ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

s r i- 7

Б I S

А. Б. БАКУ Ш И Н С КИЙ , В. К. ВЛАСОВ

ЭЛЕМЕНТЫ

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

и

ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Учебное пособие для учащихся 9—10 классов'

математических школ

Под редакцией ' - . ' •’ ‘ профессора И. С. Б е р е з и н а

5

^Л

ИЗДАТЕЛЬСТВО «П РО С ВЕ Щ ЕН И Е»

Мо с к в а 1968

Бакушинский А. Б ., Власов В. К.

Б19 Элементы высшей математики и численных мето­

дов. Учебное пособие для учащихся 9 — 10 классов математических школ. Под ред. проф. И. С. Бере­

зина. М ., „Просвещение**, 1968.

336 с. с илл. 50 кои.

Книга представляет собой учебное пособие для учащихся IX—X клас­

сов специальных школ и курсом лаборантов-программнетон и посвящена теоретическим обоснованиям различных методой, применяемых програм­

мистами о cnoeii работе. Пособие содержит элементы математического ана­

лиза, элементы теории погрешностей, решение систем линейных алгебраи­

ческих уравнений методами итераций, Эйлера, Руиге-Кутта. Теоретические положения иллюстрированы практическими примерами.

6—6

3 4 4 - 6 7 517

Предисловие

ОГЛАВЛЕНИЕ

7 Гл ава I. Э лем ентарная теория п огр еш н остей

§ 1. Множества. Вещественные числа...

§ 2. Источники ошибок. Абсолютная и относительная по­

грешность ч и сл а...

§ 3. Правила ок р угл ен и и ...

§ 4. Действия над приближенными числами...

Глава II. П он ятие о ф ункции одной п ер ем ен н ой

§ 1. Определение функциональной з а в и с и м о с т и ...

§ 2. Способы задании функциональной зависимости ...

§ 3. Ограниченность, периодичность, четность, монотон­

ность функции ...

Глава III. Числовые п осл едов ат ел ь н ости и пределы . Числовые ряды

§ 1. Числовые последовательности...' ...

§ 2. Предел последовательности ...

§ 3. Некоторые теоремы о пределах последовательностей

§ 4. Числовые ряды ...

§ 5 . Некоторые признаки сходимости рядов с положитель­

ными членами ...

§ б. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно сходящиеся ряды Глава IV . Н еп реры вн ость ф ункции

§ 1. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие в е л и ч и н ы ...

9 11 11 15

21 22 26

31 35

10

45 4 ) 51

57 3

§ 2. Непрерывные ф ункции... 08

§ 3. Простейшие свойства непрерывных ф у н к ц и и ... 71

§ 4. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке 73 Глава V. Л инейны е алгебраи ческ и е урав н ен и я и м етоды их реш ения § 1. Системы линейных алгебраических уравнений... 70

§ 2. Действия над матрицами... 7S § 3. Определители матриц... 81

§ 4. Свойства определи г е л е й ... 80

§ 5. Теорема К р а м е р а ... 104

§ G. Ранг матрицы. Теорема К ронекера-К апелли... 108

§ 7. Метод исключения для решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Г а у с с а )... 115

§ 8. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений ... 122

Глава VI. Т еор и я интерполирования § 1. Понятие об интерполировании. Основная теорема об интерполировании многочленами ... 133

§ 2. Интерполяционный многочлен Л а г р а н ж а ... 139

§ 3. Интерполяционные многочлены для равноотстоящих у з л о в ... 142

Глава V II. П роизводная функции одной перем енн ой § 1. Задачи, приводящие к понятию п р о и з в о д н о й ... 1.'4 § 2. Производная суммы, произведения, ч а с т н о г о ... 158

§ 3. Производные элементарных ф у н к ц и й ... 101

§ 4. Замечательные п р едел ы ... 107

§ 5. Производные показательной функции, логарифма и гиперболических функций ... 174

§ 6. Производные сложных ф ункций... 17і> § 7. Производные обратных ф у н к ц и й ... 179

§ 8. Производные высших порядков. Формула Лейбница . . 185

§ 9. Дифференциал ф ункции... 191

Глава V III. О сновны е теорем ы ди ф ф ер ен ц и ал ьн ого исчисления § 1. Теорема Ф е р м а ... 195

§ 2. Теорема Р ол ля ... 197

§ 3. Теорема Л а г р а н ж а ... 198

' 4

Глава IX. Исследование функций прн помощи производных.

Формула Тейлора. Функциональные ряды

§ 1. Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума... 203

§ 2. Аналитические признаки максимума и минимума. Вы­

пуклость п вогнутость кривой, точки п ер еги ба...205

§ 3. Формула Тейлора для многочленов и произвольных ф у н к ц и й ...209

§ 1. Остаточный член формулы Т ей л о р а ... 212

§ 5 . Функциональные ряды. Ряды Тейлора... ... 213 іава X. Функции многих переменных

§ 1. Определение функции нескольких перем енны х...223

§ 2. Непрерывные функции нескольких переменных . . . . 22(5

§ 3. Частные п р о и зв о д н ы е... 230 Глава X I. Приближенное решение алгебраических

и трансцендентных уравнений

§ 1. В в е д е н и е ...233

§ 2. Метод последовательного деления отрезка пополам . . 234

§ 3. Итерационные методы приближенного решения урав­

нений ...235 Глава X II. Неопределенный интеграл

§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. . 245

§ 2. Простейшие приемы и н тегрировани я...24?

§ 3. Интегрирование рациональных ф у н к ц и й ...251 Глава X III. Определенный интеграл

§ 1. Понятие определенного интеграла. Простейшие свой­

ства определенного интеграла...2(52

§ 2. Интегрируемость кусочно-монотонной функции...272

§ 3. Интеграл с переменным верхним пределом. Существо­

вание неопределенного интеграла... 270

§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла ... 279 Глава X IV . Приближенное вычисление определенных

интегралов

§ 1. Приближенные формулы для вычисления определенных и н т ег р а л о в ...280

§ 2. Остаточные члены квадратурных ф о р м у л ... 292

5

§ 1. Основные п о н я т и я ... 295

§ 2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнении y ' = f ( x , у )... 300

§ 3. Уравнения первого порядка, интегрируемые в квадра­

турах ... 301

§ 4. Дифференциальные уравнения в ф и з и к е ... 309

§ 5. Линейные дифференциальные уравнения второго по­

рядка с постоянными коэф ф ициентам и... 312

§ б. Численные методы решения дифференциальных урав­

нений ... 326 Приложение. Метод полной математической и н д ук ц и и ... 332

Глава XV. Дифференциальные уравнения

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге сделана попытка отобрать и доступно іізложиті) те разделы математики (в том числе и вычис­

лительной), которые не входят в обычные программы общеобразовательных средних школ, по которые, по мне­

нию авторов, необходимо знать лаборанту-программисту.

Поэтому книгу можно рассматривать как учебное пособие для учащихся школ п различных курсов, готовящих про­

граммистов. Кроме того, лица со средним образованием могут ее использовать для самостоятельного ознакомле­

ния с элементами высшей математики и методов вычис­

лений.

Особенностью книги является тесное переплетение вопросов вычислительной математики и математического анализа. Разделы вычислительной математики помещены обычно после необходимых для их изучения разделов анализа.

В конце параграфов приведены иллюстрирующие материал упраж нения, которых, однако, недостаточно для глубокого усвоения курса. Больш ое количество под­

ходящих упражнений можно найти, например, в сл еду­

ющих задачниках:

В. П. М и и о р с к и й . Сборник задач по высшей мате­

матике. М ., «Наука», 1964.

Г. Н. Б е р м а н . Сборник задач но курсу математи­

ческого анализа. М ., «Наука», 1965.

Последовательное изучение предлагаемого курса мож ­ но начинать с 9-го класса при условии параллельного прохождения обычной программы по математике для средних школ.

Авторы приносят глубокую благодарность доценту В . М. Алексееву, преподавателю физико-математической школы-интерната А. А. Шершевскому и доценту Н . П.

Ж идкову, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд очень полезных замечаний.

Особую признательность авторы выражают профессору И. С. Березину, советы которого по содержанию и мето­

дике изложения существенно способствовали улучшению качества книги.

А. Бакушинский В. Власов

Г л а в а I

ЭЛЕМ ЕН ТАРН А Я ТЕО РИЯ ПОГРЕШ НО СТЕЙ

§ 1. МНО Ж ЕСТВА. В Е Щ Е С Т В Е Н Н Ы Е ЧИСЛА

Одним из наиболее важных понятий в современ­

ной математике является понятие множества. Это понятие настолько общее, что ему нельзя дать какого-либо опре­

деления. Следует только иметь в виду, что слово «мно­

жество» эквивалентно словам: «совокупность», «собрание элементов», «семейство», «класс элементов» и т. п. Можно говорить, например, о множестве целых положительных чисел, множестве людей в комнате, множестве всех ви­

димых звезд и т. д.

Множество может содержать как конечное число эле­

ментов (множество людей в комнате), так и бесконечное их число (множество всех целых чисел).

Множество, содержащее конечное число элементов, называется

конечным

множеством. Множество, состоящее из бесконечного числа элементов, называется

бесконечным

множеством.

Большой интерес для нас будут иметь множества, элементы которых — вещественные (или действительные) числа.

Напомним некоторые определения и факты, относящиеся к понятию вещественного числа, нужные нам в дальнейшем.

Как известно,

вещественным

числом называется любое целое, рациональное или иррациональное число.

Рацио­

нальные

числа — это числа вида -у , где

р

и

q

целые.

Они могут быть представлены в виде конечной или бес­

конечной периодической десятичной дроби. Однако одних рациональных чисел недостаточно для решения даже очень простых алгебраических задач. Например, уравнение

X'

—

2

=

0

неразрешимо в множестве рациональных чисел

9

(пс сущ ествует двух таких целых чисел р и q, что Назовем ирраци ональны м числом всякую непериодиче­

скую бесконечную десятичную дробь.

П осле введения иррациональных чисел уравнение X" — 2 = 0 становится разрешимым (его решения: i l l ] / 2 =

= ziz 1 ,4 1 4 2 ...) . С введением иррациональных чисел по­

лучают свое решение и други е математические задачи, в частности задача определения длины отрезка, не соиз­

меримого с выбранной единицей масштаба, и т. п.

Очень полезно для дальнейшего представление вещест­

венных чисел в виде точек на некоторой прямой. Эта прямая называется числовой и строится следующим об­

разом: па прямой выбирают произвольную точку О и на­

зывают ее началом отсчета. Затем задаю т на прямой полож ительное направление и единицу масштаба. Тогда для каж дой точки М на прямой можно измерить расстоя­

ние от этой точки до начала отсчета с помощью заданного масштаба. Таким образом , каждой точке иа прямой можно поставить в соответствие некоторое вещественное число, и притом только одно, характеризующ ее расстояние от этой точки до начала отсчета. II наоборот, каж дом у ве­

щественному числу можно поставить в соответствие не­

которую точку на данной прямой, и притом только одну, расстояние от которой до начала отсчета выражается этим числом.

Итак, мы установили соответствие м еж ду всеми ве­

щественными числами и всеми точками числовой прямой.

Поэтому очень часто различные вещественные числа назы­

вают просто точками.

Интервалом с концами в точках а и Ь называется м нож е­

ство точек, удовлетворяющих неравенству а < ^ х < ^ Ь . Сам интервал обозначают (а, Ь), принадлежность числа х этому интервалу обозначают х £5 {а, Ь) ( ^ — знак принадлеж­

ности). На числовой прямой интервал изображ аю т так, как указано па рисунке 1 а. Стрелки в точках а и b указывают, что эти точки не входят в множество, кото­

рое мы назвали интервалом.

Интервал называется полуоткрытым, если в него в х о ­ дит один из его концов. Полуоткрытый интервал (а, Ь) — множество точек х, которые удовлетворяют неравенству (рнс. 16): а<^х--^Ь .

10

Полуоткрытый интервал fa, /;) — множество точек х, удовлетворяющих неравенству (рис. \в): а ^ х < ^ Ь .

И, наконец, замкнутым интервалом или отрезком [а, &}, называется множество точек х, которые удовлет­

воряют неравенству (рнс. 1г): a - s ^ x ^ b .

Объединением интервалов называется совокупность точек, принадлежащ их хотя бы одному из интервалов, например, в объединение интервалов (а,, /;,) п (а.,, Ь.>) (рис. \д) входят все точки обоих интервалов.

а) б) 6)

Ь а , Ь, пг

г) д)

Р и с . 1

О п р е д е л е н и е. Абсолютной величиной (модулем) чис­

ла х (обозначается \ х | ) называется само число х, если х ^ 0, и (—х), если х 0:

х, если х ^ О,

— х, ссли х 0.

Например, | 1 | = 1 , а | — 5 1 = 5.

Очевидное свойство абсолютных величин:

\ х \ - \ у \ ^ \ х - \ - у \ - ^ \ х \ - \ - \ у \ .

§ 2. ИСТОЧНИКИ ОШ ИБОК. АБСОЛЮТНАЯ

И О Т Н О С И Т Е Л Ь Н А Я П О Г Р Е Ш Н О С Т Ь Ч И С Л А

Если решением некоторой задачи является число, то практически далеко не всегда мы можем получить это число совершенно точно. Причины этого следующие.

Во-первых, числа, которые участвуют в операциях, обычно записываются в виде десятичных дробей. Если исходны е числа были иррациональными, то точно записать их в виде десятичных дробей мы, конечно, не сможем (так как такая запись содерж ит бесконечное число цифр).

Поэтому приходится вместо исходны х иррациональных чисел оперировать с рациональными числами, полученными из данного иррационального числа, если в его записи

11

оставить только первые несколько десятичных знаков (например, столько, сколько входит в разрядную сетку вычислительной машины).

Так, вместо числа у 2 приходится использовать рацио­

нальные числа 1,4 или 1,41 или 1,4142 и т . д . Естествен­

но, что результат действий будет содержать некоторую ошибку (погрешность) тем большую, чем меньше десятич­

ных знаков содерж ат рациональные приближения к и сход­

ным иррациональным числам. Возникают подобные погреш­

ности и тогда, когда исходные данные были рациональ­

ными числами. При их записи в виде десятичной дроби может получиться бесконечная периодическая дробь или конечная дробь, число знаков которой настолько велико, что имеющиеся в нашем распоряжении вычислительные средства не могут их учесть целиком и некоторое число знаков приходится отбрасывать.

Итак, исходные данные, промежуточные результаты и окончательные результаты мы обычно не можем запи­

сать совершенно точно, а округляем их. Это одна из причин неточности ответа.

Во-вторых, очень часто задачи в их непосредственной формулировке либо не поддаются решению, либо решение чрезвычайно сложное. Тогда заменяют эту задачу другой , более простой, которая дает решение, достаточно близкое к требуемому, и решают sry более простую задачу.

Естественно, и в этом случае результат получится с к а­

кой-то погрешностью, даж е если все исходные данные и промежуточные результаты будут точными. Говорят, что возникает погрешность метода.

Наконец, одним из самых важных источников погреш ­ ности результата является неточность самих исходных данны х. К ак правило, исходные данные для задачи полу­

чают из какого-либо физического эксперимента. Любой эксперимент связан с измерениями, а измерения всегда производятся с той или иной погрешностью. Например, если нам нужно определить площадь прямоугольной комнаты, мы берем линейку и измеряем длину и ширину комнаты. Как бы мы ни старались, а на несколько санти­

метров ошибемся, хотя бы из-за того, что сама линейка может быть не абсолютно точной. Естественно, и площадь комнаты как результат умножения длины па ширину по­

лучится не совсем точно. Подобных примеров можно при­

вести сколь угодно много.

12

Количественной характеристикой погрешностей величин служ ит пх абсолютная и относительная погрешность.

Пусть для величины, точное значение которой есть л*, мы каким-либо образом получили приближенное значение х * . О п р е д е л е н и е . Абсолютная величина разности между точным значением х и его приближенным значением л**

называется абсолютной погрешностью приближенного чис­

ла х* и обозначается Дл*, т. е. | х — ,v* j = Ал*.

Как правило, точное значение .v нам неизвестно, а сле­

довательно, неизвестна и абсолютная погрешность ДЛ*.

Но зато обычно можно определить число, которое эта абсолютная погрешность заведомо пе превосходит (границу абсолютной погрешности, определяемую самим способом нахождения числа). Так, взвешивая какой-либо предмет па аптекарских весах, мы пе сможем определить точного веса предмета, по гарантируем, что ошибка взвешивания не более, чем 0,01 грамма, т. е. абсолютная погрешность веса пе будет превышать 0,01 грамма.

Однако абсолютная погрешность не всегда достаточно полно характеризует погрешность вычислений. В самом деле, пусть ошибка при измерении длины радиоволны равна одному метру. Если при этом измерялась длина волны в диапазоне длинных волн, то точность хорошая;

такая ж е ошибка при измерении длины волны в диапа­

зоне У К В (ультракоротких воли) слишком велика. Поэтому вводят еще одно важное понятие — относительную погреш­

ность.

О п р е д е л е н и е . Относительной погрешностью прибли­

женного значения . V* называется стнсшение абсолютной погрешности A v* к абсолютному значению приблиокенной

\ х,

величины: ох* _{] Л * І}

Нетрудно видеть, что если абсолютная погрешность всегда имеет ту ж е размерность, что и сами величины, то относительная погрешность есть величина безразмерная.

Разум еется, говорить об относительной погрешности можно только в том случае, когда х* Ф 0. В дальнейшем мы будем там, где это необходимо, предполагать это условие выполненным и пе будем делать специальной оговорки.

В примере с измерением длин радиоволн абсолютная погрешность равна одному метру. Если после измерения получим, что длина волны в диапазоне длинных волн 1000 м, а в диапазоне У К В 4 м, то в первом случае

13

относительная погрешность р а в н а = 0 , 0 0 1 , а во втором

| = 0 ,2 5 .

Мы будем вполне удовлетворены, если наши часы б у ­ дут убегать в сутки на 10 секунд, по вряд ли будем довольны, если они будут убегать на 10 секунд каждую минуту. В первом случае относительная погрешность равна 2Т'во■ но~ ІШо < ° ' 0 0 0 1 2 ' а в0 втором ±£ = -‘- 3 0 , 1 7 , абсолютная ж е погрешность и в том и в другом случае одинакова — 10 секунд.

Упражнения

1) Записать число - лишь с двумя знаками после запятой и оцепить абсолютную и относительную погрешность полученного приближенного значения.

2) Комнатный термометр дает отклонения не больше, чем 0,5 градуса. С его помощью измерили температуру и получили 20°.

Требуется оцепить абсолютную и относительную погрешности полученной величины температуры.

§ 3. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

В предыдущем параграфе мы уж е говорили о том, что па практике часто приходится иметь дело с числами, запись которых в виде десятичной дроби требует бесконеч­

но много знаков, и с числами, число знаков у которых в такой записи конечно, но может быть очень большим.

Л ю бая вычислительная машина имеет лишь вполне оп ре­

деленное количество разрядов. Поэтому, чтобы ввести такие числа в машину, нуж но их каким-то образом за ­ писать так, чтобы количество цифровых знаков не превы­

шало количества цифровых разрядов, имеющихся в машине (округлить число). Очевидно, что это необходимо делать и тогда, когда мы считаем на бумаге без помощи машин.

Обычно округление производят по следующ ему правилу (иногда, правда, пользуются и другими правилами). Пусть какое-то число имеет в своей записи более, чем /г, цифро­

вых знаков и мы хотим округлить его, оставив ровно к знаков. Тогда если (/г -|-1 )-я цифра в записи числа мень­

ше пли равна 4, то все цифры, начиная с (/г-р 1 )-й , просто отбрасывают.

Например, еслн в числе 3 ,1 4 1 5 9 2 0 5 3 5 8 ... мы хотим оставить два знака после запятой, то округленное число 14

будет: 3,14; еслн мы хотим оставить пять знаков после запятой, то получим: 3,1 4 1 5 9 .

Пусть теперь (к -]- 1)-я цифра больше, чем 5. Тогда мы тоже отбрасываем цифры, начиная с (к -}- 1)-й, но в оставшемся числе к-ю цифру увеличиваем на единицу.

Так, если в вышенаиисаниом числе мы хотим оставить шесть цифр после запятой, то получим: 3,141593.

Еслн (к 1)-я цифра есть 5, а за ней найдется хоть одна отличная от нуля цифра, то поступают, как в пре­

дыдущем случае, т. е. отбрасывают все цифры, начиная с (к-\-\)-і\, а к-ю увеличивают па единицу.

В нашем примере, оставив четыре цифры после зап я­

той, получим: 3,1416.

Наконец, последний случай, когда ( к - 1)-я цифра есть 5, а все последующие за ней цифры — нули. Тогда посту­

пают так: отбрасывают «хвост», начиная с (к-]~ 1)-й циф­

ры, и если к-я цифра четная, то оставляют ее без изме­

нения, если ж е к-я цифра нечетная, то увеличивают ее на единицу.

Например, в числе 5,3865 оставим три знака после запятой: 5,386; если ж е округлим число 7,4235, то полу­

чим 7 ,4 2 4 .

Все, что было сказано выше, можно сформулировать так: для того чтобы округлить число до к десятичных знаков, нуж но отбросить все знаки, начиная с (к - - 1)-го;

если при этом отброшенная часть меньше половины еди­

ницы Л’-го разряда, то оставшуюся часть числа оставляют без изменения; если отброшенная часть больше половины единицы к-г о разряда, то к к-му разряду прибавляют единицу; наконец, если отброшенная часть в точности равна половине единицы / ’-го разряда и к-я цифра четная, то оставляют эту цифру без изменения, если ж е нечетная, то увеличивают ее на единицу.

Легко проверить, что абсолютная погрешность числа, полученного округлением по этому правилу, не превосхо­

дит пяти единиц первого отброшенного разряда.

§ 4. ДЕЙСТВИЯ НАД П РИБЛИЖ ЕННЫМ И ЧИСЛАМИ Производя различные арифметические операции над приближенными числами, мы получаем и приближ ен­

ный ответ. Возникает вопрос: какова погрешность резуль­

тата, если известны погрешности исходных данных?

15

Погрешность суммы

Т е о р е м а 1.

Абсолютная погрешность суммы прибли­

женных величин не превосходит суммы абсолютных погреш­

ностей этих величин.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

х — хх -\-

л* -j-

хп

(ве­

личины

Xi

могут быть любого знака). Сумма приближен­

ных значений дает:

х*

—

xf х->

-j-

х%.

Вычитая из точного значения суммы приближенное ес значение, получим:

X X

—

^{(Х 1 Л'і)}

— j-

^{(Х'2 Х'2}) —

{- . . . — j—

^{(Хп Хп).}

Отсюда

I

X — X

* І < |

Х\ — Х\

I

-j -

I

Х

2

^{— х$}

| +

. . . -І-

I

хп — X*

I

.

(Это свойство абсолютных величин легко доказывается с помощью метода математической индукции (см. Прило­

жение). Следов а тел ы I о,

&х* < Да-* ~\- • • • “Һ (1 )

Т е о р е м а 2.

Относительная погрешность суммы при­

ближенных величин

(все слагаемые одного знака)

не пре­

восходит наибольшей относительной погрешности слагае­

мых.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

х = хх

-j- .v.> -}-

хп

и соответственно

х*

— xf -|-

х%

. -J-

х%.

Из теоремы 1 сле­

дует:

А * Д * -1 - Д * _i_ _!_ д * a -V л Д і І “*Л** Ч • • • I хп ■

Предположим для определенности, что все

х*^>

0. Тог­

да, используя определение относительной погрешности, имеем:

Следовательно,

Подставляя (3) в (2), получаем:

(4) Пусть теперь 8 = max{5*f, 3**, . . . t

(т. е. о — наибольшее из чисел о * * , o v * , 8_v* ). Тогда неравенство (4) можно усилить:

__ Ъ ■ х* -I - Ь ■ х* + ь- X* -

О --- :--- :--- --- 0 ,

(5)

Совершенно аналогично доказывается теорема в случае, когда все х * 0. Оценка (5), конечно, более грубая, чем оценка относительной погрешности, даваемая неравен­

ством (4).

Т е о р е м а 3. Пусть х х ] > х 3 0 и х* х* 0. Обра­

зуем разности х = хх— х.> и х :>: — х* — х%. Тогда утверж­

дается, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Соотношение (6) для абсолютных погрешностей следует нз теоремы 1.

Очевидно, что х* 0. Поэтому оА.* = Av*■ П одставля­

ем сюда неравенство (6):

Н о д:Is 0 и Хо 0. Следовательно, Axf = x f • 3V* и Ах* = Х'1 • 5Л-'|. Таким образом, неравенство (8) примет окон­

чательный вид:

Погрешность разности

(6)

и

(7)

0. - Х І • О

(7')

о .Л

3 а м с ч а н и е. Из соотношения (7) видно, что оценка относи­

тельной погрешности разности приближенных величин резко ухуд­

шается в том случае, когда приближенные величины близки друг к другу. В этом случае знаменатель дроби в (7) становится очень мал, а сама дробь, следовательно, весьма велика.

П р и м е р . Пусть нам нужно вычислить разность У5 ,0 2 —

— V5T0T и пусть абсолютные погрешности уменьшаемого и вычи­

таемого не превосходят 0,0 0 5 .

Относительная погрешность уменьшаемого тогда не превышает 0 ,0 0 5 _ ПА1,„

■ 0,0 0 2 2, н относительная погрешность вычитаемого не пре-

У 5 ,02

0 ,0 0 5 ЛГЛОО _

восходит - - - - - 0 ,0 0 2 2 . D то же время относительная иогреш- У 5,01

.. 0 ,0 0 5 - |- 0 ,0 0 5 „ „ ность разности оценивается величиной —--- — ■ sa 3,3.

У 5,02 — У5,01

Погрешность произведения

Т е о р е м а 4. Пуспи, х = х, • х.> и х* = x f • х->. Абсолют­

ная погрешность произведения приближенных величин оце­

нивается по формуле:

А,* < \хо | • ДЛ? -г \хТ | • А,* + А,* • А,*, (9) а относительная погрешность будет:

S,* ^ Sxf - г • (Ю )

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как х = х, • х.> и х* = xf ■ х<*, то

|х — X* | = | Л'| • Хі — x f ■ хП | . ■

Прибавим и вычтем под знаком модуля величину x f • х 2.

Будем иметь:

\х— X * I = \Х[ ■ X, — xf• Х 2 - г Xl • Л'2 — x f ■ х £ | <

< I Л'.. I • I Л'! — x f I - f I x f I • IX , — x f I. (11) И з определения абсолютной погрешности и свойств абсолютных величин вытекает, что |х г| — |х* |

|л'о — Л'2 ^[ АЛ-*, отсюда

| х.» | j Л'2^{1 АЛ.| . (12)} И з неравенств (11) и (12) получаем:

Д д г * ^ | Х з | • А д-* - i- | Х | I • Д Л- * - ^ | л '21 • A .v * - }- 1 Х 'Г I • А х * - f A .v * • A . v f . 18

л v*

Д ал ее, так как 3 v* = .—-г-, то Iх 1

°* ^ I Л"? ' Л"з I

_ 1 * ? М * Г , , \ х* * х* _ \ х* , А** ,

— Іл-f .л-JI Г |л*| . Щ \ — |л1| -г |л-_*| i д * Д *

1 Л | Л • » *n . I <\ . I 5» , «\

— 1_________ -___ • ___1— --- ( \ х — J__ () __ Л ж , о

‘ |ATf| | A f | Лі 1 ° * * 1 Лі Л'-’ -

Таким образом, соотношение (10) тож е доказано.

П о г р е ш н о с т ь ч а ст н о г о

Т е о р е м а 5. Пусть х = = ~ , х'-:— ~г и Д .г?<С |*2|.

Тогда абсолютная погрешность частного двух приближен­

ных величин оценивается по формуле:

л . . . I f l L M - 1 ' П3)

= л * — | л « I • * ' '

а относительная погрешность по формуле:

и -j- ^

5 ' - * - - т ^ р . <и >

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем:

’ .V , • л - ? — .г ., • д - f I

х — X ' _ а£

| ~ ~ ^{А'о Д о • х2 I}

Теперь в числителе прибавим и вычтем величину х* -лі:

ДЛ-* = \х — х'*| = f t : * * — л‘* ‘л‘-* "Ьл? *л‘? _ л ‘а ' л*>

Л 'о • X S

\хП ■ |д-, — -vf І -!- | vf I • |А-? --А-, I

^ I A - A l l

Но, как легко видеть, |х>| :>= | х | | —

Дл*.

Поэтому, про­

долж ая цепочку неравенств, будем иметь:

Ьх*

I А'о | • Д ,* -!- |л-у.| • Дл.* _ | Д -f I V + 1 - v f l Дл->;

I А‘Г — IА-* I • дл.| | д-г — I Xf І • Д4 Д ал ее, деля на |х * |, получим:

^ ..___ A.V* A.V? + ІЛ'а I ' О V*”

1**1 |а| | — Д** '

19

Разделив числитель и знаменатель дроби на |д:*|, по­

лучим оценку (14).

Мы уж е замечали раньше, что точные значения абсо­

лютных (следовательно, и относительных) погрешностей исходных данных мы обычно не знаем, а знаем лишь гра­

ницы, которые эти погрешности не превосходят.

Доказанны е нами теоремы об оценках погрешностей арифметических действий остаются в силе, если в соответ­

ствующие формулы подставить не сами абсолютные по­

грешности исходных данных, а величины их границ. При этом для применимости формул (13) и (14) необходимо, чтобы граница абсолютной погрешности для Л'.2 была бы строго меньше |лг||.

ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМ ЕННО Й Г л а в а II

§ 1. О ПРЕД ЕЛЕНИ Е ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Н етрудно привести много примеров, когда изме­

нение одних величин влечет за собой изменения некото­

рых других величин, каким-либо образом зависящих от первых. Так, уровень ртутного столба в термометре тем выше, чем выше температура окружающей среды. Или длина металлического стержня тем больше, чем выше его температура, т. е. уровень ртутного столба в первом случае и длина стерж ня во втором зависят от темпе­

ратуры.

Площадь S треугольника определяется но формуле:

5 — \ - a ‘iay где ha — высота, опущенная из вершины тре­

угольника на сторону а. Если менять h l7, оставляя а не­

изменным, то площадь S тож е будет меняться, т. е. м ож ­ но сказать, что S зависит от h„.

Подставляя в формулу у — 2х-\-\ различные значе­

ния А', будем получать соответствующие различные значе­

ния у. Следовательно, и здесь есть зависимость: у зави­

сит от дг. Подобных примеров можно приводить сколько угодно.

О п р е д е л е н и е . Е с л и к а ж д о м у э л е м е н т у х из числового м н о ж е с т в а X п о ставл ен о в с о о т в е т с т в и е д е й с т в и т е л ь н о е число у , т о г о в о р я т , ч т о на м н о ж е с т в е X за д а н а ф у н к ­ ц и я у — f (х ). М н о ж е с т в о X н а з ы в а е т с я о б л а с т ь ю опреде­

ления ф у н к ц и и , а м н о ж е с т в о Y чисел у — о б л а с т ь ю зн аче­

н и й ф ун кц и и ; х н а з ы в а е т с я независимой переменной или а р г у м е н т о м , а у н а з ы в а е т с я ф ун кц и ей э т о й независимой переменной.

Запись y = f ( x ) указывает на тот закон, по которо­

му некоторому значению х ставится в соответствие значе­

ние у.

21

§ 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Ф ункциональную зависимость можно задавать самыми различными способами.

Аналитический способ задания функции Чаще всего функциональная зависимость задается в виде некоторой комбинации математических символов (формулы). В этом случае, для того чтобы найти у, над заданным значением х необходимо выполнить все опера­

ции, указанные в формуле, например: у = 2 х ~ - \ , у — хг, М ожно определять функцию и с помощью нескольких ф ормул, например:

Здесь каждому значению х соответствует определенное значение у, т. е. мы имеем функциональную зависи­

мость.

Еще пример функции: у = [ х ] — «целая часть от л'»

(ограничимся случаем х ^ О ) . Определяется она следую ­ щим образом: у — п на полуоткрытом интервале [/г, п- {- 1) Областью определения функциональной зависимости, заданной в виде формулы, мы будем в дальнейшем считать то множество аргументов, для которого действия, пред­

писываемые формулой, можно выполнить, и притом одно­

значно.

Задание функциональной зависимости в виде формулы называется аналитическим способом задания функции.

Упражнения

Ыайтн область определения следующих функций:

у = У х .

(и = 0 , 1, 2 , 3 , . . . ) .

2 2

Графическое задание функциональной зависимости

Теперь опишем геометрический способ задания функ­

циональной зависимости. Д ля этого нам придется вспом­

нить об изучаемом в элементарной математике понятии системы координат. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые — горизонтальную и вертикаль­

ную. На каждой нз них зададим положительное направ­

ление. Первая называется осыо абсцисс пли осыо х, вто­

р а я — осыо ординат или осью у. Точка О пх пересечения называется началом координат. Д ля измерения длин от­

резков вводим единицу масштаба и откладываем ее на осях. Возьмем в плоскости произвольную точку М и опустим из нее перпендикуляры на осн координат. Отрез­

ки ON i i ОР (рис. 2) измерим с помощью выбранной единицы масштаба. Полученные числа х и у однозначно определяют положение точки М па плоскости, т. е. с введением осей координат и масштаба произвольная точка на плоскости однозначно определяется парой значений х и у, которые и называются координатами этой точки.

Точка со своими координатами обычно обозначается так:

М (х, у). Расстояние г от начала координат до точки А1, очевидно, определяется по теореме Пифагора:

г = У х * - \ - у \

23

Если угол, которым О М составляет с осыо абсцисс, равен а , то, очевидно (рис. 2), x = r c o s u , y = r sin а.

Пусть теперь в плоскости даны две произвольные точки М (хj, ij\) и N (л'о, /у.») (рис. 3). Расстояние г меж ду ними определим опять-такн по теореме Пифагора: г =

= У М Р * + Р Ж . Но М Р = х , —а'ь a N P = y , — y l . Сле­

довательно,

г = V { х , — А,)2 + ( у і — г/,)2 -

Эта формула для вычисления расстояния м ежду д в у ­ мя точками справедлива независимо от того, в каких чет­

вертях расположены точки М и N . Возможность убедить­

ся в этом мы представляем читателю.

П р и м е р ы . 1) НаПтн расстояние от начала координат до точ­

ки М (5,12).

г = \/X s + у - = Vo* -|- 12* = 13.

2) Найтн расстояние между точками Д/(— 1,2) и jV ( 2, б).

г = Ү ( х , — * і ) я + ІУш ~ У і) * = V ( — I — (2— б)- = / 9 + Т б = 5.

Если нам известны координаты двух точек М и N , то, кроме определения расстояния между ними, мы можем еще найти тангенс угла, который составляет прямая, про­

ходящая через эти точки с осыо абсцисс. Как видно из рисунка 3,

Из всего сказанного можно сделать одни основной вы­

вод: к а ж д о й т о ч к е н а п л о ск о сти с о о т в е т с т в у е т в вы бран ­ ной с и с т е м е к о о р д и н а т определенная п ар а чисел, называем ы х к о о р д и н а т а ­ м и э т о й т о ч к и , и н а ­ о б о р о т — као/сдой паре чисел с о о т в е т с т в у е т в э т о й с и с т е м е к о о р д и н а т одна и т о л ь к о одна т о ч ­ к а , и м ею щ ая э т и числа своими к о о р д и н а т а м и.

П усть нам задана функциональная зависи­

мость вида

Рис. 3

y — f(х).

24