3
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
«Алматы энергетика және байланыс университеті»
коммерциялық емес акционерлік қоғамы
А.К.Дүйсек, Ж.С.Абдулланова
МАТЕМАТИКА 1 Оқу құралы
АЭжБУ Алматы 2016
4
ӘОЖ 510(075.8) КБЖ 22.1я73- Д87
Пікір берушілер:
физика-математика ғылымдарының кандидаты, әл-Фараби атындағы ҚазҰУ дифференциалдық теңдеулер және басқару теориясы кафедрасының доценті
Ү.Қ.Қойлышов,
физика-математика ғылымдарының кандидаты, Қ.И. Сәтпаев атындағы ҚазҰЗТУ «Математика» кафедрасының доценті
А.Н.Дадаева,
техника ғылымдарының кандидаты, АЭжБУ компьютерлік технологиялар кафедрасының доценті
А.А. Аманбаев
Алматы энергетика және байланыс университетінің Ғылыми кеңесі басуға ұсынды (26.01.2016ж. № хаттама). АЭжБУ 2015 ж.ведомостік әдебиеттер басылымдарын шығарудың тақырыптық жоспары бойынша басылады, реті 39.
Дүйсек А.К.
Д87 Математика 1: Оқу құралы. (Жоғары оқу орындарының 5В071700, 5В071800, 5В071900 «Радиотехника, электроника және телекоммуни- кациялар» мамандығы студенттеріне арналған) /А.К.Дүйсек, Ж.С.Абдулланова. – Алматы АЭжБУ, 2016,- 71 б.: ил. – 11, әдеб.көрсеткіші – 7 атау.
ISBN 978-601-7436-96-4
Ұсынылып отырған оқу құралы «Математика 1» пәнінің оқу бағдарламасы бойынша жазылған. Бұл құралда сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері, анализге кіріспе, бір айнымалылы функцияның дифференциалдық және интегралдық есептеулері қамтылған.
Теориялық және практикалық материалдар жеткілікті мөлшерде мысалдармен өрнектелген.
Оқу құралы «Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар»
мамандығы бойынша білім алатын студенттерге арналған.
ӘОЖ 510(075.8) КБЖ 22.1я73
ISBN 978-601-7436-94-4 © АЭжБУ,2016 Дүйсек А.К.,
Абдулланова Ж.С., 2016
5 1. Анықтауыштар мен матрицалар 1.1Екінші ретті анықтауыштар
Мынандай алгебралық сызықтық жүйені қарастырайық:
2 2 22 1 21
1 2 12 ' ''
b x a x a
b x a x
a , (1.1.1) мұнда x1 және x2 белгісіздер, a11,a12,a21,a22 белгісіздердің коэффициенттері, b1,b2-бос мүшелер.
Осындай жүйелерді бұрында мектепте қарастырғанбыз. Мұны шығару үшін мынадай әдісті қолданайық.
Бірінші теңдеуді a22,екінші теңдеуді a12ге көбейтіп, бірінші теңдеуден екіншісін мүшелеп алайық.
a11a22 a12a21
x1b1a12b2a22. (1.1.2) Енді бірінші теңдеуді a12 ге, екінші теңдеуді a11-ге көбейтіп, бірінші теңдеуден екіншісін мүшелеп алсақ, онда
a12a21a11a22
x2 b1a21b2a11. (1.1.3) болады.Егер a11a22a12a21 0болса, онда (1.1.1) жүйесінің шешімдері мынаған тең:
21 12 22 11
21 1 11 2 2 21 12 22 11
22 2 12 1
1 ,
a a a a
a b a x b
a a a a
a b a x b
. (1.1.4) Осы шешімнің мәндері ықшамдау үшін бөліміне мынадай белгілеу енгізейік
a x a
a a a
a a
a
22 21
12 11 21 12 22
11 .
Бұл өрнекті, яғни
22 21
12 11
a a
a
a берілген жүйенің екінші ретті анықтауышы деп атайды: мұндағы a11,a12,a21,a22-анықтауыштың элементтері, ал a11,a12,
бірінші жатық жолдың a11,a21,- бірінші тік жолдың (бағанның) элементтері деп аталады.
Элементтердің индексінің бірінші саны жатық жолдың нөмірін, ал екіншісі тік жолдың (бағанның) нөмірін көрсетеді.
Анықтауыштың берілген анықтамасын пайдаланып, (1.1.4) шешімді былай жазуға болады.
; .
22 21
12 11
2 21
1 11
2
22 21
12 11
22 2
12 1
1
a a
a a
b a
b a x a a
a a
a b
a b
x (1.1.6)
6 Егер
2 21
1 11 2 22 2
12 1
1 ,
b a
b x a
a b
a
x b
деп белгілесек, онда
1 1, 2 2 .
x
x x
x (1.1.7) Осы (1.1.7) формулаға сүйеніп, жүйенің шешімдері туралы мынадай қорытынды жасауға болады:
1) Егер 0, онда жүйенің нақты бір ғана шешімі болады.
2) Егер 0 болып, ал x1 немесе x2-нің кемінде біреуі нөлге тең болмаса, онда жүйенің шешімі болмайды.
3) Егер x1 x2 0, онда бұл жүйенің шексіз көп шешімі болады.
Берілген (1.1.1) жүйенің шешімін тапқан осы әдісті Крамер ережесі деп атайды.
Мынадай мысал қарастырайық
5 3
7 3 2
2 1
2 1
x x
x
x .
Шешуі:
, 1 22 5
3 , 7
11 9 1 2
3 3 2
1
x 11
5 3
7 2
2
x .
Сонда (1.1.7) формула бойынша
11 1
; 11 11 2
22 2
2 1
1
x
x x
x .
Демек, жүйенің бір ғана шешімі бар
x1 2, x2 1
.1.2 Үшінші ретті анықтауыштар
Бірінші дәрежелі үш белгісізі бар үш теңдеудің жүйесін қарастырайық:
3 3 33 2 32 1 31
2 3 23 2 22 1 21
1 3 13 2 12 1 11
b x a x a x a
b x a x a x a
b x a x a x a
. (1.2.1) Бұл жерде
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
теңдеулер жүйесінің анықтауышы.
Бұл анықтауыштың мәні мынаған тең болады:
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a13a22a31a12a21a33a11a23a32. (1.2.2) Мұны үшінші ретті анықтауыш деп атайды.
Бұл анықтауыштарды табу үшін үшбұрыштық Саррюс және де басқа әдістер қолданылады.
7
Осы анықтауыштарды есептеген соң, (1.2.1) жүйесінің шешімін мына Крамер формулалары арқылы табамыз:
1 2 2 3 3
1 , , x
x x x x
x .
Мынадай мысал келтірейік.
Алгебралық сызықтық жүйе берілсін:
7 4 3 3
5 3 2 2
4 3 2
3 2 1
3 2 1
2 1
x x x
x x x
x x x
. Шешуі:
. 1 28 15 24 24 30 14 7 3 3
5 2 2
4 2 1
; 0 32 21 45 42 36 20 4 7 3
3 5 2
3 4 1
; 1 40 36 42 45 42 32 4 3 7
3 2 5
3 2 4
; 1 16 9 18 18 18 8 4 3 3
3 2 2
3 2 1
3 2 1
x x x x
Осыдан
1 1
; 1 1 0 , 0
1 1
1 3
3 2
2 1
1
x
x x x x
x .
Яғни, шешімі x1 1; x2 0;x3 1.
1.3 Реті nге тең анықтауыш және оның қасиеттері. Минорлар және алгебралық толықтауыштар
Мынадай кесте бізге берілсін
. ....
....
....
...
...
....
...
2 1
2 22
21
1 12
11
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
(1.3.1) Мұндай кестені nn өлшемді матрица деп атайды. Бұл матрицаның элементтері nжатық және және n тік жол (баған) бойымен орналасқан.
Анықтама. Реті n-ге тең анықтауыш деп (1.3.1) матрицаның жатық жолдарымен тік жолдарының әрқайсысымен бір-бірден алынған n элементтің көбейтіңдісінен тұратын n! қосылғыштың алгебралық қосындысын айтады.
8
n-ші ретті анықтауышты былай белгілейді .
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
(1.3.2)
Мұндағы aij(i, j 1,2,...n) анықтауыштың элементтері болады. Бірінші индекс жатық жолдың, екінші индекс тік жолдың нөмірі. Егер n3 болса, онда n-ші ретті анықтауышты есептеуге үшінші ретті анықтауыштарға пайдаланғандай ережені алдын ала көрсету қиын. Мұндай анықтауыштарды есептеуге басқа тәсілдер қолданылады.
Енді анықтауыштардың қасиеттерін дәлелдеусіз келтірейік.
1-қасиет. Анықтауыштағы барлық жатық жолдар мен сәйкес барлық тік жолдардың орындарын ауыстырса, онда анықтауыштың мәні өзгермейді.
2-қасиет. Анықтауыштағы кез келген екі жатық немесе екі тік жолдың орындарын ауыстырса, одан анықтауыштың тек таңбасы ғана өзгереді.
3-қасиет. Егер анықтауыштағы екі жатық немесе екі тік жолдың сәйкес элементтері өзара тең болса, онда анықтауыштың мәні нөлге тең болады.
4-қасиет. Егер анықтауыштағы кез келген бір жолдың барлық элементтерінің ортақ көбейткіші болса, оны көбейткіш етіп анықтауыштың таңбасының сыртына шығаруға болады.
5-қасиет. Егер анықтауыштағы екі жатық немесе екі тік жолдың элементтері пропорционал болса, онда анықтауыштың мәні нөлге тең болады.
6-қасиет. Егер анықтауыштағы кез келген бір жатық немесе тік жолдын элементтері екі (немесе бірнеше) санның қосындысынан тұрса, онда анықтауышты екі (немесе бірнеше) анықтауыштың қосындысы етіп жазуға болады.
7-қасиет. Егер анықтауыштағы кез келген бір жатық немесе тік жолдың барлық элементтерін бірдей нөлге тең емес санға көбейтіп, паралелль жатқан екінші бір жолдың сәйкес элементтеріне апарып қосса, одан анықтауыштың мәні өзгермейді.
Анықтама. Реті n-ге тең анықтауыштан aik элементіне сәйкес минор деп, анықтауыштағы i-інші жатық жол менk-нөмерлі тік жолдың элементтерін сызып тастағанда қалатын
n1
ретті анықтауышты айтады және Mik деп белгілейді.Анықтама. Анықтауыштың aik элементіне сәйкес алгебралық толықтауыш
Aik деп мына көбейтіндіні айтады:Aik
1ikMik. (1.3.3) Осы анықтамаларға сүйеніп анықтауыштың тағы да қосымша қасиеттерін келтірейік.9
8-қасиет. Егер анықтауыштағы кез келген жатық немесе тік жолының барлық элементтерін өздеріне сәйкес алгебралық толықтауыштарға көбейтіп, шығатын көбейтінділердің бәрін қосса, ол қосынды анықтауыштың мәніне тең болады.
n nA a A
a A
a11 11 12 12 ... 1 1
.
9-қасиет. Егер анықтауыштағы бір жатық (немесе тік) жолдың элементтерін екінші бір жатық (немесе тік) жолдың элементтерінің сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосса, ол әрқашанда нөлге тең болады.
Мысалы: a11A21a12aA22 a13A23...a1nA2n 0
a11A31a12aA32a13A23...a1nA3n 0 т.с.с.
1.4 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін Крамер ережесі арқылы шешу
Бізге n белгісізі бар n сызықтық теңдеуден тұратын жүйе берілсін:
n n nn n
n
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
x a x a
b x a x
a x a
...
...
...
2 2 1 1
2 2
2 2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
. (1.4.1) Мұндағы x1,x2...,xn-белгісіздер, aik(i,k 1,2,...n) белгісіздердің коэффициенттері, b1,b2,...,bn бос мүшелер.
Анықтама. Белгісіздердің
1.4.1
жүйедегі теңдеулердің әрқайсысын теңбе-теңдікке айналдыратын мәндерін жүйенің шешімі деп атайды. Шешімі бар жүйені үйлесімді, шешімі жоқ жүйені үйлесімсіз жүйе деп атайды.Екінші және үшінші ретті алгебралық сызықты теңдеулер жүйесі Крамер әдісімен шешуді біз бастапқы бөлімдерде қарастырғанбыз.
Сонда қарастырылған анықтауыштарға ұқсас анықтауыштарды (1.4.1) жүйеге де жазуға болады:
nn n
n
n n
nn n
n
n n
a a
b
a a
b
a a
b x a
a a
a a
a
a a
a x
....
....
...
. ,
...
...
...
2
2 22
2
1 12
1 1
2 1
2 22
21
1 12
11
,
n nn n
n
n n
n nn n
n
n n
b a a
a
b a a
a
b a a
a x a
b a
a b a
a b a x
1 2
1
2 1 2 22
21
1 1 1 12
11
1
2 2 21
1 1 11 2
....
...
...
....
...
...
...
....
, ...
...
...
.
Осыдан (1.4.1) жүйенің шешімін мына формулалармен табамыз:
1 1 , 2 2 ,...., . 3 .
xn
x x x x
x (1.4.2)
10
Бұл формулаларды Крамер формулалары деп атайды.
Жүйенің шешімдерін зерттегенде мынадай қортындылар шығады (бұрын үш белгісіз үшін келтірілген):
1) Егер 0, жүйенің шешімі тек біреу ғана болады.
2) Егер 0, ал x1, x2,....xn анықтауыштардың кем дегенде біреуі нөлге тең болмаса, онда жүйенің шешімі болмайды.
3) Егер x1 x2 ...xn болса, онда жүйенің шешімінің сан шексіз болады.
1.5 Матрицалар және оларға қолданылатын амалдар Анықтама. Реті mn матрицасы деп мына кестені атайды:
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
(1.5.1) немесе Aij
aij
i1,2,....m, j1,2,....n
.Матрицадағы aijоның элементтері деп аталады. Бірінші индекс жатық жолдың, екінші индекс тік жолдың нөмірлері.
Егер екі реттері бірдей (типтес) матрицалардың сәйкес элементтері өзара тең болса, ондай матрицалар тең матрицалар деп аталады. Демек
ij , m n
ij .n
m a B b
A онда Amn Bmnболады, егер aij bij.
Бір жатық жолдан құралған матрица жол матрица деп аталады.
] ....
,
[a1 a2 an
A .
Ал бір ғана тік жолдың элементтерінен құралған матрица баған матрица деп аталады
bn
b b B ....
2 1
.
Егер матрицаның жатық жолдарының саны тік жолдарының санына тең болса, онда матрица квадрат матрица деп аталады.
Элементтерінің бәрі бірдей нөл болып келген матрица нөлдік матрица деп аталады.
Бас диагональдің элементтерінің басқа элементтерінің бәрі нөлге тең квадрат матрица диагоналдық матрица деп аталады.
Бас диагональдің элементтерінің бәрі бірдей бірге тең диагональ матрицаны бірлік матрица деп атайды.
11
1 ....
0 0 0
0 ...
0 1 0
0 ....
0 0 1
; ...
0 0 0
0 ...
0 0
0 ...
0 0
12 11
E a
a a A
nn
.
Егер квадрат матрицаның бас диагоналінің бір жағына орналасқан элементтерінің бәрі де нөл болса, ондай матрицалар төменгі немесе жоғарғы үшбұрышты матрицалар деп аталады.
Квадрат А матрицасының барлық жатық жолдарын өз (сол) нөмірлерімен тік жол етіп ауыстырып жазудан шыққан матрицаны AT
транспозицияланған матрица деп атайды.
. ,
33 23 13
32 22 12
31 21 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A a
a a
a a
a a a
A T
Егер A ATболса, онда матрица Aсимметриялы матрица деп аталады.
Анықтама. Типтес екі матрицаның қосынды деп, элементтері берілген матрицалардың сәйкес элементтерін қосу арқылы жасалған матрицаны айтады. Яғни
ij m n
ij nm a B b
A , болса, онда
ij ij ij ij nm C c a b
C B
A , .
Анықтама. Типтес A және B матрицалардың айырымы деп, элементтері
A матрицасының элементтерінен B матрицасының сәйкес элементтерін шегеру арқылы жасалған Cматрицасын айтады.
Демек,
ij m n
ij nm a B b
A , болса, онда
ij ij ij ijn m n m n
m A B c c a b
C , . Мысалы
7 . 1
3 2
3 2
1 , 5
4 1
2 3
B A C
B A
Матрицалар типтес болмаса, онда оларды қосу және азайту амалдарының мағынасы болмайды.
Егер А матрицасының тік жолдарының саны В матрицасының жатық жолдарының санына тең болса, онда А матрица В матрицамен келісілген матрица деп аталады.
Мысалы:
6 3 5 2 4 1
a a a a a
A a ,
6 5 4
3 2 1
b b b
b b b B
келісілген матрицалар.
Реті бірдей квадрат матрицалар әрқашанда өзара келісілген матрицалар.
12
A матрицаны Bматрицаға көбейту үшін A матрицасымен B матрицасы келісілген матрица болуы керек, яғни Amn,Bnk.
Aматрица мен В матрицаның көбейтіндісі деп, реті mk-тең матрица
k
Cm -ны айтады. Сонда
is sj i j i j in nji ij s
k
m C Cij a b a b a b a b
C
1 1 2 2 ... .
Мысал.
0 , 1
1 0
3 2 4 ,
1 0 2 1 3
B
A
2 3
7 7 0
4 1 0 3 1 )
1 4 0 0 2 1
0 1 1 2 3 3 1 1 0 2 2 3 0 1
1 0
3 2 4 0 1
1 2 B 3
A .
Матрицаға қолданылатын амалдардың негізгі қасиеттері мыналар:
1) AB B A; 7)
AB
AB; 2)
AB
C A
BC
; 8)
AAA; 3) AA; 9)
AB C A
BC ; 4) A
A 0; 10)
AB
C ACBC; 5) EA A; 11) C
AB
CACB. 6)
A A;1.6 Кері матрица
Анықтама. Егер квадрат матрица А-ның элементтерінен құралған A
немесе detA нөлге тең болмаса, оны айырықша емес матрица дейді. Ал егер
0
A , онда матрицаны айырықша матрица деп атайды.
Анықтама. Матрица ABBA E болса, онда Bматрицаны A матрица үшін кері матрица деп атайды және былай белгілейді B A1.
Матрица A-ға кері матрица A1 бар болуы үшін, A айырықша емес матрица болуы керек.
Егер detA A 0 және A
aij , Aij алгебралық толықтауыштардан құралған матрица болса, ондаE A A A
A
A A A
A A
A A
A A a a
a
a a
a
a a
a B A
nn n n
n n nn n
n
n n
..
0 0
0 0 0
0 0 0
...
...
...
...
....
...
2 1
2 1
22 12
21 11
2 1
2 22
21
1 12
11
. Сонда
