\b
/ a n~\~bi\ Uyi —j- Ь flfoj -j- Ьл\ a~i 2 ” j~ Ьлі
m l ^ m l • • • b m t J a \n "I" b\n Q-in H~ b in m l a m1 H - Ь т ъ . . . a mn Ь ,
С и Ci2 ... c in
С-Ц Сл-2 . . . C o,;
или
\Cm i СцЛ • • • С inn ■
A - \ - B = C.
П р и м е p.
'1 — 1
1
J) +
( 1 А з/0И з самого определения следует, что сумма не изме
нится, еслн мы поменяем слагаемые местами.
Определение.
Операции, в которых результат от перемены мест членов не меняется, называются коммутативными операциями.
Операция сложения матриц обладает свойством ком
мутативности.
Определение.
М атрица, все элементы которой равны нулюг называется нулевой матрицей.79
Очевидно, A -j- 0 = Л (0 здесь обозначает нулевую мат
рицу того ж е порядка, что и А).
Введем правило умножения матрицы па число.
О п р е д е л е н и е . Произведением матрицы А на число к называется матрица С, каждый элемент с-^ которой равен произведению соответствующего элемента aif на число к, т. е. cij — kaij.
Матрицы иногда можно умножать и друг на друга.
Рассмотрим сначала правило умножения квадратных матриц п-го порядка — А и В.
О п р е д е л е н и е. Произведением квадратных матриц п-го порядка А и В называется матрица С, элементы которой определяются следующим образом: элемент Cij (т. с. эле
мент,, стоящий на пересечении і-й строки и j'-го столбца) равен сумме произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j -го столбца матрицы В:
Н етрудно убедиться в том, что, вообще говоря, операция умножения матриц в отличие от операции умножения чисел не является коммутативной, т. е. А • В Ф В • А.
Поменяем, например, местами матрицы Л п В в последнем при
мере. Тогда
Cij = ап bij - f at, b y -j- aVA bif -j- ain bnJ =
n
П p и m e ]). Даны матрицы:
с ,I — аn ^ ц -j-Cjo — 1 • 5 - } - ( — 1 ) - 6 = — 1, ci:i — a u b.>3 = 1 • 3 4 “ (— 1) • 7 = — 4,
c2I — a21 bn -]-a«2 Ьй1 = 2 • 5 - f 3 • С = 28, с.,, = asj b\ 2 + a3£ b»« — 2 • 3 -j- 3 • 7 == 27.
Однако для матриц, как и для чисел, имеет место свойство ассоциативности умнож ения, т. с. Л - ( В - С ) =
—- (А • В) • С, в чем легко убедиться непосредственной про
веркой.
По аналогии с умножением квадратных матриц можно производить умнож ение и прямоугольных матриц. Только в этом случае необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. Тогда в произведе
нии А -В получится число строк, равное числу строк в матрице А, и число столбцов, равное числу столбцов матрицы В.
Второй пз приведенных примеров показывает, как произ
водят умнож ение матрицы А па матрицу-столбец В (век
тор В). В результате получается такж е вектор-столбец С, число элементов которого равно числу строк матрицы А.
С — А- В . -
с а = 1 . 2 + 2 - 0 + (— 1) .1 = 1, с12 = 1 • 1 + 2 • (— 1) + (— 1) • 2 —— 3, сп = 1 • 3 + 2 • 1 + (— I) • 2 = 3,
Си = 1 • ( - 2 ) + 2 • 0 + ( - 1 ) • ( - 1 ) = - 1 , сй1 = 3 • 2 + 0 • 0 + 1 • 1 = 7,
c2s = 3. 1 + 0 - (— 1) + 1 • 2=5, с.,, = 3 - 3 + 0 - 1 + 1- 2 = 1 1 , са1 = 3 . ( — 2 ) + 0 - 0 + 1 •(— 1 )= — 7.
/I - 3 3 - 1 \
\ 7 5 11 — l )
сп = 2 - 1 + ( _ ! ) . 2 + 1 . ( - 1 ) = - 1 ,
с,, = 0 • 1 + 1 • 2 + (— 1) • ( — !) = 3, т. е. С — А- В —
Сц — (— 1) • 2 + 2 • (— 1) + 3 -3 = 5,
С]2 = ( — 1) • (—2 )4 -2 • 0-1-3 - (— 1) == — 1, т. е. С = А • В = (3 — 1).
81
Третий пример, в свою очередь, иллюстрирует, как произ
водят умнож ение матрицы-строки А на матрицу В . В резуль
тате получается тоже матрица-строка с числом элементов, равным числу столбцов матрицы В .
Еслн теперь обозначить
то из вышесказанного непосредственно следует, что систему линейных алгебраических уравнений (1) можно записать в виде „матричного" уравнения А • X — В . Мы часто будем использовать эту сокращенную запись системы линейных алгебраических уравнений.
Возникает вопрос, на какую матрицу X нуж но умно
жить матрицу А , чтобы последняя осталась неизменной, т. е. А ' Х — Л (как здесь, так и в дальнейшем, если не будет специально оговорено, речь идет о квадратных мат
рицах). Оказывается, такая матрица существует и ее естественно назвать единичной матрицей. Она обозначается буквой £ :
Умножив А на Е , мы убедимся, что произведением будет матрица А , причем и А - Е = А , и Е - А = А .
О пределение. Д и а го н а л ь м а т р и ц ы, н а кот орой р а с полож ены элемент ы а И (і = 1, 2, я ), называет ся гл а в ной ди агон алью .
М а т р и ц а , в кот орой все элем ент ы, кром е ди агональны х, равны н улю , называется ди агональной м ат ри ц ей .
Таким образом, единичная матрица — пример диаго
нальной матрицы с главной диагональю, состоящей из единиц.
Числом, обратным числу а, называют число х такое,
, 1
что а - х = 1 , т. е. х = — . ii
Аналогично вводится понятие матрицы, обратной к дан:
ной матрице.
82
О п р е д е л е н и е . М а т р и ц а А 1 называет ся правой о б р а т ной к м а т р и ц е А , если выполняет ся следую щ ее равенство:
А • Л -1 = Е . М а т р и ц а Л г1 называет ся левой обрат ной к м а т ри це А, если вы полняет ся следую щ ее равен ст во: Л -1 ■ А = Е . Нам пришлось ввести правую и левую обратные мат
рицы из-за того, что произведение матриц некоммутативно.
Однако в дальнейшем мы покажем, что на самом деле Из определения обратной матрицы отнюдь пе вытека
ет, что она всегда существует. Д ля ее существования необходимо выполнение некоторого условия, о котором мы такж е расскажем несколько позже. Не будем мы пока зани
маться и вопросом о том, как находить обратную матрицу.
Наконец, последнее понятие, которое мы введем в на
стоящем параграфе, — понятие транспонированной мат
рицы.
О п р е д е л е н и е . М а т р и ц а А ' назы вает ся т ран сп он и рованн ой по от нош ению к м а т р и ц е А , если ст роки м а т ри ц ы А являю т ся ст олбцам и м ат ри ц ы А г с т ем и же но
м е р а м и , а столбцы, м ат ри ц ы А — ст рокам и м ат ри ц ы А ' такж е с соот вет ст вую щ им и ном ерам и.
1ап «1-2 « 1 3 • • «1/1 \
1 а п «> 2 « 2 3 • . а ,п А — «зі «112 « 3 3 • • « 3 д
V««i «яа «/13 • • « л я / / « 1 1 « 2 1 «3 1 • .. а „Л а2» « 3 2 • ‘ « я 2
А ' = « 1 3 « 2 3 « 3 3 • • « л З
\ « 1 я «2« «3/1 • • « л я /
Отсюда видно, что матрица А ' есть матрица А , зер кально отображенная относительно главной диагонали.
/1 2 3 \ П р и м е р. Транспонировать матрицу А = 4 5 6
\7 8 9 /
/1 4 7 \ Транспонированная матрица А ’ б у д ет иметь вид: Л ' = 12 5 Я
\ 3 6 9 / 83
§ 3. О П РЕД ЕЛ И Т ЕЛ И М АТРИЦ
К аж дой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое число |Л |, которое называется определителем матрицы А . Введем понятие определителя матрицы при помощи математической индукции.
К аж дой матрице 2-го порядка [ п а1’2) поставим в со-
\ rtoj Сіла)
ответствие число а и -а.1г — «12-«>і. Это число называется определителем матрицы А 2-го порядка н обозначается так:
а ] j а ] о
И!
а,[ «.>> mi •а.™ — а.(в отличие от матрицы определитель заключается ие в круглые скобки, а в прямые черточки).
Пусть теперь имеется квадратная матрица порядка п:
А
/ « и «12
а..] а.п
П редположим, что мы знаем, что такое определитель лю бой квадратной матрицы ( п— 1)-го порядка. Тогда можно дать следующ ее
О п р е д е л е н и е . О пределит елем м ат ри ц ы А п-го п о р я д к а назовем число, кот орое получает ся следую щ им образом :
И I
а И а п л,3 а ,л а.н а.,:)
«1«
а,„
« л 1 « Л І « д
Он «>з • .. а.1п
«зі «зз • •• « З л -!- « 1 3
« Л 1 « Л З .. а пп
« 2 1 « 2 3 • • « 2 «
« и « 3 2 « 3 3 • ■ « З л
« л 2 « л З • • • « л л
« , , « 2 2 « 2 1 • . а ,п
«31 «3-2 « З І • • • «ЯП
«ЛІ « л 2 «ЛІ • * • « л л
«21 « 2 2 • • « 2 , л - 1
К - 1 Г Н « ! # : •
«31 « 3 2 • • « 3 , л - 1
« Л І « л 2 • • « л , л - 1
(З)
34
а , , # 2з «2 1 « 2 3 # 2 1 # 2 2
! « 1 2 ' - г « 1 3 •
І « 3 2 « 3 3 1 « 3 1 « 3 3 « 3 1 « 3 2
Мы получили алгебраическую сумму произведений эле
ментов 1-й строки па соответствующие определители у ж е