С.Сағынтаев, С.Сағынтаева. Жоғары математика

1

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

С. С. САҒЫНТАЕВ С. С. САҒЫНТАЕВА

ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА

Оқулық

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі бекіткен

Алматы, 2020

2 УДК 510 (075.8)

ББК 22.1я73 С 14

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігінің

«Оқулық» республикалық ғылыми-практикалық орталығы бекіткен Пікір білдірушілер:

Дауылбаев М.К. - физика-математика ғылымдарының докторы, профессор;

Нұрғабыл Д.Н. - физика-математика ғылымдарының докторы, профессор;

Байсалова М.Ж. - физика-математика ғылымдарының кандидаты, профессор.

С 14 Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.С.

Жоғары математика: Оқулық. – Алматы: АЭжБУ, 2020, – 609 б.

ISBN 978-601-329-164-2

Оқулық «Математика 1», «Математика 2» пәндерінің типтік оқу бағдармаларының негізінде құрастырылған.

Жоғары оқу орындарындағы математикалық пәндерді оқыту барысында оқытушылар мен магистранттарға методикалық оқу құралы ретінде пайдалануына көмегін тигізеді.

Оқулық жоғары математика курсын меңгеруге және студенттердің математиканың бөлімдері бойынша емтихан тапсыруына, математикалық аппаратты өз мамандығына қолдана білуіне мүмкіндік туғызады.

УДК 510 (075.8) ББК 22.1я73

ISBN 978-601-329-164-2

© Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.С., 2020

© «Фортуна Полиграф баспасы ЖШС, 2020

3

Жарты ғасырдай ғұмырын жас ұрпаққа жоғары білім беру жолына арнаған асыл жар, ардақты ана, құрметті әже, орта мектепті бітірудегі күміс медальдің, «Аналар Даңқы» медалінің,

«Еңбек Ардагері» медалінің иегері, ұстаз-ғалым, педагог- математик Сағынтаева (Байтина) Үрия-қажы Айдарханқызының рухына арналады.

Математика – Ата ғылым Шыдамды бол, оқи түс, шыда тағы,

Математика шыдамдыны ұнатады.

Дәлелсіз шалыс бассаң «құлатады», Жазықтыққа компланар «сұлатады».

Моделін, шешулерін таба алмасаң, Кеудеңді намыс кернеп «жылатады».

* * *

Игерсең шыдамдықпен қыр мен сырын, Жас баладай мәпелеп уатады.

Көптен күткен шешулер келген кезде, Ләззат беріп, жаныңды жұбатады.

* * *

Ғылымдарға тірек болып, қуат беріп, Кеңістікке әсерін мол ұзатады...

Сондықтан «ғылымдардың патшасы» деп, Сыйлаған бүкіл әлем бұл Атаны.

Академик С.Сағынтаев

4

АЛҒЫ СӨЗ

Оқулықта сызықтық алгебра элементтері, векторлық алгебра элементтері, жазықтықтағы және кеңістіктегі аналитикалық геометриялар мен комплекс сандар толығымен баяндалады. Математикалық талдауға кіріспе (сандық тізбектер, шектер, үздіксіздік, туынды және дифференциал) тақырыптары, функцияларды жалпы зерттеу, туындылардың әртүрлі қолданулары мен Тейлор формуласы, оны практикада қалай пайдалануға болатыны толығымен көрсетілді. Одан әрі анықталмаған, анықталған интегралдар және олардың физикалық, геометриялық есептер шығаруда пайдалану әдістері баяндалады.

Көп айнымалылы функциялар теориясымен қатар, толық дифференциалды жуықтап есептеуге, екі айнымалылы функциялар үшін экстремумын табуға нақты мысалдар келтірілген.

Дифференциалдық теңдеулер (бірінші және жоғарғы ретті), қос және үштік интегралдарды есептеу, сандық және функционалдық қатарлар және Фурье қатарлары толық баяндалып, әртүрлі мысалдармен негізделген.

Комплекс айнымалылы функциялар теориясы электр тізбегін есептеуде, тізбектегі айнымалы токтың активті және реактивті қуатын анықтауда, электр магнитті толқындардың таралу есептері, жазық біртекті өткізгіштіктегі токтың циркуляциясын есептеулерінде және т.с.с. қолданылады. Фурье қатары мен амалдық есептеулер электр тізбектерін, векторлық есептеулер электрмагнитті өрістер теориясын, матрицалық есептеулер төртұштықтарды оқып үйренуде, ал әртүрлі кезеңдерді сипаттау үшін дифференциалдық теңдеулер қолданылады.

Барлық теориялық материалдар көптеген шығарылған

мысалдар және есептермен қамтамасыз етіліп, мүмкіндігінше

қарапайым тілде баяндалған. Барлық формулалар мен суреттер

негізгі ұғымдар мен теоремалардың мағынасын ашуға, олардың

мән, мағынасын дұрыс және терең ұғынуына мүмкіндік жасайды.

5

Оқулық жоғары оқу орындарының, оның ішінде техникалық

мамандықтардың студенттеріне жоғары математиканың

алгебра және геометрия, математикалық талдау курстарын

меңгеруге, емтиханға дайындалуға, ғылыми-зерттеу жұмыстарын

орындауға мүмкіндік береді. Сонымен қоса, жоғары

математиканың арнайы бөлімдерін өз бетінше оқып жетілдіруде,

математикалық есептерге келтірілетін қолданбалы есептерді

шығаруда, машықтандыру есептері шешімдерінің тиімді

әдістерін анықтау дағдыларының қалыптасуына зор ықпалын

тигізеді.

6 І ТАРАУ

СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

§ 1. Анықтауыштар

1.1. Екінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері

Анықтама. Екінші ретті анықтауыш (детерминант) деп келесі түрде белгіленетін және анықталатын санды айтады

∆= |𝑎11 𝑎12

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = 𝑎₁₁𝑎₂₂- 𝑎₁₂𝑎21. (1) 𝑎₁₁, 𝑎₁₂, 𝑎₂₁, 𝑎₂₂сандары анықтауыштың элементтері деп аталады.

Анықтауыштың төрт жолы (екі тік, екі көлденең) бар болады. a11, a22 - бас диагонал, a12, a21 - қосалқы диагонал элементтері деп аталады.

Сұлба арқылы екінші ретті анықтауышты есептеу

|. . . .|=|. .

. .|-|. . . .|

Екінші ретті анықтауыштың келесі қасиеттері кез келген ретті анықтауыштарға да қолданылады.

1. Анықтауыштың барлық көлденең (тік) жолдарын оның сәйкес тік (көлденең) жолдарымен ауыстырса, анықтауыштың мәні өзгермейді

|𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = |𝑎₁₁ 𝑎₂₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₂|.

2. Анықтауыштың параллель екі жолының орнын ауыстырғанда, оның таңбасы кері таңбаға өзгереді

|𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = − |𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂|.

3. Анықтауыштың параллель жолдарының элементтері бірдей болса, анықтауыш нөлге тең

|𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂| = 0.

7

4. Анықтауыштың кез келген жолының элементтерінің ортақ көбейткіші болса, оны анықтауыш алдына шығаруға болады

|𝑘𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑘𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = 𝑘 |𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂|.

5. Анықтауыштың кез келген жолының элементтері 0 санынан тұрса, анықтауыш нөлге тең

| 0 0

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = 0.

6. Егер анықтауыштың кез келген жолының элементтеріне оған параллель жолының сәйкес элементтерін бір тұрақты санға көбейтіп қосса, анықтауыштың мәні өзгермейді

|𝑎₁₁+ 𝑘𝑎₁₂ 𝑎₁₂

𝑎₂₁+ 𝑘𝑎₂₂ 𝑎₂₂|=|𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂|.

Бұл көрсетілген қасиеттерді (1) формула арқылы дәлелдеуді оқушыға ұсынамыз.

Анықтауыштардың басқа да қасиеттерін үшінші ретті анықтауыш тақырыбында толықтырамыз.

Екінші ретті анықтауыштың көмегімен екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеулер жүйесін шешуге болады:

{𝑎₁₁ 𝑥 + 𝑎₁₂ 𝑦 = 𝑏₁,

𝑎₂₁ 𝑥 + 𝑎₂₂ 𝑦 = 𝑏₂. (2) Бірінші теңдеуді 𝑎₂₂-ге, ал екінші теңдеуді (−𝑎₁₂) көбейтіп қоссақ,

𝑎₁₁ 𝑎₂₂− 𝑎₂₁ 𝑎₁₂)𝑥 = 𝑎₂₂𝑏₁− 𝑎₁₂𝑏₂. (3) Осылайша, (2) жүйедегі бірінші теңдеуді (–a21)-ге, ал екінші теңдеуді a11-ге көбейтіп қоссақ, алатынымыз

(𝑎₁₁ 𝑎₂₂− 𝑎₂₁ 𝑎₁₂)𝑦 = 𝑎₁₁𝑏₂− 𝑎₂₁𝑏₁. (4) Берілген (2) жүйенің белгісіздер коэффициенттерінен құралған анықтауышын

∆= |𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂|

және қосымша анықтауыштарды келесі түрде белгілесек,

8

∆_𝑥=|𝑏₁ 𝑎₁₂

𝑏₂ 𝑎₂₂| , ∆_𝑦=|𝑎₁₁ 𝑏₁ 𝑎₂₁ 𝑏₂|.

Бұл қосымша ∆_𝑥 және ∆_𝑦 анықтауыштары жүйенің анықтауышы

∆ −дан x-тің және y-тің коэффициенттерін бос мүшелермен алмастыру арқылы алынғанын байқаймыз.

Көрсетілген белгілеулер арқылы (3) және (4) теңдеулерді келесі түрде жазуға болады:

∆ ∙ 𝑥 = ∆_𝑥, ∆ ∙ 𝑦 = ∆_𝑦. (5) Егер ∆≠ 0, онда (2) теңдеулер жүйесінің бір ғана шешуі болады:

𝑥 =∆𝑥

∆ , 𝑦 =∆_𝑦

∆ . (6) Бұл формуланы Крамер формуласы деп атайды. Анықтауыштар теориясының 1750 жылы негізін қалаушы швейцар математигі Г.Крамер (1704-1752) болып табылады.

Ескерту. Егер жүйенің анықтауышы ∆= 0, онда (2) жүйенің не шешуі жоқ (∆_𝑥≠ 0, ∆𝑦≠ 0), не шексіз көп шешуі болады (∆𝑥= 0, ∆𝑦= 0).

Мысал. Теңдеулер жүйесін шеш

{7𝑥 − 6𝑦 = 5,

8𝑥 − 7𝑦 = −10. (7)

∆= |7 −6

8 −7| = −49 + 48 = −1,

∆_𝑥= | 5 −6

−10 −7| = −35 − 60 = −95,

∆_𝑦= |7 5

8 −10| = −70 − 40 = −110.

Осыдан Крамер формуласы (6) бойынша 𝑥 =∆_𝑥

∆ =−95

−1 = 95, 𝑦 =∆_𝑦

∆ =−110

−1 = 110.

9

Берілген (7) жүйесінің шешуі (95;110), геометриялық түрде, жүйедегі берілген x0y жазықтығындағы екі түзулердің қилысу нүктесінің координаталарын анықтайды.

1.2. Үш белгісізді екі біртектес сызықтық теңдеулер жүйесі

Келесі түрдегі теңдеулер жүйесін қарастырайық {𝑎₁₁ 𝑥 + 𝑎₁₂ 𝑦 + 𝑎₁₃ 𝑧 = 0,

𝑎₂₁ 𝑥 + 𝑎₂₂ 𝑦 + 𝑎₂₃ 𝑧 = 0. (1) Бұл жүйенің әрқашан да шешуі бар екені ақиқат, себебі белгісіздердің 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 нөлдік мәндері теңдеулерді әрқашан қанағаттандырады.

Бұл жүйенің нөлге тең емес басқа (𝑥, 𝑦, 𝑧) шешулерін анықтауға болады. Ол үшін 𝑧 ≠ 0 болған жағдайда (1) теңдеулер жүйесін келесі түрде жазуға болады

{𝑎₁₁ ^𝑥

𝑧+ 𝑎₁₂ ^𝑦

𝑧 = −𝑎_13, 𝑎₂₁ ^𝑥

𝑧+ 𝑎₂₂ ^𝑦

𝑧 = − 𝑎_{23 .} (2) Осыдан, егер келесі анықтауыш

∆= |𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂| ≠ 0 деп ұйғарғанда, келесі белгілеулер енгізу арқылы

∆₁₌|−𝑎₁₃ 𝑎₁₂

−𝑎₂₃ 𝑎₂₂| , ∆₂₌|𝑎₁₁ −𝑎₁₃ 𝑎₂₁ −𝑎₂₃ |, Крамер формуласын қолдана отырып табатынымыз:

𝑥 𝑧 =∆₁

∆, 𝑦 𝑧 =∆₂

∆ немесе

𝑥 𝑧=1

∆|−𝑎₁₃ 𝑎₁₂

−𝑎₂₃ 𝑎₂₂| =1

∆|𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₂₂ 𝑎₂₃|, (3) 𝑦

𝑧 =1

∆|𝑎₁₁ −𝑎₁₃

𝑎₂₁ −𝑎₂₃ | = −1

∆|𝑎₁₁ 𝑎₁₃

𝑎₂₁ 𝑎₂₃|. (4)

10

(3) және (4) теңдіктірден x пен y мәндерін табатын болсақ, 𝑥 =𝑧

∆|𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₂₂ 𝑎₂₃| , 𝑦 = −𝑧

∆|𝑎₁₁ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₃| = 𝑧

∆|𝑎₁₃ 𝑎₁₁

𝑎₂₃ 𝑎₂₁|. (5) Егер ^𝑧

∆= 𝑡, арқылы белгілесек, (5) теңдіктерден 𝑧 = ∆𝑡, 𝑥 = |𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₂₂ 𝑎₂₃| 𝑡, 𝑦 = |𝑎₁₃ 𝑎₁₁

𝑎₂₃ 𝑎₂₁| 𝑡, (6) мұндағы 𝑡 – кез келген тұрақты параметр.

Сонымен (6) теңдіктерді екінші ретті анықтауыштар арқылы келесі түрде жазуға болады

𝑥 = |𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₂₂ 𝑎₂₃| 𝑡, 𝑦 = |𝑎₁₃ 𝑎₁₁

𝑎₂₃ 𝑎₂₁| 𝑡, 𝑧 = |𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| 𝑡, (7) (−∞ < 𝑡 < +∞).

Бұл (7) формулалар үш белгісізді екі біртектес сызықтық теңдеулер (1) жүйесінің барлық шешулерін анықтайды.

Көрсетілген (7) формулаларды қорытып шығаруда z айнымалысын анықтаудағы екінші ретті анықтауыш ∆≠ 0 шарты пайдаланылған болатын, жалпы бұл формулалар x және y мәндерін табудағы екінші ретті анықтауыштарының нөлге тең болмаған жағдайларында да орындалады.

(7) формуланы есте сақтау үшін келесі түрдегі кестені (матрицаны) пайдаланған ыңғайлы болады

(𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃).

Бұл кестеден бірінші тік жолды сызып тастағанда, (7) формуладан белгісіз х-ті табудағы екінші ретті анықтауышты, екінші тік жолды сызып тастап, тік жолдар орнын ауыстырса, у үшін екінші ретті анықтауышты, үшінші тік жолды сызып тастағанда, z үшін анықтауышты алуға болады.

Мысал. Келесі біртектес теңдеулер жүйесін шеш {𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0,

4𝑥 + 5𝑦 − 6𝑧 = 0.

Берілген жүйенің белгісіздерінің коэффициенттерінен кесте (матрица) құрылады

11 (1 −2 3

4 5 −6).

Екінші ретті анықтауыштарды есептеу үшін кезекпен кестенің тік жолдарын сызып тастап отырып алатынымыз

∆₁= |−2 3

5 −6| = 12 − 15 = −3, ∆₂= | 3 1

−6 4| = 12 + 6 = 18,

∆₃=|1 −2

4 5 | = 5 + 8 = 13.

(7) формула бойынша бұл жүйенің шешулері:

𝑥 = −3𝑡, 𝑦 = 18𝑡, 𝑧 = 13𝑡, мұндағы −∞ < 𝑡 < +∞.

Жүйенің нөлге тең емес қарапайым бір шешуі t=1 болғанда, 𝑥 = −3, 𝑦 = 18, 𝑧 = 13 болып табылады.

1.3. Үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері

Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш (детерминант) деп келесі түрде белгіленетін және анықталатын санды айтады

∆= |

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃| = 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑎₃₃+ 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₁+ 𝑎₂₁𝑎₃₂𝑎₁₃−

−𝑎31𝑎22𝑎13− 𝑎21𝑎12𝑎33− 𝑎32𝑎23𝑎11 , (1) мұндағы 𝑎_𝑖𝑗– анықтауыш элементтері, i=1,2,3 – үш көлденең жол, j=1,2,3 – үш тік жол, барлығы 6 жолдан тұрады.

Бұл (1) формуламен көрсетілген есептеу әдісін үшбұрыштар ережесі (немесе Саррюс ережесі) деп атайды және оны келесі сұлба арқылы көрсетуге болады

| . . . . . . . . .|=|

. . . . . . . . .| − |

. . . . . . . . .|.

Сұлбаның бірінші анықтауышындағы тең бүйірлі үшбұрыштарының табандары бас диагоналға параллель, ал екінші анықтауыштағы тең

12

бүйірлі үшбұрыштарының табандары қосалқы диагоналға параллель болады.

Екінші ретті анықтауыштардың 1⁰- 6⁰ қасиеттері (1.1-параграфтағы) үшінші ретті анықтауыштар үшін толығымен орындалады.

Анықтама. 𝑎𝑖𝑗 элементінің миноры 𝑀𝑖𝑗 деп анықтауыштың i-ші көлденең j-ші тік жолын сызып тастағанда шығатын анықтауышты айтады.

Мысалы үшінші ретті анықтауыштың 𝑎₂₁ элементінің миноры 𝑀₂₁− ді табу үшін оның 2-ші көлденең және 1-ші тік жолдары сызып тасталады

𝑀₂₁= |𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃|.

Анықтама. 𝑎_𝑖𝑗 элементінің алгебралық толықтауышы А_𝑖𝑗 деп осы элементтің 𝑀_𝑖𝑗 минорын (−1)^𝑖+𝑗-ге көбейтіндісін айтады:

𝐴_𝑖𝑗= (−1)^𝑖+𝑗𝑀_𝑖𝑗.

Бұл анықтамадан кез келген анықтауыштың берілген элементінің миноры мен алгебралық толықтауышының айырмашылығы тек таңбаларында ғана болатындығы көрінеді.

7⁰. (Анықтауышты кез келген жол элементтері арқылы жіктеу).

Кез келген жол элементтерін олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанда ол анықтауышқа тең болады.

Бұл қасиетті дәлелдеу үшін бірінші көлденең жолын қарастырсақ,

∆= |

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃|=𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₁₂𝐴₁₂+ 𝑎₁₃𝐴_13.

Бұл теңдіктің оң жағын ашып жазатын болсақ, 𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₁₂𝐴₁₂+ 𝑎₁₃𝐴₁₃=

= 𝑎₁₁(−1)¹⁺¹𝑀₁₁+ 𝑎₁₂(−1)¹⁺²𝑀₁₂+ 𝑎₁₃(−1)¹⁺³𝑀₁₃=

=𝑎₁₁|𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₂ 𝑎₃₃| − 𝑎₁₂|𝑎₂₁ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₃| + 𝑎₁₃|𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂| =

= 𝑎₁₁(𝑎₂₂𝑎₃₃−𝑎₂₃𝑎₃₂) − 𝑎₁₂(𝑎₂₁𝑎₃₃− 𝑎₂₃𝑎₃₁) + 𝑎₁₃(𝑎₂₁𝑎₃₂−𝑎₂₂𝑎₃₁) =

13

= 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑎₃₃+ 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₁+ 𝑎₁₃𝑎₂₁𝑎₃₂−

−𝑎₁₃𝑎₂₂𝑎₃₁−𝑎₁₂𝑎₂₁𝑎₃₃− 𝑎₁₁𝑎₂₃𝑎₃₂= ∆,

яғни үшбұрыштар (Саррюс) әдісімен есептелген (1) анықтауышты аламыз.

Бұл қасиет жоғарғы ретті анықтауыштарды есептеуге жиі қолданылады.

Мысал. Келесі төртінші ретті анықтауышты есепте.

Шешуі. Бұл анықтауышты есептеу үшін оны кез келген жол элементтері бойынша жіктесек, үшінші ретті анықтауыштарды есептеуге келтіріледі. Мысалы, анықтауышты бірінші тік жол элементтері арқылы жіктесек және одан кейін үшбұрыштар әдісін пайдалансақ,

|

3 5 7 8

−1 7 0 1

0 5 3 2

1 −1 7 4

| = (−1)¹⁺¹∙ 3 ∙ |

7 0 1

5 3 2

−1 7 4

| +

+(−1)²⁺¹(−1) |

5 7 8

5 3 2

−1 7 4

| + 0 ∙ |

5 7 8

7 0 1

−1 7 4

| + (−1)⁴⁺¹1 |

5 7 8

7 0 1

5 3 2

| = 122.

8⁰. Анықтауыштың кез келген жол элементтерін оларға параллель жол элементтерінің сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанда, ол нөлге тең болады.

Мысалы бірінші көлденең жол элементтерін екінші көлденең жолдың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қоссақ,

𝑎₁₁𝐴₂₁+ 𝑎₁₂𝐴₂₂+ 𝑎₁₃𝐴₂₃=0.

Басқа жол элементтері үшін де осындай формулалар алуға болады.

14

1.4. Үш белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесі

Келесі түрде берілген теңдеулер жүйесін қарастырайық {

𝑎₁₁𝑥 + 𝑎₁₂𝑦 + 𝑎₁₃𝑧 = 𝑏₁, 𝑎₂₁𝑥 + 𝑎₂₂𝑦 + 𝑎₂₃𝑧 = 𝑏₂, 𝑎₃₁𝑥 + 𝑎₃₂𝑦 + 𝑎₃₃𝑧 = 𝑏₃.

(1) Бос мүшелері теңдеулердің оң жағында орналасқан.

Берілген (1) теңдеулер жүйесінің шешуі деп көрсетілген теңдеулерді қанағаттандыратын әрбір (x,y,z) үштігін айтады.

Белгісіздер коэффициенттерінен құрылған анықтауышты жүйенің анықтауышы деп атайды

∆= |

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃|. (2) Қосалқы анықтауыштар жүйенің анықтауышынан бірінші, екінші, үшінші тік жолдарын бос мүшелер тік жолымен ауыстыру арқылы алынады және олар келесі түрде белгіленеді:

∆_𝑥= |

𝑏₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑏₂ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑏₃ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

|, ∆_𝑦= |

𝑎₁₁ 𝑏₁ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑏₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑏₃ 𝑎₃₃

|, ∆_𝑧= |

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑏₁ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑏₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑏₃

|. (3) Берілген (1) теңдеулер жүйесін шешу үшін жүйенің бірінші теңдеуінің екі жағын 𝐴₁₁− ге, екінші теңдеуінің екі жағын 𝐴₂₁-ге, үшінші теңдеуінің екі жағын 𝐴₃₁− ге көбейтіп қоссақ,

(𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₂₁𝐴₂₁+ 𝑎₃₁𝐴₃₁)𝑥+(𝑎₁₂𝐴₁₁+ 𝑎₂₂𝐴₂₁+ 𝑎₃₂𝐴₃₁)𝑦 + +(𝑎₁₃𝐴₁₁+ 𝑎₂₃𝐴₂₁+ 𝑎₃₃𝐴₃₁)𝑧 = 𝑏₁𝐴₁₁+ 𝑏₂𝐴₂₁+ 𝑏₃𝐴₃₁. (4)

7⁰ және 8⁰ қасиеттер бойынша (1.3-параграф) бірінші жақшадағы өрнек жүйенің анықтаушына тең, екінші, үшінші жақшадағы өрнектер нөлге тең, теңдіктің оң жағы (3) формуладағы ∆_𝑥 анықтауышы болады.

∆ ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦 + 0 ∙ 𝑧 = ∆𝑥,

∆ ∙ 𝑥 = ∆𝑥 . (5)

15

Осылайша ∆ анықтауышының екінші және үшінші тік жолдарының алгебралық толықтауыштарын пайдаланып табатынымыз

∆ ∙ 𝑦 = ∆_𝑦, ∆ ∙ 𝑧 = ∆_𝑧 . (5') Егер жүйенің анықтауышы ∆≠ 0 болған жағдайда (5) және (5') теңдеулерінен (1) теңдеулер жүйесінің бір ғана шешуі табылады

𝑥 =∆_𝑥

∆ , 𝑦 =∆_𝑦

∆ , 𝑧 =∆_𝑧

∆ (6) (шынында біз (1) теңдеулер жүйесінің шешуі бар болғандағы ол шешудің (6) формуламен анықталатынын дәлелдедік).

Теңдеулер жүйесіндегі белгісіздер мәні (6) бөлшектер арқылы анықталады, егер олардың бөлімдері нөлге тең емес жүйенің анықтауышы болса. Алымдары сәйкес қосалқы анықтауыштар болып табылады.

Ескерту. Егер жүйенің анықтауышы ∆= 0, онда берілген жүйенің шешуі жоқ (∆_𝑥≠ 0, ∆_𝑦≠ 0, ∆_𝑧≠ 0) немесе шексіз көп шешулері болады (∆_𝑥= ∆_𝑦= ∆_𝑧= 0).

Мысал. Теңдеулер жүйесін шеш {

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1, 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0, 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0.

Шешуі. Жүйенің анықтаушын бірінші көлденең жол элементтерін нөлге келтіру және сол жол арқылы жіктеп есептесек,

∆= |

1 2 3 2 3 1 3 1 2

| = |

1 0 0

2 −1 −5 3 −5 −7

| = (−1)¹⁺¹∙ 1 ∙ |−1 −5

−5 −7| =

= 7 − 25 = −18 ≠ 0.

Бірінші тік жол элементтерін (-2)-ге көбейтіп, екінші тік жолға, (-3)- ке көбейтіп үшінші тік жолға қосып (6 ° қасиет 1.1 параграф), бірінші

-2

-3

16

көлденең жол элементтері арқылы жіктелді. Қосалқы анықтауыштарды бірінші, екінші, үшінші тік жол элементтері бойынша жіктеп есептесек,

∆_𝑥= |

1 2 3 0 3 1 0 1 2

| = 1 ∙ |3 1 1 2| = 5,

∆𝑦= |

1 1 3 2 0 1 3 0 2

| = 1 ∙ (−1)¹⁺²|2 1

3 2| = −1 ∙ |2 1

3 2| = −1,

∆_𝑧= |

1 2 1 2 3 0 3 1 0

| = 1 ∙ (−1)¹⁺³|2 3

3 1| = 1 ∙ |2 3

3 1| = −7.

Крамер формуласын пайдаланып, теңдеулер жүйесінің шешуін табамыз:

18. 7 18, 1 18,

5  



 y z

x

Ескерту. Анықтауыштарды үшбұрыштар (Саррюс) әдісімен де есептеуге болады.

§ 2. Матрицалар және оларды қолдану

2.1. Матрицалар

Анықтама. Матрица деп элементтері нақты сандар болатын тікбұрышты кестені айтады.

Матрицалар бас әріппен және жәй (кейде квадрат) жақшалар арқылы белгіленеді

17

 

^.

2 1

2 22

21

1 12

11

ij mn

mn m

m

n n

a a

a a

a a

a

a a

a

A 





































(1)

a

ij _– матрицаның жалпы элементі;



i

көлденең жолдың реті,

i  _{1 , m}

;

j 

тік жолдың реті,

j  1 , n .

(1) матрицаның өлшемі

m  n

, яғни

m

_– көлденең жолдан және

n 

тік жолдан тұрады.

Егер

m  n

болса, яғни көлденең және тік жолдар саны бірдей болса, матрицаны шаршы (квадраттық) матрица деп атайды да, оның ретін де көрсетеді. Мысалы,

m  n  4

болса, матрицаны төртінші ретті шаршы матрица деп атайды.

Егер өлшемдері бірдей екі матрицаның сәйкес элементтері тең болса, онда оларды тең матрицалар деп атайды

,

B

A

 егер

a

_ij

 b

_ij,

i  _{1 , m}

,

j  1 , n

^.

Егер матрицаның барлық элементтері нөлге тең болса,

a

_ij

 0

, онда оны нөлдік матрица деп атайды.

Шаршы матрицаның бас диагоналінің (үстіңгі сол жақ бұрышынан оң жақтағы төменгі бұрышына жүргізілген диагоналі) бойындағы элементтері

a

_ii 0, қалған элементтері

a

_ij

 0 ,  i  j 

болса, оны диагоналдық матрица деп атайды.

Диагоналдық матрицаның диагональ бойындағы элементтері

a

_ii 1 болса, оны бірлік матрица деп атайды және былай белгілейді (үшінші ретті бірлік матрица)

18

 

^1,1,1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

diag

E 

















. (2) Матрицаның жатық жолдарын, орналасу ретін сақтап тік жолдарымен алмастыру матрицаны транспонирлеу деп аталады.

Кейбір жағдайларда

A

матрицасына транспонирлеу қолданылады және оны

A

^T арқылы белгілейді.

A

матрицасын транспонирленген

A

^T матрицаға айналдыру

A

матрицасының барлық көлденең (тік) жолдарын сәйкес тік (көлденең) жолдарға ауыстырады.

Мысалы,



 





 

1 2 7

3 0

A 2 ,



















 1

2 7

3 0 2

AT .



















 2 0 1

B , BT 



1 0 2



.

T

T

B

A

, матрицалары –

A, B

матрицаларының транспонирленген матрицалары.

 

^{AT T  A,}

 

^{BT T  B}

болып шығатыны түсінікті.

Тек шаршы матрицаның ғана анықтауышы (детерминанты) болады.

. det det

, 3 3 2

0 1 3 2

0

det 1 T

A A



 

 



 





19

2.2. Матрицаларға амалдар қолдану

Өлшемдері бірдей матрицалар үшін қосу және азайту амалдарын орындауға болады. Қосу және азайту амалдарын қолданғанда, олардың сәйкес элементтері қосылады және алынады.

  a

ij _mn

A

 _және

B



  b

ij _mn матрицаларының қосындысы (айырымы)

  c

ij _mn

B A

C

   болып, оның элементтері ^cij ^aij^bij



ⁱ1,^m;^j1,ⁿ



формуласымен анықталады:



 















 



 







 





23 23 22 22 21 21

13 13 12 12 11 11 23

22 21

13 12 11 23

22 21

13 12 11

b a b a b a

b a b a b a b

b b

b b b a

a a

a a

a .

Матрицаны тұрақты

k

санына көбейткенде, ол сан матрицаның барлық элементтеріне көбейтіледі. Керісінше, егер матрицаның барлық элементтерінің ортақ тұрақты көбейткіші

k

болса, оны матрицаның алдына шығаруға болады

.

23 22 21

13 12 11 23

22 21

13 12

11 

 







 





ka ka ka

ka ka ka a

a a

a a k a

Өлшемдері бірдей матрицалар үшін келесі формулалар орынды болады:



^AB



^{T AT BT;}

 

^{kAT kAT; det}

 

^{kC kndetC}

^,

мұндағы

n 

шаршы

C

матрицасының реті.

Жалпы жағдайда, det



AB



detAdetB

.

Матрицаларды қосу (алу) және тұрақты санға көбейту амалдары үшін келесі қасиеттер орындалады:

1°. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴;

2°. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶;

3°. 𝐴 + 0 = 𝐴;

4°. 𝐴 − 𝐴 = 0;

20 5°. 1 × 𝐴 = 𝐴;

6°. 𝑘 × (𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵;

7°. (𝑘₁+ 𝑘₂) × 𝐴 = 𝑘₁𝐴 + 𝑘₂𝐴;

8°. 𝑘₁(𝑘₂𝐴) = 𝑘₁𝑘₂𝐴,

мұндағы A,B,C матрицалар,

k

₁

, k

₂



^{сандар.}

Матрицалар үшін элементарлық түрлендіру деп келесі амалдарды айтады:

1) Матрицаның параллель жолдарының орнын ауыстыру.

2) Матрицаның кез келген жолын нөлге тең емес бір тұрақты санға көбейту.

3) Матрицаның кез келген жол элементтеріне, оған параллель жол элементтерін бір тұрақты санға көбейтіп қосу.

Екі

A

^және

B

матрицасының біреуі екіншісінен көрсетілген элементарлық түрлендірулер арқылы алынса, онда оларды эквивалентті матрицалар деп атайды және былай белгілейді: 𝐴~𝐵.

Кез келген матрицаны элементарлық түрлендірулер арқылы бас диагоналдың бойында түгел бірлер, ал басқа элементтері нөлдер болатын түрге келтіруге болады. Ондай матрицаларды канондық матрицалар деп атайды.

Мысалы келесі матрица канондық матрица болып табылады:

. 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

















21

Мысал. Матрицаны канондық түрге келтір:





















1 5 0 4

1 1 2 0

2 1 3 2

A .

Шешуі. Элементарлық түрлендірулер жүргіземіз

( 2 0 4

3 2 0

1

−1 5

2 1 1

) ~ ( 1

−1 5

3 2 0

2 0

4 2 1 1

) ~ ( 1 0 0

3 5

−15 2 2

−6 2 3

−9 ) ~

~ ( 1 0 0

0 5

−15 0 2

−6 0 3

−9

) ~ ( 1 0 0

0 1

−3 0 1

−3 0 1

−3 ) ~ (

1 0 0

0 1 0

0 1

0 0 1 0

) ~ ( 1 0 0

0 1 0

0 0

0 0 0 0

).

Матрицаларды көбейту үшін бірінші көбейткіш

A



  a

ij _mn

матрицасының тік жолдар саны n екінші көбейткіш B

 

bij _pq

матрицасының көлденең жолдар саны

p

тең болулары керек

 n  p 

. Сонда А матрицасын В матрицасына көбейтуге болады, одан С матрицасы шығады және былай белгіленеді:

𝐴 × 𝐵 = 𝐶 = (𝑐_𝑖𝑗)

𝑚𝑞.

Көбейтінді

C

матрицасының өлшемі m×q, яғни m – бірінші көбейткіш

A

матрицасының көлденең жолдар саны мен q – екінші көбейткіш

B

матрицасының тік жолдар санымен анықталады.

Көбейтінді

C

матрицасының 𝑐𝑖𝑗 элементі бірінші көбейткіш

A

матрицасының

i 

ші көлденең жол элементтерін екінші көбейткіш

B

:5 :2 :3

-5 1

3

-1 -2 -3

22

матрицасының

j 

ші тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосқанға тең болады:

𝑐_𝑖𝑗= ∑ 𝑎_𝑖𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑏_𝑘𝑗.

Мысалы, келесі екі матрицаны көбейткенде 𝑐_𝑖𝑗 элементін табу үшін келесі сұлбаны көрсетуге болады:

(

°

°

° °

° °

° °

° ) 𝑖 (

°

°

° ° ° °

° °

° °

° °

) j

Мысал. А және В матрицалары берілсін



 



 2 1

3

A 1 



 





0 1 3

1 2 B 1

𝐴 = (𝑎_𝑖𝑗)₂₂, 𝐵 = (𝑏_𝑖𝑗)₂₃.

A

матрицасын

B

матрицасына көбейтуге болады, себебі

A

матрицасының тік жолдар саны

B

матрицасының көлденең жолдар санына тең болып тұр, сондықтан көбейтінді матрица С үшін

𝐴 × 𝐵 = 𝐶 = (𝑐_𝑖𝑗)₂₃= (𝑐₁₁ 𝑐₁₂ 𝑐₁₃ 𝑐₂₁ 𝑐₂₂ 𝑐₂₃),

ал

C

матрицасының өлшемі 23, ол бірінші көбейткіш

A

матрицасының көлденең, екінші көбейткіш

B

матрицасының тік жолдар санымен анықталады. Енді көбейтінді матрицаның элементтерін табайық:

𝑐11= 1 ∙ 1 + 3 ∙ 3 = 10, 𝑐12= 1 ∙ 2 + 3 ∙ 1 = 5, 𝑐13= 1 ∙ 1 + 3 ∙ 0 = 1, 𝑐₁₁= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 3 = 7, 𝑐₂₂= 1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 = 4, 𝑐₂₃= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 0 = 1.

23

11



с

элементін тапқанда, бірінші матрицаның

1 

ші көлденең жол элементтерін екінші матрицаның сәйкес

1 

ші тік жол элементтеріне көбейтіп қосады.

12



с

элементін тапқанда, бірінші матрицаның

1 

ші көлденең жол элементтерін екінші матрицаның сәйкес тік жол элементтеріне көбейтіп қосады, т.с.с.

Сонымен

A



B



C

, осы мысал үшін

1 2 1 10 5 1

1 3 .

1 2 3 1 0  7 4 1 

    

 

     

A

B 

көбейтіндісін табуға болмайды, себебі

B

матрицасының тік жолдар саны

A

матрицасының көлденең жолдар санына тең емес.

Егер

A

^және

B

матрицалары бірдей өлшемді шаршы матрицалар болса, онда

A  B

^және

B  A

көбейтінділерін табуға болады, бірақ жалпы жағдайларда AB BA, яғни матрицаларды көбейтуде орын ауыстыру заңы орындалмайды.

Бірлік матрица

E

^үшін

. A A E E

A

   

Матрицаларды көбейтуде келесі қасиеттер орындалады:

   

 

 

   

^,

. 4

; .

3

; .

2

; .

1

B kA B A k

C B C A C B A

C A B A C B A

C B A C B A



















































әрине, көрсетілген қасиеттер матрицаларды қосу және көбейту амалдары орындалатын жағдайлар үшін орынды болып табылады.

24

2.3. Кері матрица

n-ші ретті шаршы

A

матрицасы берілсін 𝐴 = (

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 ⋯ 𝑎_𝑛𝑛

) = (𝑎_𝑖𝑗)_𝑛𝑛.

Егер шаршы

A

матрицасының анықтауышы (детерминанты) нөлге тең болмаса ∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0, онда ол матрицаны азғындалмаған деп атайды, ал

A

матрицасының анықтауышы ∆= 0 болған жағдайда оны азғындалған деп атайды.

Шаршы

A

матрицасының кері

A

^1 матрицасы деп келесі теңдікті қанағаттандыратын матрицаны айтады:

𝐴 ∙ 𝐴⁻¹= 𝐴⁻¹∙ 𝐴 = 𝐸, (1) мұндағы

E 

^реті

A

матрицасының ретіндей болатын бірлік матрица.

Кері

A

^1 матрицасының реті де

A

матрицаның ретімен бірдей болады.

Теорема. Кез келген азғындалмаған матрицаның кері матрицасы болады.

Дәлелдеуді үшінші ретті шаршы матрица арқылы көрсетейік.

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃),

∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 болсын.

Транспонирленген келесі матрицаны құрайық 𝐴^𝑇 = (

𝐴₁₁ 𝐴₂₁ 𝐴₃₁ 𝐴₁₂ 𝐴₂₂ 𝐴₃₂ 𝐴₁₃ 𝐴₂₃ 𝐴₃₃

),

мұндағы

A

_ij



берілген

A

матрицасының анықтауышының

a

_ij

элементінің алгебралық толықтауышы.

A A

^T көбейтіндісін табайық.

Анықтауыштың кез келген жол элементтерін өзінің сәйкес алгебралық

25

толықтауыштарына көбейтіп қосқанда анықтауыштың өзіне тең, ал параллель жолының сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанда, нөлге тең екенін ескерсек,

𝐴 ∙ 𝐴^𝑇 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃) ∙ (

𝐴₁₁ 𝐴₂₁ 𝐴₃₁ 𝐴₁₂ 𝐴₂₂ 𝐴₃₂ 𝐴₁₃ 𝐴₂₃ 𝐴₃₃

) =

= (

𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₁₂𝐴₁₂+ 𝑎₁₃𝐴₁₃ ⋯ 𝑎₁₁𝐴₃₁+ 𝑎₁₂𝐴₃₂+ 𝑎₁₃𝐴₃₃ 𝑎₂₁𝐴₁₁+ 𝑎₂₂𝐴₁₂+ 𝑎₂₃𝐴₁₃ ⋯ 𝑎₂₁𝐴₃₁+ 𝑎₂₂𝐴₃₂+ 𝑎₂₃𝐴₃₃ 𝑎₃₁𝐴₁₁+ 𝑎₃₂𝐴₁₂+ 𝑎₃₃𝐴₁₃ ⋯ 𝑎₃₁𝐴₃₁+ 𝑎₃₂𝐴₃₂+ 𝑎₂₃𝐴₃₃

) =

= (

∆ 0 0

0 ∆ 0

0 0 ∆

) = ∆ ∙ (

1 0 0 0 1 0 0 0 1

) = ∆ ∙ 𝐸.

Сонымен

𝐴 ∙ 𝐴^𝑇 = ∆ ∙ 𝐸. (2) (2) теңдікті алуда анықтауыштардың 7° және 8° қасиеттерін пайдаландық.

Осылайша келесі теңдікті де алуға болады

𝐴^𝑇∙ 𝐴 = ∆ ∙ 𝐸. (3) (2) және (3) теңдіктерді келесі түрге келтіруге болады:

𝐴 ∙𝐴^𝑇

∆ = 𝐸 және 𝐴^𝑇

∆ ∙ 𝐴 = 𝐸.

Алынған теңдіктерді (1) формуламен салыстырсақ,

𝐴⁻¹=𝐴^𝑇

∆ немесе 𝐴⁻¹=1

∆(

𝐴₁₁ 𝐴₂₁ 𝐴₃₁ 𝐴₁₂ 𝐴₂₂ 𝐴₃₂ 𝐴₁₃ 𝐴₂₃ 𝐴₃₃

). (4)

Бұл өрнек

A

матрицасының кері 𝐴⁻¹ матрицасын табуға арналған формуласы болып табылады.