Параллель сызықтардың түйіндесуі

11.2 Түйіндесу

11.2.1 Параллель сызықтардың түйіндесуі

нүктелерінен кез келген радиусы R болатын доға жүргіземіз. Бұл доғалар С жəне D нүктелерінде қиылысады. Табылған нүктелерді өзара қоссақ, Т₁ жəне T₂ нүктелерінен өтетін сызықты қиып өтіп, бұл нүкте Т_О түйіндесу ортасын береді. Осы Т_О нүктесінен радиусы R₁ болатын доғаны Т₁ нүктесінен бастап T₂ нүктесіне дейін жүргіземіз. Бұл Т₁ жəне T₂ нүктелерінен жүргізілген доға түйіндесу сызығы болады.

118-суретте өзара параллель орналасқан түзу сызықтардың екі түрлі жағдайдағы түйіндесулері көрсетілген.

Т1

Т

2

Т

3

П0

ТО

ТО

Т

2

Т

3 ^ТО

ТО

Т1

R R

R

R

11.2.1.2 Өзара перпендикуляр сызықтардың түйіндесуі

Екі өзара перпендикуляр сызықтың арасындағы түйіндесуді салу үшін, түйіндесу радиусы T_R беріледі (119-сурет). Осы түйіндесу радиусы T_R -ді өлшеп алып, берілген сызықтарға параллель сызықтар жүргіземіз. Бұл

Т1

Т

2

TR

R ТО

TR

RT

сызылған сызықтар түйіндесетін сызықтарды Т₁ жəне T₂ нүктелерінде қиып өтеді жəне өзара Т_О нүктесінде қиылысады. Осы Т_О нүктесі арқылы Т₁ жəне T₂ нүктелерінің арасын радиусы T_R болатын доғамен қосамыз.

11.2.1.3 Өзара қиылысатын сызықтардың түйіндесуі

Екі түзу сызықтар өзара сүйір жəне доғал бұрыштар арқылы қиылысады.

Бірінші сүйір бұрыш арқылы қиылысқан түзу сызықтардың түйіндесуін қарастырайық (120-сурет). Берілген сызықтарға түйіндесу радиусы T_R болатын арақашықтығын өлшеп алып, параллель сызықтар жүргіземіз. Бұл сызықтар Т_О нүктесінде қиылысады. Енді осы Т_О нүктесінен берілген түйіндесетін екі сызыққа перпендикуляр сызықтар түсіреміз. Бұл сызылған

Т

1

Т

2

T

R

R

Т

О

T

R

R

T

сызықтар түйіндесетін сызықтарды Т₁ жəне T₂ нүктелерінде қиып өтіп, түйіндесу нүктелерін береді. Осы Т₁ жəне T₂ нүктелерінің арасын Т_О нүктесі арқылы радиусы T

R болатын доғамен қоссақ, онда екі қиылысып жатқан сызықтардың түйіндесулері болады.

Енді доғал бұрыш арқылы қиылысқан түзу сызықтардың түйіндесуін қарастырайық (121-сурет). Түйіндесу радиусы T_R болатын арақашықтықты өлшеп алып, түйіндесетін сызықтарға параллель сызықтар жүргізсек, бұл сызықтар Т

О нүктесінде қиылысады. Табылған Т

О нүктесінен берілген түйіндесетін екі сызыққа перпендикуляр сызықтар жүргіземіз. Бұл сызылған сызықтар түйіндесетін сызықтарды Т₁ жəне T₂ нүктелерінде қиып өтеді.

Осы Т₁ жəне T₂ нүктелерінің арасын өзара радиусы T_R болатын доғамен қоссақ, онда бұл екі қиылысатын сызықтың түйіндесулері болады.

11.2.1 Шеңберлердің түйіндесуі 11.2.2.1 Екі шеңбердің ішкі түйіндесуі

Екі шеңбердің ішкі түйіндесуін табу үшін, екі радиусы əртүрлі болатын шеңбер мен түйіндесу радиусы T_R беріледі (122-сурет). Енді түйіндесуді салу үшін, алдымен бірінші шеңбердің радиусына R₁-ге түйіндесу радиусы T_R -ді қосып, (R

1+T

R), бірінші шеңбердің ортасы О

1 нүктесінен доға жүргіземіз.

Одан кейін, берілген екінші шеңбердің радиусына R₂-ге түйіндесу радиусын (T_R) қосып (R₂+T_R), екінші шеңбердің ортасы (О₁) арқылы доға жүргіземіз.

Бұл жүргізілген доғалар Т_О нүктесінде қиылысып, ішкі түйіндесу ортасын береді. Енді осы ішкі түйіндесу ортасы Т_О нүктесі мен екі шеңбердің

Т1

Т

2

TR

R ТО

TR

RT

Т

1

Т

2

T

R

R Т

О

R

2

T

^R

R

1

T

^R

R1

R2

О2

О1

орталарын өзара қосамыз. Бұл жүргізілген сызықтар бірінші шеңберді Т₁ нүктесінде, ал екінші шеңберді Т₂ нүктесінде қиып өтеді. Егер осы табылған екі нүктенің арасын Т_О нүктесі арқылы радиусы R болатын доғамен қоссақ, онда екі шеңбердің ішкі түйіндесуін табамыз. Бұл жерде R радиусы түйіндесу радиусына тең болады. Суретте ішкі түйіндесу қызыл сызықпен сызылған.

11.2.2.2 Екі шеңбердің сыртқы түйіндесуі

Енді екі шеңбердің сыртқы түйіндесуін қарастырайық (123-сурет). Екі радиусы əртүрлі болатын шеңберлер мен түйіндесу радиусы T_R берілсін.

Осы түйіндесу радиусынан алдымен бірінші шеңбердің, одан кейін екінші шеңбердің радиустарын алып тастап, екі доға жүргіземіз. Бұл доғалар Т_О

Т

1

Т

2

T

R

R Т

О

R2

T_R R1

T^R

R1

R2 О₂

О1

нүктесінде қиылысады. Табылған нүкте сыртқы түйіндесудің түйіндесу ортасы болады. Осы түйіндесу ортасы Т_О нүктесі мен екі шеңбердің орталарын қосатын екі түзу сызық жүргіземіз. Бұл түзулер шеңберлердің сыртын Т₁ жəне Т₂ нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған екі нүктенің арасын радиусы R болатын доғамен қоссақ, онда біз екі шеңбердің сыртқы түйіндесуін табамыз.

11.2.2.3 Екі шеңбердің аралас түйіндесуі

Екі шеңбердің аралас түйіндесуін қарастырайық (124-сурет). Ең бірінші радиустары əртүрлі болатын шеңберлер беріледі. Одан кейін міндетті түрде

123-сурет

түйіндесу радиусы T_R беріледі. Осы түйіндесу радиусына бірінші шеңбердің радиусын қосып, бірінші доғаны жүргіземіз. Одан соң екінші шеңбердің радиусын түйіндесу радиусынан алып тастап, екінші доғаны жүргіземіз. Екі жүргізілген доға Т_О нүктесінде қиылысады. Бұл табылған нүктені түйіндесу ортасы дейміз. Осы түйіндесу ортасынан екі шеңбердің орталарын қосатын түзу сызықтар жүргіземіз. Бұл түзулер бірінші шеңберді ішкі Т₁ нүктесінде, ал екінші шеңберді сыртқы Т₂ нүктесінде қиып өтеді, себебі біреуін түйіндесу радиусына қосамыз, ал екіншісін түйіндесу радиусынан алып тастаймыз. Егер осы Т₁ жəне Т₂ екі нүктенің арасын радиусы R болатын доғамен қоссақ, онда екі шеңбердің аралас түйіндесуін табамыз.

Т

1

Т

2

T

R

R

Т

О

R2

T^R R1

TR

R1

R2 О₂

О1

1.1.1. Шеңбер мен түзу сызықтың түйіндесуі 11.2.3.1 Шеңбердің сыртқы түзумен түйіндесуі

Шеңбер мен шеңбердің сыртқы жағында орналасқан түзу сызықпен түйін- десуін табу үшін, радиусы R₁ болатын шеңбер, шеңберден тыс орналасқан түзу сызық жəне түйіндесу радиусы T_R беріледі (125-сурет). Түйіндесу радиусы T_R-ді өлшеп алып, тысқары жатқан түзу сызыққа параллель түзу жүргіземіз. Ал радиусы R₁ болатын шеңбердің радиусына түйіндесу радиусын T_R қосып, доға жүргіземіз. Осы доға мен параллель түзу сызық Т_О нүктесінде қиылысып, түйіндесу ортасын береді. Енді осы түйіндесу ортасынан түзу сызыққа перпендикуляр түсіріп, бірінші түйіндесу нүктесін Т₁ табамыз.

Ал екінші түйіндесу нүктесін Т₂ табу үшін, түйіндесу ортасы мен шеңбер ортасын түзу сызықпен қосып, шеңбермен қиылысқан нүктені белгілейміз.

Егер осы Т₁ жəне T₂ нүктелерінің арасын өзара радиусы T_R болатын доғамен қоссақ, онда біз шеңбер мен шеңбердің сыртқы жағында орналасқан түзу сызықтың түйіндесуін табамыз.

11.2.3.2 Шеңбердің ішкі түзумен түйіндесуі

Ішкі түзу сызық пен шеңбердің түйіндесуін қарастырайық (126-сурет).

Радиусы R₁ болатын шеңбер, шеңбердің ішінде орналасқан түзу сызық жəне түйіндесу радиусы T

R беріледі. Түзу сызықтың ішкі жағына түйіндесу радиусы T_R-ді өлшеп алып, параллель сызық жүргіземіз. Ал шеңбердің радиусынан түйіндесу радиусын T_R алып тастап, доға жүргіземіз. Осы доға мен параллель сызық қиылысып, Т_О нүктесін табамыз. Бұл табылған нүкте түйіндесу ортасы болады. Осы табылған нүктеден параллель сызыққа

Т

1

Т

2

T

R

R

Т

О

R1

T_R

R1

T

R

О1

Т

1

Т

2

T

R

ТО

ТR

R1 R1

TR

О1

перпендикуляр түсіріп, Т₂ нүктесін анықтаймыз. Ал шеңбердің ортасы мен түйіндесу ортасын түзу сызықпен қосып, шеңбермен қиылысқан нүктесін Т₁ табамыз.

Егер осы Т

1 жəне T

2 нүктелерінің арасын өзара радиусы T

R болатын доғамен қоссақ, онда біз шеңбер мен шеңбердің ішінде орналасқан түзу сызықтың түйіндесуін саламыз.

11.3 Овал сызығын салу

Бірнеше доғаларды түйіндестіру арқылы пайда болатын тұйық сызықты овал деп атайды. Овал тұйық сызығы – циркульдің көмегімен түйіндесіп сызылатын қисық сызық. Овал симметрия осіне байланысты бір осьті жəне екі осьті овалдар болып екіге бөлінеді. Енді екі симметрия осі бар овал сызығын қарастырайық (127-сурет).

Овалдың үлкен осін салып алып, осы ось бойына А жəне В нүктелерін өлшеп саламыз. Овалдың кіші осі берілмегендіктен, А жəне В нүктелерінің ортасынан О нүктесін өлшеп саламыз. Осы О нүктесінің екі жағына теңдей етіп, О О

1 жəне О O

2 кесінділерін өлшеп саламыз. Енді О нүктесінен АВ үлкен осіне перпендикуляр сызық жүргізіп қоямыз. Осы перпендикуляр сызықтың бойынан О нүктесіне симметрия болатын кез келген жерден О₃ жəне O₄ нүктелерін өлшеп саламыз. Осы нүктелерден О₁ жəне O₂ нүктелерінен өтетін сəулелер жүргізіп қоямыз. Енді радиусы АО₁ болатын доғаны О

1 нүктесі арқылы жүргізіп, екі сəулені C,D жəне E,F нүктелерінде

O R^{1 R2}

O

3

O

4

O1 O₂

D

С

E

F

2

1 O

O

R

қиып өтеді. Осы сызылған доғаларды С F жəне D E нүктелерінің араларын О₃ жəне O₄ нүктелерінен доғалар сызу арқылы түйіндестіреміз (127-сурет).

Бұл табылған овал екі осьті овал сызығы болып табылады.

Екі осьті овалды салудың екінші мысалын қарастырайық. Овалдың үлкен осін салып алып, осы ось бойына А жəне В нүктелерін өлшеп саламыз (128-сурет). Осы А жəне В нүктелерінің араларын тең үш бөлікке бөліп,

O R1

R2

O

3

O4

O

1

^O

₂

D

С

E

F

O

R1 _R2

D С

E O

1

R

129-сурет 128-сурет

бөлінген бөліктерді О₁ жəне О₂ деп белгілеп, радиусы АО₁ немесе ВО₂ болатын екі шеңбер жүргіземіз. Бұл шеңберлер АВ кесіндісінің бойында орналасқан О нүктесінен жүргізген сəуле мен О₃ жəне О₄ нүктелерінде қиылысады. Егер осы нүктелерді О

1 жəне О

2 нүктелері арқылы қоссақ, онда алдында жүргізілген шеңберлермен C,D,E жəне F нүктелерінде қиылысады.

Осы нүктелерді О₃ жəне О₄ нүктелері арқылы радиусы R₁ болатын доғамен түйіндестірсек, біз екі осьті овалды саламыз.

Келесі мысал, бір осьті овалды салу жолын қарастыралық (129-сурет).

Радиусы R болатын шеңбер жүргіземіз. Шеңбердің горизонталь осі бойынан О₁ нүктесін белгілеп алып, В жəне С нүктелерінен сəуле жүргіземіз. Осы В жəне С нүктелері арқылы радиусы R₁ болатын доға жүргізіп, сəулемен қиылысқан жерін D жəне E нүктелері арқылы белгілейміз. Бұл нүктелерді О₁D жəне O₁E кесінділеріне тең болатын радиусы R₂ доғасымен түйіндестіріп, бір осьті овалды саламыз.

Ескерту, айта кету керек, бұл бір осьті овалдың жалғыз бір ғана түрі емес, бұдан да басқа салу жолдары бар.

1. Геометриялық салулар дегеніміз не?

2. Шеңберді тең үш бөлікке қалай бөледі?

3. Шеңберді тең төрт бөлікке қалай бөледі?

4. Шеңберді тең бес бөлікке қалай бөледі?

5. Шеңберді тең алты бөлікке қалай бөледі?

6. Шеңберді тең сегіз бөлікке қалай бөледі?

7. Шеңберді тең он бөлікке қалай бөледі?

8. Шеңберді тең он екі бөлікке қалай бөледі?

9. Шеңберді тең тоғыз бөлікке қалай бөледі?

10. Түйіндесу дегеніміз не?

11. Параллель сызықтар өзара қалай түйіндеседі?

12. Перпендикуляр сызықтар өзара қалай түйіндеседі?

Бақылау

сұрақтары

13. Қиылысатын сызықтар өзара қалай түйіндеседі?

14. Екі шеңбер өзара қалай түйіндеседі?

15. Түзу сызықтар мен шеңберлер өзара қалай түйіндеседі?

16. Овал дегеніміз не?

17. Овалдың қандай түрлері бар?

1. Диаметрі 80 мм болатын шеңберді тең үш жəне алты бөлікке бөліңіз.

2. Диаметрі 70 мм болатын шеңберді тең төрт жəне сегіз бөлікке бөліңіз.

3. Диаметрі 90 мм болатын шеңберді тең бес жəне он бөлікке бөліңіз.

4. Диаметрі 80 мм болатын шеңберді тең он екі бөлікке бөліңіз.

5. Аралары 50 мм болатын параллель сызықтардың өзара түйіндесуін салып көрсетіңіз.

6. Түйіндесу радиусы 30 мм болатын өзара перпендикуляр сызықтардың түйіндесуін салып көрсетіңіз.

7. Түйіндесу радиусы 30 мм болатын өзара сүйір жəне доғал бұрышпен қиылысып жатқан сызықтардың түйіндесуін салып көрсетіңіз.

8. Түйіндесу радиусы 50 мм, ал диаметрлері 30 жəне 40 мм болатын шеңберлердің ішкі түйіндесуін салып көрсетіңіз.

9. Түйіндесу радиусы 90 мм, ал диаметрлері 35 жəне 50 мм болатын шеңберлердің сыртқы жəне аралас түйіндесуін салып көрсетіңіз.

10. Түйіндесу радиусы 20 мм, ал диаметрі 50 мм болатын шеңбер мен шеңбер ортасынан 40 мм арақашықтықта орналасқан түзудің түйіндесуін салып көрсетіңіз.

11. Түйіндесу радиусы 20 мм, ал диаметрі 50 мм болатын шеңбер мен шеңбер ортасынан 70 мм арақашықтықта тысқары орналасқан түзудің түйіндесуін салып көрсетіңіз.

12. Радиусы 80 мм болатын бір осьті овалды салып көрсетіңіз.

Жаттығу

есептері

1. К.Қ.Қонақбаев, Ж.М.Есмұханов. Сызба геометрия. - Алматы, Мектеп 1968. – 230 бет.

2. К.Қ.Қонақбаев. Сызба геометрия. - Астана, Фолиант, 2011. – 174 бет.

3. Ж.М.Есмұханов. Сызба геометрия есептері. - Алматы, 1995. – 271 бет.

4. Р.Нысанбайұлы, У.Қадырханұлы. Құран Кəрім. - Алматы, 1991.

5. Халифа Алтай. Құран Кəрім (аударма мен түсініктеме. - Медина, Сауд арабиясы, 1991. – 672 бет.

6. А.Əл-Машани. Ай арысы. Ғылым жаңалықтары. - Алматы, 1996. – 52 бет.

7. Б.Н.Нұрмаханов, З.К.Бектыбаева, Ə.К.Бəйдібекв т.б. Құрылыстық сызу. – Алматы. 2011. – 238 бет.

8. Ə.К.Бəйдібеков. Сызба геометрия сандық белгілері бар проекцияларда.

- Тараз, 1999. – 78 бет.

9. Б.Н.Нұрмаханов. Компьютерная графика. - Алматы, 2006.

10. Ж.Жаңабаев. Инженерлік жəне компьютерлік графика. – Алматы, 2005. – 220 бет.

11. И.О.Мөлдеков. Сызба геометрия. - Москва, Спутник+. 2005. – 130 бет.

12. Ы.Нəби. Сызба геометрия жəне инженерлік графика. - Алматы, Бастау.

2010. – 277 бет.

13. А.Ыбраев Инженерлік графика. - Алматы, "Білім". 2005. – 248 бет.

14. Колотов С.М., Евстифеев М.Ф., Михайленко В.Е., и др. Начертательная геометрия. - Киев, Будібелник. 1975. – 215 бет.

15. Фролов С.А. Начертательная геометрия. - Москва, 1978. – 270 бет.

16. Годик Е.И., Янушевский С.К., Бирюкович Л.К. Справочное руководство по черчению. - Москва, 1986. – 640 бет.

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

Редакторы йгерім ЛІМБЕКОВА

Òåõíèêàëûº ðåäàêòîðû Åëåíà ÈÌÀÌÍÈßÇÎÂÀ Êîìïüþòåðäå ºàëûïòà¹àí þëí½ð ÆÀÄÛÐÀÍÎÂÀ

Əуез Кеңесбекұлы БƏЙДІБЕКОВ

И Н Ж Е Н Е Р Л І К Г Р А Ф И К А

сандық белгілері бар проекцияда

(Оқу құралы)