(1) Некоммерческое акционерное общество Кафедра «Электрические машины и электропривод» МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОМПОНЕНТОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ И СИСТЕМ Конспект лекций для магистрантов образовательной программы 7М07101 – «Электроэнергетика» Алматы 2021 АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА (2)СОСТАВИТЕЛИ: М.А

Некоммерческое

акционерное общество

Кафедра «Электрические машины и электропривод»

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОМПОНЕНТОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ И СИСТЕМ

Конспект лекций

для магистрантов образовательной программы 7М07101 –

«Электроэнергетика»

Алматы 2021

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА

СОСТАВИТЕЛИ: М.А. Мустафин, Н.К. Алмуратова. Методы моделирования компонентов электротехнических комплексов и систем.

Конспект лекции для магистрантов образовательной программы 7М07101 –

«Электроэнергетика». Алматы: АУЭС, 2020. – 59 с.

В конспекте лекций кратко изложены основные понятия теории моделирования и принципы моделирования, особенности аналитического и имитационного моделирования, последовательность (этапы) математического моделирования.

Ил. 16, табл. 5, библиогр. – 8 назв.

Рецензент: к.т.н., доцент каф. ЭВИЭ Дмитриченко В.И.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева» на 2020 г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева», 2021 г.

Содержание

Лекция 1. Основные понятия теории моделирования. Принципы и этапы математического моделирования

4 Лекция 2. Аналитическое моделирование. Моделирование обобщенного электромеханического преобразователя

7 Лекция 3. Методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

10 Лекция 4. Моделирование системы подчиненного регулирования в приложении «Mathcad» с применением преобразования Лапласа

21 Лекция 5. Моделирование системы управления с комбинированным

каналом управления

28 Лекция 6. Моделирование асинхронного электродвигателя при

постоянном моменте нагрузки 32

Лекция 7. Моделирование статических преобразователей 37 Лекция 8. Математическая обработка результатов эксперимента 51

Список использованной литературы 59

Лекция 1. Основные понятия теории моделирования. Принципы и этапы математического моделирования

Цель лекции: Освоить основные понятия теории моделирования и принципы моделирования, особенности аналитического и имитационного моделирования, последовательность (этапы) математического моделирования.

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели.

Очевидно, что действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению измерений на реальных объектах.

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.

Физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение физических свойств оригинала. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием.

Математическая модель представляет собой формализованное описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма.

Поэтому любое математическое выражение, в котором фигурируют физические величины, можно рассматривать как математическую модель того или иного процесса или явления. В частности, известное всем еще из начальной школы уравнение s=vt представляет собой модель равномерного прямолинейного движения. Именно математические модели мы и будем рассматривать в дальнейшем как основной инструмент оценки эффективности альтернативных стратегий.

Компьютерное моделирование – это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой

системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других – имитационное (или сочетание того и другого).

При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности, учитывающего затраты ресурсов и времени и полезный эффект от операции.

Таким образом, цель моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатов исследования.

Принципы моделирования

Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла.

Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.

Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение Р₀ вероятности достижения цели моделирования Р(t), а также приемлемую границу t0 времени достижения этой цели. Модель считают осуществимой, если может быть выполнено условие Р(t0)≤Р0.

Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Cоздаваемая модель должна отражать, в первую очередь, те свой- ства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно, при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс

Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы,

характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным.

Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели.

Этапы математического моделирования

Tехнология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий:

1. Определение цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Формализация модели.

4. Программная реализация модели.

5. Планирование модельных экспериментов.

6. Реализация плана эксперимента.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот – их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели.

Например, проблемная ситуация, требующая принятия решения, формулируется следующим образом: найти вариант построения вычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью при соблюдении требований по производительности и надежности. В этом случае целью моделирования является отыскание параметров сети, обеспечивающих минимальное значение показателя эффективности (ПЭ), в роли которого выступает стоимость.

Задача может быть сформулирована иначе: из нескольких вариантов конфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесь в качестве ПЭ выбирается один из показателей надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и т.д.), а целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.

Приведенные примеры позволяют напомнить о том, что сам по себе выбор показателя эффективности еще не определяет «архитектуру» будущей модели, поскольку на этом этапе не сформулирована ее концепция, или, как говорят, не определена концептуальная модель исследуемой системы.

Концептуальная (содержательная) модель – это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения цели моделирования.

Лекция 2. Аналитическое моделирование. Моделирование обобщенного электромеханического преобразователя

Цель лекции: научиться составлять концептуальную модель исследуемого объекта, освоить подходы к формализации модели, особенности математического моделирования обобщенного электромеханического преобразователя.

Основным элементом электротехнических комплексов являются электрические двигатели и генераторы. Наиболее общим описанием для них является представление в виде обобщенного электромеханического преобразователя (ОЭМП). Составление математической модели ОЭМП проведем в следующей последовательности.

Определяется цель моделирования: разработка математической модели для исследования динамических и статических свойств ОЭМП на ПВМ.

Концептуальная модель ОЭМП

ОЭМП – двухполюсная двухфазная симметричная идеализированная электрическая машина, имеющая по две обмотки на статоре и роторе (рисунок 2.1).

Идеализация (допущения):

1. Машина полностью симметрична.

2. Не учитывается насыщенность магнитной цепи.

3. Не учитывается наличие зубцов на роторе и статоре.

4. Неявнополюсность учитывается неравномерным распределением магнитной индукции по осям.

Рисунок 2.1 - Пространственная модель ОЭМП

На рисунке: α, β – ортогональная система координат, жестко связанная со статором машины;

α

α

β

d q

U1β

U1α

U2d

U2q

φэ л

d, q – ортогональная система координат, жестко связанная с ротором машины;

U1α, U1β, U2d, U2q – соответственно напряжения по осям статора и ротора.

Формализация модели

Математическая модель объекта является аналитической, т.е.

составляется в форме систем дифференциальных и алгебраических уравнений.

Система дифференциальных уравнений электрического равновесия ОЭМП представляет собой четыре уравнения Кирхгофа для четырех обмоток:

;

1 1

1

1 dt

i d r

u_  _  ^

1 ;

1 1

1 dt

i d r

u _  _  ^ (2.1)

;

2 2 2

2 dt

i d r

u _d  _d   ^d

_{2 2 2} ² , dt i d

r

u _q  _q   ^q

где r1, r2 – активные сопротивления соответственно статора и ротора;

i1α, i1β, i2d, i2q – соответственно токи обмоток статора и ротора.

Потокосцепления по осям определяются, как:

2

;

2 , 1 2

2 , 1 1

1 , 1 1

1 , 1

1_

 L

_ a

i

_

 L

_{ }

i

_

 L

_ d

i

d

 L

_ q

i

q





_1

 L

_1,1a

i

_1

 L

_1,1

i

_1

 L

_1,2d

i

_2d

 L

_1,2q

i

_2q

;



_2d

 L

_2d,1a

i

_1

 L

_2d,1

i

_1

 L

_2d,2d

i

_2d

 L

_2d,2q

i

_2q

;

(2.2)



_2q

 L

_2q,1a

i

_1

 L

_2q,1

i

_1

 L

_2q,2d

i

_2d

 L

_2q,2q

i

_2q

.

Индексы при индуктивностях Li,j обозначают, в какой обмотке (i) и током какой обмотки (j) создается потокосцепление. Уравнения можно переписать:

;

2

1



,







^q

j

j j i

i

L i

 (2.3)

^u

ⁱ

^{ r}

ⁱ

ⁱ

ⁱ

^ _dt ^d  ^L

ⁱ_,^j

ⁱ

^j

.

(2.4) Совместное решение системы уравнений (2.1) невозможно, так как уравнения записаны в различных системах координат. Уравнения (2.1), (2.2) можно переписать в системе координат статора:

; )

(

_{1 1 1 2}

1

r pL i



pL i



u   

_m

; )

(

_{1 1 1 2}

1

r pL i



pL i



u   

_m

; )

(

_{2 2 2 1 1 2 2}

2

r pL i



pL i



L  i



L  i



u   

_m



_m



u

_2

 ( r

₂

 pL

₂

) i

_2

 pL

_m

i

_1

 L

_m

 i

_1

 L

₂

 i

_2

,

(2.5) где p=d/dt – оператор дифференцирования;

L1, L2, Lm – соответственно полные индуктивности статора, ротора и взаимная индуктивность.

В матричной форме записи:

























2 2 1 1

2 2

2 m

m

2 2

2 m

m

m 1

1

m 1

1

2 2 1 1

i i i i

pL r

sL pL

sL

sL pL

r sL

pL

pL 0

pL r

0

0 pL

0 pL

r

u u u u















. (2.6)

Из уравнений ОЭМП, как частный случай, можно получить математическое описание любого электродвигателя или генератора.

Например, для асинхронного двигателя (АД) проводятся следующие преобразования.

Для упрощения моделей анализа электромагнитных процессов в АД удобно использовать запись в проекциях обобщенного вектора на оси x, y, вращающейся синхронно с полем статора, также полученную из выражения (2.6) при ωк = ω0 .

y x y x

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m m

y x y x

i i i i

l l p r l

l s pl

sl

l l s l

l p r sl

pl

pl l

l l p r l

l

l pl

l l l

l p r

u u u u

2 2 1 1

2 2

2 0 0

2 0 2

2 0

0 1

1 1

0

0 1

0 1

1

2 2 1 1

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (



















































,

где ω₀ – угловая частота вращения поля статора;

s =(ω0 – ω)/ ω0 – скольжение.

При работе асинхронного электропривода от идеализированного преобразователя частоты, выходное напряжение которого синусоидально, в установившемся режиме уравнения электрического равновесия (2.6), записанные в синхронных осях при р=0, принимают вид:

y x y x

m m

m m

m m

m m

x

I I I I

r l

l s sl

l l s r

sl

l r

l l

l l

l r

U

2 2 1 1

2 2

1 1

2 1 2

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

) (

0

) (

0

0 )

(

0 )

(

0 0 0



































. (2.7)

Таким образом, в (2.7) мы рассматриваем двигатель с короткозамкнутым ротором при питании статора синусоидальным напряжением с регулируемыми амплитудой U1=U1x (ось координат совмещена с вектором поля) и частотой ω1.

Взаимодействие полей статора и ротора ЭМП создает электромагнитный момент:

^{( ).}

2 3

2 1 2

1i  ii 

i L p

M  _{П m}  (2.8) Уравнения (2.6), (2.7) совместно с уравнением движения:

dt J d M

M _{ C }



. (2.9) описывают процессы электромеханического преобразования энергии.

Лекция 3. Методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

Цель лекции: научиться выбирать методы аналитического и численного методов решения систем дифференциальных уравнений, содержащихся в математической модели объекта, применять для этого современные математические компьютерные приложения.

Объекты электроэнергетики математически часто описываются в форме систем дифференциальных, интегральных и алгебраических уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При формализации математической модели необходимо выбрать метод решения дифференциального уравнения (или системы уравнений), описывающих данный динамический процесс. Символьные (аналитические) способы наиболее точны и предпочтительны, но не всегда осуществимы (сложность и громоздкость решения или его невозможность). Значительную помощь в проведении символьных расчетов может оказать использование пакетов символьной математики «Maple» или «Mathematica».

Использование современных вычислительных средств значительно повысило точность приближенных численных методов, их быстродействие.

Многие математические компьютерные приложения упрощают применение численных методов расчета и делают их универсальными. В случае, когда модель (или подсистему) можно достаточно просто описать и решить аналитическими способами, предпочтение следует отдать последним.

Наиболее распространенными в настоящее время пакетами математических прикладных программ для инженерных расчетов являются «Mathcad» и

«Matlab».

Рисунок 3.1

Символьные (аналитические) решения наиболее точны и предпочтительны, но они существуют лишь для небольшого числа уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения порядка выше первого удается решать только в исключительно редких случаях (иногда удается понизить порядок уравнения, что существенно облегчает решение). Кроме того, решения получаются сложными и громоздкими, их невозможно

Классичес кий метод

Метод Эйлера РЕШЕНИЕ ДУ (СИСТЕМЫ ДУ)

Символьное (аналитическое)

Численные методы

Операторный метод

Метод Рунге – Кутта

Метод Булириш – Штера и др.

современных вычислительных средств значительно повысило точность приближенных численных методов, их быстродействие. Система «Mathcad»

для инженерных расчетов упрощает применение численных методов расчета и делает их универсальными.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим варианты решения простейшего ДУ. Отметим, что вид уравнения сознательно выбран простейшим для наглядности алгоритма аналитического и численного решения и техники решения с применением системы «Mathcad».

На рисунке 3.2 представлена простейшая электрическая схема, описываемая дифференциальным уравнением первого порядка:

). ) (

( )

( dt

t Ldi t

Ri t

u   (3.1)

Рисунок 3.2

В данном случае модель можно достаточно просто описать и решить аналитическими способами, которым и следует отдать предпочтение.

Рассмотрим решение классическим аналитическим способом.

Примем, что при замыкании ключа установившемуся значению тока i_уст соответствует частное решение дифференциального уравнения:

i_уст=U/R.

Это решение следует сложить с решением однородного уравнения, описывающего неустановившийся процесс:

,

 0

 dt Ldi

Ri_пер ^пер имеющего решение:

,

T t пер ke

i  ^

где T=L/R – постоянная времени.

U

i R

L

Сложим оба решения с условием, что в момент времени t=0 ток, до этого равный нулю, мгновенно измениться не может:

R k i U

i

i(0) _уст  _пер   _. Следовательно,

k=-U/R, и полное решение:

) 1

( )

( ^T

t

R e t U

i   ^ . (3.2) Для расчета и построения графической зависимости i(t) воспользуемся программным графическим процессором, входящим в пакет «Mathcad»

(рисунок 3.3). Для этого командой X-Y Plot на рабочее поле выводится шаблон двухмерной графики, в обозначения осей заносятся переменная (по оси абсцисс) и функция (по оси ординат). Область изменения переменной по умолчанию задается от –10 до +10, для задания своих значений области можно использовать любой способ задания ранжированной переменной или использовать параметры шаблона графики.

Операторный метод решения ДУ предусматривает замену в уравнениях функций – оригиналов их изображениями в соответствии с преобразованиями Лапласа, решение полученных алгебраических уравнений (где дифференцирование и интегрирование заменяются соответственно умножением и делением) и обратное преобразование полученных результатов. Пример такого решения приведен в лекции 4.

Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

В «Mathcad» для численного решения дифференциальных уравнений можно использовать любой из известных методов. Последовательность операций одинакова для всех. Записывается интегрируемая функция, задаются шаг, число точек решения и начальные условия. Далее в векторной форме вводятся рекуррентные формулы, соответствующие данному методу.

Простейшим численным методом решения одиночного дифференциального уравнения вида:

) y , x ( f

y _,

является метод Эйлера, основанный на интегрировании методом прямоугольников. Он реализуется следующей рекуррентной формулой:

) y , x ( f h y

y_i  _i1   _{i1 i1 ,} где h – шаг решения.

Погрешность этого метода значительна (порядка h), поэтому он на практике почти не применяется.

В примере, приведенном на рисунке 3.4, используется модифицированный метод Эйлера, в котором используется интегрирование методом трапеций. Погрешность при этом близка к h² (то есть порядка 1% при h =0,1), соответственно она приемлема для решения многих задач электротехники.

Использование метода Рунге – Кутта (рисунок 3.5) значительно снижает погрешность вычислений, но дополнительно требует расчета коэффициентов приближения.

В этом примере h – шаг приращения переменной х, i – индекс, имеющий значения от 1 до N (N – число интервалов решения с шагом h). Метод Рунге – Кутта четвертого порядка дает погрешность решения порядка h^-4, что удовлетворяет самым придирчивым требованиям к точности численных методов.

Оба приведенных метода долгое время являлись основными при численных решениях ДУ и ОДУ, так как позволяли сэкономить время пользователя на подготовку и машинное время на сам процесс счета. В

настоящее время быстродействие ПК позволяют выбирать более точные методы.

Из приведенных вариантов решения простейшего дифференциального уравнения, конечно же, предпочтительным является простое и абсолютно точное аналитическое решение (3.2), результат которого, кроме всего, можно использовать и в дальнейших аналитических расчетах. Однако дальнейшее, даже самое незначительное усложнение схемы (и дифференциального уравнения) приводит к громоздкому аналитическому выводу (и результату, который невозможно использовать далее). Поэтому основным инструментом остается численное решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

0 0 .2 0 .4

0 0 .5 1

i_n

tn

i^{T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}

0 0 0.18 0.328 0.449 0.548 0.629 0.696 0.751 0.796 0.832



t^{T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}

0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09



Резуль таты вычис лений в табличном и г раф ичес к ом виде t_n

i_n









t_n1h

i_n1 h f t_n1 h

 2 i_n1 h f t_n1i_n1

 2



 





 











 Рек уррентные ф ормулы

модиф ицированного метода Эйлера в векторной ф орме

Цик л вычис лений n1N

Началь ные ус ловия t₀

i₀









0 0







 

Функ ция f t i(  ) 1

L(uR i)



Шаг и чис ло точек решения N50

h0.01

Параметры модели L5

u100 R100

Пример решения ДУ модифицированным методом Эйлера

ti d d

1

L(uR i)



Рисунок 3.4

t_n i_n









t_n1 h

i_n1 k t



_n1i_n1



 6











Рекуррентные формулы метода Рунге Кутта в векторной форме Начало цикла вычис лений

n1N

k t i(  )k1 t i(  )  2k2 t i(  ) 2k3 t i(  )  k4 t i(  ) k4 t i(  )h f t (  hi k3 t i(  ))

k3 t i(  ) h f t h

 2 i k2 t i(  )

 2

 

 

 



Формулы коэффициентов метода Рунге Кутта

в векторной форме k2 t i(  ) h f t h

 2 i k1 t i(  )

 2

 

 

 



k1 t i(  )h f t i (  ) t₀

i₀









0 0







  Начальные значения

f t i(  ) 1

L(uR i) Функция 

f x y(  )x y

Шаг и чис ло точек решения N50

h0.01

Пример решения ДУ методом Рунге - Кутта четвертого порядка

Рисунок 3.5

Применение встроенных функций системы «Mathcad» для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

Математическое описание электромагнитных и электромеханических процессов чаще всего не ограничивается одиночными дифференциальными уравнениями. Системы дифференциальных уравнений могут содержать несколько (в отдельных случаях – десятки) дифференциальных уравнений.

При этом усложняется составление и запись, например, рекуррентных формул, определяющих коэффициенты в формулах Рунге – Кутта. Причем работа пользователя значительно усложняется даже при решении системы из двух дифференциальных уравнений, то есть классическая реализация численных методов решения, даже с использованием преимуществ «Mathcad»,

становится затруднительной.

Результаты вычис лений в табличном и графичес ком виде

0 0 .2 0 .4

0 0 .5 1

i_n

t_n

t^{T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}

0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09



i^{T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}

0 0 0.181 0.33 0.451 0.551 0.632 0.699 0.753 0.798 0.835



Рисунок 3.6

Последние версии компьютерных математических систем оснащены встроенными функциями численного решения как отдельных дифференциальных уравнений, так и систем ДУ. В «Mathcad» для решения задач такого класса введен ряд функций.

В «Mathcad» для численного решения дифференциальных уравнений можно использовать специальную функцию odesolve (x,b[, steps]), в которой x – переменная интегрирования (вещественное число), b – конечный интервал интегрирования. Steps (шаги интегрирования) указывать не обязательно, решение может выполняться с адаптивным шагом. Предварительно в блоке Given задается дифференциальное уравнение в нормированном виде, указываются начальные условия. Пример решения для той же схемы (рисунок 3.7) представлен ниже.

Табличный вывод результатов представлен в виде прокручиваемого списка (scrolling list) и содержит только 15 значений. Остальные результаты можно просмотреть, прокручивая таблицу скроллером, расположенным справа.

Таким образом, при применении встроенных функций отпадает необходимость в составлении сложных рекуррентных формул численных вычислений.

Рисунок 2.4

Рисунок 3.7

Наиболее употребимыми для электротехнических расчетов являются встроенные функции решения ДУ и СДУ методом Рунге – Кутта с фиксированным и переменным шагом:

– Rkfixed(y,x1,x2,N,D) – матрица решений методом Рунге – Кутта, системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y на интервале от x1 до x2 с фиксированным числом шагов N; правые части уравнений записаны в векторе D.

– Rkadapt(y,x1,x2,N,D) – матрица решений методом Рунге – Кутта (с переменным шагом), системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y на интервале от x1 до x2 с фиксированным числом шагов N; правые части уравнений записаны в векторе D.

П а р а м е т р ы с х е м ы

З а д а н и е Д У

Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я К о м а н д а р е ш е н и я Д У

н а и н т е р в а л е 0 - 0.1

R10 L0.1 U5

Given

ti t( ) d d

U  i t( ) R

( )

L i 0( ) 0

iOdesolve t 0.1(  )

Во втором случае использован адаптивный алгоритм, в котором на каж- дом шаге выполняется контроль погрешности решения. Если погрешность падает ниже заданной, шаг h уменьшается. И так до тех пор, пока погрешность не станет меньше заданной.

В качестве примера использования рассмотрим динамическую модель электрической схемы (четырехполюсник), описанной системой дифференциальных уравнений:

_{1 1 1 1} ¹ ₃ ² , dt L di dt

L di i

r

u    (3.3)

1 .

3 2 2 2 2

2 dt

L di dt

L di i

r

u   

Аналитическое решение системы (3.3) достаточно трудоемко, поэтому используем численный метод с применением встроенных в «Mathcad»

функций для решения систем дифференциальных уравнений (рисунок 3.8).

Подготовка системы уравнений к решению сводится к замене в (3.3) производной d/dt оператором р и расчету коэффициентов ДУ (а0…а5) для упрощения.

Для решения системы уравнений (приведения ее к нормированному виду) относительно pi1 и pi2 использована связка Given–Find, где Given – ключевое слово, открывающее блок решений систем уравнений.

При формализации математической модели необходимо выбрать метод решения дифференциального уравнения (ДУ) (или системы уравнений), описывающего данный динамический процесс. Символьные (аналитические) способы наиболее точны и предпочтительны, но не всегда осуществимы (сложность и громоздкость решения или его невозможность). Значительную помощь в проведении символьных расчетов может оказать использование пакетов символьной математики «Maple» или «Mathematica».

Использование современных вычислительных средств значительно повысило точность приближенных численных методов, их быстродействие.

Многие математические компьютерные приложения упрощают применение численных методов расчета и делают их универсальными. В случае, когда модель (или подсистему) можно достаточно просто описать и решить аналитическими способами, предпочтение следует отдать последним.

Наиболее распространенными в настоящее время пакетами математических прикладных программ для инженерных расчетов являются «Mathcad» и

«Matlab».