МАТЕМАТИКА 1 Конспект лекций для студентов по всем образовательным программам Алматы 2022 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА Кафедра математики и математического моделирования

(1)

1

МАТЕМАТИКА 1 Конспект лекций

для студентов по всем образовательным программам

Алматы 2022

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА

Кафедра математики и математического моделирования

(2)

2

СОСТАВИТЕЛЬ: Ким Р.Е. Математика 1. Конспект лекций для студентов по всем образовательным программам. – Алматы: АУЭС, 2022. – 59 с.

Настоящий конспект лекций содержит 15 лекций по базовым разделам дисциплины Математика 1: «Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и комплексных чисел», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной».

Теоретический материал проиллюстрирован примерами и рисунками.

Конспект лекций предназначен для студентов первого курса по всем образовательным программам. Он также может быть полезен для самостоятельного изучения.

Библиогр. – 5 названий, 4 таблицы, 30 рисунков.

Рецензент: магистр, ст. преподаватель каф. «АУ» Л.Н. Рудакова

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева» на 2022 г.

(3)

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий конспект лекций содержит 15 лекций по основным разделам, традиционно изучаемым в дисциплине Математика 1: «Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия и комплексные числа», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и соответствует учебному плану всех специальностей.

Содержание разделов взаимосвязано друг с другом. Теоретический материал иллюстрируется примерами и рисунками.

Конспект лекций предназначен для студентов первого курса всех специальностей. Он может быть также полезен для самостоятельного изучения.

(4)

4

1 Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и комплексных чисел

1.1 Лекция 1. Матрицы. Определители

Содержание лекции: Матрицы. Обратная матрица. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры.

Определители n-го порядка.

Цели лекции: знакомство с основными понятиями линейной алгебры.

Матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из чисел или функций.

Существует два типа матриц: числовые и функциональные.

Матрица А тп размера mn записывается в круглых скобках:

, ...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

















=

тп т

т

п п

а а

а

а а

а

а а

а А

где m – число строк, n – число столбцов, aij – элемент матрицы, i, j – индексы, i =1,m (от 1 до m), j =1,n(от 1 до n).

Типы матриц:

1) Матрица размера 1n называется матрицей-строкой. Матрица размера

1

m называется матрицей-столбцом. Матрица-столбец и матрица-строка называются векторами.

2) Матрицы одинакового размера А тп и B тп называются равными, если aij = bij i=1,m, j =1,n;

3) Нулевая матрица – это матрица, в которой все элементы равны нулю:

0 = _



 



 0 0

0

0 ; 0 =

(

0 0 ... 0

)

; 4) Если m = n, то матрица является квадратной.

Квадратная матрица D называется диагональной, если элементы ее главной диагонали dii (i=1,n) могут быть произвольными значениями, а все недиагональные элементы равны нулю:

. ...

0 0

...

0 ...

0

0 ...

0

22 11

















=

dnп

d d D

Единичная матрица – это диагональная матрица с единицами вдоль диагонали:

(5)

5

. 1 ...

0 0

...

0 ...

1 0

0 ...

0 1

















= E

Квадратная матрица A nп называется симметричной, если:

aij = aji i =1,n, j =1,n. Операции над матрицами

1. Сложение

Матрицы одинакового размера можно складывать (поэлементно):

















=

= +

тп т

т

п п

c c

c

c c

c

c c

c C А B

...

2 1

2 22

21

1 12

11

, cij =aij+bij i =1,m; j =1,n.

2. Умножение матрицы на любое число 

Произведением матрицы А тп = (аij ) на любое число  (или числа  на матрицу А тп) является матрица B тп = А = А = (bij) :

bij = аij , i=1,m, j =1,n. Противоположная матрица к матрице A: (–1) А.

3. Вычитание

Вычитание определяется следующим образом: A – B = A + (–1)B.

4. Умножение матриц

Если размеры матриц соответствуют условию:

А тп = (aij) и В пk = (bij),

(т. е. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы), то эти матрицы могут быть перемножены следующим образом:

C = AB = (cij) = Cmk ,



=

= ⁿ

s

sj is

ij a b

с

1

(в этом случае мы говорим, что матрица А тп = (aij) совместима с матрицей В пk = (bij))

5. Степень матрицы

Для степеней квадратной матрицы А пп = (aij) используют следующие обозначения:

А⁰ = Е, А¹ = А, А²= АА, А³= ААА, …

(6)

6

6. Обратная матрица

Предположим, что A является квадратной матрицей:

А пп = (aij), i=1,m; j =1,n.

Обратной матрицей для А является матрица А^-1 , для которой:

А А^-1 = Е или А^-1 А = Е.

Существование обратной матрицы зависит от ее определителя.

Определитель матрицы A

Определитель матрицы обозначается det A =  A  = .

1) Определитель второго порядка – это следующее число:

21 12 22 11 22 21

12

11 a a a a

a a

a

a = −

=

 .

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

2) Определитель третьего порядка – это следующее число:

32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

−

− +

+

=



Правило треугольника: определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых:

– слагаемые со знаком плюс получаются перемножением трех элементов

определителя по схеме ,

– слагаемые с отрицательным знаком – по схеме . Матрица A – обратимая (невырожденная)  det A  0.

Минор M_ij элемента aij – определитель на единицу меньшего порядка, состоящий из элементов, которые остаются после удаления i-ой строки и j-го столбца, которые пересекаются на элементе aij.

Алгебраическое дополнение вычисляется по формуле:

A_ij=(–1)ⁱ⁺^jM_ij.

(7)

7

Вычисление обратной матрицы

Рассмотрим квадратную невырожденную матрицу А пп = (aij), (т. е.  A   0).

Тогда обратная матрица A^-1 вычисляется по формуле:

















− =

nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A A A

...

1

2 1

2 22

12

1 21

11 1

1.2 Лекция 2. Системы линейных уравнений

Содержание лекции: Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Матричная запись системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы.

Цели лекции: знакомство с основными методами решения систем линейных уравнений.

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:











= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

n n nn n

n

n n

h x a x

a x a

h x a x

a x a

h x a x

a а x

...

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(2.1)

aij , hi  R , i=1,n.

aij – коэффициенты уравнений, hi – свободные члены.













=

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

2 1

2 22

21

1 12

11

– основная матрица системы,













=

n nn n

n

n n

h a a

a

h a a

a

h a a

a A

...

~

2 1

2 2 22

21

1 1 12

11

– расширенная матрица системы.

(8)

8

Если введем следующее обозначение: ^, . . .

2 1













=

xn

x x

X ,

. . .

2 1













=

hn

h h

H

то система (2.1) может быть записана в матричной форме: АХ = Н.

Вектор С = (с1; с2; ...; сn ) называется вектор-решением системы, если АС = Н.

Решение невырожденных линейных систем

Рассмотрим систему (2.1). Предположим, что  = det A  0.

1) Правило Крамера.

 ,

= ⁱ

xi _i ₌₁_,_n_.

Вспомогательные определители i

(

ⁱ ⁼¹^,ⁿ

)

получаются из определителя основной матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

2) Матричный метод для решения системы линейных уравнений.

Так как система (2.1) записывается как матричное уравнение АХ = Н, то А^-1АХ = А^-1 Н.

Т. к. А^-1А = E – единичная матрица, то мы имеем:

Х = А^-1Н.

1.3 Лекция 3. Векторы. Линейные операции над векторами

Содержание лекции: Трехмерное пространство R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение в R³и их свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

Цели лекции: знакомство с основными понятиями теории векторов.

Векторы

Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором АВ (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Вектор с совпадающими концами называется нулевым вектором.

(9)

9

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной (модулем, нормой или абсолютным значением) этого вектора.

Обозначение вектора: а или AB .

Вектор единичной длины называется единичным вектором.

Обозначение: е =1.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они коллинеарные и имеют одинаковое направление и длину.

Обозначим через  (0    ) угол, образованный двумя векторами а и b, имеющими общее начало (рис. 3.2).

Рис. 3.2

В зависимости от угла  имеем следующие определения:

а) два вектора а и b сонаправлены, если  = 0;

б) два вектора а и b противоположно направлены, если  = ; в) два вектора а и b ортогональны, если  =/2.

Линейные операции над векторами:

1) сложение a+b;

2) умножение на скаляр (число) b a;



= 3) вычитание a b a ( b).

− +

=

−

Декартовая система координат в пространстве

Рассмотрим следующую систему координат: возьмем взаимно перпендикулярные векторы i, j,k , исходящие из точки O. Эта система обозначается (О;i, j,k) или Оxyz, где:

О – начало координат,

(10)

10

Оx – ось x, Оy – ось y, Оz – ось z,

Ox, Oy, Oz – координатные оси.

Радиус вектор точки М(1,2,3): ^ОМ =1ⁱ+2 ^j+3^k Координаты вектора АВ.

Даны две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2) в пространстве.

Используя радиус векторы данных точек, имеем: AВ =ОВ−ОА, поэтому AВ(x₂ −x₁,y₂ − y₁,z₂ −z₁).

Действия над векторами с заданными координатами.

Рассмотрим векторы a=₁i+₂ j+₃k и ^b=1ⁱ+2^j+3^k.

1) Сложение: a b i j k

) (

)

(₁ +₁ + ₂ +₂ + ₃ +₃

= +

2) Вычитание: a−b=(₁−₁)i+(₂ −₂)j+ (₃ −₃)k

3) Умножение на число: a=(₁)i+(₂)j+(₃)k Условие коллинеарности двух векторов:

b =  а



3 3 2 2 1 1











 ₌ ₌ . Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение в R³и их свойства

1) Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов а и b равно произведению абсолютных значений этих векторов на косинус угла между ними:

( )

^a^^,^b^ ⁼ ^a^ ^^b^ ^^cos^^, 0    . Так как b cos np_ab,

= 

 

a cos np_ba,

= 

 

то

( )

â ^b â ^npa^b ^b ^np_bâ

 



 = 



= , (рис. 3.3)

Рис. 3.3 Свойства скалярного произведения:

(11)

11

1.

( ) ( )

^a^^,^b^ ⁼ ^b^^,^a^ (коммутативность);

2.

(

^^^a^^,^b^

) ( )

⁼ ^^ ^a^^,^b^ ^{, (}^^R);

3.

(

^a^⁺^b^^,^c^

)

⁼

( )

^a^^,^c^ ⁺

( )

^b^^,^c^ (дистрибутивность);

4.

( )

a,a =a² = a²_.

Теорема 1 (ортогональность двух векторов) b

a 

⊥ 

( )

^a^^,^b^ ⁼⁰^.

Скалярное произведение в координатной форме.

Рассмотрим два вектора: a=₁i+₂ j+₃k _иb=₁i+₂ j+₃k. Тогда справедливы следующие формулы:

( )

a,b =11+22 +33

;

( )

a,a = a² =₁²+₂²+₃²

;

2 3 2 2 2

1  

 + +

= a

; b a

b a 



 

= ( , )

cos _.

Условие ортогональности в координатной форме.

a b

⊥  11 + 22 + 33 = 0 2) Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов а и b является вектор ]

, [a b

c =   , соответствующий следующим условиям:

1) c ⊥ a,c ⊥b;

2) три вектора a b c , , составляют правую тройку векторов (т. е., глядя с конца вектора c

, мы видим, что кротчайшее вращение от a до b

осуществляется против часовой стрелки (рис. 3.4));

3) c = a b sin .

Свойства векторного произведения: Рис. 3.4 1. [a,b] [b,a]

−

= (антикоммутативность);

2. [ a,b] [a,b]



 = , (R);

3. [a b,c] [a,c] [b,c] +

=

+ (дистрибутивность).

Теорема 2

(12)

12

Если a  0, b  0, то [a,b]=0

а b = 

. Векторное произведение в координатной форме

Рассмотрим два вектора: a =₁i+₂ j+₃k _иb=₁i+₂ j+₃k. Справедлива следующая формула:

 

⁼ ⁼

3 2 1

3 2

, 1





k j i b a

 



 

k j

i  

2 1

2 1 3

1 3 1 3

2 3 2













 − +

3) Смешанное произведение

Смешанное произведение трех векторов равно скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух векторов; обозначается:

(

^a ^b ^c

)

c b

a      ], , [ ) , ,

( = _.

Теорема 3.

Рассмотрим три некомпланарных вектора: a = AB, b= AC, c = AD.

1) если a b c , , – правая тройка векторов, то

c b

Va

c b

a, , ) _, _, (   =

;

2) если a b c ,

, – левая тройка,

то (a,b,c)=−V_a_,_b_,_c .

Т. е. (a,b,c) =V_a_,_b_,_c ,

Рис. 3.5

где Va_,b_,c – объем параллелепипеда, натянутого на три вектора a b c ,

, (рис. 3.5).

Следствие.

Легко получить выражение для объема пирамиды, натянутой на три вектора a b c

,

, (рис. 3.6):

( , , ) 6

1 a b c V_пир   

= _.

Рис. 3.6 Теорема 4 (условие компланарности трех векторов) Рассмотрим три вектора: a 0,b0,c 0

.

(13)

13

Три вектора a b c ,

, компланарны ^

(

^a^^,^b^^,^c^

)

⁼⁰^.

Свойства смешанного произведения:

1) (a,b,c)=

= ) , , (b c a

);

, , (c a b

2) (a,b,c)= (a,b,c)=(a,b,c)= (a,b,c).

Смешанное произведение в координатной форме Рассмотрим три вектора:

k j i

a=₁ +₂ +₃ , b= ₁i+₂ j+₃k и с =



₁i+



₂ j+



₃k. Тогда справедлива следующая формула:

3 2 1

) , , (







= с а b 

.

1.4. Лекция 4. Плоскости в пространстве. Прямые на плоскости и в пространстве

Содержание лекции: Различные виды уравнений плоскости в пространстве R³. Уравнения прямых в R² и в R³.

Цели лекции: знакомство с основными понятиями и уравнениями плоскости в пространстве R³, различными видами уравнений прямых на плоскости R² и в пространстве R³.

Плоскости в пространстве

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть задан вектор n(A,B,C), перпендикулярный плоскости, и точка М0 (x0 , y0 , z0 ) в этой плоскости (рис. 4.1). Этот вектор называется вектором нормали.

Тогда уравнение этой плоскости имеет вид:

A( x – x0 ) + B(y – y0 ) + C(z – z0) = 0.

Т.к. n 0, тоА+В+С 0.

2. Общее уравнение плоскости: Рис. 4.1

Ах + Ву + Сz + D = 0,

(14)

14

где D = – (Ах0 + Ву0 + Сz0), А+В+С 0.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три точки М1 (x1 , y1 , z1), М2 (x2 , y2 , z2), М3 (x3 , y3 , z3).

Возьмем произвольную точку М(x, y, z) на плоскости (рис. 4.2).

Характерной особенностью плоскости является то, что если точка М лежит в плоскости, то три вектора:

),

;

( ₁ ₁ ₁

1M х х y y z z

M = − − −

),

;

( ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁

2

1M х х y y z z

M = − − −

)

;

( ₃ ₁ ₃ ₁ ₃ ₁

3

1M х х y y z z

M = − − −

компланарны.

Таким образом, смешанное произведение этих векторов должно быть равно нулю.

Таким образом, мы получаем уравнение плоскости, проходящей через три точки:

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0

x x y y z z

− − −

− − − =

− − −

Рис. 4.2 4. Уравнение плоскости в отрезках:

x y z 1 a + + =b c

Рис. 4.3 5. Угол между двумя плоскостями.

Рассмотрим две плоскости, заданные уравнениями:

А1 х + В1 у + С1 z + D1 = 0;

А2 х + В2 у + С2 z + D2 = 0,

(15)

15

которые имеют векторы нормали n₁(A₁,B₁,C₁), n₂(A₂,B₂,C₂). Используя скалярное произведение, мы находим косинус угла:

.

cos 2

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

C B A C

B A

C C B B A A

+ +

 + +

+

= +



Условие параллельности двух плоскостей: ¹ ¹ ¹

2 2 2

A B C

A = B =C . Условие перпендикулярности двух плоскостей: A A₁ ₂+B B₁ ₂+C C₁ ₂ =0. 6. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки М1 (x1, y1, z1) до плоскости, заданной уравнением:

Ах + Ву + Сz + D = 0, может быть вычислено по формуле:

2 2 2

1 1 1

C B A

D Cz By d Ax

+ +

= + .

Прямые на плоскости

1) Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Предположим, что прямая проходит через точку М0 (x0, y0) перпендикулярно вектору n(A,B)(рис. 4.4), тогда уравнение этой прямой имеет вид:

A( x – x0 ) + B( y – y0 ) = 0.

2) Общее уравнение прямой: Рис. 4.4 Ах + Ву + С = 0,

где С = – Ах0 – Ву0 , А+В 0 . 3) Каноническое уравнение прямой:

n y y m

x

x ) ( )

( ₀ − ₀

− =

, где s(m,n) направляющий вектор (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Если направляющий вектор s(m,n)_{и ось y} не параллельны, т. е. m0,

(16)

16

то tg k т

п =  = _{, где}_ – это угол между прямой и осью х (измеренный против часовой стрелки от положительного направления оси х к этой линии) (рис. 4.6).

tg  называется угловым коэффициентом прямой.

4) Уравнение прямой

с угловым коэффициентом:

y− y₀ = k(x−x₀)_.

Рис. 4.6 5) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Предположим, что прямая проходит через две точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2) (рис. 4.7), тогда уравнение этой прямой имеет вид:

1 2

1 1

2 1

y y

y y x

x x x

−

= −

−

6) Уравнение прямой в отрезках:

+ =1 b y a x

7) Угол между двумя прямыми. Рис. 4.7 Предположим, что заданы две прямые:

l1 : ^;

1 1 1

1

n y y m

x

x −

− =

l2 : .

2 2 2

2

n y y m

x

x− = −

Тогда формула для косинуса угла между этими прямыми имеет вид:

₂

2 2 2 2 1 2 1

2 1 2

cos 1

n m n m

n n m m

+ +

= +

 _.

Рис. 4.8

(17)

17

Условие параллельности двух прямых:

2 1 2 1

n n m

m = _.

Условие перпендикулярности двух прямых: m₁m₂+n₁n₂ =0. Прямые в пространстве

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Пусть задан направляющий вектор s(m,n,p) и точка М0 (x0 , y0 , z0 ) в пространстве. Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору имеет две формы:

а) параметрическое уравнение:







+

= +

=

, , ,

0 0 0

pt z z

nt y y

х mt х

tR;

б) канонические уравнения: (x x⁰) (y y⁰) (z z⁰)

m n p

− = − = − .

2. Общее уравнение прямой в пространстве.

Поскольку прямая в пространстве представляется в виде пересечения двух плоскостей, то общее уравнение прямой в пространстве имеет вид системы:

¹ ¹ ¹ ¹

2 2 2 2

0 0 A x B y C z D A x B y C z D

+ + + =

 + + + =

 ,

где первое и второе уравнения являются уравнениями соответствующих плоскостей.

3. Угол между двумя прямыми.

Предположим, что заданы две прямые:

l1 : ¹ ¹ ¹

1 1 1

x x y y z z ;

m n p

− = − = − l2 : ² ² ²

2 2 2

x x y y z z .

m n p

− = − = −

Тогда формула для косинуса угла между этими прямыми имеет вид:

.

cos 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

p n m p

n m

p p n n m m

+ +

 + +

+

= +



Условие параллельности двух прямых:

1 1 1

2 2 2

m n p

m = n = p . Условие перпендикулярности двух прямых:

1 2 1 2 1 2 0

m m +n n + p p = .

(18)

18

4. Угол между прямой и плоскостью.

Предположим, что плоскость в пространстве определяется общим уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0,

и прямая линия определяется ее каноническими уравнениями:

⁽^x ^x⁰⁾ ⁽^y ^y⁰⁾ ⁽^z ^z⁰⁾

m n p

− = − = − .

Предположим, что  – угол между вектором нормали n(A,B,C) и направляющим вектором s(m,n,p)_; – угол между прямой и плоскостью.

Тогда мы имеем следующее равенство:

cos  = cos (  /2   ) = sin  .

Таким образом, формула для синуса угла между прямой и плоскостью имеет вид:

.

sin 2 2 2 2 2 2

p n m C

B A

Cp Bn Am

+ +

 + +

+

= +



Условие перпендикулярности для прямой и плоскости:

 s n 

// р

С п В т

А = = .

Условие параллельности для прямой и плоскости:

n ⊥ s  Am + Bn + Cp = 0.

5. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Расстояние от точки М1 (x1, y1) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0,

может быть вычислено по формуле:

2 2

1 1

B A

C By d Ax

+ +

= + .

1.5. Лекция 5. Кривые второго порядка на плоскости

Содержание лекции: Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

Цели лекции: знакомство с основными понятиями, уравнениями и геометрическими свойствами эллипса, гиперболы и параболы.

Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма

(19)

19

расстояний до двух фиксированных точек постоянна и равна 2a. Эти точки называются фокусами и обозначаются F1, F2.

Пусть М(х, у) – произвольная точка,

 F1F2  = 2с,  МF1  +  МF2  = 2а, а  с.

Введем обозначения: b= a² −c², 0  b  a.

Каноническое уравнение эллипса:

₂ ¹

2 2

2 + =

b y a

x , ( 0  b  a ) a – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса.

Построение эллипса.

О – центр эллипса, А1(-а, 0), А2(а, 0), В1(0, -b), В2(0, b)

– вершины эллипса (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Отрезок [А1 А2] и его длина |А1 А2 | = 2a – большая ось эллипса, Отрезок [В1 В2] и его длина |В1 В2 | = 2b – малая ось эллипса.

В рассматриваемом случае (a  b) фокусы F1(-с,0), F2(с,0) расположены на оси Ох, между А1 и А2 .

Если a  b (рис. 5.2), то

2 1

2 2

2 + =

b y a

x

– уравнение эллипса с фокусами на оси Оу:

F1( 0, –с ), F2( 0, с ), а= b² −c².

Рис. 5.2

(20)

20

Если a = b (рис. 5.3), то:

х² + у² = а²

– уравнение окружности.

Рис. 5.3 Эксцентриситет (сжатие)

– отношение расстояния между фокусами к длине большой оси (0    1).

1) a  b: , а

= с

 ¹ ^;

2



 



−

= a

 b

2) a  b: , b

= с

 ¹ ^;

2



 



−

= b

 a 3) a = b:  =0. Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек постоянна и равна 2a. Эти точки называются фокусами и обозначаются F1, F2.

Пусть М(х, у) – произвольная точка.

 F1F2  = 2с,   МF1  –  МF2   = 2а, ( 0  а  с ) Введем обозначения: b= с² −а² ( 0  b  с ).

Каноническое уравнение гиперболы:

2 1

2 2

2 − =

b y a

x ,

a – действительная полуось гиперболы, b – мнимая полуось гиперболы.

(21)

21

Построение гиперболы.

Рис. 5.4 O – центр гиперболы.

А1(-а, 0), А2(а, 0) – вершины гиперболы.

Отрезок [A1 A2] и его длина 2a – действительная ось гиперболы.

2b – мнимая ось гиперболы. В рассматриваемом случае F1 , F2 находятся на оси Ох (рис. 5.4).

Если F1 , F2 находятся на Оу (рис. 5.5), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

2 1

2 2

2 − =

a x b

у

– уравнение гиперболы с фокусами на оси ординат.

b – действительная полуось гиперболы, a – мнимая полуось гиперболы.

В этом случае В1(0,-b), B2(0, b) – вершины гиперболы.

Рис. 5.5

(22)

22

Если a = b, то гипербола равносторонняя.

Асимптоты

Асимптота кривой есть прямая, к которой стремится кривая на бесконечности.

Асимптоты гиперболы:

x a y=b

Рис. 5.6 Эксцентриситет (сжатие)

– отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси (  1).

1) a – действительная полуось гиперболы: , а

= с

 1 ;

2



 

 +

= a

 b

2) b – действительная полуось гиперболы: , b

= с

 ₁ _²_.



 

 +

= b

 a

Парабола

Парабола – геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до данной прямой (директрисы).

Фиксированная точка называется фокусом.

Расстояние от фокуса до директрисы – параметр р ( р  0 ).

Пусть DD1 – директриса, заданная уравнением:

, 2 =0 + р х фокус F(р/2, 0).

Каноническое уравнение параболы:

у² = 2рх , ( р  0 ), р – параметр параболы.

Построение параболы из его уравнения.

О – вершина параболы, F – фокус параболы, DD1 – директриса.

1) у² = 2рх, ( р  0 ) 2) у² = –2рх, ( р  0 )

(23)

24

( )

,0 , , 2

0 ,

0 



 



 p F

O

( )

,0 , , 2

0 ,

0 



 

− p F O

DD1 : ⁰^, 2 = + р

х DD