Мысал 1. Теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін анықта
2. Мысал. Бұрыштық жылдамдығы v болатын материалдық нүктенің радиусы R болатын шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысын
10.7. Екінші ретті беттердің канондық теңдеулері
Табылған теңдеу іздестіріп отырған конустың теңдеуі болып табылады.
108
Егер жазықтық сфераның центрі арқылы өтетін болса, одан шығатын шеңбер басқа шеңберлердің ішіндегі ең үлкені болып шығатынын байқаймыз.
Мысал. Сфера теңдеуі берілсін 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2= 𝑅2. Осы сфера меридианының
параметрлік теңдеулерін жазу керек.
Сфераның (50-сурет) 𝑁(0,0, 𝑅) және 𝑆(0,0, −R) полюстерінен өтетін меридиан жазықтығы 𝑂𝑥𝑧 жазықтығымен 𝛼 бұрышын жасасын.
Меридианның кез келген 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) нүктесінің ендігін
𝜑 = ∠𝑀𝑂𝑀′ бұрышы арқылы белгілейік, мұндағы 𝑀′(𝑥, 𝑦, 0) − М нүктесінің 𝑥𝑂𝑦 жазықтығындағы
проекциясы. Тікбұрышты 𝑀𝑂𝑀′ үшбұрышы бойынша 𝑀′𝑂 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜑 .
{
𝑥 = 𝑀′𝑂 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝛼 , 𝑦 = 𝑀′𝑂 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝛼 , 𝑧 = 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜑, мұндағы −π
2 ≤ 𝜑 ≤π
2 мәндерін қабылдайды.
Бұл теңдеулер центрі 𝑂(0,0,0) нүктесінде орналасқан, радиусы R болатын сфераның параметрлік (𝜑) теңдеулері болып табылады.
Эллипсоид теңдеуі
Анықтама. Теңдеуі келесі формула арқылы анықталған бетті эллипсоид деп атайды:
z
y
x
N(0,0,R)
S(0,0,-R)
50 сурет
M(x,y,z)
α M’
φ
𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2+𝑧2
𝑐2= 1. (2) Эллипсоидтың геометриялық түрін анықтау үшін қималар әдісін пайдаланамыз. Қималар әдісі
бойынша берілген бет пен координаталар жазықтықтарының қиылысу сызықтарын зерттеуге тура келеді.
Эллипсоид (2) беті мен 𝑥𝑂𝑦 жазықтығына пареллель жазықтықтардың қиылысуын
қарастырайық. Ондай
жазықтықтардың теңдеулері 𝑧 = ℎ.
Қимадағы пайда болатын сызықтың теңдеулері
{ 𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2 = 1 −ℎ2 𝑐2 𝑧 = ℎ.
(3) (3) теңдеулерді зерттей отырып, келесі тұжырымдарға келуге болады:
1) Егер |ℎ| > 𝑐, 𝑐 > 0 онда 𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2< 0 болып шығатын қайшылықтан (2) бет пен 𝑧 = ℎ жазықтығы қиылыспайтындығы шығады.
2) Егер |ℎ| = 𝑐, ℎ = ±𝑐 болғанда, 𝑥2
𝑎2+𝑦𝑏22= 0, қиылысу сызықтары (0,0, 𝑐) және (0,0, −𝑐) екі нүктеге айналып кетеді, сондықтан 𝑧 = ±𝑐 жазықтықтары эллипсоидтың жанама жазықтықтары болып табылады.
3) Егер |ℎ| < 𝑐 болса, (3) теңдеуді келесі түрде жазуға болады
{
𝑥2 (𝑎√1 −ℎ𝑐22)
2+ 𝑦2
(𝑏√1 −ℎ𝑐22)
2= 1,
𝑧 = ℎ.
бұл теңдеулерден шығатыны 𝑧 = ℎ жазықтығы эллипсоидпен қиылысқанда жарты өстері
51 сурет
z=h
-c c
-b b
a
O z
y x
110 𝑎1= 𝑎√1 −ℎ2
𝑐2,
𝑏1= 𝑏√1 −ℎ2 𝑐2
болатын эллипс пайда болатынын көреміз (51-сурет).
Соңғы теңдіктерден неғұрлым |ℎ| мәні кіші болса, соғұрлым 𝑎1 мен 𝑏1 мәндерінің үлкейе беретіні көрінеді. ℎ = 0 болған жағдайда ең үлкен 𝑎1= 𝑎, 𝑏1= 𝑏 мәндерін қабылдайды. Бұл жағдайда қиманың теңдеулері
{ 𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2 = 1, ℎ = 0.
Қималар әдісімен 𝑥 = ℎ, 𝑦 = ℎ жазықтықтарымен эллипсоидтың қиылысу сызықтарын анықтап, теңдеулерін зерттеуге болады.
Эллипсоидтың (2) теңдеуіндегі 𝑎, 𝑏, 𝑐 сандары оның жарты өстерінің ұзындығын анықтайды да 2𝑎, 2𝑏, 2𝑐 сандары 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 өстері бағытындағы өстерінің ұзындығы болып табылады.
Егер эллипсоидтың екі жарты өстері тең болса, оны айналу эллипсоиды деп атайды, себебі бұл бет эллипстің өзінің бір өсінен айналуынан шығатын бет болып табылады. Мысалы, геодезияда жер шарының бетін айналу эллипсоиды ретінде қарастырады және оның жарты өстерін
𝑎 = 𝑏 = 6377 км, 𝑐 = 6356 км болады деп есептейді.
Егер эллипсоидтың жарты өстері тең 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 болса, ол 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2= 𝑎2 сферасына айналады.
Гиперболоидтар теңдеулері. Бірқуысты гиперболоид Анықтама. Келесі теңдеу арқылы берілген бетті
𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2−𝑧2
𝑐2= 1 (4)
бірқуысты гиперболоид деп атайды.
Бірқуысты гиперболоид графигін салу үшін де қималар әдісін қолданамыз. 𝑧 = ℎ жазықтығы мен
(4) беттің қиылысуынан шығатын сызықтың теңдеуі
{ 𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2 = 1 +ℎ2 𝑐2 𝑧 = ℎ, немесе
{
𝑥2 (𝑎√1 +ℎ2
𝑐2)
2+ 𝑦2
(𝑏√1 +ℎ2
𝑐2)
2= 1,
𝑧 = ℎ.
осыдан қиылысу сызығының эллипс екені шығады, оның жарты өстері (52- сурет)
𝑎1= 𝑎√1 +ℎ2
𝑐2 , 𝑏1= 𝑏√1 +ℎ2 𝑐2.
Қимадағы жарты өстердің ең кіші мәндері ℎ = 0 болғанда, яғни xOy жазықтығында болады, 𝑎1= 𝑎, 𝑏1= 𝑏.
Гиперболоидты 𝑥 = ℎ немесе 𝑦 = ℎ жазықтықтарымен қиғанда шығатын қима сызықтары гиперболалар болып шығады. Мысалы, гиперболоидты 𝑥 = 0, (𝑦𝑂𝑧) жазықтығымен қиғанда, одан гипербола теңдеуі шығады
{ 𝑦2 𝑏2−𝑧2
𝑐2= 1, 𝑥 = 0.
Қималар әдісімен жүргізілген зерттеулер арқылы бірқуысты гиперболоид формасының шексіз кеңейе беретін түтік сияқты екенін байқауға болады.
Ескерту. Бірқуысты гиперболоидтың кез келген нүктесі арқылы сол бетте орналасқан екі түзу өтетінін дәлелдеуге болады.
52 сурет
a b
-b
x
O z
y z=h
112 Екіқуысты гиперболоид
Анықтама. Келесі теңдеу арқылы берілген бетті 𝑥2
𝑎2+𝑦2 𝑏2−𝑧2
𝑐2 = −1 (5) екіқуысты гиперболоид деп атайды.
(5) бетті 𝑧 = ℎ жазықтықтарымен қиғандағы шығатын сызықтың теңдеулері
{ 𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2 =ℎ2 𝑐2− 1 𝑧 = ℎ.
(6) Осы теңдеулерді зерттей отырып:
1) Егер |ℎ| < 𝑐, онда 𝑧 = ℎ жазықтығы бетпен қиылыспайды.
2) Егер |ℎ| = 𝑐, онда 𝑧 = ±𝑐 жазықтықтары бетті (0,0, 𝑐) және (0,0, −𝑐) нүктелерінде жанайды.
3) Егер |ℎ| > 𝑐, онда (6) теңдеу- лерден алатынымыз
{
𝑥2 (𝑎√ℎ2
𝑐2− 1)
2+ 𝑦2
(𝑏√ℎ2
𝑐2− 1)
2= 1,
𝑧 = ℎ.
Теңдеулердегі |ℎ| мәні өскен сайын жарты өстерінің мәндері де үлкейе беретін эллипстер болып табылады. (5) бетті координаталық 𝑥 = 0 (𝑂𝑦𝑧) және 𝑦 = 0 (𝑂𝑥𝑧) жазықтарымен қиғанда келесі түрдегі сәйкес гиперболаларды аламыз
𝑦2 𝑏2−𝑧2
𝑐2= −1, 𝑥2 𝑎2−𝑧2
𝑐2 = −1.
53 сурет
z=h
- cz z c
x x x
O O O z
y a y
Бұл гиперболалардың нақты өстері 𝑂𝑧 өсі болып табылады (53- сурет).
Екіқуысты гиперболоид ойыс және дөңес, шексіз кеңейе беретін екі кесе сияқты фигураларды суреттейді.
Параболоидтар теңдеулері. Эллипстік параболоид Анықтама. Келесі теңдеу арқылы берілген
бетті
𝑥2 𝑝 +𝑦2
𝑞 = 2𝑧, (7) мұндағы 𝑝 > 0, 𝑞 > 0, эллипстік параболоид деп атайды. Бұл бетті 𝑧 = ℎ жазықтықтарымен қиятын болсақ, қиылысу сызықтарының теңдеулері
{ 𝑥2
𝑝 +𝑦2 𝑞 = 2ℎ, 𝑧 = ℎ.
Осы теңдеулерден:
1) Егер ℎ < 0, онда 𝑧 = ℎ жазықтықтығы (7) бетпен қиылыспайды.
2) Егер ℎ = 0, онда 𝑧 = 0 жазықтығы бетті (0,0,0) нүктесінде жанайды.
3) Егер ℎ > 0, онда қимада эллипс пайда болады {
𝑥2 2𝑝ℎ+ 𝑦2
2𝑞ℎ= 1, 𝑧 = ℎ,
оның жарты өстері ℎ мәні өскен сайын үлкейе береді.
(7) бетті координаталық 𝑦 = 0 (𝑂𝑥𝑧) және 𝑥 = 0 (𝑂𝑦𝑧) жазықтықтарымен қиғанда 𝑧 =𝑥2
2𝑝 және 𝑧 =𝑦2
2𝑞 параболалары шығады.
Эллипстік параболоид ойыс, шексіз кеңейе беретін кесе сияқты (54-сурет) фигураны бейнелейді.
z
O
x
y
54 сурет 𝑥2
𝑝 +𝑦2 𝑞 = 2𝑧
114 Гиперболалық параболоид
Анықтама. Келесі теңдеу арқылы берілген бетті 𝑥2
𝑝 −𝑦2
𝑞 = 2𝑧, (8) мұндағы 𝑝 > 0, 𝑞 > 0, гиперболалық параболоид деп атайды.
Бетті 𝑧 = ℎ жазықтықтарымен қиғанда алынатын қисықтардың теңдеулері
{ 𝑥2 2𝑝ℎ− 𝑦2
2𝑞ℎ= 1, 𝑧 = ℎ, ℎ ≠ 0 мәндері үшін гиперболалар болып табылады.
Бұл теңдеулерді зерттеу барысында:
1) Егер ℎ > 0, онда гиперболаның нақты өсі 𝑂𝑥 өсіне параллель.
2) Егер ℎ < 0, онда гиперболаның нақты өсі 𝑂𝑦 өсіне параллель.
3) Егер ℎ = 0, онда қиылысу сызығының теңдеуі 𝑥2
𝑝 −𝑦2
𝑞 = 0, 𝑥
√𝑝− 𝑦
√𝑞= 0 және 𝑥
√𝑝+ 𝑦
√𝑞= 0 болып, бас нүктеден өтетін екі түзуге айналады.
Егер (8) бет 𝑂𝑥𝑧 жазықтығына параллель 𝑦 = ℎ жазықтықтарымен қиылса, одан параболалар шығады
{𝑥2= 2𝑝 (𝑧 +ℎ2 2𝑞) , 𝑦 = ℎ.
(8) бетті 𝑦 = 0 (𝑥𝑂𝑧) жазықтығымен қиғанда төбесі бас нүктеде, симметрия өсі 𝑂𝑧 өсі болатын параболаны аламыз
{𝑥2= 2𝑝𝑧, 𝑦 = 0.
𝑥 = ℎ жазықтықтарымен қиғанда беттің қиылысу сызықтары 𝑦2 = −2𝑞 (𝑧 −ℎ2
2𝑝)
түріндегі тармақтары төмен бағытталған параболаларды аламыз.
Қималар әдісімен тал- даудың негізінде гипер- болалық параболоидтың фигурасы (55-сурет) ертоқым сияқты бетті бейнелейтіндігін көреміз.
Екінші ретті конустың теңдеуі
Анықтама. Келесі теңдеумен анықталған бетті 𝑥2
𝑎2+𝑦2 𝑏2−𝑧2
𝑐2= 0 (9) екінші ретті конус деп атайды.
𝑧 = ℎ жазықтықтарымен (9) бетті қиғанда шығатын қималардың сызықтары эллипстер болып табылады:
{ 𝑥2 𝑎2+𝑦2
𝑏2=ℎ2 𝑐2 𝑧 = ℎ.
, { 𝑥2
𝑎2ℎ2 𝑐2
+ 𝑦2
𝑏2ℎ2 𝑐2
= 1, 𝑧 = ℎ.
|ℎ| мәні өскен сайын жарты өстердің мәндері де өсе береді.
(9) бетті 𝑥 = 0 (𝑂𝑦𝑧) жазықтығымен қиғанда шығатын сызықтың теңдеуі
{ 𝑦2 𝑏2−𝑧2
𝑐2= 0, 𝑥 = 0
өзара қиылысатын екі түзулерге айналады, олардың теңдеулері 𝑦
𝑏−𝑧
𝑐= 0 және 𝑦 𝑏+𝑧
𝑐= 0.
x O
z
y
55 сурет
116 Берілген (9) конусты 𝑦 = 0 (𝑂𝑥𝑧) жазықтығымен қиғанда шығатын сызықтың теңдеуі
{ 𝑥2 𝑎2−𝑧2
𝑐2= 0, 𝑦 = 0.
Бұл теңдеу де өзара қиылысатын екі
𝑥 𝑎−𝑧
𝑐= 0 және 𝑥
𝑎+𝑧
𝑐= 0 түзуге айналып кететіндігін байқаймыз. Екінші ретті конустың графигі 56-суретте бейнеленген.
Түзу сызықтар арқылы құрылған беттерді сызықтық беттер деп атайды.
Мұндай беттерге жататындар цилиндрлік, конустық беттер, бірқуысты гиперболоид және гиперболалық параболоидтар болып табылады.
56 сурет O
z
x
y z=h
V ТАРАУ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУҒА КІРІСПЕ
§ 11. Жиындар. Нақты сандар 11.1. Негізгі ұғымдар
Анықтама. Жиын деп белгілі бір шарттарды орындайтын элементтердің жиынтығын айтады. Жиын бас әріптермен, ал оның элементтері кіші әріптермен белгіленеді 𝑋={𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … }. Келесі белгі 𝑥 ∈ X – 𝑥 элементі X жиынына жатады, ал 𝑥 ⋶ 𝑋 немесе 𝑥 ∉ X белгілері 𝑥 элементі 𝑋 жиынына жатпайды деп оқылады.
Жиынның мысалы: Х – белгілі бір топтағы студенттер жиыны, X= {1, 2, 3, … } – натурал сандар жиыны, т.с.с
Бос жиын Ø деп ешқандай элементі жоқ жиынды айтады. Мысалы үш басы бар адамдар жиыны – бос жиын болып табылады.
Х және 𝑋′ жиындары бірдей элементтерден тұратын болса, оларды тең жиындар деп атайды және Х=𝑋′арқылы белгілейді.
Анықтама. Егер 𝑌 жиынының элементері Х жиынының элементтерінің бір бөлігінен тұратын болса, онда 𝑌 жиынын Х жиынының ішкі жиыны деп атайды да, былай белгілейді 𝑌 ⊂ Х немесе 𝑌 жиыны Х жиынының ішіне кіреді деп те атайды. Кейбір жағдайларда Х⊃ 𝑌 белгісін Х жиыны 𝑌 жиынын қамтиды деп атайды (57-сурет).
Мысал. Х – бірінші курс студенттер жиыны болсын, 𝑌 – бірінші курстың бір тобының студенттер жиыны болсын, бұл жағдайда 𝑌⊂Х, яғни 𝑌 жиыны Х жиынының ішкі жиыны, немесе Х жиыны У жиынын қамтиды.
Егер Х⊂ 𝑌 және 𝑌⊂Х болса, онда Х=𝑌 тең жиындар деп аталады.
Анықтама. Екі жиынды біріктіру (қосу) деп элементтері ең болмағанда біреуіне жататын элементтерден тұратын жиынды айтады және былай белгілейді 𝑋 ∪ 𝑌 (немесе 𝑋 + 𝑌).
Қысқаша түрде екі жиынды қосуды былай жазуға болады 𝑋 ∪ 𝑌 = {х:х∈Х немесе х∈ 𝑌}.
118
Бірнеше жиындарды біріктіру (қосу) осылайша анықталады.
𝑋 ∪ 𝑌 ∪ 𝑍 – жиыны ең болмағанда біреуіне жататын элементтерден тұратын жиынды береді. Жиындарды біріктірудің белгісіне логикалық
«немесе» сөзі сәйкес келеді.
Мысал. {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Мысал. А⊂В болса, А∪В=В, А∪А=А.
Анықтама. Екі жиынның қиылысуы (көбейтіндісі) деп екі жиынның ортақ элементтерінен тұратын жиынды айтады. Белгіленуі Х∩ Y (және Х·Y).
Қысқаша екі жиынның көбейтіндісін (қилысуын)
Х∩ 𝑌 = {х:х∊ 𝑋 және х∊ 𝑌} белгілері арқылы жазуға болады (58-сурет).
Жиындардың қилысуының (көбейтудің) белгісіне логикалық «және»
сөзі сәйкес келеді.
Мысал. {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
Анықтама. Екі Х пен Y жиынның айырымы Х\Y деп Х жиынының Y жиынына кірмейтін элементтерінен тұратын жиынды айтады (59-сурет).
58 сурет
A A∩ B B
∩ Y X
57 сурет
59 сурет X
X\Y Y
𝑌𝑇
X Y
60 сурет
Егер 𝑌 ⊂ 𝑋 (60-сурет), 𝑌𝑇 = 𝑋\𝑌 жиынын Х жиынына дейін толықтырушы жиыны деп атайды.
Келешекте жазуларды қысқарту мақсатында кейбір логикалық белгілерді пайдаланамыз:
𝛼 => 𝛽 − 𝛼 тұжырымынан 𝛽 тұжырымы шығады;
𝛼 <=> 𝛽 − 𝛼-дан 𝛽, 𝛽-дан 𝛼, екі жақты тұжырым;
∀ – белгісі «кез келген» деп оқылады;
∃ – «табылады», «бар болады»;
→ – «сәйкес»
Мысалы: 1) ∀х ∊ А: 𝛼 – кез келеген X үшін, А жиынына жататын, 𝛼 тұжырымы орындалады.
2) (x ∊ 𝐴 ∩ 𝐵)⇔(х ∊ А және х∊ В); бұл жазылыс А және В жиындарының қиылысуын (көбейтіндісін) анықтайды.