Жазықтықтағы түзу сызықтар

1. Берілген векторға перпендикуляр берілген нүкте арқылы ӛтетін түзудің теңдеуі

, 0 ) (

)

(xx₀ B y y₀ 

A (3.5) түрінде жазылады, мұндағы A және В – сандары n, векторының координаттары, яғни n{a;b} – түзудің нормальдық векторы деп аталады.

)

; ( _{0 0}

0 x y

M - нүктесі түзудің бойында жатқан нүкте.

2. Бастапқы координатасы және бұрыштық коэффициентпен берілген түзудің теңдеуі:

, b kx

y  (3.6) түрде жазылады, k – бұрыштық коэффициент және ол Ох осімен жасайтын



tg

k кӛлбеу бұрышының тангенсіне тең.

3. Түзудің жалпы теңдеуі және оның дербес түрлері:

0



By C

Ax (3.7) түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. А, В және С – кез келген нақты сандар. (А және В сандары бірдей нӛлге тең емес сандар).

Егер түзудің жалпы AxByC0 теңдеуінің коэффициенттері нӛлге тең болса онда:

1) С=0, x B

y A - түзу бас нүкте арқылы ӛтеді.

2) a

B y C B

A0 ( 0)   - түзу Ох ӛсіне параллель болады.

3) b

A x C A

B0 ( 0)   - түзу Оу ӛсіне параллель болады.

4) BC0 Ax0, x0- түзу Оу ӛсінің теңдеуі болады.

5) AC0 By0, y0- түзу Ох ӛсінің теңдеуі болады.

4. Берілген бұрыштық коэффициенті бар берілген M₀(x₀;y₀)нүктесінен ӛтетін түзудің теңдеуі:

).

( ₀

0 k x x

y

y   (3.8) 5. Берілген векторға параллель берілген М нүктесі арқылы ӛтетін түзудің теңдеуі:

0 ,

0

n y y m

x

x 

 

түрінде жазылады, мұндағы m және n сандары a векторының координаты, ал }

; {m n

a - векторы түзуге параллель және оны түзудің бағыттауыш векторы дейді.

58 6. Түзудің кесінділік теңдеуі

,

1

b y a

x (3.9) түрінде жазылады, мұндағы aжәне b – сандары сәйкес координаталар остерін қиятын кесінділердің ұзындықтары.

7. Берілген екі M₁(x₁;y₁)және M₂(x₂;y₂)нүктелерінен ӛтетін түзудің теңдеуі:

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 



 (3.10) түрінде жазылады.

8. Түзудің нормальдық теңдеуі:

0 sin

cos y  p

x  

түрінде жазылады, мұндағы р саны бас нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы, ал cos, sin түзуге түсірілген бірлік

нормальдық вектордың коррдинаты 



 



  



 







 sin

cos 2

cos .

Түзудің жалпы AxByC0 теңдеуін оның нормальдық теңдеуіне келтіру үшін оның барлық мүшелерін С санының қарама қарсы алынған нормальдық кӛбейткішке, яғни:

2 2

1 B A 



  санына кӛбейтеміз.

9. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

)

; ( _{0 0}

0 x y

M - нүктесі берілген түзудің бойында жатпасын және түзу ӛзінің нормальдық xcos ysin p0 теңдеуімен берілсін делік. Сонда d қашықтығын M₀ нүктесі түзуге дейінгі.

| sin

cos

|x₀ y₀ p

d   

формуласы бойынша есептеледі, ал егер түзу ӛзінің AxByC0 жалпы теңдеуімен берілсе, онда d қашықтығынан M₀ нүктесі түзуге дейін формуласы бойынша анықталады.

2 .

2 0 0

B A

C By d Ax







  (3.11) 10. Екі түзудің арасындағы бұрыш және олардың параллельдік және перпендикулярлық шарттары.

Егер түзудің бұрыштық коэффициенттері белгілі және олар сәйкес k₁

және k₂ сандарына тең болса, онда екі түзудің арасындағы бұрыштардың теңдеуі:

2 1

1 2

1 k k k tg k



 

 (3.12)

59

формуласы бойынша анықталады. Бұл формуладан екі түзудің параллельдік шартын, яғни

2

1 k

k  (3.13)

және перпендикулярлық шартын, яғни

1 2

1

k k (3.14) аламыз.

Жаттығулар.

1. 2x3y60 түзуінің бұрыштық коэффициенті k және Оу ӛсін қиятын b кесіндісінің ұзындығын табыңыз. Жауабы: ; 2.

3

2 

 b

k

2. Ох Ӛсін a = 3 және Оу ӛсін b = -2 кесінділерімен қиятын түзудің теңдеуін құрыңыз. Жауабы: 2x3y60.

3. x2y60 түзуінің координаталар остерімен қиылысу нүктелерін табыңыз. Жауабы: (-6;0) және (0;3).

4. xy1 және x30 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

Жауабы:

4

 . 5. 3x4y120 түзуімен координаталар бұрышынан қиылған

үшбұрыштың ауданын табыңыз. Жауабы: 6.

6. 7x5y30 және 5x7y30 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабы:

2

 . 7. Тӛбелері А(3;2), B(-1;4), C(1;6) нүктелерімен берілген АВС үшбұрышының А тӛбесінен жүргізілген медиананың теңдеуін табыңыз.

Жауабы: x y50. 8. x2y10түзуіне параллель А(3;-1) нүктесінен ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз. Жауабы: x2y50.

9. x y20 түзуіне перпендикуляр А(-1;2) нүктесінен ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз. Жауабы: xy10.

10. А(3;1), B(1;5), C(1;3), D(8;2) нүктелерінің қайсы x5y20 түзуінің бойында жатады. Жауабы: A және D.

11. k санының қандай мәндерінде (k2)x(k4)y3k² 8k50 түзуі бас нүктеден ӛтеді. Жауабы: 1 және

3 5. 12. k санының қандай мәндерінде (k2)x(k² 9)y3k² 8k50 түзуі ордината осіне параллель болады. Жауабы: -3 және 3.

60

13. Квадраттың бір тӛбесі А(2;-5) нүктесінде, ал басқа тӛбелерінің біреуі x2y70.түзуінің бойында орналасқан. Осы квадраттың ауданын есептеңіз. Жауабы: 5 .

14. Квадраттың бір тӛбесі А(-4;5) нүктесінде, ал бір диоганалы 0

8

7xy  түзуінде орналасқан. Осы квадраттың қабырғаларының және екінші диоганалының теңдеуін құрыңыз.

Жауабы: Квадраттың қабырғаларының теңдеулері: 4x3y10,

; 0 24 3

4 , 0 32 4

3x y  x y  3x4y70; Екінші диоганалының теңдеуі: x7y310. 15. 2x3y60 және 4x6y250 параллель түзулерінің арасындағы қашықтықты табыңыз. Жауабы:

2 13. 16. A(6;3), B(2;5) және C(3;2) тӛбелерімен берілген үшбұрыштың ВD биіктігінің ұзындығын табыңыз. Жауабы: 10 .

17. 2x3y40.түзуімен 45 бұрыш жасайтын және А(2;3) нүктесінен ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз.

Жауабы: x5y130 немесе 5x y130. 18. 4x-3y+15=0 және 8x-6y+25=0 теңдеуімен берілген параллель түзулердің арасындағы қашықтықты табыңыз. Жауабы: 0,5.

19. Квадраттың екі қабырғасы 5x-12y-65=0 және 5x-12y+26=0 түзулерінің бойында орналасқан. Осы квадраттың ауданын есептеңіз.

Жауабы: 49.

20. Арасында бас нүктесі бар 3x-y-4=0 және 2x+6y+3=0 түзулерінің бұрышына жүргізілген биссектрисасының теңдеуін құрыңыз.

Жауабы: 2x+y-1=0.

2 Екінші ретті қисықтар 2.1 Шеңбер

Центр деп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтағы нүктелердің жиынтығын шеңбер дейді.

2 2

2 ( )

)

(xa  yb R (3.15) теңдеуі центрі С(a;b) нүктесінде радиусы R- ге тең шеңберді ӛрнектейді (3.1 сурет).

Егер шеңбердің центрі бас нүктемен беттессе, яғни егер a0, b0 болса, онда шеңбердің теңдеуін:

2 2

2 y R

x   (3.16) түрінде жазуға болады.

61

3.1 сурет Жаттығулар.

1. Радиусы 5 және центрі С(3;4) нүктесінде орналасқан шеңбердің теңдеуін жазыңыз.

Жауабы: (x3)² (y4)² 25. 2. Центрі С(-3;0) нүктесінде және бас нүктеден ӛтетін шеңбердің теңдеуін жазыңыз.

Жауабы: (x3)² y² 9. 3. x²  y² 6x8y110теңдеуімен берілген шеңбердің радиусын және центрінің координатасын табыңыз.

Жауабы: C(-3;4), R=6.

4. А(3;2) және В(-1;6) нүктелері кез келген диаметрлерінің ұштары болатын шеңбердің теңдеуін құрыңыз.

Жауабы: (x1)² (y4)² 8. 5. А(3;4) нүктесінен ӛтетін центрі Ох осімен 3xy60 түзуінің қилысында жатқан шеңбердің теңдеуін құрыңыз.

Жауабы: (x2)²  y² 17. 6. x² y² 2x4y200теңдеуімен берілген шеңбердің радиусын және центрінің координатасын табыңыз.

Жауабы: C(1;-2), R=5.

7. Екі шеңбердің центрлерін қосатын сызықтың теңдеуін құрыңыз:

а) (x3)²  y² 9және(x2)² (y1)² 1; б) x² y²4x6y0 және x²  y² 6x0.

Жауабы: а) x5y30. б) 3x y50. 8. А(3;1) және В(-1;3) нүктелері арқылы ӛтетін, ал центрі

0 2

3xy  түзуінің бойында жатқан шеңбердің теңдеуін құрыңыз.

Жауабы: (x2)² (y4)² 10. 2.2 Эллипс

Фокус деп аталатын жазықтықтағы екі берілген нүктеден қашықтықтарының қосындысы тұрақты шамаға тең нүктелердің жиынын эллипс дейді.

62

Эллипстің кез келген нүктесінен фокустарына дейінгі қашықтықтардың қосындысын тұрақты 2а арқылы белгілейік. Эллипстің фокустарын F₁ және F2 әріптерімен, ал олардың арасындағы қашықтықты, яғни |F1F2 |=2c арқылы белгілейік (3.2 сурет). Сонда эллипстің анықтамасы бойынша 2а>2c немесе а>c.

3.2 сурет

Егер декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінің ӛстері бас нүктеге симетриалы эллипстың фокустары арқылы ӛтетін абсица ӛсінде орналасса, онда осы таңдалынған координаталар жүйесіндегі эллипстің теңдеуін:

,

2 1

2 2

2  

b y a

x b² a² c² (3.17) түрінде жазуға болады, мұндағы эллипстің фокустері F₁(c;0), F₂(c;0) нүктелерінде жатады, ал а және b сандарын сәйкес эллипстің үлкен және кіші жарты ӛстері деп атайды.

Эллипстің координаталар ӛстерімен қиылысу нүктелерін оның тӛбелері дейді.  1

a

 c санын эллипстің эксцентриситеті деп атайды және ол эллиптің түрін сипаттайды. Егер M(x;y) – эллипстің кез келген нүктесі болса, онда

1

1M r

F  және ^{F2M r2} кесінділерін М нүктесінің фокальдық радиустары деп атайды және оларды

x a r x a

r₁   , ₂   формулалары бойынша есептеуге болады.

Жаттығулар.

1. Бас нүкте арқылы симетриялы, фокустары абсцисса осінде орналасқан эллипстің теңдеуін құрыңыз, егер:

- оның жарты ӛстері 5 және 2;

- оның үлкен ӛсі 2а =10, ал фокустарының ара қашықтығы 2с = 8;

- оның кіші ӛсі 8, ал фокустарының ара қашықтығы 2с = 6;

- оның кіші жарты ӛсі b = 3 және M₁(2 5;2) нүктесі эллипстің бойындағы нүкте;

- оның үлкен жарты ӛсі а = 3 және M₁(2;2) нүктесі эллипстің бойындағы нүкте;

63

- M₁( 15;1) нүктесі эллипстің бойындағы нүкте және фокустарының ара қашықтығы 2с = 8;

- M₁(4; 3) және M₂(2 2;3) эллипстің бойындағы нүктелер.

Жауабы: 1) 1

4 25

2

2  y 

x . 2) B) 1

9 25

2

2  y 

x . 3) 1

16 25

2

2  y 

x .

4) 1

9 36

2

2  y 

x . 5) 1

36 5 9

2

2  y 

x . 6) 1.

4 20

2

2  y 

x 7) 1

15 20

2

2  y 

x .

2. Тӛменгі эллипстердің әр қайсысының жарты ӛстерін анықтаңыз:

1) 9x² 25y² 225. 2) x² 36y² 36. 3) 9x² 25y² 25. 4)9x² 16y² 1.

Жауабы: 1) a = 5, b = 3. 2) a = 6, b = 1.

3) a = 5/3, b = 1. 4) a = 1/3, b = 1/4.

3. x2y70 түзуі мен x² 4y² 25 эллипсінің қилысу нүктелерін табыңыз. Жауабы: (3;2), (4;3/2).

4. 3x10y250 түзуі мен 1 4 25

2

2  y 

x эллипсінің қилысу нүктелерін табыңыз. Жауабы: (3;8/5).

5. Екі тӛбесі эллипстің фокустарында, ал басқа екеуі оның кіші ӛсінің ұштарымен беттесетін тӛртбұрыштың ауданын есептеңіз 9x² 5y² 1.

Жауабы:

45 5

4 кв.бірлік.

6. Егер эллипс 

 



 3

5

;4

1 4

M және M₂

 

0;4 нүктелерінен ӛтетіні белгілі болса, онда оның эксцентритетін, фокустарының координатын және жарты

ӛстерін табыңыз. Жауабы: .

3 ); 5

0

; 5 2 ( );

0

; 5 2 (

; 4

;

6  _{1 2}  

 b F F 

a