Лекция 10. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

3) Смешанное произведение

2.4. Лекция 10. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

37

Геометрическая интерпретация дифференциала:

дифференциал функции y = f (x) в точке x – это приращение ординаты касательной к функции в этой точке, когда x получает приращение на x.

Поскольку y = f(x)x+x, то у  dy  f(x+x) – f(x)  f(x)x.

Таким образом, мы получаем формулу для приближенного вычисления:

f(x+x)  f(x) + f(x)x . Пример. Вычислить (20.1)² приближенно:

у = х² , у = 2х, х = 20, х = 0.1, f(x+x)  f(x) + f(x)x, (20.1)²  400+2200.1=404

Свойства дифференциалов:

1) d(u+v) = du + dv; 2) d(uv) = udv + vdu; 3) 2

v udv vdu

v

d u −

=



 



 .

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a, b]. f(x) также является функцией от x. Дифференцируя эту функцию, мы получим вторую производную функции f (x).

Производная производной (n – 1)-го порядка функции f (x) называется производной n-го порядка и обозначается y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1)).

Первый дифференциал дифференциала (n – 1)-го порядка функции f (x) называется дифференциалом n-го порядка и обозначается:

dⁿy = d(d^n-1y) = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Используя дифференциалы различных порядков, мы можем выразить производную любого порядка: _n

n n

dx y x d

f ^{( )}( )= _.

38

Правило Лопиталя. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа

Пусть f(х), g(х), непрерывные в окрестности точки х = а , имеют непрерывные f(х), g(х) и g(х) 0 .

Предположим, что lim ( )=0,

→ f x

а

x lim ( )=0.

→ g x

а

x

Теорема (правило Лопиталя) (раскрытие неопределенности _^ _^

0 0 )

Если ,

) (

)

lim ( b

x g

x f

а

x =



 

→ то

) (

) lim (

x g

x f

x→а

 _и .

) (

)

lim ( b

x g

x f

а

x =

→

Замечания.

1. Правило применяется в случае неопределенности вида 





 .

2. Если после применения правила Лопиталя неопределенности вида 

 0 0 или 





 остаются, правило может быть применено снова.

Некоторые неопределенности, ведущие к использованию правила Лопиталя:

Рассмотрим f(х)∙g(х) : lim ( )=0,

→ f x

а

x lim ( )=.

→ g x

а

x

0 : 0 0



→







 



=



) ( 1

) ) (

( ) (

x g

x x f

g x

f ;

:

0 





→ 



 .

) ( 1

) ) (

( ) (



 



= 



x f

x x g

g x f

Рассмотрим f (х)^{g (х)}: lim ( )=1,

→ f x

а

x lim ( )=.

→ g x

а

x

: 0

1^ → ln  f (х)^{g (х)} = g(x)∙ ln f(х).

Аналогично,  ⁰ → 0, 0 ⁰ → 0.

Теорема Ферма

Если f(x) непрерывна на интервале (a, b), имеет производную в каждой точке этого интервала и в точке х = с на интервале достигает наибольшего (наименьшего) значения, тогда: f(c) = 0.

39 Теорема Ролля

Если f (x) дифференцируема на отрезке [a, b] и f(a) = f(b) = 0, то

существует хотя бы одна точка в интервале [a, b], где производная равна 0:

f(c) = 0, a < c < b.

Теорема Лагранжа (конечные приращения функции)

Если f (x) непрерывна на a, b и дифференцируема во всех внутренних точках интервала, то внутри a, b существует хотя бы одна точка c, a  c  b, такая, что:

f(b) – f(a) = f(c)(b – a) .

Геометрический смысл теоремы: есть такая точка с на кривой, что касательная в этой точке параллельна хорде:

 tg c a f

b

a f b

f =  =

−

− ( ) ( ) )

( .

Возрастание и убывание функции Теорема 1 (для возрастающей функции).

1) Если дифференцируемая функция f (x) возрастает на интервале a, b, то f(x)  0 на a, b.

2) Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и дифференцируема на интервале (a, b) и f(x) 0 на (a, b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.

Теорема 2 (для убывающей функции).

1) Если дифференцируемая функция f (x) убывает на интервале a, b, то f(x)  0 на a, b.

2) Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и дифференцируема на интервале (a, b) и f(x)  0 на (a, b), то функция f (x) убывает на этом интервале.

Чтобы найти интервалы возрастания (убывания) функции, мы должны:

1. Найти область существования.

2. Найти производную функции и приравнять ее к нулю. Решая это уравнение, мы находим корни и делим область существования на промежутки монотонности этими точками.

3. Определяя знаки производной в каждом интервале, мы находим, где функция возрастает и убывает.

Экстремумы функции

Функция f(x) имеет локальный максимум в х = х1 , если f(x1 +  х)  f(x1)   х :  х 1.

Функция f(x) имеет локальный минимум в х = х2 , если f(x2 +  х)  f(x2)   х :  х 1.

Экстремумы (экстремальные значения) функций – максимумы и минимумы функций.

40 Замечания.

1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимального и минимального значения для х, расположенных внутри отрезка.

2. Мы не должны думать, что максимум и минимум функции соответственно – наибольшее и наименьшее значения в рассматриваемом интервале.

Теорема 1 (необходимое условие для существования экстремума).

Если дифференцируемая функция y = f(x) имеет максимум или минимум при х = х1, то f(x1) = 0 .

Условие теоремы не является достаточным. (Пример: y = x³ ).

Замечание (существование экстремума в точках, где производная не существует (разрывна)).

Пример. у = х, х = 0 .

Критическая точка (критическое значение) – значение аргумента, в котором производная равна нулю или разрывна.

Теорема 2 (первое достаточное условие для существования экстремума).

Пусть f (x) непрерывна в интервале, содержащем критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках интервала (за исключением, возможно, точки х1), тогда:

1) если f(x) 0 для х  х1 , f(x) 0 для х  х1, то в точке х1 функция имеет максимум;

2) если f(x) 0 для х  х1 , f(x)  0 для х  х1, то в точке х1 функция имеет минимум.

Теорема 3 (второе достаточное условие для существования экстремума).

Пусть f(x1) = 0 ; f(x) существует и непрерывна в окрестности х1 . Тогда, если f(x1)  0, то функция имеет максимум в этой точке;

если f(x1)  0, то функция имеет минимум в этой точке.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Предположим, что y = f(x) непрерывна на отрезке a, b.

Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего (наименьшего) значения на одном из концов этого отрезка или во внутренней точке этого отрезка, которая является максимумом (минимумом).

Исходя из этого, получаем следующее правило.

Правило для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке a, b:

1) найти все критические точки на отрезке, решая уравнение:

f(x) = 0 ;

41

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) сравнивая все вычисленные значения, найти наибольшее (наименьшее), оно и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Предположим, что y = f(x) – дифференцируемая функция.

Кривая y = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a, b), если все точки этой кривой находятся ниже (выше) ее касательной в этом интервале.

Теорема 1. Если  х  (a, b) f (x)  0 , то кривая y = f (x) выпукла на интервале.

Теорема 1. Если  х  (a, b) f (x)  0 , то кривая y = f(x) вогнута на интервале.

Точка, разделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Замечание.

В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую.

Теорема 2(достаточное условие существования точки перегиба).

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x).

Если f(a) = 0 или f(a) не существует, и при прохождении через точку x = a вторая производная f(х) меняет свой знак, то точка x = a является точкой перегиба.

Асимптоты к кривой

Прямая линия, с которой кривая приближается на бесконечности, называется асимптотой.

Три типа асимптот: вертикальные, наклонные, горизонтальные.

1) Вертикальная асимптота.

lim ( ) ,

0 =

+

→ f x

a

x lim ( ) ,

0 =

−

→ f x

a

x =

→ ( ) lim f x

a

x 

прямая линия х = а является вертикальной асимптотой y = f(x).

2) Наклонная асимптота.

Наклонная асимптота к кривой y = f(x) определяется уравнением:

y = kx + b, где ( ),

lim x x k f

x→

= b lim

(

f(x) kx

)

.

x −

= →

Замечание. Рассуждения действительны для x → – . 3) Горизонтальная асимптота.

Если lim f (x) b,

x =



→ то y = b является горизонтальной асимптотой.

42

Пример. Найти асимптоты кривой ^{2 1.}

2

x x

y x + −

=

1) Вертикальная асимптота: у → + при х → – 0 , у → – при х → + 0 .

Следовательно, х = 0 является вертикальной асимптотой.

2) Наклонная асимптота:

, 1 1 lim 2

)

lim ( ₂

2+ − =

=

= → → x x x x

x k f

x x

(

−

)

=

= → f x kx b

xlim ( )  =

 



 + − −



→ x

x x x

x

1 lim 2

2

=



 



 + − −

= → x x x

x

x

2

2 2 1

lim _lim ^{2 1}_=2.



 



 −



→ x

x

x

Следовательно, у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Исследование расположения кривой и асимптоты.

Разница ординат: 1.

) 2 1 (

2 2

x x x

x

x  =−

 



 + − − +

Следовательно, если х  0 , то кривая лежит выше асимптоты, если х  0 , то кривая лежит ниже асимптоты, Полное исследование функции и построение ее графика

Чтобы проанализировать функцию и построить ее график, необходимо:

1) определить область определения;

2) определить четность (нечетность);

3) определить периодичность или непериодичность функции;

4) найти точки пересечения функции и координатных осей;

5) исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить тип разрыва;

6) найти интервалы возрастания и убывания функции, исследовать функцию на минимум и максимум;

7) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

8) найти асимптоты кривой;

9) построить график на основе приведенных выше данных.

43

3 Интегральное исчисление функции одной переменной

3.1. Лекция 11. Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица основных формул интегрирования

Содержание лекции: Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Прямое интегрирование, интегрирование методом внесения под знак дифференциала. Интегрирование по частям и интегрирование с помощью замены переменной.

Цели лекции: ввести понятие неопределенного интеграла, изучить его свойства и некоторые из правил и методов интегрирования.

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на [ a, b ], если

 x[ a, b ] F(x) = f(x).

Пример.

f(x) = х², ^, ) 3 (

x3

x

F = 5,

) 3 (

3 +

= x x

F ^,

) 3 (

3

x C x

F = + ( C – const ).

Теорема.

F1(x), F2(x) – первообразные функции f(x) на [ a, b ] 

 F1(x) – F2(x) = С, (C – const ) Следствие.

F(x) – первообразная функции f(x)  F(x) +С – также первообразная функции f(x).

Неопределенный интеграл, его свойства

Предположим, что F(x) является первообразной функции f(x), тогда F(x) + С есть неопределенный интеграл функции f(x).

Обозначение:



^f(x)dx.

По определению,



^{f(x)dx=F(x)+C,} если F(x) = f(x), f(x) – подынтегральная функция,

f(x)dx – элемент интегрирования,



– знак интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл является семейством функций y = F(x) + C.

Операция нахождения первообразной функции f(x) называется интегрированием.

Теорема.

Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то существует первообразная (и, следовательно, неопределенный интеграл).

Свойства неопределенного интеграла (по определению):

1.

( _

^f(x)dx

)

^=

⁽

^F(x)+C

⁾

^{= f(x)} 2. ^d

( _

^f(x)dx

)

^{= f(x)dx}

3.



^dF(x)=F(x)+C

44

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

 

^{f1(x)+ f2(x)}



^{dx= =}



^f1(x)dx+



^f2(x)dx.

2.



^af(x)dx=a



^f(x)dx. a – const . Если



^{f(x)dx=F(x)+C, то}

3.



^{f(ax)dx= 1}_a^F(ax)+C.

4.



^{f (x+b)dx=F(x+b)+C.}

5.



^f(ax+b)dx=1_a^F(ax+b)+C.

Таблица интегралов

1.



^xdx=_^x₊⁺¹₁^+C, (  -1) 11.



₁₊^dx_x^{2 =arctgx+C}

2.



^dx_x ^{=ln x +C 11.}



_a^2dx_+x^{2 =} _a^1arctg_a^{x +C}

3.



^{sin xdx=−cosx+C 12.}



_a^2dx_−x^{2 =} ₂¹_a^{ln a}_a−⁺ _x^{x +C}

4



^{cosxdx=sin x+C 13.}



₁^dx_−x2 ^=arcsinx+C

5.



_cos^dx2 _x ^{=tgx+C 13.}



₋ ⁼ _a^{x +C}

x a

dx arcsin

2 2

6.



_sin^dx2 _x ^{=−ctgx+C 14.}

^

_x^2dx_a^{2 =ln x+ x2a2 +C}

7.



^{tgxdx=−lncosx +C 15.}



^shxdx=chx+C

8.



^{ctgxdx=lnsin x +C 16.}



^chxdx=shx+C

9.



^{exdx=ex +C 17.}



_ch^dx2_x ^=thx+C

0.



^axdx= _ln^ax_a ^{+C 18.}



_sh^dx2_x ^=−cthx+C

45

3.2. Лекция 12. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, методы замены переменной, интегрирование по частям

Содержание лекции: Непосредственное интегрирование.

Интегрирование по частям и с помощью замены переменной

Цели лекции: изучить некоторые из правил и методов интегрирования.

Методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование.

Пример: ^{x dx x +C = x +C}

= +



⁴ ₄⁴⁺¹_{1 5}^{5 .}

2) Замена переменной или метод подстановки.



^f(x)dx можно упростить, введя новую переменную t:

x = (t). (1) Тогда:



^{f (x)dx=}



^f

  ^

^(t)

^

^(t)dt+C. (2) Часто вместо замены (1) мы используем обратную функцию t =(x).

Интегрирование функций с линейным аргументом.

x = (t) = at + b  dx = '(t)dt = adt (2) 





^f(x)dx=



^f

(

^at+b

)

^adt+C  



^{f (at+b)dt=} _a¹



^f

( )

^{x dx+C} (основное свойство 5) Примеры.

1.



⁽at⁺b^)mdt (т  -1).



⁼



⁼

=

= +

=

=

+ x dx

a a

dt dx

adt dx

b at x dt b

at ^m 1 ^m

) (

C m

b at C a

m x a

m

m +

+

 +

= + +



= ^{+ +}

1 ) (

1 1

1 ^{1 1}

. 2.



_ax^dx_+b ⁼ _a^{1lnax+b+C .}

3. (табличный интеграл 11)



_a^2dx_+x^{2 =} _a^1arctg_a^{x +C} (подстановка a t = x _).

4. (табличный интеграл 13)



_a2^dx_−x2 ^=arcsin _a^{x +C} .

46

3) Интегрирование путем введения функции под знак дифференциала.

→ – выведение из-под знака дифференциала

dy = y' dx (дифференцирование);

← – введение под знак дифференциала (интегрирование).

Примеры.

1.



^{sin xcosxdx}=



^{sin x}^{d(sin x)}= ^sin₂^{2 x +C .}

2.



_cos^sin35x_x^dx=



^tg3x_cos¹²_x^dx=



^{tg3xd(tgx)=tg}₄^4x+C.

3. =

= +



_x^xdx4+₁



₂₍₍^d_x^(2x₎²²⁾ _{1) 2}^{1 arctg(x2)+C.}

4.



^(ln_x^{x)5 dx}=



^{(ln x)5}^{d(ln x)}= ^(ln₆^{x)6 +C.} 4) Интегрирование по частям.

Предположим, что u = и(х), v = v (х) являются функциями с непрерывными производными. Тогда мы имеем следующее:

d (uv) = u dv + v du или u dv = d (uv) – v du.

Проинтегрируем обе стороны выражения:



−



+ =



^udv=



^{d(uv) vdu C}



^d(uv)−



^{vdu+C = uv−}



^vdu+C.

Таким образом, получаем:



^udv=uv−



^vdu. (3) Это и есть формула интегрирования по частям.

Примеры.

1. =

=

→

=

=

→

= =



dv dx v x

x du dx x

xdx u ln

ln ^{xln x−}



^xdx_x ^{+C = xlnx−x+C.}

2.



^exxdx=



^хехdx= _dv^u₌⁼_e^xx→_dx→^du_v⁼₌^dx_e^{x =}

=x e^x −



e^xdx= x e^x −e^x +С^.

Метод, показанный в этих примерах, используется при вычислении интегралов типа:



^xmekxdx,



^lnkxxmdx,



^{xmsinkxdx,}



^{arcsinkxxmdx,}



^{xmcoskxdx,}



^{arccoskxxmdx,}

47



^{arctgkxxmdx,}



^{arcctgkxxmdx,}



^{emxsinkxdx,}



^{emxcoskxdx, mZ+ .}

3.3. Лекция 13. Интегрирование рациональных, иррациональных и