0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1000
500 0 500 1000 I, A
t, c
1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2
1000 500 0 500 1000 I, A
t, c
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 50 100 150 200
, ðàä/ñ
t, c
Адекватность предложенной модели подтверждается сравнением расчетных кривых с экспериментальными данными и результатами, полученными другими авторами.
колебания, F4(x) – двухполупериодные колебания, F3(x), F5(x) и F6(x) – импульсы соответственно треугольной, пилообразной и прямоугольной формы.
Рисунок 7.1
Выходное напряжение управляемого выпрямителя
Принцип действия управляемого тиристорного преобразователя (ТП) основан на том, что в положительный полупериод питающего напряжения тиристор, подобно ключу, открывается и подает напряжение к двигателю
Результаты моделирования
Формулы используемые для моделирования
9.425
10 6.283 3.142 0 3.142 6.283 9.425
5 0 5 10
F1 x( )8
F2 x( )8
F3 x( )4
F4 x( ) F5 x( )3
F6 x( )7 0
8 4 0
3
7
x
F1 x( ) sin x( ) F2 x( ) cos x( )
F3 x( ) tan cos x( ( )) F4 x( ) sin x( ) F5 x( ) atan tan x( ( )) F6 x( ) sign sin x( ( ))
только часть этого полупериода. При этом среднее выпрямленное напряжение на нагрузке UСР определяется углом задержки отпирания вентиля α, называемым углом управления.
Пример схемы ТП (трехфазная нулевая) приведен на рисунке 7.2. Для m-фазного управляемого выпрямителя при непрерывном токе:
. cos cos
2 sin
max
.
СР
СР U
mU m
U (7.1)
Рисунок 7.2
На рисунке 7.3 приведен вариант построения трехфазной системы прямоугольных импульсов с заданной частотой. Здесь использована функция Хевисайда Ф(х), равная 1, если х ≥V, и 0 во всех других случаях.
Рисунок 7.3
Нулевая трехфазная схема
угловая частота и период
Трехфазная система прямоугольных импульсов
100 T1 2
fa t( )
0 3
k
(t T1 k ) t T1 k T1
3
fb t( )
0 3
k
t T1 k T1
3
t T1 k T13 T13
fc t( )
0 3
k
t T1 k T12
3
t T1 k T13 T132
Эта система импульсов является переключающей для трехфазной системы напряжений и определяет интервалы проводимости тиристоров.
Отметим, что данная модель управляемого выпрямителя является упрощенной и не учитывает характер (индуктивность) нагрузки.
Размещение на графике:
угол управления ТП
Трехфазное синусоидальное напряжение
Интервалы проводимости тиристоров ТП
Выходное напряжение ТП
Рисунок 7.4 f1c t( ) fc t( ) 2f1a t( ) fa t( ) 2f1b t( ) fb t( )
0 0.02 0.04 0.06 0.08
2 0 2 4
f1a t( ) f1b t( ) f1c t( )
t
3ua t( ) sin 2 t
T1
ub t( ) sin 2 t
T1 2
3
uc t( ) sin 2 t
T1 4
3
Fa t( ) fa t T1 2
Fb t( ) fb t T1
2
Fc t( ) fc t T1
2
Ua t( ) ua t( ) Fa t ( )Ub t( ) ub t( ) Fb t ( )Uc t( ) uc t( ) Fc t ( ) U t( ) Ua t( ) Ub t( ) Uc t( )
V1 V3 V5
V6 V2 V4
+
-
c b a
UП
Рисунок 7.6
Рисунок 7.5
Моделирование автономного инвертора в схеме преобразователя частоты с управляемым выпрямителем
Рассмотрим принцип действия АИ без учета электромагнитных коммутационных процессов, считая тиристоры идеальными ключами (рисунок 7.6).
Для построения алгоритма учитывается, что сдвиг фаз между напряжениями Uа, Ub, Uc составляет 2π/3. На рисунке 7.7 отмечена коммутация соответствующих тиристоров V1–V6. На первом интервале (0–2π/3) открыты ключи V1 анодной группы и (поочередно) V6 и V2 катодной группы. Ток протекает по цепи «+»→V1→фаза «а» (начало) → «0» статора→фаза «b»
(фаза «с») →V6(V2 )→ «–». К фазе «а» статора будет приложено напряжение UП/2. На интервале (2π/3–π) открыты ключи V3 анодной группы и V2 катодной группы. Ток протекает по цепи «+»→V3→фаза «b» (начало) → «0»
статора→фаза «c» →V2→ «–». К фазе «а» статора напряжение не приложено.
На интервале (π–5π/3) открыты ключи V3, V5 (поочередно) анодной группы и V4 катодной группы. Ток протекает по цепи «+»→V3(V5)→фаза «b» (фаза «c»)
→ «0» статора→фаза «a» →V4→ «–». К фазе «а» статора будет приложено напряжение – UП/2.
Линейное напряжение находится, как Uab=Ua–Ub. Полученная форма напряжения (рисунок 7.7) показывает, что напряжение питания в значительной степени отличается от синусоиды. Аналогичное построение для других фаз показывает, что на выходе сформирована трехфазная система напряжений, сдвинутых относительно друг друга на 120°.
Форма напряжения – прямоугольная или ступенчатая, первые (рабочие) гармоники обеспечивают, например, создание вращающегося магнитного поля в статоре асинхронной машины, высшие гармонические составляющие являются паразитными, приводя к перегреву обмоток и искажению токов и момента двигателя.
Рисунок 7.7
Известно, что любую периодическую несинусоидальную кривую можно представить в виде суммы гармонических составляющих, то есть разложить в ряд Фурье. Поскольку выходное напряжение преобразователей частоты соответствует этим определениям, его также можно разложить в ряд Фурье.
На рисунке 7.8 приведен пример такой операции для ступенчатой периодической функции, выполненной в системе «Mathcad».
V1 V3 V5 V1 V3 V5 V1
V6 V2 V4 V6 V2 V4 V6 V2
Ua
Ub
Uab
ТВЫХ
UП/2
Рисунок
Рисунок 7.8
Для наглядности на рисунке показаны кривые первой, пятой и седьмой гармонических составляющих.
Разложение периодической ступенчатой кривой в ряд Фурье амплитуда первой гармоники
частота первой гармоники количество учитываемых гармоник Первая гармоника выходного апряжения:
Высшие гармонические прямой последовательности
где Pn + 1 = v - порядок гармонической
Высшие гармонические обратной последовательности
где Pn - 1 = ν - порядок гармонической Ряд Фурье
Вызов и построение Декартова графика Um1
100
N15
U1 t( ) Um sin (t)
Un1 n t( ) Um sin 6 n[( 1)t] 6 n 1
Un2 n t( ) Um sin 6 n[( 1)t] 6 n 1
Un t( ) U1 t( )
1 N
n
Un2 n t( )
1 N
n
Un1 n t( )
0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4
1 .2 5
0 .9 3 8
0 .6 2 5
0 .3 1 3
0 0 .3 1 3 0 .6 2 5 0 .9 3 8 1 .2 5
Un t( ) U1 t( ) Un 1 1 t( ) Un 2 1 t( )
t
Проведем анализ выходного напряжения систем ПЧ–АИ.
Ступенчатая кривая выходного напряжения может быть разложена в ряд Фурье, как:
,
1 ) 1 sin sin(
4
1
n m
c Рn
Рn t t
r U
U
(7.2) где r – глубина регулирования напряжения;
Um – амплитуда анодного напряжения;
– угловая частота выходного напряжения;
Р – пульсность схемы ПЧ;
Рn ± 1 = ν – порядок гармонической.
В (7.2) знак «+» соответствует высшим гармоническим прямой последовательности, «–» – высшим гармоническим обратной последовательности.
Выходное напряжение прямоугольной формы описывается, как:
1 1
) 1 ) sin(
1 ( 4 sin
n
n П m
Рn Рn t t
r U
U
. (7.3)
На рисунке 7.9 приведены программа и расчет кривой выходного напряжения автономного инвертора, выполненные в математическом приложении «Mathcad», и кривые выходного напряжения, синтезированные по (1), (2). Программа универсальна в смысле расчета напряжения для ПЧ с любой пульсностью Р. Выходное напряжение ПЧ получаем в виде U(P, s, t), то есть в зависимости от пульсности (схемы) преобразователя и скольжения АД (глубины регулирования напряжения).
В в о д и с х о д н ы х д а н н ы х П р е о б р а з о в а т е л ь ч а с т о т ы
у г л о в а я ч а с т о т а в ы х о д н о г о н а п р я ж е н и я П Ч , р а д /с н а п р я ж е н и е П Ч , В
к о л и ч е с т в о у ч и т ы в а е м ы х г а р м о н и к
Р а с ч е т в ы х о д н о г о н а п р я ж е н и я п р е о б р а з о в а т е л я ч а с т о т ы А м п л и т у д а а н о д н о г о н а п р я ж е н и я :
Г л у б и н а р е г у л и р о в а н и я н а п р я ж е н и я :
П е р в а я г а р м о н и к а в ы х о д н о г о н а п р я ж е н и я :
100 Up380 N10
Um 2 Up
4
Um422.074
r s( ) 1 s 1 0.025
r sn( ) 1
U1 s t( ) 4
Umr s( )sin(t)
Рисунок 7.9 Рисунок 7.9
Моделирование преобразователей частоты с широтно-импульсной модуляцией (ПЧ с ШИМ)
На рисунке 7.10 представлен однофазный инвертор напряжения с ШИМ.
Формирование кривой выходного напряжения иллюстрируется рисунком 7.11.
В качестве примера рассмотрена двухполярная односторонняя ШИМ, когда в качестве опорного напряжения используется пилообразное опорное напряжение UНс высокой частотой Н,с которой коммутируются вентили силовых групп. Длительность импульсов несущей частоты изменяется с каждым периодом в соответствии с формой модулирующего напряжения
В ы с ш и е г а р м о н и ч е с к и е п р я м о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и
г д е Pn + 1 = v - п о р я д о к г а р м о н и ч е с к о й; P - п у л ь с н о с т ь П Ч В ы с ш и е г а р м о н и ч е с к и е о б р а т н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и
г д е Pn - 1 = ν - п о р я д о к г а р м о н и ч е с к о й В ы х о д н о е н а п р я ж е н и е П Ч
В ы з о в и п о с т р о е н и е Д е к а р т о в а г р а ф и к а Un1 P s( nt) 4
Umr s( ) sin P n[( 1)t] P n 1
Un2 P s( nt) 4
Umr s( ) sin P n[( 1)t] P n 1
Un P s( t) U1 s t( )
1 N
n
Un2 P s( nt)
1 N
n
Un1 P s( nt)
0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4
7 50
3 75 0 3 75 7 50
Un 1 2 0 .0 2 5( t) U1 1 2.025 t( )
t
0 0.01 0.02 0.03 0.04
750
375 0 375 750
Un 6 0.025( t) U1 0.025 t( )
t
M
.
U
Это достигается сравнением опорного напряжения UH с модулирующим, и переключение вентилей происходит в момент их равенства.
Рисунок 7.11
Тогда выходное напряжение описывается логической функцией:
. ) ( )
( ,
) ( )
( ) ,
(
t U t U if U
t U t U if t U
U
П H П H вых
(7.4)
Выходное напряжение, усредненное за период несущей частоты, можно записать, как
2 ,
1
T t U t
Uвых П (7.5)
V1
V3 V2
V4
+
-
UП
ZH
(+) (+)
(-)
(-)
Рисунок 7.10
где UП – выпрямленное напряжение на входе инвертора;
t1, t2 – время включенного состояния вентильных групп;
ТН=2π/ωнес – период опорного напряжения.
При синусоидальной ШИМ, обеспечивающей минимальное содержание высших гармонических в Uвых:
,
sin t
U
Uвых
П
вых (7.6) где μ=UM /UMmax – относительное значение глубины модуляции;UMmax – максимальное напряжение модулирующего напряжения;
ωвых – частота выходного напряжения.
Таким образом осуществляется регулирование величины и частоты выходного напряжения ПЧ с ШИМ.
Для создания модели используем возможности по реализации численных методов расчета и математического моделирования математического приложения «Mathcad». В соответствии с принципом работы ПЧ с ШИМ, определим пилообразное опорное напряжение как:
2
)
( t
tg arctg k
t
UHЕС НЕС
, (7.7) а модулирующую кривую как:
. sin
)
(t t
UМОД вых (7.8) Выходное напряжение ПЧ описывается логической функцией:
. ) ( )
( ,
) ( )
( ,
) (
t U t U if E
t U t U if E t U
ОД HЕЕ
ОД HЕЕ
вых
. (7.9)
На рисунке 7.12 представлена программная реализация модели ПЧ с ШИМ (Mathcad 14).
Рисунок 7.12
На рисунке 7.13 представлены результаты моделирования ПЧ с ШИМ, которые могут выводиться не только в графическом, но и в цифровом табличном виде. Последнее позволяет использовать полученные сигналы управления UИ для непосредственного управления вентильными группами ПЧ.
Рисунок 7.13 - Формирование выходного напряжения ПЧ с ШИМ Для оценки влияния несинусоидальности напряжения на эксплуатационные и энергетические показатели электропривода, кроме мгновенных значений напряжения, необходимо знать его гармонический состав.
Аналитическое проведение гармонического анализа затруднено, так как состав Uвых зависит от схемы преобразователя, глубины модуляции, соотношения несущей и выходной частот ПЧ. Математическое приложение
«Mathcad» располагает несколькими вариантами встроенных функций прямого и обратного преобразований Фурье численными методами.
Важным является то, что исследуемая функция Ua(t) может быть представлена в виде комбинации аналитических и логических операций, то есть записана в неявном виде. Ниже представлен расчет, выполненный по программе, предложенной в [4].
0
0 0
0
Рисунок 7.14 Вывод результатов спектрального анализа.
Рисунок 7.15
Рисунок 7.16
Далее синтезируем кривую выходного напряжения в соответствии с полиномом Фурье.
Рисунок 7.17
Сравнение рисунков 7.13 и 7.17 показывает высокую точность синтеза кривой выходного напряжения с использованием классического интегрального расчета коэффициентов ряда Фурье в виде приведенного программного блока.
Лекция 8. Математическая обработка результатов эксперимента