Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

1 Аннотация

Данное учебное пособие представляет собой сборник задач по курсу

«Молекулярная физика и термодинамика».

В начале каждого раздела предоставлены основные теоретические положения и формулы, продемонстрированы решения типовых задач различной степени сложности, задачи для самостоятельного решения с ответами, также имеется спрвочный материал, необходимый для решения задач.

Учебное пособие предназначено для элективного курса по специальности «Теплознергетика».

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

«Алматы энергетика және байланыс университеті»

коммерциялық емес акционерлік қоғамы

2

С.А. Биназаров

МОЛЕКУЛАЛЫҚ ФИЗИКА, ТЕРМОДИНАМИКА КУРСЫНЫҢ

ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ Оқу құралы

Алматы АЭжБУ

3 2015 ӘОЖ 53 (075.8)

КБЖ-22.36я73ё Б55

Пікір берушілер:

физика-математика ғылымдарының докторы, ҚБТУ геология және Жер физикасы кафедрасының профессоры

Ф.Ф.Умаров,

физика-математика ғылымдарының докторы, Қ.И. Сәтбаев атындағы ҚазҰТУ РТжТҚА кафедрасының профессоры

Т.Т. Түсеев,

химия ғылымдарының кандидаты, АЭжБУ ЭТН кафедрасының доценті Е.Ғ. Надиров

Алматы энергетика және байланыс университетінің Ғылыми кеңесі басуға ұсынды (17.03.2015ж. №9 хаттама). АЭжБУ 2015 ж. ведомостік

әдебиеттер басылымдарын шығарудың қосымша жоспары бойынша басылады, реті 2.

Биназаров С.А.

Б55 Молекулалық физика, термодинамика курсының есептер жинағы:

Оқу құралы (жоғары оқу орындарының жылу энергетикасы мамандығы студенттеріне арналған)/С.А. Биназаров.–Алматы: АЭжБУ, 2015. -81б.:

кесте – 3, ил. – 3, әдеб. көрсеткіші – 11 атау.

ISBN 978-601-7436-61-2

Ұсынылып отырған оқу құралында молекулалық физика, термодинамика курсы бойынша қысқаша теория, есептердің шығарылу мысалдары беріліп, есептер жинақталған. Барлық есептердің жауабы, ал кейбір қиын есептердің шешімдері де бар. Жинақтың соңында анықтамалық мәліметтер берілген.

Оқу құралы жылу энергетикасы мамандығы бойынша білім алатын студенттерге арналған.

ӘОЖ 53 (075.8)

КБЖ-22.36я73

ISBN 978-601-7436-61-2

© АЭжБУ, 2015

4

Биназаров С.А., 2015 Кіріспе

Ғылым мен техниканың қарқындап дамуы инженерлер мен техниктерге заманауй технологияларды меңгеруге, оларға негізделіп жасалған құралдар мен аппараттарда жұмыс істей алатындай болуға жоғары талаптар қояды.

Бұл, техникалық жоғары оқу орындарын бітірушілердің жалпы теориялық дайындықтары жоғары деңгейде болуы керек деген сөз. Ендеше, физика көптеген техникалық пәндердің негізі болғандықтан студенттер одан терең де, тиянақты білім алулары қажет. Сондықтан да, жалпы физиканың маңызды салаларының бірі болып келетін молекулалық физика және термодинамика курсының есептерін шығару да студенттерді өздігінен шығармашылықпен жұмыс істеуге қатысуға мүмкіндік береді, оқытылып жатқан құбылыстарды талдауға үйретеді, сол немесе басқа құбылыстардағы басты факторларды айқындап алуға септігін тигізеді. Олай болса, біз қарастыратын молекулалық физика, термодинамика курсы нені зерттейді?

Молекулалық физика – әр түрлі заттың физикалық қасиеттерін оның құрылысы мен молекулаларының жылулық қозғалысының сипаты арқылы зерттейтін физиканың саласы. Молекулалық физика заттың құрылысы туралы ілімдер – термодинамика, статикалық физикамен және заттың агрегаттық күйінің өзгеру теориясын қарастыратын физиканың тарауы – фазалық ауысулармен тығыз байланысты. Серпінділік, тұтқырлық пластикалық сияқты заттың механикалық қасиеттері де оның құрылысы мен молекулалық күштерінің сипаты бойынша анықталады.

Термодинамика – жылулық қозғалыстың заңдылықтарын және оның заттың физикалық қасиеттеріне тигізетін ықпалын энергетикалық тұрғыдан қарастыратын ғылым. Термодинамиканың негізгі заңдары – Термодинамика бастамалары – ұзақ жылдар бойы жинақталған эксперименттік деректерді жалпылап қорыту арқылы тағайындалған.

Молекулалық физика, термодинамика курсы бойынша есеп шығару – физикалық түсініктерді қалыптастырады және байытады, студенттердің физикалық ойларын дамытып, олардың дағдыларын практикалық білімде пайдаланудағы физиканың оқыту процесіндегі ажырымыс құрамдас бөлігі.

Физикалық есептер: проблемаларды ұсыну және проблемалық жағдайларды тудыру; жаңа мәліметтерді хабарлау; студенттерді өз бетімен шығармашылық жұмыс істеуге қалыптастыру, олардың ойлау қабілеттерін дамыту, құбылыстар мен заңдарды талдауға және т.б. үшін пайдаланылады.

Оқу құралының негізгі мақсаты – студенттердің физикалық ойлау қабілеттерін дамытатын типтік есептерді шығарудың жалпы әдістерін үйрету.

Студенттердің практикалық білімі мен біліктіліктерін қалыптастыру, алған білімінің қаншалықты тереңдігі мен беріктігін бақылау, материалды бекіту және қайталауға қолдану.

5

1 Бірліктердің халықаралық жүйесі туралы

Әр түрлі физикалық шамалар бір-бірімен, осы шамалардың өзара тәуелділігін көрсететін теңдеулермен байланысады.

Әр түрлі бірлік жүйелерінің бір-бірінен айырмашылығы, олардың қайсысының негізгі бірлік ретінде алынуына байланысты болады.

Халықаралық жүйе өлшеудің әр түрлі салаларына арналған бірнеше жеке бірліктер жүйесіне бөлінеді. Бірліктердің халықаралық жүйесі ГОСТ 9867-61.

1.1 Жылу бірліктері

Бірліктердің Халықаралық жүйесінің құрам бөлігі жылу шамаларын өлшеуге арналған МКСГ жүйесі (ГОСТ 8550-61) болып табылады.

1-кестеде ГОСТ-ға сәйкес, осы жүйеде жылу шамаларын өлшеу үшін берілген негізгі және өте маңызды туынды бірліктер көрсетілген.

ГОСТ 8550-61 бойынша, сондай-ақ, калорияға негізделінген жүйеден тыс бірліктердің жылу шамасын өлшеуге рұқсат етіледі (2 кесте).

Мольдік шамалардың бірліктері 1 және 2 кестелерде көрсетілген, меншікті бірліктерден грамды грамм-мольмен (моль) және килограмды киломольмен (кмоль) алмастыру жолымен жасалады, мұндағы киломоль – массасы килограммен алынған молекулалық массаға тең болатын заттың мөлшері.

1 кесте – Жылу шамаларын өлшеу үшін берілген негізгі және туынды бірліктер

Шамалардың аттары және оның белгілері

Бірліктерді анықтау теңдеулері

Өлшеу бірлігі

Бірліктердің қысқаша белгілері Негізгі бірліктер

Ұзындық ℓ Масса m Уақыт t Температура T

- - - -

метр

килограмм секунд градус

м кг сек град Туынды бірліктер

Жылу мөлшері Жүйенің жылу сыйымдылығы

Жүйенің энтропиясы Меншікті жылу сыйымдылығы Меншікті энтропия

Q = A = W

t C Q

  T S  Q

T m c Q

 

m s  S

джоуль джоуль градусқа бөлінген

джоуль градусқа бөлінген

джоуль кило- грамм-градусқа бөлінген

джоуль кило-

дж дж/град дж/град дж/кг·град дж/кг·град

6

грамм-градус 1 кестенің жалғасы

Туынды бірліктер Фазалық түрленудің

меншікті жылуы

Темперетуралық градиент Жылулық қуат, жылулық ағын

Сәуле шығарудың беттік

тығыздығы, жылу

ағынының тығыздығы Жылу өткізгіштік коэффициенті

Температура өткізгіштік- тің коэффициенті

Жылу ауыстырудың, жылу берудің коэффициенті

m q  Q



 T gradT

t Ф Q



 

S q  Ф



 

 tS

 Q



 a  c



  a S

джоуль кило- грамға бөлінген градус метрге бөлінген

ватт

ватт квадрат метрге бөлінген ватт метр- градусқа бөлін- ген

квадрат метр секундқа бөлін- ген

ватт квадрат метр-градусқа бөлінген

дж/кг град/ м

вт вт/м² вт/м·град

м²/сек вт/м²·град

2 кесте – Калорияға негізделген системадан тыс бірліктердің жылу шамасы Шама Өлшеу бірлігі және ХБЖ бірліктерімен

байланысы Жылу мөлшері

Жүйенің жылу сыйымдылығы және жүйенің энтропиясы Меншікті жылу сыйымдылығы және меншікті энтропия

Фазалық түрленудің меншікті жылуы

Жылу ағыны

Жылу ағынының тығыздығы

1 калория (кал) = 4,19 дж

1 килокалория (ккал) = 4,19·10³ дж 1 кал/град = 4,19 дж/град

1 ккал/град = 4,19·10³ дж/град 1 кал/г·град = 4,19·10³ дж/кг·град 1 ккал/кг·град = 4,19·10³ дж/кг·град 1 кал/г = 4,19·10³ дж/кг

1 ккал/кг = 4,19·10³ дж/кг 1 кал/сек = 4,19 вт

1 ккал/сағ = 1,163 вт

1 кал/см²·сек = 4,19·10⁴ вт/м² 1 ккал/м²·сағ = 1,163 вт/м²

7

Жылу өткізгіштік коэффициенті 1 кал/см·сек·град = 4,19·10² вт/м·град 1 ккал/м·сағ·град = 1,163 вт/м·град

3-кестеде халықаралық бірліктердің – еселік және үлестік бірліктерін жасауға арналған қосымшалар келтірілген (ГОСТ 7663-55).

3 кесте - Еселік және үлестік бірліктер Қосымшалар Сан

мәндері

Қысқаша белгілер

Қосымшалар Сан мәндері

Қысқаша белгілер Атто

Фемто Пико Нано Микро Милли Санти

10^-18 10^-15 10^-12 10^-9 10^-6 10^-3 10^-2

а ф п н мк

м с

Деци Дека Гекто Кило Мега Гига тера

10^-1 10¹ 10² 10³ 10⁶ 10⁹ 10¹²

∂

∂а Г К М Г Т 1.2 Есеп шығаруға арналған әдістемелік нұсқаулар

Физиканың есебін шығару дегеніміз – құбылыстың сөздік модуліндегі айқын білінбейтін белгісіз байланыстарды анықтап, физикалық шамаларды табу.

Есептерді шығарғанда, ең алдымен, берілген есептің негізінде қандай физикалық заңдылықтардың жатқанын анықтау керек. Содан кейін осы заңдылықтарды көрсетіп отырған формуладан есептің шешуін табу керек.

Осыдан кейін бірдей бірліктер жүйесінде берілген сан мәндерді әріптердің орнына қоюға болады.

Есепті ХБЖ-де (халықаралық бірліктер жүйесінде) шығару үшін есептің шартында берілген, сондай-ақ анықтамалық кестеден алынған мәліметтердің барлығы да ХБЖ бірлігіне келтірілуі керек. Сонда есептің жауабы да осы жүйенің бірлігімен шығады.

Есептің сан мәндік жауабын алғанда оның ең соңғы нәтижесінің дәлдік дәрежесіне көңіл аудару керек. Жауаптың дәлдігі бастапқы шамалардың мәнінің дәлдігінен аспау керек.

Кей уақытта есептің шартындағы барлық берілгендерді бір жүйеде көрсетудің қажеті болмайды. Мысалы, егер формулада кез келген бір шама бөлшектің алымында да және бөлімінде де көбейтінді болып келсе, онда бұл шаманы қандай бірлікте көрсетсе де бәрі бір, тек қана бірліктер бірдей болса болғаны.

Сызба сызу керек болатын есептерде масштаб пен координата басын таңдап алу керек болады. Сызбада міндетті түрде масштабты көрсету керек.

Кейбір осы сияқты есептердің жауабында сызбаларда масштабын көрсетпей береді, яғни берілген тәуелділіктің тек қана сапалық сипаттамасы ғана келтіріледі.

8 1.3 Есеп шығарудың тәртібі

1) Есептің берілгенін оқу. Онда қандай физикалық құбылыстар мен процестердің бар екендігін анықтау.

2) Құбылысты сипаттайтын және оған қатысты денелердің қасиеттеріне байланысты физикалық шамалардың анықтамаларын еске түсіріңіз.

3) Есептің шартында берілген құбылыс үшін қандай физикалық зңдардың дұрыс екендігін еске түсіріңіз.

4) Есептің шартында берілген құбылыс немесе процесті нақтылайтын физикалық шамалардың мәндерін анықтаңыз.

5) Есептің берілгенін және ізделініп отырған шаманы жалпыға бірдей белгілеулермен белгілеп жазыңыз, өлшем бірліктерді, қажет болса халықаралық бірліктер жүйесіне келтіріңіз.

6) Есептің шартын ескере отырып, қажет болса сызбасын (кестелер, сызбалар, суреттер) сызыңыз.

7) Есептің шарты бойынша қажетті физикалық заңдылықтар мен физикалық шамалардың анықтамаларын жазыңыз.

8) Математикалық теңдеулерді пайдалана отырып есепке талдау жасаңыз.

9) Ізделініп отырған шамаға байланысты алынған теңдеулер жүйесін шешіңіз.

10) Соңғы формула бойынша бірліктер жүйесіне тексеру жасаңыз.

11) Алған нәтижеңізді есептің жауабымен салыстырыңыз.

Физиканың кез келген есептерін осы берілген алгоритмді пайдалана отырып шығару жөн. Есептің мазмұнын жазғаннан кейін көрсетілген жол бағыты мен шығару реттерінің жолдарын сақтай отырып, берілген нұсқауларды толық орындау керек.

2 Газдардың молекула-кинетикалық теориясы

2.1 Заттың молекулалық құрылысы

Зат дербес бөлшектерден – атомдардан құралады деген ұғымды ертедегі гректер айтқан болатын. Зат құрылысының атомдық-молекулалық теориясы бойынша барлық денелер өте кіші бөлшектерден, атомдар мен молекулалардан құралады. Олар жылулық қозғалыс деп аталған үздіксіз, бейберекет, ретсіз қозғалыста болады. Бұл теория бойынша, материалдық дененің моделі белгілі бір заңмен өзара әсерлесетін және сол заңға сәйкес қозғалыста болатын атомдар мен молекулалардан тұрады. Зат мөлшері – сол заттың құрылымдық элементтерінің санымен сипатталады. Ол – «моль» деген

9

физикалық ұғыммен түсіндіріледі. Берілген элементтің грамм-атомы деп сол элементтің грамман алынған массасы, сан жағынан оның атомдық массасына тең мөлшерін айтамыз. Кез келген элементтің грамм-атомдағы атомдардың (құрылымдық элементтерінің) саны бірдей болады. Бұл сан Авогадро саны деп аталады.

Элементтің, килограмм есебімен алынған массасының сан жағынан алғанда оның атомдық массасына тең мөлшері килограмм-атом деп аталады.

Берілген заттың, килограмм есебімен алынған массасының сан жағынан алғанда оның молекулалық массасына тең болатын мөлшері килограмм- молекула немесе қысқаша киломоль деп аталады (кмоль болып белгіленеді).

Килограмм-молекулалардың массаларының қатынасы сәйкес молекулалық массалардың қатынасындай болатындықтан, барлық заттардың киломольдеріндегі молекулалар саны бірдей болады, сан жағынан бұл 1/m_бір – ге тең. N_A саны Авогадро саны деп аталады.

Тәжірибеден

NA=6,023·10²⁶ кмоль^-1 екендігі табылған.

Авогадро саны арқылы m_бір массаны анықтауға болады. Шынында да, m_бір сан жағынан

NA

1 , яғни

кг 10 27

023 , 6

1

  -ға тең.

Сөйтіп, кез келген атомның массасы (А) 1,66·10^-27 кг, кез келген молекуланың массасы (М) 1,66·10^-27 кг болады.

Зат мөлшері

  ^m_ немесе



 

 , (2.1) (N) – берілген заттың құрамындағы молекулаларының санына пропорционал шама.

Молярлық масса M  _m₀ - 1 моль заттың массасы.



 m m m N

M  _{ 0}  ₀  , (2.2) мұндағы m₀ – берілген заттың молекуласының массасы;

m = Nm₀ – берілген заттың массасы.

2.2 Температура

Температура – термодинамикада ғана емес, сонымен бірге, тұтастай алғанда физикада маңызды рөл атқаратын, негізгі ұғымдардың бірі.

Температура – физикалық шама, термодинамикалық тепе-теңдіктің макроскопиялық жүйесін сипаттайды және жылулық алмасудың бағытын анықтайды.

10

Тұйық жүйе құрайтын денелер жылулық тепе-теңдік күйінде болса, олардың температурасы бірдей болады. Ал жүйе тепе-теңдік күйде болмаса, онда жылу алмасу құбылысы байқалады. Дененің температурасы оны құрайтын молекулалар қозғалысының орташа кинетикалық энергиясының өлшемі болады.

Температура мәндерінің жиынына сәйкес келетін сандар тізбегі – температуралық шкала деп аталады. Температура дәл өлшенбейтін шама болғандықтан температуралық шкала да түрлі жолмен жасалады. Әдетте термометрлік дене ретінде алынған заттың бір агрегаттық күйден екінші агрегаттық күйге ауысатын температурасы температуралық шкаланың есепті бастау нүктесі етіп алынады.

Температура Т=0К нольдік келвин деп аталады.

Термодинамикалық температура (Т) және температура (t) халықаралық тәжірибеде мына теңдеу арқылы байланысады:

Т=273,15 + t. (2.3) Қалыпты жағдайда термодинамикалық температура Т₀=273,15 К=0⁰С.

2.3 Идеал газ күйінің теңдеуі

Термодинамикалық жүйенің күй теңдеуі деп – термодинамикалық тепе- теңдікте тұрған қысым р және көлем V, температура Т-ны байланыстыратын теңдеуді айтамыз:

f = (р, V, Т) = 0, (2.4) мұндағылардың біреуі келесі екеуінің функциясы.

Қандай да бір дененің параметрлерінің арасындағы байланысты беретін қатынас осы дененің күй теңдеуі делінеді. Егер де (2.4) теңдеуді қандай да бір параметрге, мысалы, р-ға қатысты шешетін болсақ, онда күй теңдеуі:

p= f (V, Т ) (2.5) түрінде жазылады.

Менделеев-Клапейрон теңдеуі – идеал газ күйінің теңдеуі:

(2.6) немесе

Егер, Больцман тұрақтысын пайдалансақ (  . NA

k R 1,38·10^-23 Дж/К) онда:

M RT pV  m

. RT M RT

pV  m 

11

M N  mN^A , осыдан

NA

N M

m  - ге тең, ендеше

N RT рV N

A

 ,

қысым (р) мынаған тең

VM T

P  kN^A . (2.7)

Көлем бірлігіндегі молекула саны:

V

n N , (2.8) n – молекула концентрациясын орнына қойсақ, онда газ күйінің теңдеуі мына түрге келеді:

р = n k T. (2.9) Қалыпты жағдайда р₀=1 атм =1,01·10⁵ Па;

Т0=273,15 К;

V0 = 22,41 л =22,41·10^-3м³.

Қалыпты жағдайда бірлік көлемдегі молекулалардың саны Лошмидт саны деп аталады.

Ол,

0 0

kT

N_л  p = 2,68·10²⁵ 1 / м³.

Газдың күйі үш p, V, T макроскопиялық параметрлермен сипатталады.

Бойль-Мариотт және Гей-Люссак заңдары, параметрлердің бірі тұрақты болғанда күй теңдеулерін беретіндігі белгілі.

М ы с а л ы – Бойль-Мариотт заңы температура тұрақты болғанда газдың берілген массасының қысымы оның көлеміне кері пропорционал өзгеретінін көрсетеді. Тұрақты температура кезінде газдың бір күйден екінші күйге өту процесі изотермалық процесс деп аталады.

Газдың массасы тұрақты болсын, m=const, сонда

pV=const, (Т=const) (2.10) немесе

12

1 2 2 1

V V р

р  ,

p1V1 = p2V2. (2.11) Бұл тәуелділікті изотерма деп аталатын гипербола қисығымен көрсетуге болады (1 сурет).

Р

V

1 сурет - Изотерма сызығы

Гей-Люссак заңы, тұрақты қысым кезінде газдың берілген массасының көлемі температурамен сызықты тәуелділікте өзгеретінін айтады. Тұрақты қысым кезінде өтетін процесс изобаралық деп аталады.

Газдың массасы тұрақты болсын, m=const,

сонда V=V0 (1+αt), (p=const), (2.12)

бұл жерде ¹

15 , 273

1 _

 K

 =0,00367 К^-1.

α – газдың көлемдік ұлғаюының термиялық коэффициенті.

const T

V  (2.13) немесе

2 2 1 1

Т V T

V  . (2.14) Тұрақты қысымда газ көлемі мен температура тәуелділігі графикте түзу сызықпен көрсетіледі. Қысымның әрбір мәніне сәйкес келетін түзу сызық изобара деп аталады (2 сурет).

Газ үшін бұл процесс (V,Т) диаграммада (2.12) түзумен беріледі.

Т3

Т2

Т1

Т1 < Т2 < Т3

13

V

-1/α 0 T

2 сурет - Изобара сызығы Шарль заңы. Тұрақты көлем кезінде өтетін процесс изохоралық процесс деп аталады. V=const.

Газдың массасы тұрақты болсын, m=const,

сонда p p₀1t, (2.15)

бұл жерде ¹

15 , 273

1 _

 K

 =0,00367 К^-1;

α – газ қысымының термиялық коэффициенті.

const T

р  (2.16) немесе

2 2 1

1

Т p T

p  . (2.17) Көлем тұрақты болғанда, р мен Т тәуелділігі түзу сызықты және ол изохора деп аталады (3 сурет).

P

-1/α 0 T Р3 = const Р2= const Р₁= const

V₀

V3= const V2=const V₁=const

p0 V1> V2>V3

14

3 сурет - Изохора сызығы

2.4 Идеал газдардың молекулалық-кинетикалық теориясының негізгі теңдеуі

Молекула-кинетикалық теория заттың ең қарапайым газ түріндегі күйін түсіндіре алады. Газдың ыдыс қабырғасына түсіретін (р) қысымы көлем бірлігіндегі молекулалардың n0 санымен, молекуланың m массасымен және олардың υ жылдамдықтар квадратының орташа мәндерімен анықталады:

. 3

1 2

0m vкв

n

p  (2.18) Газдың кинетикалық теориясының негізгі теңдеуі:

p n₀E 3

 2 . (2.19) Бір молекуланың ілгерілемелі қозғалысының орташа кинетикалық энергиясы:

E kT 2

 3 . (2.20) (2.20) теңдеуден абсолют температура жеке молекуланың қозғалысының орташа энергиясына пропорционал шама екенін көруге болады. Яғни, температураға ғана тәуелді, ал молекуланың массасына тәуелсіз.

Идеал газ күйінің теңдеуіндегі R-ді N_А·k арқылы алмастырып және

V

А

екенін ескеріп, мына формуланы аламыз:

p=nkT. (2.21) Егер де бірнеше газдың қоспасын алсақ, онда массалары әр түрлі газдардың молекулаларының орташа жылдамдықтары әр түрлі болса да, молекулалардың орташа энергиясы бірдей болады. Бұл жағдайдағы қысым мынаған тең:

p=nkT=(n1 + n2 +… )kT, (2.22) мұндағы n₁, n2 және т.с.с. бірлік көлемдегі молекулалардың бірінші, екінші және т.с.с сорттарының концентрациясын білдіреді.

Қоспаға кіретін молекулалардың қайсыбір сортының дәл сол қоспадағыдай мөлшерде ыдыста жалғыз өздері қалған кездегі қысымы, газ қоспасының сол компонентінің парциал қысымы деп аталады.

15

p = p1 + p2 + … = Σpi (2.23) деп жазуға болады.

(2.23) теңдеуден, идеал газ қоспасының қысымы, сол қоспаны құрайтын газдардың парциал қысымдарының қосындысына тең деп аталатын Дальтон заңы шығады.

Бір молекуланың (ілгерілемелі және айналмалы қозғалысының) орташа кинетикалық энергиясы:

i kT E_i

 2 , (2.24) мұндағы i – ілгерілемелі, айналмалы және екі еселенген тербелмелі еркіндік дәрежелері сандарының қосындысы:

i = n_іл + n_ай +2n_тер. (2.25) Атомдарының арасында қатаң байланысы бар молекула үшін i молекуланың еркіндік дәрежелерінің санына тең болады.

Газдардың жылу сыйымдылығын өлшегенде атомдарды материалдық нүктелер деп есептеуге болады. Демек, бір атомды молекулаға үш ілгерілемелі еркіндік дәрежесін (i=3), екі атомды молекулаға үш ілгерілемелі және екі айналмалы еркіндік дәрежесін (i=5), ал үш атомды молекулаға – үш ілгерілемелі, үш айналмалы еркіндік дәрежесін (i=6) жазуға болады.

Молекуланың еркіндік дәрежелерінің саны қанша болмасын, оның үшеуі міндетті түрде – ілгерілемелі болатынын ескерелік. Молекуланың ілгерілемелі еркіндік дәрежесінің қай-қайсысының да басқаларынан ешбір артықшылығы болмайтындықтан, олардың әрқайсысына орташа есеппен

kT E 2

 3 мәнінің үштен біріне, яғни

2

kT -ге тең бірдей энергия келуі керек.

Қозғалыстың қай түрінің де бір-бірінен айырмашылығы жоқ, демек, кез келген еркіндік дәрежесіне – ілгерілемелі, айналмалы және тербелмелі – орта есеппен

2

kT-ге тең бірдей энергия (кинетикалық) келуі тиіс.

2.5 Газ күйін сипаттайтын жылдамдықтар

Газ молекулалары әр түрлі жылдамдықтармен қозғалыста болады да, әрбір жеке-жеке алынған молекула жылдамдығының шамасы да, бағыты да соқтығысулардың әсерінен үздіксіз өзгеріп отырады.

Газ молекулаларының жылдамдықтар бойынша таралуын сипаттайтын f(υ) таралу функциясы деп аталады. Таралу функциясын тәжірибе жүзінде Максвелл ашты және соның есімімен аталады. Оның түрі мынадай:

  ^{2 2}

2



   ^{ kT} 

m

e

f , (2.26)

16 мұндағы А – υ-ге тәуелсіз көбейткіш;

m – молекуланың массасы;

k – Больцман тұрақтысы.

Таралу функциясының максимал мәніне сәйкес келетін жылдамдықтың ең ықтимал жылдамдық болатындығы анық. Идеал газ молекуласының ең ықтимал жылдамдығы:

2 2 .

0 M

RT m

kT

в  

 (2.27) Молекулалардың жылдамдықтар бойынша таралуын біле отырып, жылдамдықтың, сондай-ақ жылдамдықтың функциясы болып табылатын кез келген шаманың, мәселен υ²-тың, орташа мәнін табуға болады. Газ молекуласының орташа жылдамдығы (орташа арифметикалық жылдамдық):

8 8 .

0 M

RT m

kT



    (2.28) Осыған ұқсас жылдамдықтың квадратының орташа <υ²> мәнінде табуға да болады. Идеал газ молекуласының орташа квадраттық жылдамдығы:

3 3 .

0 M

RT m

kT

кв  

 (2.29) 2.6 Барометрлік формула

Жердің тартылу өрісінде молекуланың жылулық жылдамдығы газ күйінің қалыпты бір күйіне келеді, бұл кезде газдың қысымы (h) биіктік өскен сайын кемиді:

^RT

gh h

р е р





₀ , (2.30) бұл теңдік барометрлік формула деп аталады. Бұдан газдың молекулалық массасы неғұрлым үлкен болса, оның қысымы биіктеген сайын тезірек кемитін болады.

k m R 

 екендігін еске алып, (2.30) формуланы мына түрде жазамыз:

^kT

mgh h

р е

р 

₀ ^ , (2.31)

17 2.7 Больцман таралуы

Больцманша бөліну формуласы ауырлық күшінің өрісінде жоғары көтерілген сайын бөлшектердің (молекулалардың) санының кему заңын шығарып алуға мүмкіндік береді:

dxdydz KT

z y n x

dN_xyz ⁿ





 ( , , )

0exp

, ,

 (2.32)





 





n KT

n ⁿ

0 exp - Больцман таралуы (2.33)

exp 2 ;

2

, , , ,

, x y z

n z

y x vz vy

Vx dv dv dv

KT mv A

dN  















 



 

(2.34)

(2.34) формула Максвелл-Больцман заңы, мұндағы A^ n0



m2KT



³² - көбейткіш.

(2.30)–дегі р қысымды nkT арқылы алмастырып, бірлік көлемдегі молекулалар санының биіктік бойынша өзгеру заңын аламыз:

^RT

gh

е n n





₀ , (2.35) мұндағы n0 – нөлге тең биіктікте бірлік көлемдегі молекулалар саны;

n – h биіктіктегі дәл сондай молекулалар саны.

R

 қатынасын оған тең

k

m қатынасымен алмастырсақ:

^kT

mgh

е n

n 

₀ ^ . (2.36) (2.36) өрнегінен температура төмендегенде нөлге тең емес биіктіктерде бөлшектер санының азаятындығы, ал Т=0 болғанда, нөлге айналатындығы шығады. Жоғары температурада, керісінше, биіктікке көтерілген сайын n баяу кемиді, ендеше, молекулалар биіктікке көтерілген сайын біркелкі таралады дерлік. Әр түрлі биіктікте молекуланың потенциалдық энергия қоры да әр түрлі болады Ер=mgh. Демек, молекулалардың биіктік бойынша таралуы

18

сонымен қатар, олардың потенциалдық энергияларының мәндері бойынша да таралуы болып табылады.

^kT

Е_р

е n

n 

₀ ^ . (2.37) (2.37) Больцманның таралу заңы.

Бұдан мынадай қорытынды шығады: температура тұрақты болғанда қай жерде молекуланың потенциалдық энергиясы аз болса, сол жерде газдың тығыздығы көп болады. Егер бөлшектердің массасы бірдей және олар хаостық жылулық қозғалыста болса, онда Больцман таралуы тек қана ауырлық күші өрісі үшін дұрыс болады.

2.8 Молекулалардың орташа еркін жүру жолы

Екі соқтығысудың арасында молекулалардың жүріп өткен жолы, молекулалардың орташа еркін жүру жолы деп аталады:

. 2

1

2n z d

l v

 

 (2.38) 1 секунд ішіндегі молекулалардың соқтығысуының орташа саны

z  2d²n v . (2.39) Соқтығысу кезіндегі екі молекуланың центрлері бір-біріне жақындайтын ең аз арақашықтық – d молекуланың эффективті диаметрі деп аталады.

Молекулалардың жылдамдықтары температура жоғарылағанда артып, эффективті диаметр шамамен молекуланың эффективтік қимасы σ – ға тең болады:

σ=πd². (2.40) Сонымен еркін жүру жолының орташа мәні газдың абсолют температурасына тәуелді емес, себебі температура (Т) артқан сайын, газ молекулаларының орташа жылдамдықтарымен <υ> қатар оның соқтығысу саны <z>-ге артып отырады.

2.9 Тасымалдау құбылысы

Егер термодинамикалық жүйе тепе-теңдік күйде болмаса, жүйеде тасымалдау құбылыстары деп аталатын қайтымсыз ерекше процестер жүреді.

19

Олардың нәтижесінде массаның, импульстің және энергияның кеңістіктегі тасымалдануы жүреді.

Қарастырып отырған көлемдегі газ молекулалары бір орыннан екінші орынға диффузия, ішкі үйкеліс және жылу өткізгіштік құбылыстары арқылы тасымалдануы мүмкін.

Диффузия – бір-біріне жанасқан кездегі 2 газдың өздігінен бір-біріне өтуі және араласуы.

Бұл жағдайдағы тасымалданатын шама – молекула массасы.

Массаның тасымалдануына химиялық газдар үшін Фик заңы орындалады:

. dx Dd j_{m } 

(2.41) Диффузияның коэффициенті:

. 3 1 v l

D  (2.42) Ішкі үйкеліс (тұтқырлық) – газ қабатының арасындағы молекулалардың әртүрлі жылдамдықпен қозғалған кезіндегі пайда болатын құбылыс.

Бұл жағдайдағы тасымалданатын шама – молекула импульсы.

Ішкі үйкеліс – Ньютон формуласымен сипатталады:

. dx

j_p dv (2.43)

Динамикалық тұтқырлық:

. 3

1 v l

  (2.44) Жылу өткізгіштік – сыртқы әсердің есебінен температура айырымы пайда болған кезде жүретін құбылыс.

Бұл жағдайдағы тасымалданатын шама – молекуланың энергиясы.

Тасымалдау энергиясы Фурье заңымен жазылады:

^. dx

j_E  dT (2.45)

Жылу өткізгіштік коэффициенті:

20

. 3

1 с

_v

 v l

 

(2.46)

2.10 Есеп шығару мысалдары

2.10.1 есеп. Баллонға қысымы 300 атм болатын, 29⁰С температурада метан газы толтырылған. Баллондағы газдың тығыздығын табыңыз.

Берілгені: Шешуі.

р= 303,9·10⁵ Па Кез келген газ үшін Менделеев-Клапейрон t=29⁰С Т = 302 К теңдеуі мына түрде жазылады

Т/к: ρ - ?

. (2.47) Осы формуладағы, m масса мен V көлемнің көмегімен ρ тығыздықты анықтауға болады

V

 m

 . Тығыздыққа байланысты Менделеев-Клапейрон теңдеуін шешетін болсақ, мынаны аламыз:

RT p V

m 

   . (2.48) Метанның мольдік массасы М (CH4) = 16·10^-3 кг/моль.

Сан мәндерін қойып, есептейміз:

3 2

3 5

/ 62 193

, 2509

10 4 , 4862 302

31 , 8

10 16 10 9 ,

303    кг м







  ^

 .

Жауабы: ρ=193 кг/м³ .

2.10.2 есеп. Көлемі 8 л баллонға, температурасы 27⁰С болатын, 4·10⁵Н/м² қысымда азот толтырылған. Баллоннан 6 г азотты шығарғаннан кейін, баллонның температурасы 17⁰С-ға төмендеген. Баллонда қалған азоттың қысымын анықтаңыз.

Берілгені: ХБЖ Шешуі.

V=8 л V=8·10^-3 м³ Есепті шығару үшін Менделеев-Клапейрон t1=27⁰С Т1=300 К тедеуін газдың бастапқы және соңғы күйіне p₁ =4·10⁵Н/м2 пайдаланамыз.

m₁ =6 г m₁=6·10^-3 кг Газдың бастапқы күйі үшін t2 =17⁰С Т₂=290 К

Т/к: р2 - ? 1 1

1. m RT

V

p  

 , (2.49)

M RT pV  m

21

мұндағы р1 – баллондағы азоттың бастапқы қысымы;

V – баллонның көлемі;

m1 – азоттың бастапқы массасы;

μ – азоттың бір мольінің массасы;

R – уиверсал газ тұрақтысы;

T₁ – баллондағы азоттың бастапқы абсолют температурасы.

Соңғы күйде масса, температура және қысым m₂, T2, p2 – ге тең болады.

Азоттың алып тұрған көлемі сол күйінде қалады. Азоттың соңғы күйі үшін Менделеев-Клапейрон теңдеуін мына түрде жазамыз:

2 2

2. m RT

V

p  

 . (2.50) (2.49) және (2.50) теңдеуден азоттың m1 және m2 массасын табамыз:

1 1

1 RT

V m p

 , (2.51)

2 2

2 RT

V m p

 . (2.52) (2.51) және (2.52) теңдіктерден мынаны аламыз:

2 2 1

1 2

1 RT

V p RT

V m p

m  





 . (2.53)

(m1 – m2) – азоттың массасы, (m=6 г) масса баллоннан алынған болса, онда (2.53) теңдікті былай жазуға болады:

2 2 1

1

RT V p RT

V m p 



 ,

осыдан ізделініп отырған р₂-ні табамыз:



 



 

 m

RT рV V

p RT

1 2

2



 немесе

V RT p m

T

p T ₁ ²

1 2

2   

 . (2.54) Азоттың мольдік массасы μ=28·10^-3 кг/моль.

Сан мәндерін қойып, есептейміз:

22

2 3

3 5

3 3

3 5

2 3,86 10 64,6 10 322 10 /

10 8 10 28

290 31 , 8 10 10 6

300 4

290 Н м

p      











 





 ^ _{ } .

Жауабы: р=322·10³ Н/м².

2.10.3 есеп. Температурасы 15⁰С-дағы оттегінің бір молекуласының айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясын табыңыз.

Сондай-ақ, 8 г оттегіндегі барлық молекулаларының айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясын анықтаңыз.

Берілгені: ХБЖ Шешуі.

t=15⁰С T = 288K Газ молекуласының әр бір еркіндік дәрежесіне m=8 г m = 8·10^-3 кг бірдей энергия келеді.

Т/к:  ? W -? kT 2

 1

 _, мұндағы k – Больцман тұрақтысы;

Т – газдың абсолют температурасы.

Екі атомды оттегі молекуласының айналмалы қозғалысына екі еркіндік дәреже жазылатындықтан, оттегі молекуласының айналмалы қозғалысының энергиясы мынаған тең:

i kT

i  2



яғни,

_i kT 2 21

  , (2.55) Газдың барлық молекулалардың айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы

W N_i, (2.56) мұндағы N – газдың барлық молекулаларының саны, ол мынаған тең:

N = N_А ν, мұндағы N_А – Авогадро саны.

  ^m ендеше

 N m N  _A .

23

N-ді (2.56) формулаға қойып мынаны аламыз:

A i

N m

W 

  . (2.57) Сан мәндерін қойып, есептейміз:

а) оттегінің бір молекуласының айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы:

i 1.3810^2328839710^23(Дж)

 _.

б) 8г оттегіндегі барлық молекуланың айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы:

598 Дж 10

10 397 32

10 10 8

02 ,

6 ₃ ²³

3

W 23   



 

 ^_ ^ .

Жауабы: _i 39710^23Дж ; W=598 Дж.

2.10.4 есеп. Қалыпты жағдайда көмір қышқыл газының молекуласының еркін жүру жолының ұзындығы 4·10^-6 см-ге тең. Молекуланың орташа арифметикалық жылдамдығы қандай? Молекула секундына қанша рет соқтығысады?

Берілгені ХБЖ Шешуі.

λ = 4·10^-6 см λ = 4·10^-8 м Секундына соқтығысатын молекулалар саны z, молекулалар қозғалысының

Т/к: <υ>-? z-? орташа жылдамдығы <υ> мен еркін жүру жолының орташа ұзындығына <λ> тәуелді.



  z ,

мұндағы υ – молекулалардың орташа арифметикалық жылдамдығы, оны мына формуламен анықтаймыз:

  ⁸^RT олай болса,





RT z

8

 ,