ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА Есептер жинағы 1

4

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

«Алматы энергетика және байланыс университеті»

коммерциялық емес акционерлік қоғам

М.Б. Байбазаров, Б.Ж. Атабай

ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА Есептер жинағы

1 – бӛлім Оқу құралы

Алматы АЭжБУ

2018

5 ӘОЖ 517(075.8)

КБЖ 22.11Я73 Б17

Пікір берушілер:

техника ғылымдарының докторы, Қ.И. Сәтпаев атындағы ҚазҰТУ-нің профессоры

Отарбаев Ж.О.,

физика-математика ғылымдарының кандидаты, ХАТУ-нің ассистент- профессоры

Уразаков Е.И.

физика-математика ғылымдарының кандидаты, АУжБУ ММжБҚ кафедрасының доценті

М.Ж. Байсалова

Алматы энергетика және байланыс университетінің Ғылыми кеңесі басуға ұсынды (16.05.2017 ж. №9 хаттама) ведомостік әдебиеттер

басылымдарын шығарудың тақырыптық жоспары М.Б. Байбазаров, Б.Ж. Атабай.

Б17 Жоғары математика. Есептер жинағы. 1-бӛлім Оқу құралы жаңа кредиттік технология жүйесі бойынша бакалавриат деңгейіндегі типтік оқу бағдарламасына сәйкес дайындалып, техникалық жоғарғы оқу орындарының студенттеріне арналған. М.Б. Байбазаров, Б.Ж. Атабай. - Алматы: АЭжБУ, 2018. - 240 б.: ил. – 34, әдеб. кӛрсеткіші - 8.

ӘОЖ 517(075.8) КБЖ 22.11Я73

ISBN 978-601-7889-39-5 © АЭжБУ, 2018 Байбазаров М.Б.,

Атабай Б.Ж.

6

1-тарау. Сызықтық алгебра элементтері 1 Анықтауыштар және олардың қасиеттері 1.1 Негізгі ұғымдар

n - тік және m - жатық жолдарға орналасқан тікбұрышты a_ij, i (1,m), )

, 1 ( n

j  сандар кестесін mn - ӛлшемді матрица дейді, яғни

, ...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11























mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

мұндағы a_ij сандарын матрицаның элементтері деп атайды.

Егер m=n болса, онда матрицаны n-ретті квадрат матрица дейді. Әрбір квадрат матрицаға матрицаның анықтауышы деп аталатын санды сәйкес қоюға болады. Бұл жағдайда анықтауыш белгілі ережемен есептеледі.

Кӛбейтінділерінің жартысы қарама-қарсы таңбамен әртүрлі жатық және тік жолдардан алынған элементтер кӛбейтінділерінің қосындысы анықтауышқа тең болады.

1.2 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар

Екінші реттті _



 





22 21

12 11

a a

a

A a матрицаға сәйкес екінші ретті анықтауыш деп:

21 12 22 11 22 21

12

det 11 a a a a

а а

а

A а  



 (1.1)

теңдігімен анықталатын санды айтады, мұндағы, а₁₁,а₁₂,а₂₁,а₂₂- анықтауыш элементтері.

Осылайша, үшінші ретті матрицаға сәйкес үшінші ретті анықтауыш деп:

32 23 11 33 21 12 13 22 31

13 32 21 31 23 12 33 22 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

det

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a A



















 (1.2)

санын айтамыз.

Үшінші реттті анықтауышты есептеу тӛменгі ӛрнек бойынша орындалады, оны үшбұрыш (немесе Саррюс) ережесі дейді (1.1 сурет).

7

1.1 сурет

1.а) ӛрнек бойынша сызықтармен жалғастырылған үш элементтерді кӛбейтіндісі «+» таңбасымен (+1 – санына кӛбейтіледі), б) ӛрнек бойынша

«-» таңбамен (–1 – санына кӛбейтіледі) анықтауышты есептеу формуласына енген.

1.3 Анықтауыштардың қасиеттері

Тік және жатық жол элементтерінің орындарын ауыстырсақ, онда анықтауыштың мәні (шамасы) ӛзгермейді:

1) Егер анықтауыштың екі жатық (немесе екі тік) жолдарының орындарын ауыстырса, онда оның таңбасы ӛзгереді.

2) Бірдей жатық немесе тік жолдары бар анықтауыш нӛлге тең болады.

3) Барлық элементтері нӛлге тең жатық немесе тік жолдары бар анықтауыш нӛлге тең болады.

4) Қайсы бір жатық немесе тік жолдарының ортақ кӛбейткішін анықтау- ыш таңбасының сыртына шығаруға болады.

5) Егер анықтауыштың қайсы бір қатарының (жатық немесе тік) элементтері екі қосылғыштың қосындысы болса, онда ол анықтауыштың кӛрсетілген қатары сәйкес бірінші және екінші қосылғыштардан тұратын екі анықтауыштың қосындысына тең болады.

6) Егер анықтауыштың қайсы бір қатарының (жатық немесе тік жолдарының) элементіне сәйкес параллель қатарының (жатық немесе тік) жолдарының элементтерін кез келген санға кӛбейтіп қосса, онда анықтауыштың мәні ӛзгермейді.

7) Егер анықтауыштың екі жатық немесе екі тік жолдары пропорционал болса, онда ол нӛлге тең болады.

Басқа қасиеттерін атау үшін жаңа ұғымдар енгіземіз.

Анықтама. Анықтауыш элементінің миноры деп қиылысында a_ij,- элементі жатқан i-ші жол мен j-ші тік жолдың сызылуынан шыққан анықтауышты айтады, да M_ij-әрпімен белгілейді. Мысалы,

33 32 31

23 22 21

13 12 11

а а а

а а а

а а а



 үшінші ретті анықтауыштың a₁₁- элементіне сәйкес

миноры

33 32

23 22

11 a a

a

M  a - екінші ретті анықтауыш болады.

8

Анықтама. Анықтауыш элементінің алгебралық толықтауышы деп қиылысында а_ij, элементі жатқан i-ші жатық жол мен j-ші тік жол нӛмірінің қосындысы жұп болса оң, тақ болса теріс таңбаға кӛбейтілген M_ij - минорын айтады және оны A_ij - әрпімен белгілейді, яғни

. )

1

( ^{i j} _ij

ij M

A   ^ (1.3) 9) Анықтауыштың мәні оның кез келген бір тік немесе жатық жолының элементтерін олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарына кӛбейтіп қосқанға тең, яғни

. .

det

32 31

22 21 13 33 31

23 21 12 33

32 23 22 11

13 13 12 12 11 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

A a A a A a a a a

a a a

a a a A





















(1.4)

10) Анықтауыштың бір жолының (тік немесе жатық) элементтерін оған параллель басқа жолының сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыш- тарына кӛбейтін қосса, онда ол нӛлге тең.

Мысалы, үшінші ретті анықтауыштың бірінші жатық жол элементтерін сәйкес екінші жатық жол элементерінің алгебралық толықтауыштарына кӛбейтіп қоссақ, онда ол нӛлге тең, яғни

а₁₁А₂₁ а₁₂А₂₂ а₁₃А₂₃ 0. Жаттығулар.

Анықтауыштарды есептеңіз.

1. 6 11 3 1 

. Жауабы: 29.

2. сtgx tgx

2 1

2

. Жауабы: 0.

3.

7 0 5

5 1 3

2 7

4





. Жауабы: -10.

4.

0 0 7

0 13 3

10 20 40



. Жауабы: 910.

5.

0 0 0

a b

a a

b a

. Жауабы: 2a²b.

9 6.

2 1 2

2 6 6

1 3 2







. Жауабы: 10.

7. Теңдеуді шешіңіз: . 2 4

1 3





 x x

x = 6. Жауабы: (1;

3

10).

8. Теңдеуді шешіңіз: 0. 5 1 2

1 5 4

3 1





 x

Жауабы: 5.

9. Теңсіздікті шешіңіз: 0 2

5

1  

x

x . Жауабы: x >-10.

10. Теңсіздікті шешіңіз: 0. 3

5

2 1

1

1 2 2











x x

Жауабы: 4<x<6.

11.

6 3 1

4 22 0

2 1

3





анықтауышының A₃₂ алгебралық толықтауышын табыңыз. Жауабы: –12.

12.

4 3 1

1 3 2

2 1

3









анықтауышының A₃₃ алгебралық толықтауышын табыңыз. Жауабы: 7.

13.

6 3 1

4 22 0

2 1

3





анықтауышының M₁₂ миноры мен A₁₂ алгебралық толықтауышының қосындысын табыңыз. Жауабы: 0.

14.

6 3 1

4 2 0

2 1 3



 анықтауышының M₁₃ миноры мен A₁₃ алгебралық толықтауышының қосындысын табыңыз. Жауабы:0.

15.

2 0 0 0

3 5 0 0

3 5 1 0

4 3 1 2







тӛртінші ретті анықтауышын есептеңіз.

Жауабы: -20.

10 16.

1 6 1 3

3 2 1 3

1 2 1 0

0 1 1 2







тӛртінші ретті анықтауышын есептеңіз. Жауабы: 0.

17. Үшінші ретті анықтауышты есептеңіз: . 2 3 4

1 2 10

1 2 8



Жауабы: 14.

18. Тӛртінші ретті анықтауышты анықтаңыз: . 7 1 2

1

1 0 0 1

6 4 1 3

3 2 2 1











Жауабы: 12.

19. Тӛртінші ретті анықтауышты анықтаңыз: . 2 1 0 2

1 0 2 3

0 1 2 1

a b b a

Жауабы: 2a+b.

20. Үшінші ретті анықтауышты есептеңіз:













2 2

2 2

2 2

cos 1 sin

cos 1 sin

cos 1 sin

Жауабы: 0.

21.

1 2 1

2 0 2

2 1 3

 анықтауышының A₁₂ алгебралық толықтауышы мен M¹² минорының айырымын табыңыз. Жауабы: -6.

22.

4 6 5

1 0 3

5 5 3



 анықтауышының A₂₃ алгебралық толықтауышын табыңыз. Жауабы: -7.

23.

3 5 4

0 1 3

5 8 2







анықтауышын есептеңіз. Жауабы: 17

11 24

1 4 4

6 1 2

2 3 3









анықтауышын есептеңіз. Жауабы: -5.

25.

2 0 0

4 6 0

3 2 5

анықтауышын есептеңіз. Жауабы: 60.

26.

6 6 5

0 3 4

0 0 1

анықтауышын есептеңіз. Жауабы: 18.

27.

4 0 0 0

7 3 0 0

6 2 1 0

5 3 2 1

анықтауышын есептеңіз. Жауабы: 12.

28.

5 10 8 2

3 2 4 1

4 3 2 0

6 5 4 1



 анықтауышын есептеңіз. Жауабы: -98.

29.

1 4 3 2

3 4 3 1

4 2 5 2

1 2 3 1





 анықтауышын есептеңіз. Жауабы: 78.

30. 0

3 3

4 2

1 2 1

 x

x теңдеуін шешіңіз. Жауабы: x₁ 2, x₂ 6..

Анықтауыштарды есептеуге шығару үлгілері.

1. 2 3

4

5 - екінші ретті анықтауышты есептеңіз.

Шешуі. (1.1) формуласы бойынша есептейміз.

7 4 2 3 3 5

2 4

5      .

2.

2 1 2

2 6 6

1 3 2









 - үшінші ретті анықтауышты есептеңіз.

Шешуі. (1.2) формуласы бойынша есептейміз.

12

10 36 4 12 6 12 24 2

1 2

2 6 6

1 3 2























.

3.

2 4 5

0 0 2

4 3 1



 - үшінші ретті анықтауышты есептеңіз.

Шешуі. (1.4) формула бойынша екінші жатық жол элементтері арқылы жіктеп есептеу тиімді.

4 20 5

3 ) 1

1 ( 2 0

5 4 ) 1

1 ( 2 0

4 4 ) 3

1 ( 2 2 4 5

0 0 2

4 3 1

3 2 2

2 1

2       





 ^{  } .

4.

1 0 0 0

1 3 0 0

3 5 2 0

1 4 3 5

- тӛртінші ретті анықтауышты есептеңіз.

Шешуі. Анықтауыштың 9-шы қасиеті бойынша диогональ элементтерінің кӛбейтіндісіне тең.

30 1 3 2 5 1 0 0 0

1 3 0 0

3 5 2 0

1 4 3 5









 .

5.

4 3 2

5 0 4

1 2 3



 - анықтауышының M₂₃ миноры мен A₂₃ алгебралық толықтауышының қосындысын табыңыз.

Шешуі. (1.3) формуласы бойынша:

. 3 5

2 2 ) 3

1 (

; 3 5 2

2

3 _{2 3}

23

23   A   ^ 

M

Демек M₂₃  A₂₃ 5(5)0.

2 Үш белгісізі бар үш сызықты теңдеулер жүйесі 2.1 Негізгі ұғымдар

Үш белгісіздері бар үш теңдеулер жүйесі

13

























3 3 33 2 32 1 31

2 23

2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

(1.5) түрінде жазылады, мұндағы a_ij,i1,2,3, j1,2,3 сандары жүйенің коэффициенттері, b_i- i1,2,3 бос мүшелері, ал x₁, x₂, x₃ - белгісіз айнымалылары деп аталады. Үш айнымалысы бар үш теңдеулер жүйесін тепе- теңдікке айналдыратын x₁⁰,x₂⁰,x₃⁰ үштік сандарын жүйенің шешімі дейді.

2.2 Сызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табу тәсілдері

Теңдеулер жүйесінің шешімін табу үшін бірнеше тәсілдер қолданылады:

Крамер ережесі. Егер жүйенің анықтаушы  A 0 болса, онда үш белгісіз бар үш теңдеулер жүйесінің шешімі:

, ,

, ₂ ² ₃ ³

1

1 

 



 



  x x

x (1.6) формуласымен анықталады, мұндағы  - жүйенің анықтаушы, ал





_i, i 1,2,3 анықтауыштары жүйенің  анықтаушының сәйкес тік жолдарын жүйенің бос мүшелерімен ауыстырудан шығады, яғни

. ,

, ,

3 32 31

2 22 21

1 21 11 3 33 3 31

23 2 21

13 1 11 2 33 32 3

23 22 2

13 12 1 1 33 32 31

23 22 21

13 12 11

b a a

b a a

b a a

a b a

a b a

a b a

a a b

a a b

a a b

a a

a a a

a a a

















Гаусс әдісі (белгісіздерден арылу тәсілі).

Берілген сызықты теңдеулер жүйесін элементарлық түрлендірулер бойынша үшбұрышты түрдегі жүйеге келтіреміз, яғни



















3.

3 2 3 23 2

1 3 13 2 12 1

d x

d x c x

d x c x c x

(1.7) Осы жүйенің соңғы теңдеулерінен бастап шешеміз және біртіндеп

3 2 1,x ,x

x белгісіздерін табамыз.

2.3 Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімділігі

Егер теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі бар болса, онда оны үйлесімді жүйе дейді.

Егер жүйенің анықтауышы нӛлден ӛзгеше болса, онда ондай теңдеулер жүйесі үйлесімді болады, ӛйткені оның бір ғана шешімі болады және ол Крамер формуласымен табылады.

14

Гаусс әдісімен сызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табуда теңдеудегі белгісіздерінің барлық коэффициенттері нӛлге тең, ал бос мүшелері (теңдеудің оң жағы) нӛлден ӛзгеше болуы мүмкін, яғни

. 0 ,

0 0

0x₁  x₂  x₃ b b

Мұндай теңдеу белгісіздерінің ешқандай мәнінде қанағаттанбайды, демек сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімсіз болады.

Жаттығулар.

1. 











21 4

13 3

2 y x

y

x теңдеулер жүйесін шешіңіз. Жауабы: (1;5).

2. k ның қандай мәнінде













8 6

4 2

y kx

y

x сызықты теңдеулер жүйесінің

шешімі болмайды. Жауабы: 3.

3. a және b сандарының қандай мәндерінде













b y x

ay x

4 6

1

3 сызықты

теңдеулер жүйесінің шексіз кӛп шешімдері болады. Жауабы: a2; b2. 4.







 1 2

6 3 2

y x

y

x сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз. Жауабы: (9;-4).

5. 























17 7

2

, 8 5

4 3

3 3 2

z y

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (5;-2;3).

6. 

















2 , 0 0

z x

z x

y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз. Жауабы: (1;1;-1).

7. 

















2 , 2

2

z y

z x

y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз. Жауабы: (1;1;-1)

8. 



























3 2 3

, 1 3

2

2 2

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: жауабы жоқ.

9. 



























2 , 1 5

2

1 4 2

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: шексіз кӛп шешімдері бар.

15 10. 























16 2 3 4

, 14 3 2

0 5

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;2;3).

11. 

























16 3 5 2

, 10 5

2 3

12 6

3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;0;-2).

12. 

























0 , 0 6

0 5

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;0;0).

13.























0 4 3 2

, 0 4 2

0 z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;0;0).

14. 























0 2

, 0 3

0 4

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;0;0).

15. 























11 3 4

, 3 2

3

8 2 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;2;1).

16. 

























3 3

2

, 6 3

9 4 2 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;1;2).

17. 





















3 2

3

, 10 3 5

5 3 2

z y x

z y x

y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;1;2).

18. 























3 2

, 18 3 2 5

3 2 4

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;2;3).

16 19. 

























1 2

7

, 6 4

3 2

4 2 5

z y x

z y x

y x x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;2;3).

20.































5 3

2 4

, 6 4

3

7 5

4 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;2;3).

21.



























4 5

, 3 3

2

13 2 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;2;3).

22.

























7 4 3 2

, 4 3 2

7 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (3;2;1).

23.

























19 2 4

, 9 5 3 2

5 2 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;4;1).

24.

























11 5 2

, 8 4 3

3 3 2

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (2;2;1).

25.

























4 10 4

2

, 7 3

4

5 4 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (3;2;1).

26.

























2 4 3 3

, 3 2 3 4

7 2 3 2

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;1;1).

27.

























1 3 2

, 9 4 2

4 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (2;1;1).

17 28.





















1 3 2

, 8 4

5 3

z y x

y x

z x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (0;2;1).

29.



























29 2

5 2

, 3 4

3

10 2

3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (3;3;4).

30.



























5 5

4 2

, 2 2

3

1 2 3

z y x

z y x

z y x

сызықты теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Жауабы: (1;2;3).

Сызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табуға арналған есептердің шығару үлгілері.

1. Сызықты теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен табыңыз.

























. 16 2

5

16 7 3 2

6 2

z y x

z y x

z y x

Шешуі. (1.6) формуласы бойынша:

2 1 2 5

7 3 2

2 1 1









 ; 6

1 2 16

7 3 16

2 1 6

1  





 ;

2 1 16 5

7 16 2

2 6 1

2  





 ; 2

16 2 5

16 3 2

6 1 1

3  

 .

Демек, x3; y1; z1.

2. Теңдеулер жүйесінің шешімін Гаусс әдісімен табыңыз.



























. 9 3

2

13 4

3

15 6

5

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Шешуі. Гаусс әдісі бойынша жүйені элементарлық түрлендірулер арқылы үшбұрышты түрге жүйеге келтіреміз. Теңдеудің коэффициенттерінен матрица құрамыз және оларға элементарлық түрлендірулер қолданамыз.

18







 













9 13 15

1 3 2

4 1 3

6 5 1

~ 



 















39 58

15

13 13 0

22 14 0

6 5

1

~ 























19 58

15

9 1

0

22 14 0

6 5

1

~

~ 

























208 19 15

104 0

0

9 1

0

6 5

1

.

Осыдан 



























208 104

19 9

15 6

5

3 3 2

3 2 1

x x x

x x x















. 2

1 2

3 2 1

x x x

3 Матрицалар

3.1 Матрицаларға амалдар қолдану

m жатық және n тік жолдары бар тікбұрышты сандар кестесін mn ӛлшемді матрица деп аталатынын анықтағанбыз, яғни























mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

немесе кейде қысқа жазу үшін

 

^{a i (1,m), j (1,n)}

A _ij   символмен белгілейді. Жатық және тік жолдарының сандары бірдей екі

) (a_ij

A және B(b_ij) матрицаларының қосындысы деп әрбір элементі сәйкес А және В матрицаларының қосындысына тең C (c_ij) матрицасын айтады, яғни

C=A+B, c_ij a_ij b_ij, i(1,m),j (1,n). (1.9) )

(a_ij

A матрицасының k-санына кӛбейтіндісі деп А матрицасының әрбір элементінің k санына кӛбейтуден шыққан B(b_ij) матрицасын айтады, яғни

. , b_ij ka_ij kA

B  (1.10)

mn

aij

A( ) матрицасын B (b_ij)_pk матрицасына кӛбейту үшін A матрицасының тік жол элементінің саны B матрицасының жатық жол элементінің санына тең болуы қажет, яғни pn.

19

Кӛбейтілген матрицаның жатық және тік жолдарының саны сәйкес бірінші матрицаның жатық жол санына және екінші матрицаның тік жол санына тең болады.

Ӛлшемдері сәйкес mn және nk екі A(a_ij) және B(b_ij) матрицаларының кӛбейтіндісі деп i-ші жатық және j- ші тік жол қилысындағы

cij элементі А- матрицасының сәйкес i-ші жатық жол элементтерін В- матрицасының j- ші тік жол элементтеріне кӛбейтіп қосқанға тең mk - ӛлшемді C (c_ij) матрицасын айтады, мұндағы

).

, 1 ( ), , 1 ( ,

1

k j

m i

b a c

n l

lj il

ij 



 



(1.11) Екі матрицаның кӛбейтіндісінің элементін есептеу ережесін тӛменгі ӛрнек арқылы кӛрсетеміз (1.2 сурет).

j j i i

 = .

1.2 сурет 3.2 Кері матрица

Егер квадрат А матрицасының анықтауышы нӛлге тең, яғни detA0 болса, онда A матрицаны ерекше, ал керісінше ерекше емес дейді. Кез келген ерекше емес A матрицасының бір ғана кері A^1 матрицасы бар және ол

1 ,

1 A A E

AA^  ^ 

теңдігін қанағаттандырады, мұндағы E – бірлік матрица. Бірлік матрицаның негізгі диагонал элементтері бірге тең, ал басқа элементтері нӛлге тең болады.

1

A кері матрицасы





















 

nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

A A

...

...

...

...

...

...

...

1

2 1

2 22

12

1 21

11

1 (1.12)

формуласымен есептелінеді, мұндағы A матрица анықтауыш,A_ij- анықтау- ыш элементінің алгебралық толықтауышы.

Матрицаны матрицаға кӛбейту амалын қолданып «n» белгісізі бар «m»

сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін бір матрицалық теңдеумен алмастыруға болады. Шынында да «n» белгісізі бар «m» теңдеулер жүйесі берілсін, яғни

20



































. ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

(1.13) Мұндағы x₁, x₂,...,x_n- айнымалылары жүйенің белгісіздері; a_ij,

, , ...

, 2 ,

1 m

i  j1,2,...,n-тұрақты сандар - жүйесінің коэффициенттері, ал b_i, m

i 1,2,..., -тұрақты сандар –жүйенің бос мүшелері деп аталады.

Жүйенің теңдеулерін тепе-теңдікке айналдыратын x₁⁰, x₂⁰,...,x_n⁰ - сандары жүйенің шешімі деп аталады.

Егер жүйенің шешімі бар болса, онда оны үйлесімді, ал егер шешімі жоқ болса, онда оны үйлесімсіз дейді.

(1.13) жүйенің коэффициенттерінен құрылған матрицаны A, белгісіздерінен және бос мүшелерінен құралған матрицаларды сәйкес X жәнеB арқылы белгілейік. Сонда (1.13) теңдеуді:

B

AX  (1.14) матрицалық теңдеумен алмастыруға болады, мұндағы



















mn m m

n n

a a a

a a a

a a a A

...

...

...

2 1

2 22 21

1 12 11

,





















 xm

x x

X ²

1

,





















 bm

b b

B ²

1

.

Егер A-квадрат матрица болса, онда жүйенің кері матрицасын қолданып, оның шешімін табуға болады. Егер detA0 болса, онда оның кері матрицасы A^1- бар болады. Демек, (1.14) матрицалық теңдеудің екі жағын (оң және сол) A^1 кӛбейтіп, оның шешімін табамыз:

B A AX

A^1  ^1 немесе X  A^1B. (1.15) Сызықты теңдеуді (1.15) формула арқылы шешу матрицалық әдіс деп аталады.

3.3 Матрицаның рангісі

mn ӛлшемді А матрицасының k жатық және k тік жол таңдап алайық, мұндағы (kmin(m,n)) таңдалынған жатық және тік жолдардағы элементтер k ретті квадрат матрицаны құрады және оның анықтауышы матрицасының k- ретті миноры деп атайды. А- матрицасының нӛлден ӛзгеше минорларының ең жоғары r-ге тең ретін матрицасының рангісі дейді. Нӛлден ӛзгеше кез келген r-ретті минор базистік минор деп аталады. Матрицаның рангісін табу үшін минорларды кӛмкеру әдісін қолданады: матрицадағы нӛлден ӛзгеше k-ретті минор M табылды делік. Осы М минорды кӛмкерген (k+1)-ші ретті минорларды ғана есептейміз. Егер олардың барлығы нӛлге тең болса, онда матрицаның рангісі k-ға тең болады.

21

Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімді және үйлесімсіз шешімдерінің бар болуының белгісі.

«n» белгісізі бар «m» теңдеулер жүйесі, яғни



































m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

берілсін. Жүйенің және оның кеңейтілген матрицаларын құрамыз:























mn m m

n n

a a a

a a a

a a a A

...

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22 21

1 12 11

; .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 1

2 22 21

1 12 11























mn m m

m

n n

b b b

a a

a

a a a

a a a B

Кронекер-Капелли теоремасы. Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімді шешімдері болу үшін, жүйе матрицасының рангісі оның кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни r_a r_b, осымен бірге:

1) r_a r_b n болса, онда жүйенің шешімі жалғыз болады;

2) r_a r_b n болса, онда жүйенің ақырсыз кӛп шешімі болады;

3) r_a r_b болса, онда жүйенің шешімі болмайды.

Жаттығулар.

1. 



 







 





 

4 3

2 , 1

2 5

4

3 B

A матрицалары берілген. 2А-3В табыңыз.

Жауабы: 

 





16 1

2

3 .

2. 

















1 9 8 7 0 1

A ,

























1 1

7 6 0 1

B матрицалары берілген. А – 3В айырымын

табыңыз. Жауабы:















 4 6 29 25

0 4

.

3. АВ –кӛбейтіндісін табыңыз, егер .

1 2

5 , 3

6 4

1

2 



 







 



 

 B

A

Жауабы: 

 





26 0

9

8 .

22

4. АВ - кӛбейтіндісін табыңыз, егер .

1 5 4

2 1 , 3

0 2

1

3 



 







 



 

 B

A

Жауабы: 

 



 

4 2 6

5 2

5 .

5. АВ - кӛбейтіндісін табыңыз, егер

 

. 3 1 5 ,

4

; 2

;

3 

















 B

A

Жауабы: )(5 .

6. АВ - кӛбейтіндісін табыңыз, егер .

3 2 1 ,

0 1 2

2 3 1

1 0 2

















 















 B

A

Жауабы:

















4 13

5 .

7. 

 





4 5

2

A 3 - матрицасының кері матрицасы A^1 табыңыз.

Жауабы: 









 

32 52

1 2

.

8. 

 





7 5

4

A 3 - матрицасының кері матрицасы A^1 табыңыз.

Жауабы: 



 







 3 5

4

7 .

9. 











 

2 1 1

1 1 2

1 1 1

- матрицасының кері матрицасы A^1 табыңыз.

Жауабы:





















 3 2 1

1 1 3

2 3

1 5

1 .

10.

















 4 1 4

2 1 2

2 1 1

- матрицасының кері матрицасы A^1 табыңыз.

Жауабы:

























3 3

6

2 4 0

4 2 6 6

1 .

23

11. 



 







 1 3 2 0

0 1 7

1 марицасының рангісін табыңыз. Жауабы: 2.

12. 











 

2 1 1

1 1 2

1 1 1

марицасының рангісін табыңыз. Жауабы: 3.

13. 

















1 0 4

2 4

1

0 1 2

3 1 2

марицасының рангісін табыңыз. Жауабы: 3.

14. 



















1 6 2

5 1 4

6 5 2

марицасының рангісін табыңыз. Жауабы: 2.

15. AB2ABтабыңыз, егер 



 



 

 2 4 1

A 3 , .

2 1

3 2 



 



 B

Жауабы: _



 





22 13

12

5 .

16. AB табыңыз, егер 

 





2 3

1

A 5 , .

4 1

2 3 

 





B Жауабы: 

 





14 11

14

16 .

17. A² - табыңыз, егер 



 





6 5

4

A 3 . Жауабы: 



 





56 45

36

29 .

18. 

















4 1 4

2 1 2

2 1 1

A матрицасының кері A^1 матрицасын табыңыз.

Жауабы:

























3 3

6

4 4 0

4 2 6 6

1 .

19.























1 2 2

2 1

2

2 2 1

A матрицасының кері A^1 матрицасы табыңыз.

Жауабы:

















6 3 6

6 3 6

6 6 3 27

1 .

20. 















0 1 1

1 1 1

3 2 1

A матрицасының кері A^1 матрицасы табыңыз.