Далее синтезируем кривую выходного напряжения в соответствии с полиномом Фурье.
Рисунок 7.17
Сравнение рисунков 7.13 и 7.17 показывает высокую точность синтеза кривой выходного напряжения с использованием классического интегрального расчета коэффициентов ряда Фурье в виде приведенного программного блока.
Лекция 8. Математическая обработка результатов эксперимента
Кроме того, условия проведения эксперимента могут ограничить число n (количество измеренных значений параметра x). Это приводит к необходимости приближенного вычисления значений в промежутках между, например, x0 и x1, полученных в эксперименте. Приближенное вычисление значений функции y(x) по нескольким данным ее значениям y(x0), y(x1), ...
y(xn) называется интерполяцией (от латинского inter–polis – «вставление внутрь»). Эта же операция, проводимая для значений x за пределами области x0…xn, представляет собой экстраполяцию.
Существует также вариант, при котором функция y(x) задана аналитически, однако выражение сложное и плохо поддается расчетам.
Появляется задача получить более простое выражение, заменив исходную функцию, например, полиномом.
Во всех этих случаях используется аппроксимация исходной аналитической или эмпирической зависимости какой-либо достаточно простой аналитической функцией.
Линейная аппроксимация
Пусть получена эмпирическая зависимость параметра y0, y1,… yn от соответствующих воздействий x0, x1,…xn.
При кусочно-линейной интерполяции вычисление дополнительных точек выполняется по линейной зависимости. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых, для чего используется функция linterp (VX, VY, x).
Исходные данные необходимо представить в виде векторов VX и VY узловых точек. Для них и заданного аргумента х данная функция возвращает значение функции при ее линейной аппроксимации. При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенные через две крайние точки. Пример линейной интерполяции приведен на рисунке 8.1. Для компактности записи значения X,Y размещаются горизонтально в матрице D. Так как «Mathcad»
требует вертикального размещения значений векторов, X и Y представлены в виде:
;
то есть значения аргумента X размещены в 0-м (начальном) столбце, Y – в 1- м столбце транспонированной матрицы D. Нумерация строк и столбцов векторов и матриц по умолчанию начинается с 0.
На рисунке 8.1 показано, как выводятся значения функции при промежуточных значениях X.
6.1 Пример линейной интерполяции
D 1
2 2 3
5 5
6 11
9 12
11 10
13 8
16 6
Интерполируемая завис имос ть
запис ана в виде матрицы, где
X
DT 0 Y
DT 1для интерполяции ис пользуем вс троенную функцию
f x( )linterp X Y( x)
Результаты интерполяции для промежуточных значений х f 2( ) 3 f 7.71( ) 11.57
0 5 10 15
0 5 10
X-Y data Linear interpolation
Y f X( )
X
Результаты интерполяции в виде графика
Рисунок 8.1
Подробнее об обозначениях на графиках: в графике полученные в эксперименте точки обозначены крестиком. Для их изображения необходимо щелкнуть дважды левой кнопкой мыши по графику. Появится диалоговое окно Formatting Curretly Selected X–Y Plot (форматирование текущего выбранного графика). Щелкнуть по вкладке Trases. На вкладке выделится первая зависимость – trase 1. Раскрыть первый список Simbol (Cимволы) и выбрать символ (крестик, ромбик, квадрат и т.п.). Затем раскрыть четвертый список – Type (Тип) и щелкнуть по пункту points (точки). На графике можно разместить до 16 зависимостей. В заключение щелкнуть по кнопке ОК.
Сплайн-интерполяция и аппроксимация
Точность линейной интерполяции, конечно, определяется количеством полученных точек параметра y0, y1,…yn, от соответствующих воздействий x0, x1,…xn. При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая
производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp (VX, VY, x) не предназначена и за пределами области определения может вести себя непредсказуемо.
Гораздо лучшие результаты дает сплайн-аппроксимация. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн, – функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (откуда и название аппроксимации: splain – гибкая линейка).
Для осуществления сплайновой аппроксимации система Mathcad предлагает 4 встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:
– cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
– pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;
– lspline (VX, VY) – возвращает векторVS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой;
– interp (VS, VX, VY,x) – возвращает значение y(x) заданных векторов VS, VX, VY и заданного значения х.
Таким образом, сплайновая аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью функций (1–3) отыскивается вектор вторых производных функции y(x), заданной векторами VX, VY ее значений.
Результаты интерполяции сплайном представлены на рисунке 8.2 и демонстрируют значительное преимущество перед линейной интерполяцией.
Выполнение регрессии
Согласно Корну, если дано распределение системы двух случайных величин x и y, то регрессией x на y является любая функция f(x), приближенно представляющая статистическую зависимость y от x. При этом величина у представляется, как сумма двух случайных величин:
где h(x, y) рассматривается в качестве поправочного члена.
6.2 Пример сплайновой интерполяции
D1 1
2 2 3
5 5
6 11
9 12
11 10
13 8
16 6
Интерполируемая завис имос ть
запис ана в виде матрицы, где
X1
D1T 0 Y1
D1T 1Вс троенная функ ция определяет вектор вторых производных
Scspline X1 Y1( )
f1 x1( )interp S X1( Y1x1) для интерполяции ис пользуем вс троенную функ цию
f1 2( ) 3 f1 7.71( ) 13.845 Результаты интерполяции для промежуточных значений х
0 5 1 0 1 5
0 5 1 0
X-Y data Linear interpolation
Y1 f1 x1( )
X1 x1
Результаты интерполяции в виде графика
Рисунок 8.2
В зависимости от соотношений x, y регрессия может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейной функцией y = ах + в или с помощью многочлена степени m>1 (параболическая регрессия порядка m), коэффициенты которых подбираются так, чтобы минимизировать отклонение.
Кроме того, регрессия может быть аппроксимирована с помощью других стандартных математических функций с целью упрощения записи и поиска значений коэффициентов, минимизирующих отклонение. Набор таких встроенных функций в «Mathcad» очень широк.
Аппроксимирующие функции line(vx, vy) и line(vx, vy) определяют коэффициенты a, b уравнения линейной регрессии вида:
Аппроксимирующая функция expfit(vx, vy, vg) аппроксимирует данные, содержащиеся в векторах VX, VY в виде экспоненциальной регрессии:
.
Вектор начальных условий vg здесь нужен для инициализации. «На выходе» мы получаем вектор значений коэффициентов a, b, c.
С помощью функции sinfit(vx, vy, vg) находятся коэффициенты a, b, c аппроксимирующей функции:
.
С помощью функции logfit(vx, vy, vg) находятся коэффициенты a, b, c аппроксимирующей функции:
.
С помощью функции pwrfit(vx, vy, vg) находятся коэффициенты a, b, c аппроксимирующей функции:
.
С помощью функции lgsfit(vx, vy, vg) находятся коэффициенты a, b, c аппроксимирующей функции:
.
Особо следует выделить аппроксимирующие функции, позволяющие аппроксимировать данные с помощью линейной комбинации произвольных функций. Это функции genfit(vx, vy, vg, F) и medfit(vx, vy, F).
Примеры применения аппроксимирующих функций подробно приведены в [2].
В электротехнике, помимо обработки данных эксперимента, часто встает вопрос представления в аналитических выводах и расчетах таких зависимостей, как кривая намагничивания или коэффициент полезного действия трансформатора, двигателя и т.п.
Коэффициент полезного действия (КПД) любого агрегата или механизма изменяется при регулировании загрузки по нелинейной зависимости, не определенной аналитически. Определяется она по паспортной характеристике, представляемой заводом-изготовителем в виде графиков или таблиц. В аналитических расчетах для описания этой кривой используют различные варианты аппроксимации. Мы предлагаем аппроксимировать кривую η(Q) полиномом второй степени.
Рассчитаем кривую η(Q) для центробежного насоса 12 НДсН с номинальными параметрами: подача – 1000 м3/ч, напор – 24 м, КПД – 85%, наружный диаметр колеса – 460 мм, частота вращения – 930 об/мин.
Характеристики ЦН, приведенные заводом-изготовителем в табличной форме, записываем в виде матрицы:
. 87 . 0 89 . 0 92 . 0 91 . 0 85 . 0 75 . 0 63 . 0 39 . 0 0
8 . 22 24 8 . 26 4 . 29 8 . 30 9 . 31 1 . 32 6 . 32 8 . 32
82 . 0 84 . 0 87 . 0 86 . 0 8 . 0 72 . 0 58 . 0 34 . 0 0
08 . 1 008 . 1 854 . 0 72 . 0 576 . 0 432 . 0 288 . 0 144 . 0 0
1
М
Первая строка матрицы представляет собой загрузку механизма в относительных единицах, вторая – соответствующий ей КПД. Напомним, счет строк и столбцов в «Mathcad» начинается с 0.
Транспонированная матрица:
,
87 . 0 8 . 22 82 . 0 08 . 1
89 . 0 24 84 . 0 008 . 1
92 . 0 8 . 26 87 . 0 854 . 0
91 . 0 4 . 29 86 . 0 72 . 0
85 . 0 8 . 30 8 . 0 576 . 0
75 . 0 9 . 31 72 . 0 432 . 0
63 . 0 1 . 32 58 . 0 288 . 0
39 . 0 6 . 32 34 . 0 144 . 0
0 8 . 32 0 0
: :
: 1 (0) (1)
data
data Y
data X
M
data T
где X – подача (о.е.); Y – КПД (о.е.) насоса соответственно представлены векторами Х и Y:
08 . 1
008 . 1
854 . 0
72 . 0
576 . 0
432 . 0
288 . 0
144 . 0
0
X ,
. . . . . . . .
82 0
84 0
87 0
86 0
8 0
72 0
58 0
34 0
0
Y
В математическом приложении Mathсad имеется встроенная программа
«regress», которая возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией
«interp(VS, VX, VY, x)», содержащий коэффициенты многочлена n-ой степени, который наилучшим образом приближает «облако» точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY.
Полиномиальная регрессия:
).
( : rows data n
,
2 k
).
, , (X Y k regress
z
Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix:
), , , , ( int : )
(x erp z X Y k fit
).
0 , 0 , 1 ) ( ,
3 , (
:submatrix z length z coeffs
В результате получаем коэффициенты нулевого, первого и второго порядков искомого полинома:
).
311 . 1 118 . 2 037 . 0
(
coeffsT
Таким образом, зависимость η(Q) представлена полиномом второй степени:
. 311 . 1 118 . 2 037 . 0 : )
( 2
3 Q Q Q
В случае, если степень полинома задаем равной 3:
,
3 k
то z regress(X,Y,k).
Коэффициенты нулевого, первого, второго и третьего порядков искомого полинома:
) 796 . 0 606 . 2 645 . 2 10 066 . 5 (
coeffsT 3 .
В этом случае видно, что значение коэффициента третьего порядка мало, и, таким образом, им можно пренебречь.
На рисунке 8.3 представлен результат расчета, крестиками отмечены паспортные данные КПД ЦН.
Рисунок 8.3. Аппроксимация кривой КПД ЦН
Для оценки регрессии в систему Mathcad встроен ряд приведенных ниже функций:
– corr(VX, VY) – возвращает скаляр – коэффициент корреляции Пирсона;
– intercrpt(VX, VY) – возвращает значение параметра а (смещение линии регрессии по вертикали);
– slope(VX, VY) – возвращает значение параметра в (угловой коэффициент линии регрессии).
В результате проведенных расчетов получены зависимости КПД ЦН от его производительности в виде полинома второй степени, наиболее точно аппроксимирующий паспортные характеристики ЦН. С применением полученных результатов проводятся все дальнейшие расчеты энергетических характеристик электропривода ЦН.
Список использованной литературы
1. Башарин А.В., Постников Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ. – Энергоатомиздат.
Ленинград, 1990.
2. Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для всех. Изд. «Солон-пресс», 2005.
3. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в Matlab 6.0: Учебное пособие. – СПб., 2014.
4. Мустафин М.А., Алмуратова Н.К. «Mathcad» для электроэнергетиков»: Учебное пособие. – Алматы: АУЭС, 2019. – 80 с.
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Y
( )Q
X Q