Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы

4.2 Метрикалық есептер

4.2.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы

Жоғарыда айтып кеткендей, метрикалық есептер деп гео метриялық фигуралардың сыз бал ары арқылы олар дың кеңіс тік тегі өзара қашық тықтарын аны қтайтын есептерді айтады.

Н үкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға мы сал ретінде 49-суретті қа рас тырайық. Суретте кеңіс тік те орналасқан S₂ нүктесі мен көлбеулік масштабы ар қылы Р жазықтығы берілген. Жазықтыққа S

2 нүктесі ар қылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл түзу сызықтың ен аралығын анықтау үшін, тікбұрышты үшбұрыш əдісін пай даланамыз. Сызық бойына жазықтықтың ен аралығын l_ж өлшеп, О нүктесін анықтаймыз. Осы сызыққа перпендикуляр масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп салып, L нүктесін табамыз. Табылған көлбеу сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл қызыл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. М жəне О нүктелерінің арақашықтық перпендикуляр түзу сызығының ен аралығы l_т болады. Осы табылған ен аралықты S₂ нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығына жүргізілген параллель түзу сызық бойына өлшеп саламыз.

1 0 1 2

A4

B6

B

A

HШ D

П0

1 0 1

S

2

Qi

Pi

1M

lж

lт

5 6

7 5

6

4 3 7

5 .

K

5

KC

L

N M

O

П0

Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызы ғын анықтау керек.

Ол үшін түзу арқылы проекцияланушы Q жазық- тығын жүргіземіз. Осы Q жазықтығы мен көл- беулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығының қиылысу сызығын анық- таймыз. Осы қиылысу үшін, екі жазықтықтың аттас гори- зонтальдарын өзара қосамыз.

Барлық өзара қосқан аттас горизонтальдар тек қана бір түзуде қиылысады.

Біздің мысалымызда жазық тықтың 5-горизонталі

мен түзу сызықтың 5-горизонталі жəне 6 мен 6-горизонтальдарын өзара қосқанда бұл сызықтар N нүктесінде қиылысады. Осы нүкте арқылы горизонталь сы- зыққа параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болатынын жоғарыда

айтқанбыз. Табылған қиылысу сызығы перпендикуляр түзуді 5.5 бөлігінде қиып өтеді. Қиы- лысу нүктесін К əрпімен бел- гілейміз.

Табылған К_5.5 нүктесімен S₂ нүктесінен Р жазықтығына де- йінгі арақашықтық кеңістіктегі нүкте мен жазықтықтың ара- қашықтығы болып табылады.

Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға екінші мысал қарастырайық (50-сурет). Суретте кеңістікте орналасқан S

12 нүктесі мен

үшбұрыш арқылы Р жазықтығы берілген. Есепті шешу үшін, алдымен жазықтыққа S₁₂ нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр сызық жазықтықтың горизонталь сызығына перпендикуляр болып түсуі шарт. Тікбұрышты үшбұрыш əдісін пайдаланып, түзу сызықтың ен аралығын анықтаймыз. Ол үшін бір сызық бойына жазықтықтың ен

1 0 1 2

S12

P

C

5

A

¹

1м

lж

lm

B

3

3 ,

K

3

1 0 1

S12

P

C

5

A

¹

1м

lж ^m

l

B

3

3 ,

K

3

L M O

П0

аралығын – l_ж өлшеп салып, О нүктесін табамыз. Осы нүктеден масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп алып, L нүктесін саламыз. Сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. Табылған М мен О нүктелерінің арақашықтығы перпендикуляр түзу сызықтың ен аралығы l_т болады. Табылған ен аралықты S₁₂ нүктесінен жүргізілген сызық бойына өлшеп саламыз.

Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызығын анықтау керек.

Егер жазықтық пен түзу сызықтың аттас горизонтальдарын өзара қоссақ, онда өзара аттас горизонтальдар тек қана бір нүктеде қиылысады. Біздің мысалымызда бұл сызықтар К_3.3 нүктесінде қиылысады. Табылған К_3.3 нүктесі кеңістікте орналасқан S₁₂ нүктесі мен үшбұрыш арқылы берілген Р жазықтығының арақашықтығы болып табылады.

Метрикалық есептердің бірнеше түрлерінің жалпы əдіспен шешу жолдарын көрсеттік. Қалған есептердің шешу жолдарын келесі тарауда көрсетеміз.

1. Позициялық есептер дегеніміз не?

2. Түзу сызықтар өзара қалай орналасады?

3. Жазықтықтар өзара қалай орналасады?

4. Жазықтық пен түзу сызық өзара қалай орналасады?

5. Метрикалық есептер дегеніміз не?

6. Түзу сызықтың нақты шамасын қалай анықтайды?

7. Жазықтық пен нүктенің арақашықтығын қалай анықтайды?

Бақылау

сұрақтары

Жаттығу есептері

1. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20); В(25;15;30) төбелерінен тұратын түзу сызық пен С(15;10;20) нүктесінің өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

2. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30) жəне С(10;20;25);

D(25;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтардың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

3. Кеңістікте орналасқан өзара параллель түзу сызықтарды салып көрсетіңіз.

4. Кеңістікте орналасқан өзара перпендикуляр түзу сызықтарды салып көрсетіңіз.

5. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі АВС жəне DEF жазықтықтарының өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

6. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі А(20;20;20); В(25;15;30);

С(10;20;25) төбелерінен тұратын жазықтық пен Е(10;20;25); D(5;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

7. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30); С(10;20;25) жазықтығының бойында жатқан D нүктесінен перпендикуляр түзу сызығын салып көрсетіңіз.

8. Кеңістікте орналасқан А(10;20;10); В(15;15;30); С(20;10;25) жазық- тығы Е(10;20;25); D(5;25;10) түзу сызықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз.

Егер кеңістіктегі геометриялық фигуралардың жазықтық бетіндегі проекциясы (кескіні) жеке жағдайда орналасқан болса, онда есеп шешімі оңай жəне жеңіл болады. Сондықтан жалпы жағдайда орналасқан есептерді жеке жағдайға келтіріп шешу əдісін сызбаны түрлендіру тəсілдері дейді.

Түрлендіру тəсілдерінің негізгі міндеті – жалпы жағдайда кескінделген геометриялық фигураларды жеке жағдайға түрлендіру. Осы түрлендіру тəсілдерін пайдалана отырып, сызба геометрия курсындағы көптеген қиын да күрделі позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептерді шешу жолдарын жеңілдетеді.

Түрлендіру тəсілдерінің түрлері өте көп, олардың ішінде көп тараған түрлері проекция жазықтығын бір немесе бірнеше жазықтықпен алмастыру жəне айналдыру (деңгей сызығы мен беттестіру) тəсілдері болып табылады.

5.1 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі

Проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің маңызы – күрделі есептерді шешу үшін, көлденең П₀ проекция жазықтығын бір жазықтықпен немесе екі жазықтықпен алмастыру арқылы есептің шешуін табуға болады.

Егер геометриялық фигуралардың кескініне бірінші проекция жазықтығын параллель алсақ, онда екінші проекция жазықтығын сол кескінге перпендикуляр етіп орналастырамыз.

Осы тəсілді пайдаланып, түзудің жəне жазықтықтың нақты шамасын, түзу мен жазықтықтың немесе екі жазықтықтың бұрыштық шамасын, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын жəне тағы басқа сол сияқты есептерді шешуге болады.

Бесінші тарау

СЫЗБАНЫ ТҮРЛЕНДІРУ ТӘСІЛДЕРІ

5.1.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен проекция жазықтығына жасаған бұрышын анықтау

Түрлендіру тəсілдерінің П₀ проекция жазықтығын жаңа бір проекция жазықтығымен алмастыру тəсілін пайдаланып, түзу сызықтың нақты шамасын анықтауды қарастырайық.

Мысал ретінде АВ түзу сызығының нақты шамасын жəне осы түзу сызықтың П₀ жазықтығымен жасаған бұрышын анықтау есебі (51-сурет).

П0

П4

) a

A4

B4

A4

B6

B

A

x1

НШ

1 0 1 2

A4

B6

B

A

HШ D

х1

П4

П0

б)

D

П0

Көлденең П₀ жазықтығында АВ түзу сызығы берілген. Осы түзу сызыққа параллель орналасқан жаңа бір П₄ проекция жазықтығын аламыз (51, а)

сурет). Жаңа жазықтық көлденең П₀ жазықтығымен қиылысып, х₁ осін береді. Берілген түзу сызықтың А жəне В төбелерінен жаңа П

4 проекция жазықтығына перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Перпендикуляр сəулелер жаңа проекция жазықтығын А₄ жəне В₄ нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда АВ түзуінің нақты шамасын табамыз. Түзу сызықтың А₄ төбесінен көлденең П₀ жазықтығына параллель сəуле жүргіземіз. Осы түзу мен түзудің нақты шамасының арасындағы бұрыш шамасы кеңістіктегі АВ түзуі мен көлденең П₀ жазықтығының арасындағы α бұрышын көрсетеді.

Егер жаңа П₄ проекция жазықтығын х₁ осі арқылы бұрып, көлденең П₀ проекция жазықтығымен беттестірсек, онда есептің шешуі жазықтықты алмастыру тəсілі арқылы орындалады.

Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын сандық белгілері бар проекцияда көрсетейік (51, б)-сурет). Көлденең П₀ жазықтығында А₄В₆ түзу сызығының кескіні берілген. Осы түзу сызыққа кез келген жерден параллель орналасқан жаңа бір П

4 проекция жазықтығын аламыз. Бұл жаңа жазықтық көлденең П₀ жазықтығымен қиылысып, х₁ осін береді. Берілген түзу сызықтың А₄ жəне В₆ төбелерінен осы х₁ осіне перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Перпендикуляр сəулелер бойына жаңа жазықтықта нүктелердің өлшемдерін өлшеп саламыз. Табылған нүктелерді өзара қосып, АВ түзуінің нақты шамасын табамыз. Түзудің А₄ төбесінен х₁ осіне параллель сəуле жүргіземіз. Табылған бұрыш көлденең П

0 жазықтығы мен А

4В

6 түзу сызығының арасындағы α бұрыш болады.

5.1.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау

Көлденең П₀ проекция жазықтығындағы геометриялық фигуралардың кескіндерін жаңа проекция жазықтығымен алмастыру тəсілін пайдаланып, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтауды қарастырайық.

Мысал ретінде кеңістікте орналасқан нүкте мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың арақашықтығын анықтау есебін қарастырамыз (52 жəне 53-суреттер).

Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А₁В₃С₅ үшбұрышы арқылы берілген жазықтық пен кеңістікте орналасқан S₁₂ нүктесінің кескіні берілген (52-сурет). Нүкте мен жазықтықтықтың арақашықтығын табу үшін, В

3 төбесінен h₃ горизонталь негізгі сызығын жүргіземіз. Осы сызықтың кез келген жерінен перпендикуляр болатын жаңа бір П₄ проекция жазықтығын саламыз.

Бұл жазықтық көлденең П₀ жазықтығымен қиылысып, х₁ осін береді.

Жаңа П₄ проекция жазықтығында өлшемдері арқылы жазықтық пен нүктенің кескінін саламыз. S

4 нүктесінен А

4В

4С

4 үшбұрышы арқылы берілген жазықтыққа (біздің мысалымызда жазықтық түрленіп бір түзу болады)

1 0 1 2

S12

P

C5

A1 x1

B3

K2

П0

П4

C4

В4

К4

А4

S4

P4 h3

перпендикуляр сəуле жүргіземіз. Сəуле жазықтықты К

4 нүктесінде қиып өтеді. Табылған К₄ нүктесі мен S₄ нүктесінің арасы іздеп отырған жазықтық пен нүктенің арақашықтығы болып табылады.

1 0 1 2

S

12

P

i

5 6 7

8 .

K

4

K4

S

⁴ P4

x1

П0 П⁴

Кеңістікте орналасқан К нүктесін, көлденең П₀ проекция жазықтығын анықтайық. Ол үшін керісінше, К₄ нүктесінен х₁ осіне перпендикуляр болатын сəуле жүргіземіз. S₁₂ нүктесінен х₁ осіне параллель болатын сəулені К₄ нүктесінен жүргізген сəулемен қиылысқанға дейін созамыз. Табылған К₂ нүктесі мен S₁₂ нүктесінің арақашықтығы жазықтық пен нүктенің арақашықтығы болады.

53-суретте кеңістіктегі нүкте мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың арақашықтығын анықтаймыз.

Ол үшін жазықтықтың кескініне кез келген жерден параллель жаңа П₄ проекция жазықтығын саламыз. Жазықтықтың горизонтальдарын жүргізіп, П4 проекция жазықтығында Р жазықтығы мен S

4 нүктесін анықтаймыз.

Қалған жазықтық пен кеңістікте орналасқан нүктенің арақашықтығы жоғарыда көрсетілген мысалдағы шығару жолымен шешіледі.

5.1.3 Екі жазықтық арасындағы бұрыштық шаманы анықтау

Енді жазықтықты алмастыру тəсілін пайдаланып, кеңістікте орналасқан екі жазықтық арасындағы бұрыштық шаманы анықтауды қарастырайық.

Бұл есептер күрделі есептер қатарына жататын болғандықтан, көлденең П

0 проекция жазықтығын екі жаңа проекция жазықтығымен алмастырамыз (54-сурет).

Көлденең П₀ жазықтығында кеңістікте түйіндесіп орналасқан А₁В₄C₅ жəне А₁В₄S₂ үшбұрыштарының кескіндері берілген. Үшбұрыштардың А1В

4 қырларының екі жазықтыққа ортақ екені көрініп тұр. Осы ортақ жазықтықтар қырына кез келген жерден параллель жаңа бір П₄ проекция жазықтығын саламыз. Бұл жаңа П₄ жазықтығы көлденең П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасып, П₀ жазықтығын х₁ осінде қиып өтеді. Үшбұрыштардың барлық төбелерінен х₁ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы сəулелер бойына өз сандық өлшемдерін өлшеп саламыз.

Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте берілген екі жазықтықтың жаңа П₄ проекция жазықтығындағы кескінін табамыз.

Үшбұрыштардың А₁В₄ қырлары х₁ осіне параллель болғандықтан, жаңа П4 проекция жазықтығындағы кескіні нақты шамасымен кескінделеді.

Сондықтан осы үшбұрыштардың А₄В₄ қырына келесі екінші П₅ проекция жазықтығын перпендикуляр етіп аламыз. Жаңа П₅ жазықтығы да П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан жазықтық. П₀ проекция жазықтығын бұл жазықтық х₂ осінде қиып өтеді. Үшбұрыштардың төбелерінен х₂ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы сəулелер бойына өз сандық

өлшемдерін өлшеп, үшбұрыштардың екінші П₅ проекция жазықтығындағы кескінін саламыз. Бұл табылған кескін екі түзу сызықты береді. Екі түзу сызықтың арасындағы _α бұрышы екі үшбұрыштың арасындағы бұрыштық шамасы болады.

5.1.4 Айқасып жатқан екі түзудің арақашықтығын анықтау

Проекция жазықтығын алмастыру тəсілін пайдалана отырып, екі айқасып жатқан түзудің ең жақын арақашықтығын анықтауды қарастырайық. Мұндай есептер күрделі есептер қатарына жатады. Сондықтан көлденең П₀ проекция жазықтығын екі жаңа проекция жазықтығымен алмастырамыз.

Екі айқасып жатқан түзу сызықтың арасындағы ең жақын арақашықтықты анықтау есебін қарастырайық (55-сурет).

Көлденең П₀ проекция жазықтығында А₁В₆ жəне C₅D₃ түзу сызықтарының кескіндері берілген. Осы сызықтардың біреуіне кез келген жерден параллель жаңа бір П

4 проекция жазықтығын аламыз. Біздің мысалымызда кеңістікте орналасқан А₁В₆ түзу сызығына параллель жаңа П₄ проекция жазықтығы берілген. Жаңа П₄ жазықтығы көлденең П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқандықтан, П₀ жазықтығын х₁ осінде қиып өтеді.

Түзулердің төбелерінен х₁ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргізіп, сол сəулелер бойына өзіміз сандық өлшемдерін өлшеп саламыз.

Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған түзулер жаңа П₄ проекция жазықтығындағы кескіндері болады. П₀ проекция жазықтығындағы А₁В₆ түзуі П₄ проекция жазықтығына параллель болғандықтан, ол П₄ проекция жазықтығында нақты шамасымен кескінделеді.

Келесі екінші П

5 проекция жазықтығын А

4В

4 түзу сызығына перпендикуляр етіп аламыз. Бұл П₅ жазықтығы П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан П₀ проекция жазықтығын х₂ осінде қиып өтеді. Түзу сызықтың төбелерінен х₂ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы

1 0 1 2

C

5

A

1

B

₆

5 .

K3

x1

K5

D

5

C

5 5

5

5 B N

A { { П5

П4

х2

П0

П4

D4

С

4

А

4

В

4

К4

N4

HШ

D

3

N5

сəулелер бойына өз сандық өлшемдерін өлшеп, түзулердің екінші П₅ проекция жазықтығындағы кескінін саламыз. Бұл табылған кескін түзу мен нүктені береді. Түзулердің арақашықтығын табу үшін, табылған нүктеден түзу сызыққа перпендикуляр жүргізіп, К₅ нүктесін анықтаймыз. Осы нүктеден х₂ осіне перпендикуляр түсіріп, C₄D₄ түзу сызық бойынан К₄ нүктесін анықтап, осы нүктеден А₄В₄ түзуіне перпендикуляр түсіріп, N₄ нүктесін табамыз. Табылған нүктелерді П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр жүргізіп, N₅ жəне К_3.5 нүктелерін анықтаймыз. Табылған нүктелердің арасы екі түзу сызықтың арақашықтығы болады.

5.2 Айналдыру тəсілі

Сызба геометрия пəніндегі көптеген қиын да күрделі позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептерді түрлендіру тəсілдерімен шешкен өте ыңғайлы əрі жеңіл болады. Жоғарыда айтып кеткендей, түрлендіру тəсілдерінің негізгі міндеті – жалпы жағдайда орналасқан геометриялық фигураларды жеке жағдайға түрлендіру. Сызбаны түрлендіру тəсілдерінің көп тараған бір түрі геометриялық фигуралардың кескіндерін айналдырып, есептің шешуін табу болып табылады. Есептің шешуін жеңілдету үшін, айналдыру тəсілінде айналдыру осьтерін проекция жазықтығына перпендикуляр немесе параллель етіп алады. Айналдыру тəсілі айналу осьтеріне байланысты бірнеше түрге бөлінеді.

Егер айналдыру осі көлденең П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр болып орналасса, онда оны тікше (перпендикуляр) ось бойында айналдыру тəсілі деп атайды.

Егер айналдыру осі көлденең П₀ проекция жазықтығына параллель болып орналасса, онда оны деңгей түзуі бойында айналдыру тəсілі деп атайды.

Егер айналдыру осі көлденең П₀ проекция жазықтығының бойында жатса (меншікті болса), онда мұндай айналдыру əдісін беттестіру тəсілі деп атайды.

Сандық белгілері бар проекцияларда позициялық жəне метрикалық есептерді шешу – айналдыру тəсілдерінің ішіндегі деңгей түзуі бойындағы айналдыру мен беттестіру тəсілдері болып табылады. Осы тəсілдер арқылы бірнеше мысалдардың шешу жолын төменде қарастырайық.

5.2.1 Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен анықтау

Сызбаны айналдыру тəсілінің деңгей түзуінің бойында айналдыру түрін пайдалана отырып, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жа зықтықтың нақты шамасын анықтау есебіне мысал қарастырамыз (56-сурет).

Көлденең П₀ проекция жазық- тығында А₅В₄C₆ үшбұрышы арқылы жалпы жағ дайдағы жазықтық кескіні беріл ген. Жазықтықтың А₅ төбесінен горизон таль h

5 деңгейлік түзуін жүр гіземіз. Бұл деңгей сызығы үш- бұрыштың В₄C₆ қырын Е₅ нүктесінде қиып өтеді. Енді үшбұрыштың C₆ төбесінен осы деңгей түзуіне перпендикуляр сəуле түсіреміз.

Қиылысқан нүктені D₅ нүктесі деп белгілейміз. Осы табылған C₆D₅ кесіндісіне C₆ төбесінен перпендикуляр сəуле жүргізіп, сəуле бойына бір бірлікті өлшеп саламыз.

Табылған нүктені C₅^/ деп белгілейміз.

Енді D₅ нүктесі арқылы C₅^/ нүктесін айналдырып, C₅ нүктесін табамыз.

Бұл созылған Е

5C

5 кесінді В

4 төбесінен түсірген перпендикуляр сəулемен қиылысып, В

5 нүктесін береді.

Егер табылған В₅ жəне D₅ нүктелерін А₅ нүктесімен қоссақ, онда кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А₅В₄C₆ үшбұрышы арқылы берілген жазықтықтың кескіні П₀ проекция жазықтығына параллель болады, яғни жазықтық түрленіп,нақты шамасымен кескінделеді.

Айналдыру тəсілінің деңгей түзуінің бойында айналдыру əдісін пайдаланып, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың нақты шамасын (56-суретте қызыл сызықпен берілген) анықтадық.

5.2.2 Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен анықтау

Түрлендіру тəсілдерінің беттестіру тəсілін пайдалана отырып, кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың нақты шамасын анықтауды қарастырамыз. Беттестіру тəсілінің маңызы – кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан үшбұрышы арқылы берілген жазықтық кескінінің П₀ проекция жазықтығындағы ізін анықтап, осы жазықтық ізі арқылы жазықтықты айналдырып, П₀ проекция жазықтығымен беттестіру болады.

Енді кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан үшбұрышы арқылы берілген жазықтықтың нақты шамасын анықтау есебін қарастырайық (57-сурет).

Суретте жалпы жағдайда орналасқан А₂В₁C₃ үшбұрышы арқылы жазықтық берілген. Жазықтықтың ізін табу үшін А₂В₁ жəне C₃В₁ қырларын ен аралыққа бөліп, П₀ проекция жазықтығына дейін созамыз.

Егер табылған М_АВ мен М_СВ нүктелерін өзара қоссақ, онда табылған түзу

1 0 1

C

6

A

5

B

4

h5

E5

B

5

D

5

C

5

l /

C

5

1 0 1

C6

B4

B5

A

5

C5

l

/

C5

h5

E5

D5

кеңістіктегі жазықтықтың ізі болады. Кеңістіктегі жазықтықты ізі арқылы бұру үшін, А

2В

1C

3 үшбұрышы арқылы берілген жазықтықты көлбеулік масштабы Р

і түрінде келтіреміз. А

2В

1C

3 үшбұрышының деңгей сызығын – h2 анықтап, осы деңгей сызығына перпендикуляр болатын жазықтықтың көлбеулік масштабын сызамыз. Табылған көлбеулік масштабы арқылы берілген Р

і жазықтықтығына масштаб сызғышынан А

2В

1C

3 үшбұрышының сандық бірліктерін өлшеп алып, АВС үшбұрышын саламыз.

Енді көлбеулік масштабы арқылы берілген Р

і жазықтық пен М

Р жазықтық ізі О₀ нүктесінде қиылысады. Осы О₀ қиылысу нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген жазықтықты жазықтық М

Р ізіне перпендикуляр болатындай етіп айналдырып, А₀^/В₀^/C₀^/түзуін (жазықтығын) саламыз. Осы А₀^/ В0

/C

0

/ үш нүкте арқылы М

Р жазықтық ізіне параллель сəулелер жүргіземіз. Ал көлденең П₀ проекция жазықтығындағы А₂В₁C₃ үшбұрыштың төбелерінен М жазықтық ізіне перпендикуляр сəулелер түсіреміз. Егер осы сəулелерді

1 0 1

C

3

A

2

B

1 h2

C

B A

B

0

C

0

A

0 НШ

O0

MCB

MAB /

B0

/

A0 /

C

0

P

i _P

P

1. Сызбаны түрлендіру тəсілі дегеніміз не?

2. Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі дегеніміз не?

3. Айналдыру тəсілі дегеніміз не?

4. Сызбада түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

5. Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын айналдыру тəсілімен қалай анықтайды?

6. Сызбада нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

7. Сызбада екі жазықтықтың бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

8. Сызбада айқас екі түзу сызықтың арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

9. Жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

10. Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен қалай анықтайды?

11. Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен қалай анықтайды?

Бақылау сұрақтары

өзара қоссақ, онда беттескен А₀В₀C₀ үшбұрышын табамыз. Табылған А₀В₀C₀ үшбұрышы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілін пайдаланып анықтауымызға болады.

Жаттығу есептері

1. Жалпы жағдайда орналасқан А(20;10;20) жəне В(35;15;30) төбелері арқылы берілген түзу сызықтың нақты шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

2. Кеңістікте орналасқан А(10;20;25); В(25;15;30); С(30;20;20) жазықтығы пен D(20;10;30) нүктесінің арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

3. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;10;25); В(25;15;25) жəне С(20;20;25);

Е(30;25;20) айқас түзу сызықтарының арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

4. А(10;10;25); В(25;15;25); С(30;20;20) жəне А(10;10;25); В(25;15;25);

Е(30;20;20) жазықтықтарының арасындағы бұрыштық проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

5. Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А(10;20;25); В(25;15;30);

С(30;25;20) жазықтығының нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

6. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;25); В(25;15;30); С(30;25;20) жазықтығының нақты шамасын беттестіру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

Кеңістікте орналасқан, жазықтықтардың жиынтығынан құрылған, кеңістікті шектейтін бітеу біртұтас геометриялық денені көпжақты беттер дейді. Көпжақты бет дегеніміз – табандары үш немесе одан да көп көпбұрыштардың жиынтығынан құралған геометриялық фигура.

Көпжақты беттердің жақтары мен қырлары жəне төбелері болады. Көпжақ- ты беттердің жақтары дегеніміз - беттердің жазықтық болып келетін жағы. Ал көпжақты беттердің қырлары деп беттердің жақтарымен қиылысқан сызығын айтады. Көпжақты беттердің қырлары өзара қиылысып, беттердің төбелерін береді.

Көпжақты беттер жақтарының, қырлары мен төбелерінің өзара орнала- суларына байланысты жай жəне дұрыс болып екі түрге бөлінеді.

Дұрыс көпжақты бет деп жақтарының бұрыштары мен аудандары өзара тең болатын беттерді айтады. (58-сурет). Кей жағдайда бұл беттерді Платон денелері деп атайды, себебі Платон бұл көпжақтарды зерттеп, олардың атын

Алтыншы тарау

КӨПЖАҚТЫ БЕТТЕР

П0

)

a c)

) b

)

d e)

қойған. Беттердің жақтарының сандарына байланысты көпжақты беттер төмендегі түрлерге бөлінеді: тетраэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын төрт жақты көпжақты бет) (58, а-сурет), октаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын сегіз жақты көпжақты бет) (58, c-сурет), икосаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын жирма жақты көпжақты бет) (58, e-сурет), гексаэдр (жақтары өзара тең төртбұрыш болатын алты жақты көпжақты бет) (58, b-сурет) жəне додекаэдр (жақтары өзара тең бесбұрыш болатын он екі жақты көпжақты бет) (58, d-сурет).

Жай көпжақты беттер жақтарына байланысты призма (жақтары өзара перпендикуляр орналасқан), пирамида (жақтары бір ғана нүктеге ұмтылатын) жəне призматоид (табаны мен үсті өзара параллель орналасқан, жақтары үшбұрыш немесе трапеция болатын) болып бөлінеді.

6.1 Жай көпжақты беттер

6.1.1 Призма бетіндегі нүктенің орналасуы

Екі параллель табаны болатын, жақтары осы табандарына өзара пер пендикуляр көпжақты бетті тікбұрышты призма деп айтады.

Табандарына байланысты приз- малар үшжақты, төртжақты, бес- жақты жəне т.б. түр лерге бөлінеді.

Егер табандары жақтарына пер пен дикуляр болмай, жалпы жағдайда орналасса, ондай көп- жақты бетті жалпы жағдай дағы призма деп айтады. Бұл призмалар да табандарына байланысты үш- жақты, төртжақты, бесжақты жəне т.б.с. түрлерге бөлінеді.

Енді осы аталған призмаларда нүктелердің орналасуларын сан- дық белгілері бар проекцияда қарас тырайық (59 жəне 60- суреттер).

Сандық белгілері бар про ек - ция ларда тікбұрышты приз ма- ларды қолданған өте қолайлы, себебі екі табандары беттесіп, бір ғана көпбұрышты береді.

1 0 1 2

5

0 C

C

5

0 A

A B0 B5

П0

A

0

B

0

B C

A

K

K

2

L M

N

M5

N5

L

3

C0

60-суретте А₀В₀С₀ жəне А₅В₅С₅ табандары үшбұрышты тік бұрышты призманың кеңістіктегі кес кіні мен көлденең П₀ проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциялардағы кескіні көрсетілген. Сандық белгілері бар проекцияларда тікбұрышты призмалардың қырлары көлденең П

0 проекция жазықтығына перпендикуляр болғандықтан табандары беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді.

Осы призманың А₀В₀ жəне А₅В₅ жағында К нүктесі орналасқан. Оның сандық белгілері бар проекциясы призманың А₀=А₅ жəне В₀=В₅ қырының бойында жатады.

Егер L нүктесі В₀ мен В₅ қырында орналасса, онда L нүктесінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні призманың В₀В₅ қырының бойында жатады.

Егер М нүктесі А₅В₅ қырында орналасса, онда М нүктесінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні призманың А

0=А

5 жəне В

0=В

5 қырының бойында жатады.

Егер N нүктесі призманың жоғарғы табаны АВС үшбұрышында орналасса, онда N нүктесінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні призманың А₀=А₅; В₀=В₅ ; С₀=С₅ үшбұрыш бойында жатады.

1 0 1 2

C

5

A

0

B

5

60-сурет П0

A0

B0

B5

C5

A

5

C0

A

5

B

0

C

0 ^L2.5

K2

K0

M5 ⁵

N N5

M5

5 .

L2

K2

K0

П0

Жалпы жағдайда орналасқан призманы қарастырайық (60-сурет). Суретте А₀В₀С₀ жəне А₅В₅С₅ табандары үшбұрышты жалпы жағдайда орналасқан призманың кеңістіктегі кескіні мен көлденең П₀ проекция жазықтығындағы кескіні көрсетілген. Сандық белгілері бар проекцияларда жалпы жағдайда орналасқан призмалардың қырлары көлденең П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр болмағандықтан, табандары беттеспейді.

Жоғарыда көрсетілген мысалдағыдай, жалпы жағдайда орналасқан призма бойында K, L, M жəне N нүктелері берілген. Бұл нүктелердің кескіндерін призманың қырларын ен аралықтарға бөлу арқылы анықтайды.

6.1.2 Призма мен түзу сызықтың қиылысуы

Тікбұрышты призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу жолын қарастырамыз.

Сандық белгілері бар проекцияларда тікбұрышты А₀В₀С₀ жəне А₆В₆С₆ табандары үшбұрышты призма мен жалпы жағдайда орналасқан D₂E₅ түзу сызығының көлденең П₀ проекция жазықтығындағы кескіні берілген (61-сурет). Призма қырлары П

0 проекция жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, олардың табандары беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді.

D₂E₅ түзу сызығы В₀С₀В₆С₆ жəне А₀С₀А₆С₆ жақтарын K жəне L нүктелерінде

1 0 1 2

6

0 C

C

6

0

A

A

6

0

B

B

8 .

K2

D2

E5

L

4

D4 ⁴

4 E L K4

B4

C4

A4

A4

C4

B4

П4

П0

x1

П0

қиып өтеді. Бұл қиылысу нүктелерінің сандық белгілерін анықтау үшін, сызбаны түрлендіру тəсілдерінің проекция жазықтықтарын алмастыру əдісін пайдаланамыз. D₂E₅ түзу сызығына параллель жаңа П₄ проекция жазықтығын алып, призма мен түзудің кескінін саламыз (61-сурет).

Табылған K₄ жəне L₄ нүктелерінен х₁ осіне дейінгі арақашықтық іздеп отырған K жəне L нүктелерінің сандық белгілері болады.

Енді жалпы жағдайда орналасқан призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін анықтау жолын сызбаны түрлендіру тəсілдерінің көмекші кескіндеу əдісін пайдалана отырып қарастырайық.

Көлденең П₀ проекция жазықтығында орналасқан жалпы жағдайдағы А₀В₀С₀ жəне А₅В₅С₅ табандары үшбұрышты призма мен D₂E₅ түзу сызығының кескіні берілген (62-сурет).

Оқырманға түсінікті болуы үшін, 62-суреттің жоғарғы жағында призма мен түзу сызықтың кеңістікте орналасқан көрнекі кескіні мен суреттің төменгі жағында олардың сандық белгілері бар проекциялары көрсетілген.

1 0 1 2

C

5

A

0

B

5

П0

A

⁰

B0

B

5

C

5

A

5

C

0

A5

B

0

C

0 3 .

L4

K3

E

0

3 .

L4

K3

E0

E

5

D

0

D

2

K0

L0

K0

L0

D0

D2 ^E5

Жалпы жағдайдағы призма мен түзудің қиылысу нүктелерін табу үшін, түзу сызықтың төбелерінен (D₂E₅) призманың қырларына параллель етіп, сəуле жүргіземіз. Осы сəулелер бойына ен аралықтары бойынша сандарын өлшеп салып, D

0E

0 түзуін саламыз. Бұл табылған түзу сызықты призманың төменгі табанына түсіп, А₀В₀С₀ үшбұрышының қырларынан K₀ жəне L₀ нүктелерінде табамыз. Осы нүктелер арқылы призма қырларына параллель болатын сəулелер жүргізіп, D₂E₅ түзу бойынан K₃ жəне L_4.3 нүктелерін табамыз.

Осы табылған нүктелер мен K₀ жəне L₀ нүктелерінің арақашықтықтары кеңістікте орналасқан нүктелердің сандық белгілерін береді. Бұл K

3 жəне L

4.3 нүктелерінің арасы призма ішінде қалып, көрінбейтін сызық болғандықтан, бұл арақашықтықты штрих сызығымен көрсетіп қоямыз.

Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы призма мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сызбаны түрлендіру тəсілдерінің көмекші кескіндеу əдісінің көмегімен анықтадық.

6.1.3 Пирамида бетіндегі нүктенің орналасуы

Бір ғана табаны болатын жəне табаны көлденең жазықтыққа параллель болатын, қырлары бір нүктеден (төбеден) тарайтын жəне төбесінен түскен перпендикуляр табанының ішінде болатын көпжақты беттің бұл түрін дербес жағдайда орналасқан пирамида деп айтады (63-сурет). Табандарына байланысты пирамидалар үш жақты, төрт жақты, бес жақты жəне т.б. түрлерге бөлінеді.

Төбесінен түскен перпендикуляр табанының ішінде болмайтын көпжақты бет түрін жалпы жағдайда орналасқан пирамида деп айтады (64-сурет).

Мұндай пирамидалар да табандарына байланысты үш жақты, төрт жақты, бес жақты жəне т.б. түрлерге бөлінеді.

Нүктенің жоғарыда аталған пира мидалар бетіндегі орналасуларын сандық белгілері бар проекцияда қарастырайық (63 жəне 64-суреттер).

63-суретте А₀В₀С₀ үшбұрышты табаны жəне S₆ төбесі бар дербес жағдайда орналасқан пирамиданың кеңістіктегі кескіні мен көлденең П₀ проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциялардағы кескіні көрсетілген. Сандық белгілері бар проекцияларда дербес жағдайда орналасқан пирамиданың қырлары табаны көлденең П₀ проекция жазықтығымен беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді. Осы үшбұрышты пирамиданың S₆ төбесі тағы да үш үшбұрышқа бөледі.

Осы дербес жағдайда пирамида бойында орналасқан нүктелерді қарастырайық. 63-суретте дербес жағдайда орналасқан пирамида бойындағы əртүрлі жағдайда орналасқан K, L жəне M нүктелерін алайық. Бұл мысалда M нүктесі – SA қырында орналасқан нүкте. Оның сандық белгісін анықтау