Жазықтықтың ізі

3.3 Жазықтықтың проекциясы

3.3.4 Жазықтықтың ізі

тықтың көлденең П₀ проекция жазықтығымен қиылысу сызығын айтады. Көлденең П₀ жазықтығы мен жазықтық жалпы жағдайда немесе дербес (ерекше) жағдайда (оның ішінде перпендикуляр) 1 0 1 2

P

i

5 6

4

3 3 h h6

П0

1 0 1 2

h5

P

A

5

C

4

B

7

h6

П0

орналаса ғана қиылысады. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтың ізін П₀ жазықтығына саламыз (35-cурет). Үшбұрыштың АВ жəне ВС қырларын бөліктерге бөліп, оларды П₀ жазықтығына дейін созамыз. Үш бұрыштың А5В

1 қыры П

0 жазықтығын М

АВ нүктесінде қияды. Ал, үшбұрышты А

5С

2 қыры М_АС нүктесінде қиып өтеді.

Егер осы табылған қиылысу нүктелерін өзара қоссақ, онда табылған түзу жазықтықтың ізі болады. Жазықтықтың ізін екі қалың сызықтармен сызып, латынның Р_М үлкен əрпімен белгілейміз (35-сурет). 35 а)-суретте кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы Р жазықтықтың көрінісі. Ал, 35 б)-суретте Р жазықтығының сандық белгілері бар проекциялар арқылы берілген кескіні мен осы жазықтықтың П₀ жазықтығындағы ізі көрсетілген.

1 0 1 2

P A

5

C2 B¹

MAC

M

AB

MAC

MAB

A

C B

П0

P

) a

б)

PM

P

M П0

1. Нүктелердің сандық белгілері бар проекциясы дегеніміз не?

2. Масштаб сызғышы дегеніміз не?

3. Монж эпюрі дегеніміз не?

4. Түзу сызықтың сандық белгілері бар проекциясы дегеніміз не?

5. Кесінді табаны дегеніміз не?

6. Түзу сызықтың көлбеулігі дегеніміз не?

7. Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызық дегеніміз не?

8. Түзу сызықтың нақты шамасы дегеніміз не?

9. Дербес жағдайда орналасқан түзу сызықтар дегеніміз не?

10. Деңгейлік түзу сызықтар дегеніміз не?

11. Түзу сызықтың көлбеулігі дегеніміз не?

12. Проекцияланушы түзу сызықтар дегеніміз не?

13. Түзу сызықтың ізі дегеніміз не?

14. Жазықтық проекциясы дегеніміз не?

15. Жазықтықтың көлбеулік масштабы дегеніміз не?

16. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтық проекциясы дегеніміз не?

17. Дербес жағдайда орналасқан жазықтық проекциясы дегеніміз не?

18. Жазықтықтың ізі дегеніміз не?

19. Жазықтықтың басты сызығы дегеніміз не?

Бақылау

сұрақтары

Жаттығу есептері

1. А(30;20;10) нүктесінің Монж эпюрасы мен сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз.

2. В(10;20;-50) нүктесінің эпюрасын салып көрсетіңіз.

3. В(20;20;10) жəне С(15;5;35) түзу сызығының сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз.

4. Жалпы жағдайдағы А(10;20;20) жəне В(25;15;35) төбелерінен тұратын түзу сызықтың нақты шамасын салып көрсетіңіз.

5. Жалпы жағдайдағы А(10;20;20) жəне В(25;15;35) төбелерінен тұратын түзу сызықтың П_о проекция жазықтығына жасаған бұрыштық шамасын салып көрсетіңіз.

6. А(40;20;20) жəне В(25;15;20) төбелерінен тұратын түзу сызықтың кеңістіктегі жағдайын анықтаңыз.

7. D(25;15;40) жəне C(25;15;20) төбелерінен тұратын түзу сызықтың кеңістіктегі жағдайын анықтаңыз.

8. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20) жəне В(25;15;35) төбелерінен тұратын түзу сызықтың П_о проекция жазықтығындағы ізін салып көрсетіңіз.

9. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20), В(25;15;35) жəне С(5;10;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың П

о проекция жазықтығындағы проекциясын салып көрсетіңіз.

10. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20), В(25;15;35) жəне С(5;10;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың деңгейлік сызығын салып көрсетіңіз.

11. А(10;20;15), В(25;15;35) жəне С(15;10;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың П

о проекция жазықтығындағы ізін салып көрсетіңіз.

12. Дербес жағдайда орналасқан А(10;20;40), В(10;20;20) жəне С(15;20;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың проекциясын салып көрсетіңіз.

13. Дербес жағдайда орналасқан А(10;20;20), В(25;15;20) жəне С(5;10;20) төбелерінен тұратын жазықтықтың проекциясын салып көрсетіңіз.

Позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептер жалпы сызба геометрияның негізгі есептері болып табылады. Позициялық (тұрғылықты) есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара орналасуын анықтайтын есептер. Позициялық есептерге:

нүкте мен түзудің, түзу мен түзудің, нүкте мен жазықтықтың, түзу мен жазықтықтың, жазықтық пен жазықтықтықтың, жазықтық пен беттің, екі беттің өзара орналасу есептері жатады.

Метрикалық (өлшем) есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын, олардың арасындағы бұрышын жəне олардың ауданын, нақты шамасын т.с.с. жағдайын анықтайтын есептер.

4.1 Позициялық есептер

Күрделі емес позициялық есептерді шешуде көбінесе жалпы əдістер пайдаланылады. Бұл параграфта кеңістіктегі нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасуы, кеңістіктегі түзу сызықтардың өзара орналасуы, кеңістіктегі екі жазықтықтың өзара орналасуы жəне кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары сияқты позициялық есептерді қарастырамыз.

4.1.1 Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары

Кеңістікте нүкте мен түзу сызық əртүрлі жағдайда кездесуі мүмкін. Кеңіс- тікте нүкте түзу сызық бойында немесе түзу сызықтан тыс орналасуы мүмкін.

Осы тақырыпқа мысал ретінде 36-суреттегі нүктелер мен түзудің өзара орналасуларын қарастырайық. 36-суреттегі С₅ нүктесі – А₅В₂ түзу сызығынан тыс жатқан нүкте. Ал, D₃ нүктесі – А₅В₂ түзу сызығының бойында жатқан нүкте, өйткені бұл нүкте түзу сызықтың ен аралыққа бөлгендегі үшінші бөлігіне тең.

Төртінші тарау

ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЖӘНЕ МЕТРИКАЛЫҚ

ЕСЕПТЕР

A

5

B2

1 0 1 2 36^-сурет

C5

D3

E7

П0

Үшінші Е₇ нүктесін алсақ, бұл нүкте проекциясы түзу сызық бойында жат- қанымен, түзу сызықтан тыс орналасқан, түзу бойында жатпайтын нүкте. Себебі, Е₇ нүктесі түзу сызық бойында жатпайды, 4-енаралық үстінде орналасқанымен, бұл нүктенің сандық белгісі 7-ге тең.

4.1.2 Түзу сызықтардың өзара орналасулары

Түзу сызықтар кеңістікте өзара орналасуларына байланысты: параллель, қиылысқан, айқасқан жəне перпендикуляр (тікше) болып келеді.

Егер кеңістіктегі екі түзу сызықтың көл денең П₀ проекция жазықтығындағы кескіндерінің кескін табандары өзара параллель, ен аралықтары тең жəне сан- дық белгілері бір бағытта өсетін болса, онда мұндай түзу сызықтарды өзара парал лель түзулер дейді.

Мысал ретінде 37-cуретте орна лас- қан А₅В₂ жəне С₅D₈ түзу сызық тарын қарастырайық. Көлденең П

0 жазық- тығында кескінделген А₅В₂ түзуіне С₅D₈ түзу сызығы параллель орналасқан, өйткені екі түзу сызықтың кескіндері өзара параллель, ен аралықтары тең жəне өсу бағыттары сəйкес келген түзулер.

Егер екі түзудің кескін табандары бір нүк- теде қиылысса жəне осы нүктедегі сандық белгілері бірдей болса, ондай түзулер өзара қиылысқан түзулер деп аталады (38-сурет).

Мысал қарастырайық. Көлденең П₀ жазық- тығында өзара қиылысқан А

9В

4 түзу сызығы мен С₅D₈ түзу сызығының кескіні берілген жəне екі түзу К₆ нүктесінде қиылысады.

Берілген екі түзу сызықты ен аралықтарға бөлеміз. Бөлінген ен аралықтар алтыншы санында қиылысып жатыр. Демек, бұл екі түзу сызық - өзара қиылысып жатқан түзу сызықтар.

A

5

B2

1 0 1 2

D

8

C

5

37-сурет П0

A

9

B

4

1 0 1 2 D8

C5

K6

П0

Егер кеңістіктегі екі түзу кескін табандары қиылысқан болса, бірақ ортақ қиылысу нүктесі болмаса жəне түзулердің ен аралықтары əртүр- лі болса, онда мұндай түзулер өзара айқас түзулер деп аталады. Мысал ретінде 39-cуретте орналасқан түзу сызықтарды қарастырайық.

Көлденең П₀ жазықтығында кескінделген өзара қиылысып жатқан А₇В₂ түзуі мен С₅D₈ түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысып жатқан түзулердің ортақ нүктесі жоқ. Түзулердің ен аралықтары өзара тең емес, яғни бұл түзулер айқасып жатыр.

Өзара айқас түзулердің кейде кеңістіктегі кескін табандары өзара параллель болып та келеді, бірақ өсу бағыттары қарама-қайшы

болады.

Өзара айқасып жатқан түзулерге тағы бір мысал ретінде 40-cуретті қарастырайық.

П0 жазықтығында кескінделген А

9В

5 түзуі мен С₅D₈ түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысып жатқан түзулердің ортақ нүктесі жоқ. Түзулердің ен аралықтары өзара тең емес, яғни бұл түзулер айқасып жатыр.

Егер кеңістіктегі орналасқан түзу сы- зықтардың кескін табандары қиылысқан, бірақ түзу сызықтың біреуінің кесінді табаны горизонталь (деңгейлік) түзу болса, ал екінші түзу сызық осы түзу сызыққа (кескін табаны) перпендикуляр орналасса, онда мұндай түзулер өзара перпендикуляр түзулер деп аталады (41-сурет).

Өзара перпендикуляр түзулерге мы- сал ретінде 41-cуретті қарастырайық.

41-cуретте көлденең П

0 жазықтығына параллель орналасқан А₅В₅ түзуі берілген.

Осы түзу сызықтың бойында жатқан С₅ нүктесін белгілеп алып, С₅ нүктесі арқылы перпендикуляр С₅D₈ түзу сызығын жүргіз- сек, онда бұл түзулер өзара перпендикуляр түзулер болады.

A

7

B

2

1 0 1 2

D8

C5

3 4 5 6

7 6

П0

A9

B5

1 0 1 2 D8

C5

П0

A

5

B5

1 0 1 2

D8

C5

П0

4.1.3 Екі жазықтықтың өзара орналасуы

Жазықтықтар да түзу сызықтар сияқты өзара параллель жəне қиылысқан болып келеді.

Егер кеңістікте орналасқан екі жазықтықтардың көлбеу масштабы арқылы берілген проекциялары өзара параллель, ен аралықтары тең жəне сандық белгілері бір бағытта өссе (немесе

төмендесе), онда мұндай жазықтықтарды өзара параллель жазықтықтар деп атайды.

42-суретте Р жəне Q жазықтықтарының көлбеу масштабы арқылы берілген кескіндері көрсетілген. Суретте көрсетілгендей екі жазықтықтардың ен аралықтары мен өсу бағыттары өзара тең. Көлбеу масштабы арқылы берілген жазықтықтардың кескіндері де өзара параллель орналасқан.

Егер жоғарыдағы айтылған қағидалар орындалмаса, яғни ен аралықтары мен өсу бағыттары өзара параллель орналаспаған болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара қиылысқан жазықтықтар деп атайды (43-сурет).

Жоғарыдағы мысалдағыдай, 43-суретте Р жəне Q жазықтықтарының көлбеу масштабы арқылы берілген кескіні көрсетілген. Жазықтықтардың ен аралық- тары əртүрлі жəне жазықтықтардың

кескіндері өзара параллель емес, яғни кеңістікте орналасқан екі жазықтық ортақ қиылысу сызығында қиылысады. Енді осы қиылысу сызығын анықтау үшін, жазықтықтардың ен аралықтарынан жазықтық кескініне перпендикуляр болатындай сəулелер жүргіземіз. Екі жазықтықтан жүргізген өзара аттас сəулелерді өзара қиылысқанға дейін созамыз. Егер осы табылған қиылысу нүктелерін өзара қоссақ, онда табылған сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болады (43-сурет).

1 0 1 2

P

i

5 6

4 3

Q

i

13 14

12 11 7

П0

1 0 1 2

Pi

5 6

4 3

Qi

4 3

5

П0

6 KC

4.1.4 Түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары

Кеңістікте түзу сызықтар жазықтыққа параллель, меншікті (жазықтық бойында жатады) жəне перпендикуляр (тікше) қиылысады. Енді осы жағдайларға мысал қарастырамыз.

Егер түзудің екі нүктесі жазықтық бойында жатса, онда мұндай түзу сызық жазықтыққа меншікті болады. Мысал қарастырайық.

44-суретте Р жазықтығының көлбеу масштабы арқылы берілген кескіні көрсетілген. Түзудің А жəне В нүктелері осы жазықтықтың аттас горизонтальдарының бойында жатыр, яғни АВ түзу сызығы Р жазықтығына меншікті болады.

Егер жазықтыққа меншікті түзу сызыққа екінші бір түзу параллель болса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель болады.

Мысал ретінде 45-cуретті қарастырайық.

Суретте көлбеу масштабы арқылы берілген Р жазықтығы мен осы жазықтыққа меншікті АВ түзуі берілген. АВ түзуінің А жəне В нүктелері Р жазықтығының аттас горизонтальдар бойында жатыр. АВ түзу сызығына параллель болатын СD түзуін жүргіземіз. Егер СD түзу сызығы АВ түзуіне параллель болса, онда СD түзу сызығы Р жазықтығына да параллель болғаны.

Егер түзу сызық жазықтыққа меншіксіз немесе жазықтыққа параллель болмаса, онда мұндай түзу сызықтар жазықтықпен қиылысады (46-сурет).

Жазықтықпен түзу сызықтың қиылысу нүктесін табу үшін, 46-суретте көрсетілгендей, А

3В

6 түзу сызығы арқылы кез келген проекцияланушы Q жазықтығын жүргіземіз. Бұл Q жазық- тығын жүргізіп отырған себебіміз – екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтау. Ол үшін жазықтықтарды ен 1 0 1 2

P

i

A

3

6

4 3

5

B

6

П0

1 0 1 2

Pi

5 6

4 3

C9

B6

D12

A

3 7

П0

1 0 1 2

P

i

B6

A3

Qi 6

4 3

5

K7

П0

аралықтарға бөліп, осы ен аралықтардан горизонталь түзулерін жүргіземіз.

Аттас горизонтальдар өзара қиылысып, екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтаймыз. Енді осы табылған қиылысу сызығын берілген А₃В₆ түзу сызығына дейін созып, К

7 қиылысу нүктесін табамыз (46-cурет).

Егер түзу сызықтың проекциясы көлбеулік масштабы арқылы берілген жазық тыққа параллель (немесе жазық- тықтың горизонталына перпендикуляр), ен ара лықтары кері пропорционал болса жəне ен аралықтарының сандық белгілері кері қарай өссе, онда мұндай түзу сызықтарды жазықтыққа перпендикуляр орналасқан түзу сызықтар дейді (47-cурет).

Жазықтыққа перпендикуляр түзу

жүргізу үшін, алдымен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығы мен осы жазықтыққа меншікті А₄ нүктесі берілсін. Осы берілген меншікті нүкте арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргізу үшін түзудің ен аралығын анықтау қажет. Ол үшін тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланамыз.

Түзу сызық бойына жазықтықтың ен аралығын l_ж өлшеп салып, 47-суретте көрсетілгендей, масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп алып, жазықтықтың ен аралығы l_ж сызылған сызыққа перпендикуляр түсіріп, К нүктесін табамыз.

Осы нүкте арқылы тікбұрышты үшбұрышты саламыз. Табылған үшбұрыштың гипотенузасын К нүктесінен жүргізілген сызық (қызыл сызық) L нүктесінде қиып өтеді. Осы нүкте мен жазықтық (l_ж) ен аралығының арақашықтығы түзу сызықтың ен аралығы l_т болады.

Енді А₄ нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығына параллель түзу жүргізіп, осы түзу бойына түзу сызықтың ен аралығын – l_т өлшеп саламыз. Бұл табылған түзу сызық жазықтыққа перпендикуляр түзу болып табылады.

4.2 Метрикалық есептер

Сандық белгісі бар проекциялар горизонталь П₀ жазықтығында орындалса да, сызбада тікбұрышты (ортогональ) проекциялар қағидаларымен құрылатын болғандықтан, тікбұрышты проекцияларда қолданылатын əдістердің көбін сандық белгісі бар проекцияларда да пайдалануға болатынын айта кету керек. Сондықтан метрикалық (өлшем) есептерді шешуде жалпы əдістерді пайдаланамыз.

1 0 1

P

i

6

4 3

5

lж l_m

A

4

B

9

1

lm K

L

4.2.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы

Егер түзу сызық кеңістікте жалпы жағ дайда орналасқан болса, онда оның көлденең П₀ жа- зық тығындағы проекциясы бұрмаланып, түзу сызық ұзын немесе қысқа болып кескінделеді.

Сандық белгісі бар проекцияларда жалпы жағдайда берілген түзу сызықтың нақты шама сын (ұзындығын) табу үшін, берілген А4В

6 түзуінің А

4 жəне В

6 нүктелерінен түзуге перпендикуляр сызық жүргіземіз. Осы сызық бойына сан өлшемдерін өлшеп саламыз. Егер табылған А жəне В нүктелерін өзара қоссақ, онда жүргізілген түзу сызық ұзындығы түзудің нақты шамасы болады (48-сурет).

Енді түзудің жазықтыққа жасайтын бұры шын анықтау үшін, А нүктесінен А₄В₆ түзуінің сандық белгісі бар проекциясына параллель түзу жүргіземіз. Осы түзу мен түзудің нақты шамасының арасындағы бұрышы А₄В₆ түзу сызығы мен көлденең П₀ жазықтықтың арасындағы бұрышы болып табылады.

4.2.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы

Жоғарыда айтып кеткендей, метрикалық есептер деп гео метриялық фигуралардың сыз бал ары арқылы олар дың кеңіс тік тегі өзара қашық тықтарын аны қтайтын есептерді айтады.

Н үкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға мы сал ретінде 49-суретті қа рас тырайық. Суретте кеңіс тік те орналасқан S₂ нүктесі мен көлбеулік масштабы ар қылы Р жазықтығы берілген. Жазықтыққа S

2 нүктесі ар қылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл түзу сызықтың ен аралығын анықтау үшін, тікбұрышты үшбұрыш əдісін пай даланамыз. Сызық бойына жазықтықтың ен аралығын l_ж өлшеп, О нүктесін анықтаймыз. Осы сызыққа перпендикуляр масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп салып, L нүктесін табамыз. Табылған көлбеу сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл қызыл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. М жəне О нүктелерінің арақашықтық перпендикуляр түзу сызығының ен аралығы l_т болады. Осы табылған ен аралықты S₂ нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығына жүргізілген параллель түзу сызық бойына өлшеп саламыз.

1 0 1 2

A4

B6

B

A

HШ D

П0

1 0 1

S

2

Qi

Pi

1M

lж

lт

5 6

7 5

6

4 3 7

5 .

K

5

KC

L

N M

O

П0

Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызы ғын анықтау керек.

Ол үшін түзу арқылы проекцияланушы Q жазық- тығын жүргіземіз. Осы Q жазықтығы мен көл- беулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығының қиылысу сызығын анық- таймыз. Осы қиылысу үшін, екі жазықтықтың аттас гори- зонтальдарын өзара қосамыз.

Барлық өзара қосқан аттас горизонтальдар тек қана бір түзуде қиылысады.

Біздің мысалымызда жазық тықтың 5-горизонталі

мен түзу сызықтың 5-горизонталі жəне 6 мен 6-горизонтальдарын өзара қосқанда бұл сызықтар N нүктесінде қиылысады. Осы нүкте арқылы горизонталь сы- зыққа параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болатынын жоғарыда

айтқанбыз. Табылған қиылысу сызығы перпендикуляр түзуді 5.5 бөлігінде қиып өтеді. Қиы- лысу нүктесін К əрпімен бел- гілейміз.

Табылған К_5.5 нүктесімен S₂ нүктесінен Р жазықтығына де- йінгі арақашықтық кеңістіктегі нүкте мен жазықтықтың ара- қашықтығы болып табылады.

Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға екінші мысал қарастырайық (50-сурет). Суретте кеңістікте орналасқан S

12 нүктесі мен

үшбұрыш арқылы Р жазықтығы берілген. Есепті шешу үшін, алдымен жазықтыққа S₁₂ нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр сызық жазықтықтың горизонталь сызығына перпендикуляр болып түсуі шарт. Тікбұрышты үшбұрыш əдісін пайдаланып, түзу сызықтың ен аралығын анықтаймыз. Ол үшін бір сызық бойына жазықтықтың ен

1 0 1 2

S12

P

C

5

A

¹

1м

lж

lm

B

3

3 ,

K

3

1 0 1

S12

P

C

5

A

¹

1м

lж ^m

l

B

3

3 ,

K

3

L M O

П0

аралығын – l_ж өлшеп салып, О нүктесін табамыз. Осы нүктеден масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп алып, L нүктесін саламыз. Сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. Табылған М мен О нүктелерінің арақашықтығы перпендикуляр түзу сызықтың ен аралығы l_т болады. Табылған ен аралықты S₁₂ нүктесінен жүргізілген сызық бойына өлшеп саламыз.

Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызығын анықтау керек.

Егер жазықтық пен түзу сызықтың аттас горизонтальдарын өзара қоссақ, онда өзара аттас горизонтальдар тек қана бір нүктеде қиылысады. Біздің мысалымызда бұл сызықтар К_3.3 нүктесінде қиылысады. Табылған К_3.3 нүктесі кеңістікте орналасқан S₁₂ нүктесі мен үшбұрыш арқылы берілген Р жазықтығының арақашықтығы болып табылады.

Метрикалық есептердің бірнеше түрлерінің жалпы əдіспен шешу жолдарын көрсеттік. Қалған есептердің шешу жолдарын келесі тарауда көрсетеміз.

1. Позициялық есептер дегеніміз не?

2. Түзу сызықтар өзара қалай орналасады?

3. Жазықтықтар өзара қалай орналасады?

4. Жазықтық пен түзу сызық өзара қалай орналасады?

5. Метрикалық есептер дегеніміз не?

6. Түзу сызықтың нақты шамасын қалай анықтайды?

7. Жазықтық пен нүктенің арақашықтығын қалай анықтайды?

Бақылау

сұрақтары

Жаттығу есептері

1. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20); В(25;15;30) төбелерінен тұратын түзу сызық пен С(15;10;20) нүктесінің өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

2. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30) жəне С(10;20;25);

D(25;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтардың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

3. Кеңістікте орналасқан өзара параллель түзу сызықтарды салып көрсетіңіз.

4. Кеңістікте орналасқан өзара перпендикуляр түзу сызықтарды салып көрсетіңіз.

5. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі АВС жəне DEF жазықтықтарының өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

6. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі А(20;20;20); В(25;15;30);

С(10;20;25) төбелерінен тұратын жазықтық пен Е(10;20;25); D(5;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

7. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30); С(10;20;25) жазықтығының бойында жатқан D нүктесінен перпендикуляр түзу сызығын салып көрсетіңіз.

8. Кеңістікте орналасқан А(10;20;10); В(15;15;30); С(20;10;25) жазық- тығы Е(10;20;25); D(5;25;10) түзу сызықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз.

Егер кеңістіктегі геометриялық фигуралардың жазықтық бетіндегі проекциясы (кескіні) жеке жағдайда орналасқан болса, онда есеп шешімі оңай жəне жеңіл болады. Сондықтан жалпы жағдайда орналасқан есептерді жеке жағдайға келтіріп шешу əдісін сызбаны түрлендіру тəсілдері дейді.

Түрлендіру тəсілдерінің негізгі міндеті – жалпы жағдайда кескінделген геометриялық фигураларды жеке жағдайға түрлендіру. Осы түрлендіру тəсілдерін пайдалана отырып, сызба геометрия курсындағы көптеген қиын да күрделі позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептерді шешу жолдарын жеңілдетеді.

Түрлендіру тəсілдерінің түрлері өте көп, олардың ішінде көп тараған түрлері проекция жазықтығын бір немесе бірнеше жазықтықпен алмастыру жəне айналдыру (деңгей сызығы мен беттестіру) тəсілдері болып табылады.

5.1 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі

Проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің маңызы – күрделі есептерді шешу үшін, көлденең П₀ проекция жазықтығын бір жазықтықпен немесе екі жазықтықпен алмастыру арқылы есептің шешуін табуға болады.

Егер геометриялық фигуралардың кескініне бірінші проекция жазықтығын параллель алсақ, онда екінші проекция жазықтығын сол кескінге перпендикуляр етіп орналастырамыз.

Осы тəсілді пайдаланып, түзудің жəне жазықтықтың нақты шамасын, түзу мен жазықтықтың немесе екі жазықтықтың бұрыштық шамасын, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын жəне тағы басқа сол сияқты есептерді шешуге болады.

Бесінші тарау

СЫЗБАНЫ ТҮРЛЕНДІРУ ТӘСІЛДЕРІ

5.1.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен проекция жазықтығына жасаған бұрышын анықтау

Түрлендіру тəсілдерінің П₀ проекция жазықтығын жаңа бір проекция жазықтығымен алмастыру тəсілін пайдаланып, түзу сызықтың нақты шамасын анықтауды қарастырайық.

Мысал ретінде АВ түзу сызығының нақты шамасын жəне осы түзу сызықтың П₀ жазықтығымен жасаған бұрышын анықтау есебі (51-сурет).

П0

П4

) a

A4

B4

A4

B6

B

A

x1

НШ

1 0 1 2

A4

B6

B

A

HШ D

х1

П4

П0

б)

D

П0

Көлденең П₀ жазықтығында АВ түзу сызығы берілген. Осы түзу сызыққа параллель орналасқан жаңа бір П₄ проекция жазықтығын аламыз (51, а)

сурет). Жаңа жазықтық көлденең П₀ жазықтығымен қиылысып, х₁ осін береді. Берілген түзу сызықтың А жəне В төбелерінен жаңа П

4 проекция жазықтығына перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Перпендикуляр сəулелер жаңа проекция жазықтығын А₄ жəне В₄ нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда АВ түзуінің нақты шамасын табамыз. Түзу сызықтың А₄ төбесінен көлденең П₀ жазықтығына параллель сəуле жүргіземіз. Осы түзу мен түзудің нақты шамасының арасындағы бұрыш шамасы кеңістіктегі АВ түзуі мен көлденең П₀ жазықтығының арасындағы α бұрышын көрсетеді.

Егер жаңа П₄ проекция жазықтығын х₁ осі арқылы бұрып, көлденең П₀ проекция жазықтығымен беттестірсек, онда есептің шешуі жазықтықты алмастыру тəсілі арқылы орындалады.

Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын сандық белгілері бар проекцияда көрсетейік (51, б)-сурет). Көлденең П₀ жазықтығында А₄В₆ түзу сызығының кескіні берілген. Осы түзу сызыққа кез келген жерден параллель орналасқан жаңа бір П

4 проекция жазықтығын аламыз. Бұл жаңа жазықтық көлденең П₀ жазықтығымен қиылысып, х₁ осін береді. Берілген түзу сызықтың А₄ жəне В₆ төбелерінен осы х₁ осіне перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Перпендикуляр сəулелер бойына жаңа жазықтықта нүктелердің өлшемдерін өлшеп саламыз. Табылған нүктелерді өзара қосып, АВ түзуінің нақты шамасын табамыз. Түзудің А₄ төбесінен х₁ осіне параллель сəуле жүргіземіз. Табылған бұрыш көлденең П

0 жазықтығы мен А

4В

6 түзу сызығының арасындағы α бұрыш болады.

5.1.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау

Көлденең П₀ проекция жазықтығындағы геометриялық фигуралардың кескіндерін жаңа проекция жазықтығымен алмастыру тəсілін пайдаланып, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтауды қарастырайық.

Мысал ретінде кеңістікте орналасқан нүкте мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың арақашықтығын анықтау есебін қарастырамыз (52 жəне 53-суреттер).

Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А₁В₃С₅ үшбұрышы арқылы берілген жазықтық пен кеңістікте орналасқан S₁₂ нүктесінің кескіні берілген (52-сурет). Нүкте мен жазықтықтықтың арақашықтығын табу үшін, В

3 төбесінен h₃ горизонталь негізгі сызығын жүргіземіз. Осы сызықтың кез келген жерінен перпендикуляр болатын жаңа бір П₄ проекция жазықтығын саламыз.

Бұл жазықтық көлденең П₀ жазықтығымен қиылысып, х₁ осін береді.

Жаңа П₄ проекция жазықтығында өлшемдері арқылы жазықтық пен нүктенің кескінін саламыз. S

4 нүктесінен А

4В

4С

4 үшбұрышы арқылы берілген жазықтыққа (біздің мысалымызда жазықтық түрленіп бір түзу болады)

1 0 1 2

S12

P

C5

A1 x1

B3

K2

П0

П4

C4

В4

К4

А4

S4

P4 h3

перпендикуляр сəуле жүргіземіз. Сəуле жазықтықты К

4 нүктесінде қиып өтеді. Табылған К₄ нүктесі мен S₄ нүктесінің арасы іздеп отырған жазықтық пен нүктенің арақашықтығы болып табылады.

1 0 1 2

S

12

P

i

5 6 7

8 .

K

4

K4

S

⁴ P4

x1

П0 П⁴

Кеңістікте орналасқан К нүктесін, көлденең П₀ проекция жазықтығын анықтайық. Ол үшін керісінше, К₄ нүктесінен х₁ осіне перпендикуляр болатын сəуле жүргіземіз. S₁₂ нүктесінен х₁ осіне параллель болатын сəулені К₄ нүктесінен жүргізген сəулемен қиылысқанға дейін созамыз. Табылған К₂ нүктесі мен S₁₂ нүктесінің арақашықтығы жазықтық пен нүктенің арақашықтығы болады.

53-суретте кеңістіктегі нүкте мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың арақашықтығын анықтаймыз.

Ол үшін жазықтықтың кескініне кез келген жерден параллель жаңа П₄ проекция жазықтығын саламыз. Жазықтықтың горизонтальдарын жүргізіп, П4 проекция жазықтығында Р жазықтығы мен S

4 нүктесін анықтаймыз.

Қалған жазықтық пен кеңістікте орналасқан нүктенің арақашықтығы жоғарыда көрсетілген мысалдағы шығару жолымен шешіледі.

5.1.3 Екі жазықтық арасындағы бұрыштық шаманы анықтау

Енді жазықтықты алмастыру тəсілін пайдаланып, кеңістікте орналасқан екі жазықтық арасындағы бұрыштық шаманы анықтауды қарастырайық.

Бұл есептер күрделі есептер қатарына жататын болғандықтан, көлденең П

0 проекция жазықтығын екі жаңа проекция жазықтығымен алмастырамыз (54-сурет).

Көлденең П₀ жазықтығында кеңістікте түйіндесіп орналасқан А₁В₄C₅ жəне А₁В₄S₂ үшбұрыштарының кескіндері берілген. Үшбұрыштардың А1В

4 қырларының екі жазықтыққа ортақ екені көрініп тұр. Осы ортақ жазықтықтар қырына кез келген жерден параллель жаңа бір П₄ проекция жазықтығын саламыз. Бұл жаңа П₄ жазықтығы көлденең П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасып, П₀ жазықтығын х₁ осінде қиып өтеді. Үшбұрыштардың барлық төбелерінен х₁ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы сəулелер бойына өз сандық өлшемдерін өлшеп саламыз.

Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте берілген екі жазықтықтың жаңа П₄ проекция жазықтығындағы кескінін табамыз.

Үшбұрыштардың А₁В₄ қырлары х₁ осіне параллель болғандықтан, жаңа П4 проекция жазықтығындағы кескіні нақты шамасымен кескінделеді.

Сондықтан осы үшбұрыштардың А₄В₄ қырына келесі екінші П₅ проекция жазықтығын перпендикуляр етіп аламыз. Жаңа П₅ жазықтығы да П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан жазықтық. П₀ проекция жазықтығын бұл жазықтық х₂ осінде қиып өтеді. Үшбұрыштардың төбелерінен х₂ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы сəулелер бойына өз сандық

өлшемдерін өлшеп, үшбұрыштардың екінші П₅ проекция жазықтығындағы кескінін саламыз. Бұл табылған кескін екі түзу сызықты береді. Екі түзу сызықтың арасындағы _α бұрышы екі үшбұрыштың арасындағы бұрыштық шамасы болады.

5.1.4 Айқасып жатқан екі түзудің арақашықтығын анықтау

Проекция жазықтығын алмастыру тəсілін пайдалана отырып, екі айқасып жатқан түзудің ең жақын арақашықтығын анықтауды қарастырайық. Мұндай есептер күрделі есептер қатарына жатады. Сондықтан көлденең П₀ проекция жазықтығын екі жаңа проекция жазықтығымен алмастырамыз.

Екі айқасып жатқан түзу сызықтың арасындағы ең жақын арақашықтықты анықтау есебін қарастырайық (55-сурет).

Көлденең П₀ проекция жазықтығында А₁В₆ жəне C₅D₃ түзу сызықтарының кескіндері берілген. Осы сызықтардың біреуіне кез келген жерден параллель жаңа бір П

4 проекция жазықтығын аламыз. Біздің мысалымызда кеңістікте орналасқан А₁В₆ түзу сызығына параллель жаңа П₄ проекция жазықтығы берілген. Жаңа П₄ жазықтығы көлденең П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқандықтан, П₀ жазықтығын х₁ осінде қиып өтеді.

Түзулердің төбелерінен х₁ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргізіп, сол сəулелер бойына өзіміз сандық өлшемдерін өлшеп саламыз.

Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған түзулер жаңа П₄ проекция жазықтығындағы кескіндері болады. П₀ проекция жазықтығындағы А₁В₆ түзуі П₄ проекция жазықтығына параллель болғандықтан, ол П₄ проекция жазықтығында нақты шамасымен кескінделеді.

Келесі екінші П

5 проекция жазықтығын А

4В

4 түзу сызығына перпендикуляр етіп аламыз. Бұл П₅ жазықтығы П₀ проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан П₀ проекция жазықтығын х₂ осінде қиып өтеді. Түзу сызықтың төбелерінен х₂ осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы

1 0 1 2

C

5

A

1

B

₆

5 .

K3

x1

K5

D

5

C

5 5

5

5 B N

A { { П5

П4

х2

П0

П4

D4

С

4

А

4

В

4

К4

N4

HШ

D

3

N5