Гипербола

63

- M₁( 15;1) нүктесі эллипстің бойындағы нүкте және фокустарының ара қашықтығы 2с = 8;

- M₁(4; 3) және M₂(2 2;3) эллипстің бойындағы нүктелер.

Жауабы: 1) 1

4 25

2

2  y 

x . 2) B) 1

9 25

2

2  y 

x . 3) 1

16 25

2

2  y 

x .

4) 1

9 36

2

2  y 

x . 5) 1

36 5 9

2

2  y 

x . 6) 1.

4 20

2

2  y 

x 7) 1

15 20

2

2  y 

x .

2. Тӛменгі эллипстердің әр қайсысының жарты ӛстерін анықтаңыз:

1) 9x² 25y² 225. 2) x² 36y² 36. 3) 9x² 25y² 25. 4)9x² 16y² 1.

Жауабы: 1) a = 5, b = 3. 2) a = 6, b = 1.

3) a = 5/3, b = 1. 4) a = 1/3, b = 1/4.

3. x2y70 түзуі мен x² 4y² 25 эллипсінің қилысу нүктелерін табыңыз. Жауабы: (3;2), (4;3/2).

4. 3x10y250 түзуі мен 1 4 25

2

2  y 

x эллипсінің қилысу нүктелерін табыңыз. Жауабы: (3;8/5).

5. Екі тӛбесі эллипстің фокустарында, ал басқа екеуі оның кіші ӛсінің ұштарымен беттесетін тӛртбұрыштың ауданын есептеңіз 9x² 5y² 1.

Жауабы:

45 5

4 кв.бірлік.

6. Егер эллипс 

 



 3

5

;4

1 4

M және M₂

 

0;4 нүктелерінен ӛтетіні белгілі болса, онда оның эксцентритетін, фокустарының координатын және жарты

ӛстерін табыңыз. Жауабы: .

3 ); 5

0

; 5 2 ( );

0

; 5 2 (

; 4

;

6  _{1 2}  

 b F F 

a

64 3.3 сурет

Гиперболаның фокустарын F1 және F2 әрпімен, ал олардың арақашықтықтары F₁F₂ 2c деп алайық. Сонда фокустарының координаталары сәйкес F₁(c;0), F₂(-c;0) болады, ал оның бойындағы кез келген нүктені М(x;у) делік, r₁  F₁M және r₂  F₂M - кесінділерін М(x;у) нүктесінің фокальдық радиустары деп атайды.

Анықтама бойынша гиперболаның теңдеуі:

, 2

,

2 2

1 r a a const

r    2a2cac. Демек гиперболаның қарапайым теңдеуін:

2 2 2 2

2 2

,

1 b c a

b y a

x     (3.18) түрде жазамыз.

Гиперболаның графигімен қилысатын ӛсті - нақты, ал қилыспайтын ӛсті жорамал дейді. Бұл остер гиперболаның тармақтарына симметриялы болады.

а – санын гиперболаның нақты, ал b – санын жорамал жарты ӛстер дейді.

ax

y b (3.19) түзулерін гиперболаның асимптоталары дейді. Гиперболаның оң жақ (xa) тармағының фокальдық радиустары

,

; ₂

1 x

a a c r

ax a c

r    

ал сол жақ



xa



, тармағының фокальдық радиустары:

ax a c r

ax a c

r₁   , ₂   формулаларымен есептеледі.

Гиперболаның фокустарының арасындағы қашықтықтың оның тӛбелерінің арасындағы қашықтыққа қатынасын гиперболаның эксцентриситеті дейді және оны  әрпімен белгілейді, яғни  1.

a

 c x

y

r1

r2

M

F1 F²

65

1

;

1 ₂

2 2 2 2

2 2

2    

b y a x b

y a x

теңдеулерімен берілген гиперболаларды түйіндес дейді.

Жаттығулар.

1. Бас нүкте арқылы симметриялы, фокустары абцисса осінде орналасқан гиперболаның теңдеуін құрыңыз, егер :

- оның остері сәйкес 2а = 10 және 2b = 8;

- фокустар арасындағы қашықтығы 2с =10 және кіші осі 2b =8;

- фокустар арасындағы қашықтығы 2с =6 және эксцентриситеті  = 3/2;

- фокустар арасындағы қашықтығы 2с = 10 және асимптоталарының

теңдеулері ;

3 4x y 

- үлкен осі 2а = 16 және эксцентриситеті  =5/4.

Жауабы: 1) 1

16 25

2

2  y 

x . 2) 1

16 9

2

2  y 

x . 3) 1 5 4

2

2  y 

x .

4) 1 16 9

2

2  y 

x . 5) 1

36 64

2

2  y 

x .

2. Тӛмендегі гиперболалардың жарты ӛстері а және в сандарын анықтаңыз :

1) x² 4y² 16. 2) 9x² 4y² 36. 3) x²  y² 4. 4) 9x² 4y² 1.

5) 4 16.

16

2

2  y 

x

Жауабы: 1) a = 4; b = 2. 2) a = 2; b = 3.

3) a = 2; b = 2. 4) a = 1/3; b = 1/2. 5) a = 16; b = 2.

3. Жорамал ӛсі b=2 және M(6;2 2) нүктесі арқылы ӛтетін гиперболаның теңдеуін және М нүктесінің фокальдық радиусын табыңыз.

Жауабы: 1, 6 3, 2 3.

4

12 ^{1 2}

2

2  y  r  r 

x

4. y координатасы 1–ге тең М нүктесі x² 4y² 16 теңдеуімен берілген гиперболаның бойынан алынған. Осы нүктенің фокустардан қашықтығын табыңыз. Жауабы: r₁ 9, r₂ 1.

5. Тӛбелері 1

9 25

2

2  y 

x эллипсінің фокусында, ал фокустары эллипстің тӛбелерінде орналасқан гиперболаның теңдеулерін құрыңыз.

Жауабы: 1.

9 16

2

2  y 

x

6. 16x² 9y² 144 теңдеуімен берілген гиперболаның: 1) а және b жарты ӛстерін; 2) фокустарын; 3) эксцентриситетін; 4) асимптоталардың теңдеулерін табыңыз.

66

Жауабы: 1) а = 3, b = 4; 2) F₁(5;0), F₂(5;0); 3) ; 3

5

 4) .

3 4x y  7. 2xy100 түзуі мен 1

5 20

2

2  y 

x гиперболасының қилысу

нүктелерін табыңыз. Жауабы: (6;2) және . 3

; 2 3

14 



 



 

8. 4x3y160 түзуі мен _{25 16} ¹

2

2  y 

x гиперболасының қиылысу

нүктесін табыңыз. Жауабы: (10;8) және 



 



 ;3 4

25 . 9. Тӛмендегі теңдеулердің әрқайсысы гиперболаны анықтайтынын дәлелдеңіз және олардың центрінің координаттарын, жарты ӛстерін, эксцентриситеттерін және асимптоталарының теңдеулерін табыңыз.

1) 16x² 9y² 64x54y1610. 2) 9x² 16y² 90x32у3670. 3)16x² 9y² 64x18y1990. Жауабы: 1) С(2;-3), а = 3,b = 4, ,

асимптоталарының теңдеулері:4x3y170, 4x3y10. 2) С(-5;1), а = 8, b = 6, 4, асимптоталарының теңдеулері: 3x4y110, 3x4y190.

3) С(2;-1), а = 3, b = 4, 4, асимптоталарының теңдеулері:4x3y110, 4x3y50. 2.4 Парабола

Фокусы деп аталатын берілген нүктеден және директрисасы деп аталатын берілген түзуден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтағы нүктелердің жиынын парабола дейді.

Параболаның теңдеуін қорыту үшін координаталар жүйесін арнайы таңдап аламыз.

Параболаның директрисасына перпендикуляр және фокусы арқылы ӛтетін түзуді Ох ӛсі үшін, ал директриса мен фокусының ортасынан Ох ӛсіне перпендикуляр ӛтетін түзуді Оу ӛсі үшін аламыз (3.4 сурет).

3.4 сурет 3.5 сурет

67

Осылай алынған координаталар жүйесіндегі параболаның қарапайым теңдеуі:

px y² 2 түрінде анықталады.

Директрисадан F фокусына дейінгі қашықтықты параболаның параметрі дейді. Және оны p (p0) арқылы белгілейді. Сонда таңдалған координаталар жүйесінде F фокусының координаты 



 



 ;0 2

p , ал директрисасының теңдеуі

2

x  p. Кез келген М(х;у) нүктесінің фокальдық радиусы:

2. x p r FM   

формуласымен есептеледі. Параболаның тӛбесі бас нүктеде орналасады, ал Ох ӛсі координаталары симметриялы ӛсімен беттеседі. Парабола оң жақтағы жарты жазықтықта жатады.

Егер парабола Oy ӛсіне симметриялы болса, онда оның теңдеуі (3.5 сурет).

.

2 2

py x  Жаттығулар.

1. Тӛбесі бас нүктеде орналасқан және тӛменгі берілгендерді ескеріп параболаның теңдеуін құрыңыз:

- парабола Ох ӛсіне симметриялы орналасқан және А(9;6) нүктесінен ӛтеді;

- парабола Ох ӛсіне симметриялы орналасқан және В(-1;3) нүктесінен ӛтеді;

- парабола Оу ӛсіне симметриялы орналасқан және С(1;1) нүктесінен ӛтеді;

- парабола Оу ӛсіне симметриялы орналасқан және D(4;-8) нүктесінен ӛтеді. Жауабы: 1) y² 4x. 2) y² 9x. 3) x²  y. 4) x² 2y.

2. Центрі y² 4x параболаның фокусында және оның директрисасына жанасатын шеңбердің теңдеуін құрыңыз. Парабола мен шеңбердің қилысу нүктесін табыңыз. Жауабы: (x1)²  y² 4, (1;2), (1;2).

3. Егер парабола Ох симметриялы және у = х және х + у = 2 түзулерінің қилысу нүктесі параболаның бойында жатса, онда параболаның және оның директрисасының теңдеулерін құрыңыз. Жауабы:

4 , 1

2  x x

y .

4. y² 24x теңдеуімен берілген параболаның фокусын және

директрисасының теңдеуін табыңыз. Жауабы: F(6;0), x + 6 = 0.

5. Егер М нүктесінің абциссасы 7–ге тең болса, онда y² 20x

68

теңдеуімен берілген параболаның бойындағы М нүктесінің фокальдық радиусын табыңыз. Жауабы: 12.

6. Егер М нүктесінің ординатасы 6-ға тең, онда y² 12x теңдеуімен берілген параболаның бойындағы М нүктесінің фокальдық радиусын табыңыз. Жауабы: 6.

7. Тӛменгі теңдеулердің арқайсысы параболаны анықтайтынын дәлелдеңіз және оның тӛбесінің координатын, р параметрінің ұзындығын табыңыз.

1) 2 7.

6 ) 1

3 , 7 8 4 )

2 , 2 4 2

1 ₂    ₂    ₂  

 x x y x x y x x

y

Жауабы: 1) A(-4;-2), 8

1

р . 2) A(1;3), р2. 3) A(6;-1),

2

 1



p .

3 «Жазықтықтағы аналитикалық геометрия» тақырыбы бойынша тапсырмалар

1 – нұсқа

1. х-3у+6=0 түзуі және координата ӛстерінен құрылған үшбұрыштың ауданын табыңыз. Суретін салыңыз.

2. M₁(2;5), M₂(3;2) нүктелерінен ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз және оның бұрыштық коэффициентін табыңыз.

3. 3x15y10, x5y20 параллель түзулерінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

4. Координаталар остерін 2 0 4

3x  y  

түзуімен қиятын кесінділердің ұзындығын табыңыз.

5. 4x3y70 түзуіне түсірілген Р(3;4) нүктесінің проекциясын табыңыз.

6. Тӛменгі саналған түзулердің қайсылары бір біріне параллель болады:

a)y2x1; b)yx4; c)y3x1; d)2y4x5.

7. (x2)² (y3)² 25 шеңберінің А(-5;7) нүктесінен жүргізілген жанаманың теңдеуін құрыңыз.

2 – нұсқа

1. A(1;2), B(7;1), C(2;3), D(12) нүктелерінің қайсылары 5х-у=7 түзуінің бойында жатады.

2. k=2 бұрыштық коэффициентімен берілген А(3;-2) нүктесі арқылы ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз.

3. .

2 , 3

7

5x y x

y   түзулерінің арасындағы бұрышты анықтаңыз.

69

4. Координаталар бұрышынан 3х-4у-12=0 түзуімен қиылған үшбұрыштың ауданын табыңыз.

5. А(1;-2) нүктесінен 3х-4у-13=0 түзуіне дейінгі қашықтықты есептеңіз.

6. 2х-3у-3=0 түзуі арқылы N(-5;13) нүктесіне симметриялы М нүктесінің координатасын табыңыз.

7. А(2;3) және В(10;9) нүктелері шеңбер диаметрлерінің бірінің ұштары осы шеңбердің теңдеуін құрыңыз.

3 – нұсқа

1. 4х-2у-1=0 түзуінің бұрыштық коэффициентін табыңыз.

2. M₁(3;5), M₂(7;2).берілген екі нүкте арқылы ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз.

3. Координаталар остері және 1 3 6x  y 

түзуі арқылы құрылған үшбұрыштың ауданын табыңыз.

4. 3х-4у-7=0, 4х+3у-1=0 екі түзуінің қиылысу нүктесін табыңыз және олардың арасындағы бұрышты табыңыз.

5. Тӛменгі саналынған түзулердің қайлары бір біріне перпендикуляр болады:

1)9х-12у+5=0; 2) 5х-7у+3=0; 3) 5х+6у-13=0; 4) 4х+3у-5=0.

6. 2x3y50. түзуіне түсірілген Р(1;2) нүктесінің проекциясын табыңыз.

7. 3х+10у-25=0 түзуі және 1 4 25

2

2  y 

x эллипсінің қиылысу нүктесін табыңыз.

4 – нұсқа

1. 2х+3у-7=0 түзуінің Ох ӛсімен қиылысу нүктесін табыңыз. Суретін салыңыз.

2. Координаталар ӛстері және 1 4 3x  y 

түзуінен құрылған үшбұрыштың ауданын табыңыз.

3. 3х-7у+3=0 түзуіне параллель және А(3;-2) нүктесі арқылы ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз.

4. Берілген түзулердің қайсылары координаталар басы арқылы ӛтеді:

1) 2х+3у-1=0; 2) 4х+5у-2=0; 3) 2х+5у=0; 4) х+у-3=0.

5. 4x3y150, 8x2y250 екі параллель түзулердің арасындағы қашықтықты табыңыз.

6. x5y30, 2x3y40 екі түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

7. 5x² 9y² 30x18y90 теңдеулерімен берілген сызықтың түрін анықтыңыз.

70 5 – нұсқа

1 . 2x2y30 түзуінің Ох ӛсінің оң бағытымен жасайтын бұрышын табыңыз.

2. Тӛбелері А(-3;2), В(5;-2), С(1;-3) нүктелерімен берілген АВС үшбұрышының ауданын есептеңіз.

3. А(-2;3) нүктесінен қашықтығы 3 5 ке тең болатын абсцисс ӛсіндегі нүктені табыңыз.

4. Ох осінің а=3 және Оу ӛсін b=-2 кесінділерімен қиятын түзудің теңдеуін құрыңыз.

5. А(3;-1) нүктесінен ӛтетін х-2у+3=0 түзуіне перпендикуляр түзудің теңдеуін құрыңыз.

6. АВ кесіндісін  2 қатынаспен бӛлетін С нүктесінің координатын табыңыз, егер А(-3;2;0) және В(5;-6;2).

7. Егер эллипс, М(2;-2) нүктесінен ӛтсе және оның үлкен жарты ӛсі а=4 болса, онда бас нүкте арқылы симметриялы фокустары Ох осінде орналасқан эллипстің теңдеуін құрыңыз.

6 – нұсқа

1. Бұрыштың коэффициенті

2

1



k және Оу – ӛсін b=2 кесіндісімен қиятын түзудің теңдеуін құрыңыз.

2. A(3;1), B(1;5), C(1;3), D(8;2) нүктелерінің қайсылары х-5у+2=0 түзуінің бойында жатады.

3. А(2;-3) нүктесінен ӛтетін 4х+3у-5=0 түзуіне параллель болатын түзудің теңдеуін құрыңыз.

4. 2х+3у-7=0, 4х+у-9=0 екі түзулерінің қиылысу нүктесін табыңыз.

5. А(3;4) және В(11;10) екі нүктелерінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

6. А(3;4) – нүктесінен 4х-3у+10=0 түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

7. Егер гипербола 



 

 1; 2

M 9 нүктесінен ӛтсе және оның асимптоталары x

y 3

2

 теңдеуімен берілсе, онда бас нүкте арқылы симметриялы, фокустары абсцисс ӛсінде орналасатын гиперболаның теңдеуін құрыңыз.

7 – нұсқа

1. 2х+3у-6=0 түзуінің координаталар ӛстерімен қиылысу нүктелерін табыңыз. Суретін салыңыз.

2. Үшбұрыштың қабырғаларының ортасы М(-1;5), N(1;1), Р(4;3) нүктелерімен берілген. Оның тӛбелерінің координаталарын табыңыз.

71

3. Берілген екі А(0;2) және В(-3;7) нүктелерінен ӛтетін түзудің теңдеуін құрыңыз.

4. 2х-у-3=0 және х-2у+5=0 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

5. А(6;-1) нүктесінен 3х+4у+1=0 түзуіне дейінгі қашықтықты есептеңіз.

6. -ның қандай мәндерінде у-2х+2=0, х-4у+1=0 түзулері параллель болады.

7. 4х-3у-10=0 түзуі мен 1. 16 25

2

2  y 

x гиперболасының қиылысу

нүктесін табыңыз.

8 – нұсқа

1. 3х-4у-29=0, 2х+5у+19=0 екі түзуінің қиылысу нүктесін табыңыз.

2. Үшбұрыштың тӛбелері А(1;-2), В(5;4) және С(-2;0) нүктелерімен берілген. Үшбұрыштың А тӛбесінің ішкі бұрышынан жүргізілген биссектрисасының теңдеуін құрыңыз.

3. 24х-10у+39=0, 12х-5у-26=0 екі параллель түзу арасындағы қашықтықты табыңыз.

4. 2х-3у-3=0 түзуі арқылы Р(-5;13) нүктесіне симметриялы Q – нүктесін табыңыз.

5. 6х-15у+7=0, 10х+4у-3=0 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

6. Координаталар бұрышын 3х-4у-12=0 түзуімен қиятын үшбұрыштың ауданын есептеңіз.

7. 16x² 2y² 64x54y1610 теңдеуімен анықталатын гиперболаның центрінің координатасын табыңыз.

9 – нұсқа

1. А(2;-5) нүктесінен ӛтетін 2х+3у+4=0 түзуіне параллель түзудің теңдеуін құрыңыз.

2. 3х-4у+14=0, х+7у-12=0 түзулерінің қиылысу нүктесін табыңыз.

3. 3х-2у+7=0, 2х+3у-3=0 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

4. Үшбұрыштың А(1;-2), В(5;4) және С(0;2) тӛбелері берілген. С – нүктесінен АВ қабырғасына түсірілген биіктіктің теңдеуін құрыңыз.

5. 12

26 12

5 

 x

y және 5х-12у-13=0 түзулерінің параллель болатынын дәлелдеңіз және олардың арасындағы қашықтықты табыңыз.

6. 4х+3у-15=0 түзуінің теңдеуі берілген. Осы теңдеудің «кесінділік»

және нормалдық түрдегі теңдеулерін жазыңыз және бас нүктеден қашықтығын табыңыз.

7. х+у-3=0 түзуінің x² 4y параболасымен қиылысу нүктелерін табыңыз. Суретін салыңыз.

72 10 – нұсқа

1. А(1;-2) нүктесінен ӛтетін 2х-3у-6=0 түзуіне перпендикуляр түзудің теңдеуін құрыңыз.

2. 3х+2у-6=0 түзуінің координаталар ӛстерімен қиылысу нүктелерін табыңыз. Суретін салыңыз.

3. А(3;-7) нүктесінен ӛтетін және координаталар остерімен бірдей кесінділермен қиятын түзудің теңдеуін құрыңыз.

4. х-2у+7=0, 2х-4у+3=0 түзулерінің арасындағы бұрышты анықтаңыз.

5. Р(3;4) нүктесінің 4х-3у-5=0 түзуіне түсірілген проекциясын табыңыз.

6. 3х-2у+10=0,

2 5 2 3 

 x

y параллель түзулерінің арасындағы

қашықтықты табыңыз.

7. А(-2;3) және В(8;9) нүктелері шеңбердің диаметрлерінің біреуінің үштары болсын. Осы шеңбердің теңдеуін құрыңыз.

Жазықтықтағы сызықтарға арналған есептердің шығару үлгілері.

1 мысал. А(3;2) нүктесінен ӛтетін және Ox ӛсімен 135 бұрыш ⁰ жасайтын түзудің теңдеуін құрыңыз.

Шешуі. (3.6) және (3.8) формулалары бойынша түзудің бұрыштық коэффициенті k tg135⁰ 1, ал оның теңдеуі y2



x3



немесе

x

y1 тең болады.

2 мысал. Р(-6;4) нүктесінен 4х-5у+3=0 түзуінен түсірілген проекциясын табыңыз.

Шешуі. (3.8) және (3.14) формулалары бойынша Р(-6;4) нүктесінен ӛтетін және 4х-5у+3=0 түзуіне перпендикуляр түзудің теңдеуін құрамыз, яғни

) 6 4(

45 

 x

y немесе 5x4y140

5x+4y+14=0 және 4х-5у+3=0 түзулерінің қиылысу нүктесі, яғни

 















0 3 5 4

0 14 4 5

y x

y

x ( 2; 1)

1

2  











 N

y x

нүктеcі берілген Р(-6;4) нүктесінің проекциясы болады.

3 мысал. 5x-y+7=0 және 3х+2у=0 теңдеулерімен берілген түзулердің арасындағы  бұрышын табыңыз.

Шешуі. (3.12) формуласы бойынша түзулердің бұрыштық коэффи- циенттері және олардың арасындағы -бұрышын табамыз.

2, , 3

5 ₂

1  k 

k .

1 4 2 5

1 3 2 5

3  

   







  tg

4 мысал. x² 2y² 4x16y0 теңдеуімен берілген қисықтың түрін және орналасуын анықтаңыз.

73

Шешуі. Берілген теңдеудегі х және у айнымалылары бойынша үшмүшеліктерді толық квадратқа дейін толықтырып, яғни

36 ) 4 ( 2 ) 2

(x ²  y ²  немесе 1

18 ) 4 ( 36

) 2

( ^{2 2}

 

  y

x

элиппистің теңдеуін аламыз. Бұдан (3.17) формула бойынша элиппистің жарты остері a6,b3 2, ал центрі М(2;-4) нүктесінде орналасады.

5 мысал. 



 



 2

; 3

0 6

M нүктесінен ӛтетін, асимптоталары

4

3

 y түзулерімен берілген гиперболаның теңдеуін құрыңыз.

Шешуі. 



 



 2

; 3

0 6

M нүктесі гиперболаның бойында орналасқан, демек гиперболаның теңдеуін қанағаттандырады, яғни 1

4 9 36

2

2  

b

a және (3.19)

формула бойынша .

4

3 b 

a Бұдан a және b арқылы теңдеулер жүйесінің шешімін табамыз: a² 32, b² 18 демек (3;18) формула бойынша

18 1 32

2

2  y 

x гиперболаның теңдеуі болады.

6 мысал. 3x² 10x y30 теңдеуімен берілген қисықтың түрін және орналасуын анықтаңыз.

Шешуі. Берілген теңдеудегі x- айнымалысы бойынша үш мүшеліктің толық квадратын бӛліп,

2

3 3 5

3

16 



 

 





 x

y теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу (3.20) формуласы бойынша тӛбесі 



 



 3

;16 3 5

M0 - нүктесінде ал фокусы 



 



 2

; 3 0 F нүктесінде орналасқан парабола болады.

74

4-тарау. Кеңістіктегі аналитикалық геометрия 1 Кеңістіктегі жазықтықтар және түзулер

1.1 Кеңістіктегі аналитикалық геометрияның қарапайым есептері