Инженерлік графика. Сандық белгілері бар проекцияда (Оқу құралы)

(1)

Ə.К. БƏЙДІБЕКОВ

И Н Ж Е Н Е Р Л І К Г Р А Ф И К А

сандық белгілері бар проекцияда

(Оқу құралы)

Алматы

"Білім"

2012

(2)

УДК 744 ББК 30.11 Б 32

Баспаға Қазақ мемлекеттік сəулет-құрылыс академиясының құрылыс жəне сəулет маман- дықтары бойынша оқу-əдістемелік Кеңесі (№4 хаттама, 20.05.2011 ж.) жəне Л.Н.Гумилев атын дағы Еуразия ұлттық университетінің ғылыми-əдістемелік Кеңесі ұсынған

Пікір жазғандар: - техника ғылымдарының докторы, профессор Баймахан Нұрмаханұлы Нұрмаханов

- техника ғылымдарының кандидаты, доцент Қамидолла Рафикұлы Фазылов

Б 32 Бəйдібеков Ə.К.

Инженерлік графика (сандық белгілері бар проекцияда), (Оқу құралы) - Алматы:

"Білім", 2012. 144-бет.

ISBN 9965-31-236-2

Қазақстан Республикасының мемлекеттік жалпыға білім беру стандартына сай жазылған бұл оқу құралының негізгі мақсаты – студенттерге (білімгерлерге) сызбаны оңай əрі түсінікті салу жəне оқу жолдарын, сызбаны сызудың қандай əдістері бар екенін, сызба əдістерін пайдалана отырып, қандай есептер шығаруға болатынын, сонымен қатар сызбалардың көмегімен инженерлік есептерді шешу теориясын оқыту.

Оқу құралы құрылыс, жер өңдеу, жол құрылысы жəне басқа да техникалық мамандықтарда оқитын жоғарғы оқу орындарының студенттері мен оқытушыларына арналған.

УДК 744 ББК 30.11

SBN 9965-31-336-2

2004020000 00(05)-12 Б

(3)

Кіріспе ...8

І-тарау ПРОЕКЦИЯЛАУ ƏДІСТЕРІ 1.1 Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі...10

1.2 Параллель проекциялау əдісі...11

1.3 Ширектер жəне октанттар...………..……...12

Бақылау сұрақтары...16

Жаттығу есептері...17

ІІ-тарау АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР 2.1 Аксонометриялық проекциялардың қысқаша түсініктемесі...18

2.2 Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері...20

2.2.1 Тікбұрышты изометрия...20

2.2.1.1 Шеңбердің тікбұрышты изометриясы...22

2.2.2 Тікбұрышты диметрия ...23

2.2.2.1 Шеңбердің тікбұрышты диметриясы ...25

2.2.3 Қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия ...25

2.2.4 Қиғашбұрышты горизонталь изометрия ...27

2.2.5 Шеңбердің изометриялық проекциясын салу...28

2.2.6 Шеңбердің диметриялық проекциясын салу...29

Жаттығу есептері ...31

Мазмұны

(4)

III-тарау

НҮКТЕНІҢ, ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫҢ ЖƏНЕ ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ САНДЫҚ БЕЛГІЛЕРІ БАР ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

3.1 Нүктенің проекциясы ...32

3.2 Түзу сызықтың проекциясы ...34

3.2.1 Жалпы жағдайда орналасқан түзулер ...36

3.2.2. Дербес жағдайда орналасқан түзулер ...38

3.2.3 Түзу сызықтың ізі ...39

3.3 Жазықтықтың проекциясы ...40

3.3.1 Жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтар ...42

3.3.2 Дербес жағдайда орналасқан жазықтықтар ...43

3.3.3 Жазықтықтың деңгей сызығы ...44

3.3.4 Жазықтықтың ізі ...45

IV-тарау ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЖƏНЕ МЕТРИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР 4.1 Позициялық есептер ...49

4.1.1 Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары ...49

4.1.2 Түзу сызықтардың өзара орналасулары ...50

4.1.3 Екі жазықтықтың өзара орналасуы ...52

4.1.4 Түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары ...53

4.2 Метрикалық есептер ...54

4.2.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы...55

4.2.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы ...55

V-тарау СЫЗБАНЫ ТҮРЛЕНДІРУ ТƏСІЛДЕРІ 5.1 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі ...59

5.1.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен проекция жазықтығына жасаған бұрышын анықтау...60

5.1.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау ...61

(5)

5.1.3 Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштық шаманы анықтау ...63

5.1.4 Айқасып жатқан екі түзудің арақашықтығын анықтау ...64

5.2 Айналдыру тəсілі ...66

5.2.1 Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен анықтау ...66

5.2.2 Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен анықтау ...67

VІ-тарау КӨПЖАҚТЫ БЕТТЕР 6.1 Жай көпжақты беттер ...72

6.1.1 Призма бетіндегі нүктенің орналасуы ...72

6.1.2 Призма мен түзу сызықтың қиылысуы ...74

6.1.3 Пирамида бетіндегі нүктенің орналасуы ...76

6.1.4 Пирамида мен түзу сызықтың қиылысуы ...78

6.1.5 Призма мен пирамида беттерінің жазықтықпен қиылысуы ...79

6.1.6 Көпжақты беттердің өзара қиылысуы ...81

VІІ-тарау ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТАР 7.1 Жазықтық қисық сызықтар ...87

7.1.1 Екінші ретті қисық сызықтар ...87

7.1.2 Трансценденттік қисық сызықтар ...90

7.2 Кеңістік қисық сызықтары ...92

VІІІ-тарау БЕТТЕРДІҢ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ 8.1 Айналмалы беттер ...95

1.1. Айналмалы конус беті ...96

8.1.2 Айналмалы цилиндр беті ...97

8.2 Құлама бет ...99.

(6)

8.3 Топографиялық беттер...100

8.3.1 Топографиялық беттің жазықтықпен қиылысуы ...101

ІХ-тарау САНДЫҚ БЕЛГІЛЕРІ БАР ПРОЕКЦИЯДАҒЫ КӨЛЕҢКЕЛЕР 9.1 Түзу сызықтың көлеңкесі ...105

9.2 Дөңгелек конус көлеңкесі ...106

Х-тарау СЫЗБАЛАРДЫ БЕЗЕНДІРУ 10.1 Пішімдер ...109

10.2 Масштабтар...110

10.3 Сызба сызықтары ...111

10.4 Сызба қаріптері ...113

10.5 Сызба өлшемдерді түсіру ...117

10.6 Сызбаның негізгі жазуы ...120

ХІ- тарау ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ САЛУЛАР 11.1 Шеңберді тең бөліктерге бөлу ...124

11.1.1 Шеңберді тең үш бөлікке бөлу...124

11.1.2 Шеңберді тең төрт бөлікке бөлу ...124

11.1.3 Шеңберді тең бес бөлікке бөлу ...126

11.1.4 Шеңберді тең алты бөлікке бөлу ...127

11.1.5 Шеңберді тең сегіз бөлікке бөлу ...128

11.1.6 Шеңберді тең он бөлікке бөлу ...128

11.1.7 Шеңберді тең он екі бөлікке бөлу ...129

11.2 Түйіндесу ...131

11.2.1 Параллель сызықтардың түйіндесуі...131

11.2.1.2 Өзара перпендикуляр сызықтардың түйіндесуі...132

11.2.1.3 Өзара қиылысатын сызықтардың түйіндесуі ...133

(7)

11.2.2 Шеңберлердің түйіндесуі ...134

11.2.2.1 Екі шеңбердің ішкі түйіндесуі ...134

11.2.2.2 Екі шеңбердің сыртқы түйіндесуі ...135

11.2.2.3 Екі шеңбердің аралас түйіндесуі ...135

11.2.3 Шеңбер мен түзу сызықтың түйіндесуі ...136

11.2.3.1 Шеңбердің сыртқы түзумен түйіндесуі ...136

11.2.3.2 Шеңбердің ішкі түзумен түйіндесуі ...137

11.2.4 Овал сызығын салу ...138

Бақылау сұрақтары ...140

Қолданылған əдебиеттер ...142

(8)

Қазіргі кезде егеменді еліміздің аяғынан тік тұрып кетуі жəне дүние жүзіндегі дамыған алдыңғы қатарлы елдер санатына қосылуы үшін техникалық мамандар даярлаудың маңызы зор жəне басты орында тұрған мақсаттардың бірі болып табылады. Сол сияқты ата-бабаларымыз аманат еткен ұлан-байтақ жеріміздегі қазба байлықтарды игеру, еліміздегі халықаралық жəне қала аралық автомобиль жолдарын салу, жаңа қалалар салу мен ауыл шаруашылығын дамыту мақсатымен инженер мамандарын дайындауда инженерлік графика пəнінің алатын орны ерекше.

Мектеп қабырғасында жүргізілетін сызу пəнін халықаралық ортақ, интернационалдық техника тілі деп есептесе болады. Себебі, сызбаны сызу жолдары дүние жүзіндегі барлық елдер үшін бірдей. Сызбаны орындау кезінде барлық елдер үшін белгілі стандарт бойынша тоғыз сызық түрі сол техника тілінің əріптері ретінде қолданылады. Ал, орта мектептегі геометрия пəнін көптеген əдебиеттерде барлық ғылымның анасы деп айтып жүр. Себебі, геометрия пəнінен барлық ғылымдар бөлініп шыққан. Геометрия ежелгі гректің (гео – жер, метрия - өлшем) жер-өлшем деген сөзінен шыққан. Əл- Машанидың сөзімен айтқанда: «Жер өлшем деген сөзді кеңірек мағынада алатын болсақ, "Ғаламның өлшеуіші – жер" деген мағынаға келеді. Осы мағынаның дұрыс екенін қазіргі ғылым дəлелдеп отыр. Ол ғана емес, Жер – Адамның мекені, Ғаламның өлшеуіші Адам деген...».

Белгілі Құран Кəрімді аударушы Халифа Алтай өз аудармасында осы 40- шы сүренің 64-ші аятын былай деп аударады: “Ол Алла сендерге жерді тұрақ, көкті күмбез қылды”.

Осы аталып кеткен екі пəнді француздың атақты ғалымы жəне мемлекет қайраткері Гаспар Монж (1746 – 1818) өзара байланыстыра отырып, өзіне дейінгі кескіндерді салу туралы мағлұматтарды жинақтап, белгілі бір жүйеге келтіріп, алғаш рет «Сызба геометрия» атты еңбегін 1795 жылы жазып, баспадан шығарды. Міне, осы мезеттен бастап сызба геометрия жеке ғылым ретінде қалыптасты. Сызба геометрия пəні – сызбаны оңай жəне түсінікті салу жолын, сызбаны сызудың əртүрлі əдістерін, сызбаны оқу жолын жəне сызба əдістерін пайдалана отырып, есептер шығару жолын үйрететін ғылым.

Кіріспе

(9)

Сонымен қатар, сызба геометрия сызбалардың көмегімен инженерлік есептерді шешу теориясын оқытатын пəн болып саналады.

Сызба геометрия төмендегідей бөлімдерден тұрады: проекциялау əдістері;

аксонометриялық проекциялар; нүкте мен түзу сызық проекциялары; қисық сызық пен жазықтық проекциялары; беттер проекциялары; тұрғылықты (позициялық) жəне өлшем (метрикалық) есептері; сызбаны түрлендіру тəсілдері; көлеңкелер. Осы жоғарыдағы бөлімдерді жете түсінген студент кеңістікте ойлау қабілетін өрістете отырып, онда орналасқан нəрсенің кескіндерін салу, сызбадағы кескіндері арқылы жаңа бір нəрсені құрастыру жəне сызбада түрлі есептерді шығару мəселелерін толық меңгереді.

Кен орнының құрылымын, темір жəне автомобиль жолдарының құрылыстары мен суландыру жұмыстарының геодезиялық барлауларының сызбаларын салуда жер бетінің құрылысын кескіндеу үшін, екі проекцияны пайдалану қолайсыз. Себебі, ғимараттың көрнекілігі – сызбаларға қойылатын кейбір талаптарды қанағаттандыра алмайды. Сондықтан тік бұрышты проекция əдісінің дербес түрі – сандық белгілері бар проекцияларды қолдану өте қолайлы болады. Бұл əдісті оқып үйрену үшін жалпы сызба геометрия заңдарын білу қажет, өйткені бұл əдіспен есептерді шығару жолдары тікбұрышты (ортоганаль) проекция əдісіндегі жолдармен шешіледі.

Қазіргі кезде инженерлік графика пəні осы жоғарыда аталып кеткен сызба геометрия пəні мен машина жасау жəне құрылыс сызбаларының теорияларын зерттейтін ғылым. Инженерлік графика теорияларының жетістіктері техника мен ғылымның əртүрлі салаларында кеңінен қолданылуда. Сондықтан жер жұмыстарының сызбаларын сауатты орындау, инженерлік ғимараттарды жобалау жəне тұрғызу үшін, жер бетінде салынатын ғимараттарды сызбада кескіндеу теориясының негіздерін инженер осы инженерлік графика теориясы арқылы біліп, үйренеді.

Ұсынылып отырған оқу құралында сызба геометрия тақырыптарынан басқа, инженерлік графика саласынан сызбаны безендіру мен геометриялық салу тақырыптары қамтылған. Бұл сызбаны орындауға арналған мемлекеттік стандарттар туралы кітаптың жоқтығы мен мектепте сызу пəнінің өз дəрежесінде өтпеуіне байланысты енгізіліп отыр. Сонымен қатар, бұл еңбек – сызба геометрия пəнінде сандық белгілері бар проекциялар қолданылып жазылған қазақ тіліндегі алғашқы оқу құралы.

(10)

Сызба геомерияның негізін проекциялау əдістері құрайды. Өйткені, кеңістіктегі кез келген нəрсенің кескінін салу үшін проекциялау əдістерін білу қажет. Бұл проекциялау əдістері кескінделу жолдарына байланысты екі түрге бөлінеді: орталықтан (центрлік) жəне параллель проекциялау əдістері.

Төменде осы проекциялау əдістерінің пайда болу жолдарын қарастырамыз.

1.1 Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі

Орталықтан проекциялау əдісін салу үшін, кеңістікте орналасқан кес- кіндеу жазықтығы П

0 мен кескіндеу орталығы S нүктесін жəне кеңістікте орналасқан геометриялық фигураны (денені) аламыз (1-сурет). Мысал ретін- де кеңістікте орналасқан АВ кесіндісі мен кескінделуші П₀ жазықтығын жəне кескіндеу S нүктесін алайық. Осы

S кескіндеу нүктесінен кеңістік те орналасқан АВ кесіндісінің А жəне В төбелері арқылы өтетін кескінделуші сəулелер жібере- міз. 1-суретте көрсетілгендей, бұл сəу лелер (s) кескінделуші П0 жазықтығын екі А

0 жəне В

0

нүк телерінде қиып өтеді. Осы А₀ жəне В₀ нүктелерін өзара қоссақ, кеңістіктегі АВ кесіндісінің кес- кінделуші П₀ жазықтығындағы бір нүктеден (орталықтан) тара- ған проекциясы шығады.

Кескінделуші сəулелер бір

нүк те ден шыққан немесе тараған болса, онда мұндай проекция тəсілін бір нүктеден немесе орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі дейді.

Бірінші тарау

ПРОЕКЦИЯЛАУ ӘДІСТЕРІ

A B

П1

s

S

A

0

B

0

П0

(11)

1.2 Параллель проекциялау əдісі

Параллель проекциялау əді сін салу үшін келесі мысалды қарас тырайық.

Кеңістікте орналасқан АВ кесіндісі мен кескінделуші П₀ жазықтығы берілсін.

Осы кеңіс тік те орналасқан АВ кесіндісінің А жəне В төбелері арқылы өзара параллель өтетін кескінделуші сəу лелер жүргізейік. Бұл сəулелер кескінделуші П

0 жазықтығын екі (А

0 жəне В

0) нүктеде қиып өтеді. Осы А

0 жəне В₀ нүктелерін өзара қоссақ,

онда біз кеңістікте орналасқан АВ кесіндісінің кескін делуші П

0 жазықтығындағы проек циясын табамыз.

Егер кескінделуші сəулелер (s) өзара параллель болса, онда мұн- дай проекция əдісін параллель проекциялау əдісі дейді (2-сурет).

Параллель проекциялау əдісі кес- кінделуші П₀ жазықтығында сəу- ле лердің кескінделулеріне бай ла- нысты екі түрге бөлінеді.

Егер кескінделуші сəулелер

П₀ жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен кескінделсе, онда пара л - лель проекциялау əдісін қиғашбұрышты параллель проекциялау əдісі дейді (2-сурет).

Ал егер кескінделуші сəулелер П₀ жазықтығына тік бұрышпен кес кінделсе, онда параллель прое к циялау əдісін тікбұрышты пара ллель проекциялау əдісі дейді (3-сурет).

Тікбұрышты параллель проек циялау əдісінің дербес түрі – сан дық белгілері бар проекциялар əдісі (4-сурет).

Егер кеңістікте орналасқан нəрсе- нің (заттың) горизонталь (көлденең) не месе нөлдік деңгейлі жазықты- ғына (П₀) тікбұрышты проекциялау əдісімен кескінделген кескіні сан арқылы белгіленген болса, онда кескінделу əдісі сандық белгілері бар проекциялар деп аталады. Бұл проекциялау əдісінде горизонталь (көлденең) немесе нөлдік деңгейлі жазықтығында П₀ орналасқан гео- метриялық элементтің кескінінің жанына оның осы жазықтық пен

B A

П1

s

A

0

B

0

П0

B A

П1

s

A

0

B

0

П0

s

(12)

B A

s

A

3

B

5

П0

s

кеңістікте орналасқан элементтің арақашықтығын, яғни оның биік- тігін көрсететін санды жазып қояды. Мысал ретінде, 4-суретте көрсетілгендей кеңістікте орна- ласқан АВ кесіндісін аламыз.

Кесіндінің А жəне В төбелерінен көлденең П₀ проекция жазық- тығына перпендикуляр сəулелер түсіреміз. Осы сəулелер көлденең П₀ проекция жазықтығын қиып өтеді. Табылған нүктелерді ла- тын ның бас əрпімен белгілеп, əріптердің астыңғы жағына санмен осы қиылысқан нүктелер

мен түзу төбелерінің арақашықтығын жазып қояды.

Егер табылған қиылысу нүктелерін өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығының көлденең П₀ проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциясы болып табылады.

1.3 Ширектер жəне октанттар

Тікбұрышты параллель проекциялау əдісін пайдалана отырып, кеңістікте орналасқан үш нүктенің проекциясын салып көрсетелік. Ол үшін проекция жазықтықтарын анықтайық. Жер бетіне параллель орналасқан жазықтықты алайық (5-сурет). Бұл жазықтықты П₁ əрпімен белгілеп, оны көлденең (горизонталь) проекция жазықтығы деп атаймыз. 5-суретте бұл проекция жазықтығы сары түспен боялған. Осы проекция жазықтығына тікше (перпендикуляр) орналасқан екінші проекция жазықтығын алайық. Бұл проекция жазықтығын қарсы алды (фронталь) проекция жазықтығы деп, оны П₂ əрпімен белгілейміз. Суретте бұл проекция жазықтығы көк түспен боялған.

Осы өзара тікше (перпендикуляр) орналасқан екі проекция жазықтықтары бір түзудің бойында қиылысады. Бұл қиылысу сызығын абсцисса осі деп, латынның х əрпімен белгілейміз. Осьтің оң жағы абсцисса осінің басы болып саналады, оны латынның О əрпімен белгілейміз. 5-cуретте көрсетілгендей П₁ жазықтығының алдыңғы жағы оң таңбалы ордината осі деп, оны латынның у əрпімен белгілейміз. Ал қарама-қарсы П₂ жазықтығының жоғарғы жағы оң таңбалы аппликата осі болады. Оны латынның z əрпімен белгілейміз.

(13)

Сонымен осы өзара тікше орналасқан проекция жазықтықтары біздің үш өлшемді кеңістігімізді төрт бөлікке бөледі. Бұл бөліктерді ширектер деп атайды. Сондықтан 5-суретте бұл ширектер рим сандарымен белгіленген.

Осы ширектерде нүктелердің бірнеше проекциялары көрсетілген. Мұндағы А нүктесі бірінші ширекте, ал В нүктесі төртінші ширекте орналасқан. С нүктесі П

1 проекция жазықтығының бойында жатады.

Егер осы өзара тікше (перпендикуляр) орналасқан екі проекция жазық- тықтарына үшінші проекция жазықтығын перпендикуляр орналастырсақ, онда бұл үш проекция жазықтығы үшөлшемді кеңістікті сегіз бөлікке бөледі.

Бұл бөлінген бөліктерді октанттар деп атап, рим сандарымен белгілейді (6-сурет). Октант ежелгі гректің сегіз деген сөзі.

Үшінші проекция жазықтығын қаптал (профиль) жазықтығы дейді. Қаптал жазықтығын П₃ əрпімен белгілейміз. 6-суретте бұл жазықтық жасыл түспен боялған. Бұл жазықтық алғашқы екі жазықтықпен екі қиылысу сызығымен қиылысады. П₁ жəне П₃ проекция жазықтықтарында бұл қиылысу түзуі ордината осі болады. Ал, П

2 жəне П

3 проекция жазықтықтары өзара қиылысып, аппликата осін береді.

Ay

A

x

Az

П1

П2

А

2

А1

В1

Вх В_у

О

Вz

IV

III

II

I

C2

C_x C^y

C

1

B A

B2

C

(14)

Егер қаптал жəне қарама-қарсы проекция жазықтарын 6-суретте көр- сетілгендей етіп бұрып, өзара беттестірсек, онда беттескен бір ғана проекция жазықтығын аламыз (7-сурет). Енді кеңістікте орналасқан нəрсенің жазық кескінін алу үшін, осы беттескен бір ғана жазықтық сызбасын саламыз. Бұл жазық кескінді эпюр немесе сызба деп атайды.

Эпюрде кеңістікте орналасқан А мен В нүктелерінің эпюрлері мен П₁ проекция жазықтығының бойында жатқан С нүктесінің эпюрі көрсетілген.

Мысалы, 7-суретте горизонталь проекция жазықтығы қоңыр түспен, фронталь проекция жазықтығы сары түспен жəне профиль проекция жазықтығы жасыл түспен берілген.

Егер нүктенің горизонталь проекциясы А₁ қоңыр түсті жазықтықта, фронталь проекциясы А

2 сары түсті жазықтықта, ал профиль проекциясы А жасыл түсті жазықтықта орналасса, онда бұл нүкте – бірінші ширекте

Ay

Ax

Az

П1

П2

П3

А2

А1

А3

В1

Вх В_у

О

В3

Вz

В2

IV

VII

V

VI

III

II I

VIII

C2

C_x

Cy

C1

y

x

z B

(15)

немесе бірінші октантта орналасқан нүкте болғаны (себебі бұл нүктенің координаталардағы таңбалары оң болғаны) (7-сурет).

Егер осы заңдылық бұзылса, онда ол нүктенің таңбаларының біреуі немесе екеуі теріс таңбалы болғаны.

Төменде 1-кестеде октанттардағы орналасқан нүктелердің координаталық таңбалары көрсетілген. Осы таңбаларға қарап, нүктенің қай октантта орналасқанын жеңіл анықтай аламыз.

Октанттар таңбалары

1-кесте

Кординаталар

Октанттар

I II III IV V

p2x+q2y+

VI VII VIII

х + + + + - - - -

у + - - + + - - +

z + + - - + + - -

z

A

2

х

y 2

O

4 8 6

10

2 4 6 8 10

A

1

B1

C

1

П1

П2

C2

B

2

2 4 6 8

A

3

C

3

B

3

П3

х

у у

у

z

(16)

Бақылау сұрақтары

1. Сызбаны проекциялау əдістері дегеніміз не?

2. Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі дегеніміз не?

3. Орталық нүктесі дегеніміз не?

4. Кескінделуші жазықтық дегеніміз не?

5. Кескінделуші сəулелер дегеніміз не?

6. Параллель проекциялау əдісі дегеніміз не?

7. Қиғашбұрышты параллель проекциялау əдісі дегеніміз не?

8. Тікбұрышты параллель проекциялау əдісі дегеніміз не?

9. Сандық белгілері бар проекциялау əдісі дегеніміз не?

10. Ширек дегеніміз не?

11. Ширектер нешеу болады?

12. Көлденең (горизонталь) проекция жазықтығы дегеніміз не?

13. Қарсы алды (фронталь) проекция жазықтығы дегеніміз не?

14. Октант дегеніміз не?

15. Октанттар нешеу болады?

16. Қаптал (профиль) проекция жазықтығы дегеніміз не?

17. Эпюр дегеніміз не?

18. Нүктенің эпюрі дегеніміз не?

19. Октанттарды қандай сандармен белгілейді?

(17)

Жаттығу есептері

1. Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын орталықтан проекциялау əдісі арқылы салып көрсетіңіз.

2. Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын параллель проекциялау əдісі арқылы салып көрсетіңіз.

3. Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын сандық белгілері бар проекциялау əдісі арқылы салып көрсетіңіз.

4. А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелері қай ширектерде орналасқанын анықтаңыз.

5. А(20;-20;30) жəне В(50;20;25) нүктелері қай октанттарда орналасқанын анықтаңыз.

6. А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелерін салып көрсетіңіз.

7. А(20;20;40) жəне В(50;-10;15) нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз.

8. А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелерінің проекцияларын қаптал (профиль) проекция жазықтығында салып көрсетіңіз.

(18)

§ 2.1 Аксонометриялық проекциялардың қысқаша түсініктемесі

Аксонометриялық проекциялар көрнекі кескіндер қатарына жатады. Бұл көрнекі кескін параллель проекциялау əдісінің көмегімен тұрғызылады.

Аксонометриялық проекциялардың тамаша қасиеті - үшөлшемді кескінді екі өлшемге, яғни сызбаға айналдырады. Аксонометрия ежелгі гректің «оське өлшеу» деген сөзінен шыққан.

Сонымен, кез келген кеңістікте орналасқан нəрсенің аксонометриялық проекциясын салу үшін, бірінші қосымша бір (П₁) жазықтығына тікбұрышты декарттық осьтер жүйесімен кескіндеп, екінші осы кескінді параллель проекциялау əдісінің көмегімен аксонометриялық проекция (П^/) жазықтығына кескіндейді.

Аксонометриялық проекция жазықтығындағы бір нүктеден өтетін кез келген үш түзу сызық тікбұрышты координаталар жүйесінің проекциясы болады. Мысал ретінде кеңістікте орналасқан кез келген бір А нүктеcін алайық (8-сурет). Бұл нүкте тікбұрышты координаталар жүйесінде орналасқан.

Параллель проекциялау əдісі бойынша s бағытымен А нүктесі мен тік- бұрышты декарттық координаталар жүйесі аксонометриялық проекция (П^/) жазықтығына кескінделеді. Осы (П^/) проекция жазықтығындағы А^/ нүктесі кеңістікте орналасқан А нүктесінің аксонометриялық проекциясы болады.

Аксонометрия проекциясының масштабын анықтау үшін, кеңістікте орналасқан тікбұрышты координаталар жүйесіне (Охуz) координаталар жүйесінің бас нүктесінен үш е

х, е

у, жəне е

z кесінділерін өлшеп саламыз.

Осы кесінділердің аксонометриялық проекциялары (e^/_x,e^/_y,e_z^/⁾

аксонометрия масштабы деп аталады. Бұл кесінділердің айырмашылығы аксономерия проекцияларының бұрмалану көрсеткіштері болады. Бұрмалану көрсеткіштері əр координата осінде əртүрлі болуы мүмкін. Аксонометрия проекциясындағы абсцисса осі бойындағы бұрмалану көрсеткішін латынның p əрпімен белгілейміз

Екінші тарау

АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР

(19)

A

1

A

П/ s

s Ax

x

y z

O

ez

ex

ey

x/

z/

A c

/

A1 /

Ax

y/

O

/

ez ey^/ /

ex

(

x x

e p e

/

= ).

Ал ордината осі бойындағы бұрмалану көрсеткішін латынның q əрпімен белгілейміз

(

y y

e q e

/

= ^).

Аксонометриядағы аппликатта осінің бұрмалану көрсеткішін латынның r əрпімен белгілейміз

(

z z

e r e

/

= ^).

Бұрмалану көрсеткіштеріне байланысты аксонометриялық проекциялар үш түрге бөлінеді.

Егер бұрмалану көрсеткіштері барлық осьтерде өзара тең (^p =^q=^r)

болса, онда мұндай аксонометриялық проекция изометрия деп аталады.

Изометрия ежелгі грек тілінен аударғанда «тең өлшем» деген мағынаны береді.

Егер бұрмалау көрсеткіштері екі осьте ғана өзара тең (p=r≠q)

болса, онда мұндай аксонометриялық проекцияны диметрия дейді. Аудармасы

«екі өлшем тең» деген мағынада.

Егер бұрмалау көрсеткіштері барлық осьтерде əртүрлі (p≠q≠r)

болса, онда мұндай аксонометриялық проекцияны триметрия деп атайды.

(20)

Аксонометрия проекциялары проекциялау бағыттарына байланысты екі топқа бөлінеді.

Егер проекция жазықтығына проекциялау бағыты тік бұрышпен (s=90⁰) бағытталса, онда аксонометриялық проекция тікбұрышты аксонометрия деп аталады. Ал егер проекция жазықтығына проекциялау бағыты сүйір немесе доғал бұрышпен (s≠90⁰) бағытталса, онда аксонометриялық проекция қиғашбұрышты аксонометрия деп аталады.

Проекциялау бағыттары мен бұрмалану көрсеткіштері өзара байланысты, бұл тұжырымды төмендегі формуламен дəлелдеуге болады:

ϕ ctg r

q

p_x² + _y² + _z² =2+ . (1) Егер проекциялау бағыты тікбұрышты болса, яғни осы формуладағы

ϕ

мəні 90⁰ бұрыш болса, онда формула

2 2

2

2 + y+ z =

x q r

p (2) осындай түрге өзгереді.

Жалпы бұрмалану көрсеткіштерінің мəнін жуық шамамен бүтін сан ретінде береді. Əр аксонометриялық проекциялар үшін бұл сандар əртүрлі болады.

Олардың мəндерін төменгі бөліктерде қарастырамыз.

§ 2.2 Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері

Аксонометриялық проекцияларға қойылатын негізгі талаптардың бірі - нəрсенің кескінін салу оңай жəне мейлінше аз бұрмалануы қажет. Осы талаптарды қанағаттандыру мақсатында халықаралық стандарттар ұйымы бес түрлі аксонометриялық проекция түрін тағайындаған. Бұл стандартты аксонометриялардың атаулары: тікбұрышты изометрия; тікбұрышты диметрия; қиғашбұрышты фронталь изометрия; қиғашбұрышты фронталь диметрия жəне қиғашбұрышты горизонталь изометрия.

2.2.1 Тікбұрышты изометрия

Аксонометриялық проекциялау əдісінің ішіндегі ең оңай жəне қарапайым түрі тікбұрышты изометрия болып табылады. Тікбұрышты изометрияда барлық координата осьтерінің аксонометриялық проекциялау жазықтығына құлау бұрыштары бірдей жəне барлық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері өзара тең болады.

Осы бұрмалану көрсеткішінің сандық мəнін қарастырайық. Жоғарыда қарастырылған тікбұрышты изометрияның бұрмалану көрсеткіштерінің 2-формуласын аламыз. Барлық координата осьтерінде мəндер өзара тең болғандықтан, 2-формуланың оң жағы былайша өзгереді:

(21)

³^p²⁼². (3) Егер бұл 3-формуланы əрі қарай шешсек, онда координаталардағы осьтер- дің мəндері төмендегідей болады:

8 2 . 3 0 2 ≈

=

=q r p

(4) Бұл бұрмалану көрсеткіште-

рін тікбұрышты изометрияда қол дануға оңай болу үшін жуық шамамен 1-ге тең деп аламыз.

Енді тікбұрышты изометрия проекциясының координаталар ось терінің арасындағы бұрыш- тық шамаларын 9-суретте көр- се тілгендей жазықтықтың үш - бұрышты іздері арқылы қарас- тырайық.

Егер кеңістіктегі координа- талар осінің бойындағы кесінді мен аксонометриялық коор ди- наталар осінің бойындағы кесін- ділердің қатынастары өзара тең

болса, онда бұрмалану көрсеткіштері де өзара тең болады (9-сурет). Бұл дегеніміз ∠^Х^/^О^/^Y^/^,∠^X^/^O^/^Z^/^жəне∠^Z^/^O^/^Y^/ үшбұрыштары тең бүйірлі, яғни [Х^/Y^/], [X^/Z^/] жəне [Z^/Y^/] табандары да тең. Осы тең бүйірлі үшбұрыштың бүйірлерінің ұзындықтары изометрия осі болады, яғни бұрыштық шамалары да өзара тең. Бұл бұрыш 120⁰

гра дус болады. 10-суретте 120⁰ гра дустың үш түрлі салу жолы көрсетілген. Бірінші жолы - z осіне перпендикуляр болатын сəулені 5 бөлікке бөліп, сол бөлінген жерден z осіне параллель түскен сəулені үш бөлікке бөлу; ал екінші жолы - екі тікбұрышты (60⁰ пен 30⁰ жəне 45⁰ пен 45⁰) үшбұрышты сызғыштар арқылы бөлу. Үшінші жолы циркульдің көмегімен шең- берді тең үшке бөлу арқылы жүзеге асырылады.

Жоғарыда қарастырылған бұр-

x

y z

/

O X

Z

/

Y

/

O

/

x

/

y

^/

z

/

5

O

3

300

1200

82

(22)

ма лану көрсеткіші тек осьтер бо йын дағы шамалар мен осьтерге параллель болатын сызықтар үшін ғана қолданылады.

2.2.1.1 Шеңбердің тікбұрышты изометриясы

Шеңбердің аксонометриялық проекциясы тікбұрышты изометриясы ның салу жолын көрсетелік. Шеңбердің аксонометриялық проекциясы эллипс болғандықтан, оның үлкен жəне кіші осьтері болады (11-сурет). 11-суретте эллипстің үлкен осьтері аксонометриялық осьтерге перпендикуляр болады.

Ал кіші осьтері сол осьтерге бағытталып немесе беттесіп жатады. Эллипс- тің үлкен осінің бұрмалану

көрсеткішін табу үшін, 1 санын осьтердің бұрмалану көр сет кішіне бөлеміз (1/082 = 1.22). Сонда эллипстің үлкен осінің бұр малану көрсеткіші 1.22-ге тең болады. Ал кіші осінің бұр малану көрсеткіші 0.7-ге тең.

11-суреттегі қоңыр жазық- тықтағы эллипс – шеңбердің үс ті нен қарағандағы гори- зон таль проекция жазық- тығындағы кө рінісі. Ал сары жазықтықтағы эллипс – шеңбердің алдынан қара- ған фронталь проекция жазықтығындағы көрінісі.

Жасыл жазықтықтағы эллипс

– шеңбердің оң жағынан қара ғандағы көрінісі болып табылады.

Бір айтып кететін жайт, сфераның тікбұрышты изометриясы сфераның диаметрінен 1.22 есе үлкен болады, себебі эллипстің үлкен осінің ұзындығын анықтау үшін бұрмалану көрсеткішіне көбейтеміз (1.22 ×D).

uR 22 . 1 uR

71 . 0

R x/

R

y/

z

/

(23)

2.2.2 Тікбұрышты диметрия

Аксонометриялық проекциялау əдісінің тағы бір түрі – тікбұрышты диметрия. Тікбұрышты диметрия көбінде табаны дөңгелек конусты беттер мен тең табанды алты немесе бес жақты призманы жəне пирамиданың аксонометриялық проекциясын салғанда өте ыңғайлы. Оның себебі, тікбұрышты изометрияда жоғарыда айтылған беттердің айналу осьтері аксонометрия осімен беттесіп, беттердің көріктігі бұрмаланып кетеді. Екі аксонометриялық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері өзара тең, ал үшінші осьтегі бұрмалану көрсеткіші екі есе кіші.

Енді осы айтылған бұрмалану көрсеткіштерінің сандық мəндерін қарастырайық. Жоғарыда қарастырған тікбұрышты бұрмалану көрсеткіштерінің (2) формуласын алып, у осінің бойындағы бұрмалану көрсеткішін r орнына қойып, формуланы қайта жазамыз:

4 2

21p²= . (5)

Егер бұл формуланы əрі қарай шешетін болсақ, онда х жəне z коор- динаталардағы осьтердің мəндері төмендегідей болады:

9 4 . 0 3 2 2 9

8 = ≈

=

=q

p . (6) Егер х жəне z осьтерінің бұрмалану көрсеткіштері жуық шамамен 0,94- ке тең болса, онда у осіндегі көрсеткіш екі есеге кем болғанда, шамамен 0,47-ге тең болады.

Тікбұрышты диметрияның коор- ди наталар осьтері арасындағы бұрыштық шамаларын 12-суретте көрсетілгендей жазықтықтың үш - бұрышты іздері арқылы қарас- тырайық.

Егер екі X^/ жəне Z^/ аксо-

нометриялық осьтерінде бұрмалану көрсеткіштері өзара

тең болса, онда кеңістіктегі координаталар осінің бойындағы кесінді мен аксонометриялық координаталар осінің бойындағы кесінділердің қатынастары да өзара тең болады (12-сурет). Олай

94

x

y z

O

X/

Z/

Y/

O/

D E 2

2

3 2 2

(24)

болса кеңістікте орналасқан [ОХ^/] жəне [ОZ^/] кесіндінің ұзындығы 1-ге тең болады. Ал аксонометрия жазықтықта орналасқан [О^/Х^/] жəне [О^/Z^/] кесінділерінің ұзындығы 2 2/3 тең болады. Тікбұрышты үшбұрыш ∠^ОХ^/^Z^/ гипотенузасының ұзындығы 2-ге тең. Суреттегі ∠^О^/^Х^/^Z^/ үшбұрышы тең бүйірлі болғандықтан, үшбұрышты теңдей екіге бөліп, екі сүйір бұрыштың үлкен бұрышының (_α) шамасын анықтаймыз. Екіге бөлінген тікбұрышты үшбұрыштың ∠^ОХ^/^Z^/ гипотенузасының ұзындығы ( 2/2) мен [О^/Z^/] кесіндісінің ұзындығын (2 2/3) бөлеміз:

3 2 :2 2

sinα = 2 (7) онда α =48 ⁰35 ^/.

О^/Х^/ жəне О^/Z^/ аксонометрия осьтерінің арасындағы бұрыштық шама 97⁰10^/ градусқа тең болады. Ал О^/Y^/ жəне О^/Z^/ аксонометрия осьтерінің арасындағы бұрыштық шама төмендегі формуламен табылады:

/ 0 / 0 0

25 2 131

10 9 7

360 − =

β = (8) 13-суретте тікбұрышты диметрияда аксонометриялық осьтерді салу жолы көрсетілген. Бірінші жолы, x^/ осінің бұрыштық шамасын табу үшін 1/8 бөлікке, ал y^/ осінің бұрыштық шамасын 7/8 бөлікке бөлу арқылы болса, екінші жолы транспортирдің көмегімен жоғарыда табылған бұрыштық шамаларды қою арқылы жүзеге асырылады.

x/

y/

z

/

O

970 ₀

131

8 1

8 7 97⁰10^/

25^/ 48⁰35^/

(25)

2.2.2.1 Шеңбердің тікбұрышты диметриясы

Шеңбердің тікбұрышты ди метрия дағы аксонометриялық про е кция сының салу жолын қа рас тыра йық (14-сурет). Сурет тегі қоңыр жазықтықтағы эллипс – шеңбердің үстінен қараған дағы горизонталь проекция жазық тығындағы көрінісі, ал сары жазықтықтағы эллипс – шеңбердің алдынан қара ғандағы фронталь проекция жазық тығындағы көрінісі. Жасыл жазықтықтағы эллипс - шеңбердің оң жағынан қарағандағы профиль проекция жазықтығындағы көрі нісі.

Шеңбердің аксонометриясы эллипс болғандықтан, оның үлкен жəне кіші осьтері болады.

Егер 14-суретке зейін қойып қарасаңыздар, эллипстің үлкен осьтері аксонометриялық осьтерге перпендикуляр, ал кіші осьтері аксонометриялық осьтерге параллель орналасқан. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану көр- сеткіші барлық жазықтықтарда немесе эллипстің үш көрінісінде 1.06-ға тең болады. Ал кіші осінің бұрмалану көрсеткіші горизонталь жəне профиль (қаптал) жазықтықтарында 0.35 -ке тең болса, ал фронталь жазықтығында ол көрсеткіш 0.94-ке тең.

Сфераның тікбұрышты изо метриясы сфераның диаметрінен 1.06 есе үлкен болады, себебі эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші 1.06-ға тең.

2.2.3 Қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия

Егер сызбада фронталь проекция жазықтығында қисық сызықтар мен шеңберлер көбейіп кеткен болса, онда нəрсенің аксонометриясын салу үшін,

uR 06 . 1 uR

35 . 0

x

/

y/

z/

uR 94 . 0

R R

(26)

қиғашбұрышты фронтальды изометрия мен диметрия пайдаланылады (15 жəне 16-суреттер). Бұл жағдайда аксонометриялық проекциялар кеңістікте орналасқан Ох жəне Oz координаталар жазықтығына параллель орналасады.

Ох¹ жəне Oz¹ аксонометриялық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері 1-ге тең болып, араларындағы бұрыштары 90⁰ градус болады, яғни нəрсенің фронталь проекция жазықтығындағы проекциясы бұрмаланбай, сол күйінде кескінделеді. Ал Oz¹ жəне Oу¹ аксонометриялық осьтерінің арасындағы бұрыш- тық шама қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия үшін 45⁰ градус болады. Фронталь изометрия үшін бұрмалану көрсеткіші 1-ге тең (15-сурет), ал фронталь диметрия үшін –

0.5-ке тең болады (16-сурет).

Қи ғашбұрышты фронталь изо метрия мен диметрия проек цияларында шең бердің проекциясы фронталь жазық- тығында шеңбер болып, ал горизонталь жəне профиль жазық тықтарында ол эллипс болып кескінделеді. Қиғашбұ- рыш ты фронталь изометрияда эллипстің үлкен жəне кіші ось тері ромбиктердің диа- гональдарына беттесіп келе ді.

Эллипстің үлкен осінің бұрма- лану көрсеткіші изометрия үшін

uR 3 . 1

uR 54 . 0

x/

y/

z

/

R

O/

uR 07 . R 1

u 33 . 0

x

/

y/

z

/

R

O/

(27)

1.22-ге тең болса, диметрия үшін ол 1.06-ға тең. Ал кіші осінің бұрмалану көр сеткіші изометрия үшін 0.54-ке, ал диметрия үшін 0.33-ке тең болады.

15 жəне 16-суреттердегі қоңыр жазықтықтағы эллипс – шеңбердің үстінен қарағандағы горизонталь проекция жазықтығындағы көрінісі. Жасыл жазықтықтағы эллипс – шеңбердің оң жағынан қарағандағы көрінісі. Ал сары жазықтықтағы эллипс – шеңбердің алдынан қарағандағы фронталь проекция жазықтығындағы көрінісі.

2.2.4 Қиғашбұрышты горизонталь изометрия

Егер сызбада горизонталь проекция жазықтығында қисық сызықтар мен шең берлер шамадан тыс көбейіп кетсе, онда нəрсенің аксонометриясын салу үшін қиғашбұрышты горизонталь изометрия проекциясын пайдаланады (17-сурет).

Бұл жағдайда аксонометриялық проекциялар кеңістікте орналасқан Ох жəне Оу координаталар жазықтығына параллель орналасады. Ох¹ жəне Oz¹аксонометриялық осьтеріндегі бұрмалану көрсеткіштері 1-ге тең, ал араларындағы бұрыштары 90⁰ градус болады, яғни нəрсенің горизонталь проекция жазықтығындағы проекциясы бұрмаланбай, сол күйінде кескінделеді. Ал Oz¹ жəне Oу¹ аксонометриялық осьтерінің арасындағы бұ- рыш тық шама 120⁰ граду�