Түзу сызық дегеніміз - бір түзу бойындағы нүктелер жиынтығы. Мектеп бағдарламасында геометрия пəнінен өткендей, бір нүктеден басталып сызылған түзуді сəуле дейміз. Ал екі нүктеден өткен түзуді кесінді дейміз.
Сызба геометрияда түзу сызықтар нүктелер жиынтығы болғандықтан, түзу
сызық кескіндерін кесінді ретінде ала береміз, өйткені түзу сызықтың кескіндерін екі нүкте арқылы берген қолайлы. Сызба геометрияда түзу сызықтардың маңызы өте зор, өйткені сызықтардың көмегімен кеңістіктегі жəне мүлдем өмірде кездеспейтін нəрсенің кескінін проекция жазықтықтарында көрсете аламыз жəне жазықтықтағы кескіндері арқылы көрнекі кескіндерін салуға болады.
Түзу сызықтың кескінін салу үшін, екі нүктесінің кескінін салып, осы табылған екі нүктені өзара қоссақ, табылған кесінді түзу сызықтың проекциясы болады. Мысал карастырайық, 23-суреттің жоғарғы жағында көрсетілгендей кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығын аламыз. Бұл түзу сызықтың бастапқы жəне соңғы нүктелері
П0 көлбеу жазықтығының жоғарғы жағында орналасқан, яғни түзу сызықтың нүктелері оң таңбалы. Ал 23-суреттің төменгі жағында осы АВ түзу сызығының кескіні сандық белгілері бар проекцияларды кескіндеу əдісімен көрсетілген.
Келесі 24-суретте А нүктесі В нүктесінен екі еседей биік. Бұл дегеніміз - АВ түзу сызығының П0 көлбеу жазықтығына жасаған көлбеулігі. АВ түзу сызығының П0 көлбеу жазықтығындағы [АВ] кескінінің ұзындығын кесінді табаны деп, латынның бас əрпі L – мен белгілейді. Кеңістіктегі А нүктеcі мен П0 көлбеу жазықтығының арақашықтығын немесе А нүктеcінің биіктігін, латынның hA əрпімен белгілейміз. Ал В нүктеcі мен П0 жазықтығының арақашықтығын латынның hВ əрпі арқылы белгілейміз. Бұл нүктелердің биіктіктерінің айырмашылығы (hA, - hB) Δh болады. АВ түзуінің проекция жазықтығымен жасайтын бұрышының тангенсін осы түзудің көлбеулігі (уклоны) деп, латынның і деген кіші əрпімен белгілейміз. Төменде осы түзудің көлбеулігін анықтауды формула арқылы берейік:
х
y O
A
6B
3П0 1 0 1 2
б)
0 z
y x
B
A
A
6П0
B3
'h
D L
) a
hА
hВ
l l l
L i h L
h
tgα =hA− B =Δ =
мұнда l - кесінді табанының шамасын көрсететін түзудің ен аралығы.
Бұл формула – түзу сызықтың көлбеулігі мен ен аралығының өзара кері шамалар екенін көрсетіп тұр.
Сызбада түзудің бойындағы əрбір бүтін санмен берілетін нүктелерді табу түзуді бөліктеу (градуирование) деп аталады. Ал АВ түзуін бөліктеу үшін оның ен аралығын табу керек. Ол үшін түзудің жазықтықтағы кескінін түзудің кескінделу жазықтығына жасаған бұрыш шамасымен бөлеміз:
r q p≠ ≠ ,
мұнда L – түзудің кескінделу жазықтығындағы кескіні;
l - түзудің ен аралығы.
Енді түзу сызықтың проекция жазықтығына орналасуына байланысты түзу сызықтар жалпы жəне дербес жағдайда орналасқан болып екі түр- ге бөлінеді. Дербес жағдайда орналасқан түзу проекция жазық тығына П0 параллель орналасқан дең гейлік жəне көлденең проекция жазықтығына П0 перпендикуляр орна ласқан проекциялаушы түзу болып бөлінеді. Төменде осы ата лып кеткен жағдайдағы түзулерді қарас тырамыз.
3.2.1 Жалпы жағдайда орналасқан түзулер
Егер кеңістікте орналасқан түзу дің кесінді табанының бас нүкте сінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгілері əр түрлі болса, онда мұндай түзулерді жалпы жағдайда орналасқан түзулер дейді (24-сурет). Түзу сызық деп көлбеу орна ласқан проекция жазықтығына П0 параллель немесе перпендикуляр бол майтын сызықты айтады. Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызық кескіні П0 проекция жазықтығына шын ұзындығымен (нақты шамасы мен) кескінделмейтінін анықтадық.
Жалпы жағдайда орналасқан түзу дің нақты шамасын жалпы əдіспен табу үшін, түзудің бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесінің кескіндеріне перпендикуляр сəулелер түсіріп, сол сəулелер бойына көрсетілген сандық белгілерді өлшеп саламыз. Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзудің нақты шамасын табамыз (24, б)-суретінде бұл түзу қызыл түспен көрсетілген). Түзу сызықтың нақты шамасын орта мектеп
tga
tga
х
y O
A5
B
2П0 1 0 1 2
B
A
DA5
B2
B
П0
A
) a
б)
D бағдарламасынан белгілі тікбұрыш- ты үшбұрыштар əдісін пайдаланып та табуға болады.
Бұл мысалдан жалпы жағдайдағы орналасқан түзу сызықтың нақты шамасынан басқа түзудің көлденең проекция жазықтығына П0 жасайтын бұрыштық шамасын анықтауға бола ды. 24-суретте көрсетілген
α
бұрышы осы жоғарыда айтып кеткен бұрыш шамасын көрсетеді.
Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың нақты шамасын жалпы əдіспен табу үшін тағы бір мысал қарастырайық. Түзудің бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесінің кескіндеріне перпендикуляр сəулелер түсіріп, сол сəулелер бойына көрсетілген сандық белгілерді өлшеп
саламыз. Табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан түзудің нақты шамасын табамыз (25 б)-суретінде бұл түзу қызыл түспен көрсетілген). Түзу сызықтың нақты шамасын белгілі тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланып та табуға болады.
Осы мысалдан жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың көлденең П0 проекция жазықтығына жасайтын бұрыштық шамасын бұрышымен көрсетеміз (25 б)-сурет).
х
y O
A5 5
B
П0 1 0 1 2
B
A
A5 5
B
B
П0
A
) a
б) C0
C0
E
3.2.2. Дербес жағдайда орналасқан түзулер Егер кеңістікте орналасқан түзу-
дің кесінді табанының бастапқы нүк тесінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгілері бірдей өзара тең немесе əртүрлі болып, бірақ бір нүктеде беттессе, онда мұндай түзулерді дербес жағ- дайда орналасқан түзулер дей- міз. Кеңістікте орналасқан дербес жағдайдағы түзу сызықтар өздерінің көлбеу проекция жазықтығына П0 орна ласуларына байланысты екі түр- ге бөлінеді: деңгейлік жəне проек- циялаушы түзулер.
Егер дербес жағдайда орналасқан түзу П0 проекция жазықтығына парал лель орналасқан болса, яғни түзудің кесінді табанының бастап- қы нүктесінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгісі бір- дей болса, онда мұндай түзулерді деңгейлік түзулер дейді (26-сурет).
Мысал қарастыратын болсақ, онда 26-суреттің жоғарғы жағында деңгей түзуінің кеңістікте орналасқан кескіні көрсетілген, ал төменгі жағында кеңістікте орналасқан деңгей түзуінің П0 проекция жазықтығындағы сандық белгісі бар проекциясы көрсетілген.
Дербес жағдайда орналасқан деңгей түзу сызықтар П
0 проекция жазықтығына параллель орналасқандықтан, түзудің жазықтықтағы кес- кіні нақты шамасымен кескінделеді. Яғни түзу сызықтың П0 проекция жазықтығындағы кескіні түзудің шын ұзындығы (нақты шамасы) болады.
Дербес жағдайда орналасқан проекциялаушы түзуді қарастырайық (27-сурет). Егер дербес жағдайда орналасқан түзу П
0 проекция жазықтығына перпендикуляр (тікше) орналасса, яғни түзудің бастапқы нүктесінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгісі əртүрлі, бірақ бір нүктеде беттескен болса, онда мұндай түзулерді проекциялаушы түзулер дейді.
Мысалы, 27-суреттің жоғарғы жағында а) суретінде проекциялаушы түзуінің кеңістікте орналасқан кескіні көрсетілген болса, осы суреттің төмен жағында б) суретінде сол түзудің көлбеу П0 проекция жазықтығындағы сандық белгісі бар проекциясы көрсетілген.
O A
х
0
y
П 1 0 1 2
A
6B
6A
6B6
B
П0
) a
б)
Дербес жағдайда орналасқан проек- циялаушы түзу сызықтар П0 проек- ция жазықтығына перпен дикуляр орналасқандықтан, түзу дің жазық- тықтағы кескіні шын ұзындығымен кескінделеді. Яғни түзу сызықтың көл- денең П0 проекция жазықтығындағы кескіні түзудің нақты шамасы болады.
Өйткені түзудің бастапқы нүктесінің сандық белгісінен соңғы нүктесінің сандық белгісін алып тастасақ, онда сандардың айырмасы түзудің шын ұзындығы болады.
Бұл мысалдардан түзу сызықтың көлденең проекция жазықтығына П0 жасайтын бұрыштық шамасын анықтауға болады. 26-суретте көрсетілген түзу кескінінің бұрыштық шамасы нөлге тең (α =0), ал 27-суретте көрсетілген түзу кескінінің бұрыштық шамасы 900 ( ) болады.
3.2.3 Түзу сызықтың ізі
Түзу сызықтың іздері деп жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың көлденең П
0 проекция жазықтығымен қиылысу нүктелерін айтады. Түзу сызықтың П0 проекция жазықтығындағы ізін латынның үлкен М əрпімен белгілейміз. Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзу сызық пен дербес жағдайдағы түзу сызықтардың (соның ішіндегі проекциялаушы түзулердің) көлденең П0 проекция жазықтығында іздері болады.
Егер жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықты бастапқы нүктесінен соңғы нүктесіне қарай өз бағытымен көлденең П0 жазықтығына дейін созып қиылыстырсақ, онда осы көлденең П0 проекция жазықтығындағы түзудің қиылысу нүктесі түзу сызықтың ізі болып табылады (28-сурет). Мысал ретінде 28-суретті алатын болсақ, суреттің жоғарғы жағында кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВ түзу сызығы берілген. Түзу сызықтың А нүктесінен В нүктесіне қарай s бағытымен көлденең П0 жазықтығына дейін созамыз.
Бұл созылған түзу көлденең П0 жазықтығын МАВ нүктесінде қиып өтеді.
Осы қиылысу нүктесі түзудің П0 жазықтығындағы ізі болып табылады. Түзу сызықтың ізін МАВ деп белгілейміз. Көлденең П0 жазықтығындағы МАВ түзу
П0 1 0 1 2
3
11
B
A {
3
11
B
A { A
B
П0
90
ізінің дұрыс табыл ға - нын дəлелдеу үшін АВ түзуі нің көлденең жазық- тығындағы кескі нін де s бағытымен соза мыз.
Бұл со зыл ған түзу МАВ нүктесінде қиылы сады.
Түзу сызықтың ізін сан дық белгілері бар проек цияда қарастырып көр ейік. 28-сурет тің тө мен гі жағын да көр- сетілген жалпы жағ- дайда орна ласқан А
5В
2 түзуін аламыз. Алды- мен А5В2 түзуінің ен ара лығын анықтаймыз (біздің түзу сызығымыз үшін үш бөлікке тең), содан соң А5В2 түзуін
созып, түзудің созынды жағына ен аралықтың екі бөлігін өлшеп салып, МАВ нүктесін табамыз. Табылған МАВ нүктесі түзу сызықтың сандық белгілері бар проекциядағы түзуінің ізі болады. Түзу ізінің дұрыс табылғанын дəлелдеу үшін А5 нүктесінен түзу табанына перпендикуляр сəуле жүргізіп, сəуле бойынан масштаб сызғышы бойынша бес бөлікті өлшеп, А нүктесін саламыз. Осы жолмен В нүктесін салып, s бағыты бойымен созсақ, түзу М
АВ нүктесінде қиылысады. Бұл дегеніміз АВ түзу ізінің дұрыс табылғанын дəлелдейді.
Ал сандық белгілері бар проекцияда дербес жағдайдағы орналасқан түзу сызықтардың да іздері болады. Олар – проекциялаушы түзу сызықтар. Бұл сызықтар көлденең П0 проекция жазықтығына перпендикуляр орналасады, яғни көлбеу жазықтығындағы кескіні бір нүкте болады. Ал шын ұзындығы – бастапқы нүктесінің сандық белгісінен соңғы нүктесінің сандық белгісінің айырмасы болады.