Лекция 8. Поверхности второго порядка - (1)1 АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра вы

Пусть фокус параболы лежит на оси абсцисс, директриса перпендикулярна этой оси и находится на таком же расстоянии от начала координат, что и фокус. Пусть расстояние между фокусом и директрисой равно p (параметр параболы). Тогда, используя определение параболы, легко получить еѐ каноническое уравнение y² 2px. Знак плюс, если уравнение директрисы

x p, фокус 



 



 ,0 2

F p , парабола расположена в правой полуплоскости (рисунок 2.2.3). Знак минус, если уравнение директрисы

x p, фокус 



 

 ,0 2

F p , парабола расположена в левой полуплоскости. Осью симметрии параболы является ось абсцисс, точка пересечения с осью симметрии называется вершиной параболы, для этих парабол вершиной является начало координат.

Рисунок 2.2.3 Рисунок 2.2.4

Если осью симметрии служит ось ординат, то, рассуждая аналогично, получим уравнения x² 2py. Знак плюс, если уравнение директрисы

2 y  p ,

фокус 



 



 , 2 0 p

F , парабола расположена в верхней полуплоскости (рисунок 2.2.4). Знак минус, если уравнение директрисы

y p, фокус _



 

  , 2

0 p

F ,

парабола расположена в нижней полуплоскости.

и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Степень этого уравнения называется порядком поверхности. Таким образом, плоскость – это поверхность первого порядка. Поверхность второго порядка задаѐтся уравнением второй степени относительно переменных x, y, z:

0 2

2 2 2

2 2

2By Cz  Dyz Exz Fxy Gx Hy KzL

Ax (3.1).

Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка, при различных значениях коэффициентов оно может определять одну из девяти поверхностей второго порядка: сферу, эллипсоид, однополостный или двуполостный гиперболоиды, эллиптический или гиперболический параболоиды, цилиндр, конус. Кроме того, оно может определять вырожденные поверхности: совокупность двух плоскостей, точку, прямую или мнимое место точек. Рассмотрим простейшие или канонические уравнения поверхностей второго порядка. Форму и расположение этих поверхностей обычно изучают методом параллельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и по форме и размерам полученных сечений делают выводы о форме самой поверхности. Исследуем подробно форму и свойства одной из девяти основных поверхностей второго порядка эллипсоида, свойства остальных исследуют аналогично.

Поверхность, определяемая уравнением ₂ ¹

2 2 2 2 2





 c

z b

y a

x (*)

(a0, b0, c0), называется эллипсоидом. Уравнение (*) называется каноническим уравнением эллипсоида. Так как x, y, z входят в уравнение (*)

в чѐтных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, осей и начала координат. Применим метод параллельных

сечений для определения формы эллипсоида. Пересечѐм эллипсоид плоскостями параллельными координатной плоскости Oxy, т.е. плоскостями

) (

, h c

z  . Уравнение линии сечения в пространстве имеет вид:











 h z

c z b

y a

x ₂ 1

2 2 2 2 2

. Подставляя z в первое уравнение, получим уравнение проекции этой линии на плоскость Oxy ₂² ₂² 1 ₂²

c h b

y a

x    или ₂ 1

1 2 2 1

2  

b y a

x , где

2 2

1 1

c a h

a   , ₂

1 1

c b h

b   . Таким образом, в сечениях эллипсы с полуосями a₁

и b₁. Аналогичные результаты получаются при пересечении эллипсоида плоскостями xh, (h a) и yh, (h b)– в сечениях также эллипсы (если

) , (a b c

h  , то эллипсоид не пересекается с этими плоскостями). Итак,

эллипсоид есть поверхность, изображѐнная на рисунке 2.3.1

Рисунок 2.3.1

Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трѐхосным. Если какие-либо две из полуосей равны, например, abc, то в сечениях, параллельных Oxy, окружности, а эллипсоид может быть получен вращением эллипса ₂ 1

2 2

2  

c z a

x ,

расположенного в плоскости Oxz, вокруг оси Oz. В этом случае эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Если a bc, то имеем частный случай эллипсоида – сферу x²  y² z² a² радиуса a с центром в начале координат.

Графики, канонические уравнения и линии в сечениях всех девяти поверхностей второго порядка приведены в таблице:

Т а б л и ц а 2.3.1

Канонические уравнения Графики Линии в сечениях

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c  эллипсоид

2 2 2

, ( )

z h h c

x y h

a b c

  



  

 - эллипс

2 2 2

, ( )

y h h a

y z h

b c b

  



  

 - эллипс

2 2 2

, ( )

y h h b

x z h

a c b

  



  

 - эллипс

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c  однополостный гиперболоид

2 2

0 1 z

x y

a b

 



 

 ^эллипс

2 2

0 1 y x z

a c

 



 

 - гипербола

2 2 2

2 2 1 2

z h

x y h

a b c

 



  

 - эллипс

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c   или

2 1

2 2 2 2 2







 c

z b y a x

двухполостный гиперболоид

2 2

0 1 y x z

a c

 



  

 - гипербола

2 2 2

, ( ) 1

z h h c

x y h

a b c

  



  

 -эллипс

2 2

0 1 x

y z

b c

 



  

 - гипербола

2 2

2 x y

z p  q

эллиптический параболоид

2 2

, ( 0) 2 2 1 z h h

x y

hp hq

  

  



-эллипс

0 2 x

y qz

 

 

 - парабола

0 2 y

x pz

 

 

 - парабола

2 2

2 x y

z p  q

гиперболический параболоид

0 2 y

x pz

 

 

 -парабола

0 2 x

y qz

 

  

 -парабола

2 2

0 0 z

x y

p q

 

  



y ^qx

  p -две прямые

2 2

2 2 1

x y

a b  эллиптический цилиндр,

2 2

2 2 1

x y

a b  гиперболический цилиндр,

3) y² 2pxпараболический цилиндр.

1) ^x ⁰

y b

 

  

 - прямые,

2 2

2 2 1

z h

x y

a b

 



 

 -эллипс

2) ^y ⁰

x a

 

  

 - прямые,

2 2

2 2 1

z h

x y

a b

 



 

 гипербола

3) ₂ 2 z h

y px

 

 

 - парабола

2 2 2

2 2 2 0

x y z

a b c  конус

2 2 2

z h

x y h

a b c

 



 

 -эллипс

2 2

0 0 y x z

a c

 



 

 x ^az

 c прямые

2 2 2

x h

y z h

b c a

 



  

 ^{гипербола}

2 2 2

y h

x z h

a c b

 



  

 ^{гипербола}

Напомним, что рассматривались следующие секущие плоскости: z=0 и z=h – координатная плоскость Оху и параллельные ей плоскости; y=0 и y=h - координатная плоскость Охz и параллельные ей плоскости; x=0 и x=h - координатная плоскость Оуz и параллельные ей плоскости.

2.4 Лекция 9. Квадратичные формы. Геометрические приложения квадратичных форм

Содержание лекции: квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка.

Цели лекции: геометрические приложения квадратичных форм.

Квадратичные формы на плоскости

Определение. Квадратичной формой двух переменных х и у называется однородный многочлен второй степени F(x,y)a₁₁x² 2a₁₂xya₂₂y².

Чтобы записать квадратичную форму в матричном виде, перепишем еѐ так: F(x,y)(a₁₁xa₁₂y)x(a₁₂xa₂₂y)y. Тогда _



 





22 12

12 11

a a

A a – матрица

квадратичной формы, она всегда симметрическая. Обозначим: _



 



 y

X x –

матрица-столбец переменных х и у, X^ (x y)– матрица-строка. Получим матричную запись квадратичной формы F(x,y) X^AX .

В пространстве R₂ можно выбрать новый базис (новую систему координат), в котором квадратичная форма имеет более простой вид, например, не содержит члена с произведением ху. Пусть оператор T~

переводит систему Oxy, в которой квадратичная форма имеет вид

2 22 12

11 2

) ,

(x y a x a xy a y

F    , в систему O₁x₁y₁, в которой квадратичная форма примет вид F(x₁,y₁)₁x₁² ₂y₁². Этот последний вид квадратичной формы называется каноническим. Заметим, что матрица квадратичной формы в каноническом виде диагональная: _



 





2 1

0 0



D  . Ввиду этого задача приведения квадратичной формы к каноническому виду сводится к задаче приведения еѐ матрицы к диагональному виду. Поскольку матрица квадратичной формы всегда симметрическая, а выше отмечалось, что симметрическая матрица всегда приводится к диагональному виду, то квадратичная форма всегда приводится к каноническому виду. Причѐм симметрическая матрица _



 





22 12

12 11

a a

A a и диагональная матрица _



 





2 1

0 0

 D 

связаны соотношением T^1AT  D, где ₁,₂– собственные числа матрицы A,

39 Т – матрица ортогонального оператора T~

(т.е. ортогональная матрица), осуществляющего переход от исходного базиса к базису из собственных векторов оператора T~. Говорят, что этот оператор приводит матрицуA к диагональному виду, а также приводит квадратичную форму к каноническому виду. Столбцами матрицы Т являются координаты нормированных собственных векторов оператора T~

( _



 





22 21

12 11

t t

T t ). Эти собственные векторы 11 21

1 t ,t

E  и 12 22

2 t ,t

E  составляют базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид, а квадратичная форма - канонический вид. Если _



 



 y

X x и _



 







1 1

X x – столбцы координат вектора х в «старом» и «новом» базисах соответственно, то X TX– формулы преобразования координат при переходе к «новому» базису (в матричном виде). В координатной форме эти формулы имеют вид













1 22 1 21

1 12 1 11

y t x t y

y t x t

x .

Пример 2.4.1 - Найдѐм канонический вид квадратичной формы

2 24 11

4 ) ,

(x y x xy y

F    и ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

_



 





11 12

A 4 –матрица квадратичной формы. Составим характеристический многочлен и найдѐм его корни:



 



 

 12 11

12 E 4

A = =²15100,

5 ,

20 ₂

1   

 . Корни характеристического многочлена также являются собственными значениями матрицы A. Итак, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид F(x₁,y₁)20x₁² 5y₁², матрица которого

диагональная _



 





 

5 0

D 20 .

Найдѐм базис, в котором квадратичная форма приняла канонический вид, т.е. линейно независимые собственные векторы, отвечающие собственным значениям ₁ 20, ₂ 5: а) ₁ 20:















0 9 12

0 12 16

2 1

x x

x , т.к. ранг матрицы системы равен 1, то система эквивалентна одному уравнению, из которого ₂ ₁

3 4x

x  . Если x₁ 3c , то x₂ 4c и X (3c; 4c)- общее решение системы, а также множество собственных векторов, отвечающих ₁ 20. Пусть с=1, тогда E₁ (3;4), нормируем этот вектор: E₁  3² 4² 5,



 



 5

; 4 5 3

E1 ; б) ₂ 5:













0 16 12

0 12 9

2 1

x x

x , аналогично рассуждая, получим второй нормированный собственный вектор _



 



 5

; 3 5

0 4

E2 .

Итак, E₁⁰, E₂⁰- базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид,











 



5 3 5 4

5 4 5 3

T – матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. X TX



 















 





 





1 1

5 3 5 4

5 4 5 3

y x y

x 















1 1

5 3 5

5 4 5

y x

– формулы преобразования координат при переходе к новому базису.

Упрощение уравнения кривой второго порядка

Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка

0 2

2 ²

2 BxyCy  Dx EyF 

Ax (2.1). Как было сказано выше, при различных

значениях коэффициентов уравнение (2.1) определяет различные кривые второго порядка окружность, эллипс, гиперболу, параболу или вырожденные линии (пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару слившихся прямых, точку и мнимое место точек). Кроме того, вид уравнения линии зависит от выбора системы координат: в различных системах одна и та же линия имеет разные уравнения. Канонические уравнения линий нам известны. Поэтому для определения вида линии, общее уравнение которой нам дано, используют преобразование координат плоскости. Систему координат, в которой задано уравнение линии, с помощью параллельного переноса и поворота преобразуют так, чтобы начало координат совпало с центром линии (эллипс, гипербола) или с вершиной (парабола), а оси симметрии стали параллельны координатным осям. Тогда в новой системе уравнение линии примет канонический вид. Рассмотрим два случая.

1. В уравнении (2.1) отсутствует член, содержащий xy, т.е. B0. Тогда с помощью параллельного переноса начала координат в центр или вершину линии получим систему, в которой уравнение линии имеет канонический вид. Практически это можно сделать, дополняя члены, содержащие x и y до полного квадрата.

Пример 2.4.2 - Приведѐм к каноническому виду уравнение линии

0 33 12 2 2 ²

2 y  x y 

x и построим еѐ.

Дополним члены, содержащие x и содержащие y до полных квадратов: (x²2x11)2(y² 6y99)330 (x1)² 2(y3)² 16 

 1

8 ) 3 ( 16

) 1

(x ²  y ²  . Делаем замену













1 1

3 1

y y

x (*). Формулы (*) являются также формулами преобразования координат при параллельном переносе системы координат OxyO₁x₁y₁. Точка O₁(1;3)– новое начало координат. В системе O₁x₁y₁ уравнение линии имеет канонический вид 1

8 16

2 1 2

1  y 

x , по

которому ясно, что это уравнение гиперболы с действительной полуосью

4

a и мнимой полуосью b 8 (рисунок 2.4.1).

Рисунок 2.4.1

Пример 2.4.3 - Приведѐм к каноническому виду уравнение линии

0 9 12

3x²  xy  и построим еѐ.

Так как в уравнении линии кроме члена с xy, отсутствует также член с

y2, то, скорее всего, это уравнение параболы с каноническим уравнением вида x² 2py. Приведѐм уравнение к этому виду, дополняя члены, содержащие x, до полного квадрата: 3(x²4x44) y9 

3(x2)²  y3 ( 3) 3

) 1 2

(x ²  y . Замена













1 1

3 2

y y

x (*). Формулы (*)–

формулы преобразования координат при параллельном переносе системы координат OxyO₁x₁y₁. Точка O₁(2;3)– новое начало координат. В системе

1 1 1x y

O уравнение линии имеет канонический вид 1 2

1 3

1 y

x  – парабола с вершиной в точке O₁, ветви направлены вверх. Для более точного изображения параболы найдѐм еѐ точки пересечения со старыми осями координат.

С осью Ох: у=0 x² 4x30  x₁ 1, x₂ 3; с осью Оу: х=0 y9 (рисунок 2.4.2).

42 Рисунок 2.4.2

2. Общий случай, когда в уравнении (2.1) присутствует член,

содержащий xy. Преобразованием поворота системы координат на определѐнный угол, добиваемся того, чтобы в новой системе координат в уравнении линии отсутствовал этот член. Практически поступаем так:

рассматриваем квадратичную форму F(x,y) Ax²2BxyCy², составленную из старших членов уравнения (2.1). Изложенным выше методом приводим еѐ к каноническому виду F(x₁,y₁) A₁x₁² B₁y₁². При этом находим ортогональное преобразование, осуществляющее этот переход (оно также будет преобразованием поворота системы). С помощью формул преобразования определяем вид младших членов в новой системе координат.

Таким образом, после поворота системы координат уравнение линии примет вид A₁x₁² B₁y₁² D₁x₁E₁y₁F₁ 0. Дальнейшее преобразование проводим как в случае 1. Подробно рассмотрим этот случай на примере.

Пример 2.4.4 - Приведѐм к каноническому виду уравнение линии

0 51 42 64 11

4x²  xy y² x y  и построим еѐ.

Рассмотрим квадратичную форму F(x,y)4x²24xy11y²,

составленную из старших членов уравнения. Приведѐм еѐ к каноническому виду F(x₁,y₁)20x₁² 5y₁² (см. пример 2.4.1 выше).











 

 5 3 5

4 5

4 5 3

T – матрица ортогонального оператора T~, приводящего квадратичную форму к каноническому виду, а также матрица поворота системы, т.е. Oxy^T^~ Ox₁y₁.















1 1

5 3 5

4 5

4 5 3

y x y

y x

x – формулы преобразования координат при повороте. Итак, старшие члены преобразовались так: 4x² 24xy11y² 20x₁² 5y₁²; младшие –

так: 64x42y51 51

5 3 5 42 4 5

4 5

64 3 ₁ ₁ ₁ ₁



 



 





 



 x  y x y =72x₁ 26y₁51.

В системе Ox₁y₁ уравнение линии примет вид 20x₁² 5y₁² 72x₁ 26y₁ 510. Для дальнейшего упрощения осуществим преобразование параллельного переноса системы координат, для чего дополним члены, содержащие x₁ и y₁

до полного квадрата:

0 51 ) 25 / 169 25 / 169 5

/ 26 (

5 ) 25 / 81 25 / 81 5 / 18 (

20 x₁²  x₁   y₁² y₁    

0 20 ) 5 / 13 ( 5 ) 5 / 9 (

20 x₁ ² y₁ ²  или ^ ^{ } ^ 1 4

6 , 2 1

8 ,

1 ² ₁ ²

1   

 x y . Делаем замену











 6 , 2

8 , 1

1 1

y Y

X (*). Формулы (*) – формулы преобразования координат при параллельном переносе системы координат Ox₁y₁ O₁XY . Точка O₁(1,8;2,6)– новое начало координат. В системе O₁XY уравнение линии имеет канонический вид 1

4 1

2  

 X Y . Это гипербола с мнимой полуосью a1 и действительной полуосью b2.

Чтобы определить угол поворота при переходе Oxy^T^~ Ox₁y₁, рассмотрим базис   e  e₁,e₂ в системе Oxy и базис   e  e₁,e₂, в который он переходит в системе Ox₁y₁. Так как











 



5 3 5

4 5

4 5 3

T - матрица оператора поворота, то образы базисных векторов e₁ и e₂ разлагаются по базису  e так:











 







1 1 2

1 1 1

5 3 5 4

5 4 5 3

e e e

e e

e . Умножив последние равенства на 5, получим векторы OM₁ и

OM2 коллинеарные векторам e₁ и e₂:















1 2 1

1 1 1

3 4

4 3

e e OM

e e

OM . Таким образом, нет необходимости знать угол поворота, достаточно в системе Oxy по векторам

e1 и e₂ построить векторы OM₁ и OM₂ . Эти векторы направлены также как новые оси координат Ox₁ и Oy₁. Для более точного изображения найдѐм точки пересечения со старыми осями координат: с осью Ох: у=0 

0 51 64

4x²  x   x₁ 1, x₂ 15; с осью Оу: х=0  11y² 42y510 

дискриминант D176422440, нет точек пересечения (рисунок 2.4.3).

44 Рисунок 2.4.3

Приложение А Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида z abi

(алгебраическая форма комплексного числа), где a,bR– действительные числа, i  1 – мнимая единица. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются

a Re , bImz. Число z abi называется сопряжѐнным комплексному числу zabi. Будем считать, что

а) abi0 a0,b0; б) abicdi ac,bd .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме Пусть даны два комплексных числа z₁ a₁b₁i и z₂ a₂ b₂i:

а) суммой (знак +) (разностью (знак -)) чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z₁z₂  (a₁a₂)(b₁b₂)i;

б) произведением чисел z₁ и z₂ называется комплексное число



 ₂

1 z

z (a₁a₂b₁b₂)(a₁b₂a₂b₁)i;

в) частным от деления числа z₁ на число z₂ (z₂ 0) называется

комплексное число ⁱ

b a

b a b a b

b b a a z z

2 2 2 2

2 1 1 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1



 



  .

Таким образом, сложение, вычитание и умножение комплексных чисел находится по правилам сложения, вычитания и умножения двучленов вида

a с заменой i² на -1. Деление практически выполняется умножением числителя и знаменателя на число, сопряжѐнное знаменателю:

2 2

2 1 2 1

z z

z z z z



  . Геометрическое изображение комплексного числа

Так как каждому комплексному числу z abi взаимнооднозначно соответствует пара чисел (a,b), а геометрическим образом пары чисел можно считать либо точку на плоскости, либо радиус – вектор этой точки, то комплексное число z abi на плоскости Oxy изображается точкой M с координатами (a,b) или радиус – вектором r OM этой точки (см. рисунок А.1).

Рисунок А.1 Рисунок А.2

Длина вектора OM называется модулем комплексного числа и обозначается r  z . Угол , образованный вектором OM с осью Ox

называется аргументом комплексного числа, обозначается   Argz. Для каждого комплексного числа его модуль определяется однозначно: из треугольника OMN на рисунке А1 имеем z  a² b² . Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2 :

 k z z

Arg arg 2 (k 0,1,2,...), где argz есть главное значение Argz, определяемое условием  argz  (или 0argz2). Главное значение аргумента находят из формул:

, 1 4 ,

arg , 2 ,

, 3 .

arctgb если z или квадрантам a

z arctgb если z квадранту a

arctgb если z квадранту a



 



  

   



Если комплексное число лежит на координатных осях, то модуль и аргумент определяют по его геометрическому изображению.

Пример А.1 - По изображению числа z3i(на рисунке А.2 точка M ) видно, что оно расположено на расстоянии 3 от начала координат, поэтому его модуль равен r  z 3. Угол , образованный вектором OM с осью Ox

равен

2 3

(или

 ), поэтому главное значение аргумента равно

arg 2

  z

или 2 3

Существуют ещѐ две формы комплексных чисел тригонометрическая и показательная. Тригонометрическую форму легко получить, находя из треугольника OMN на рисунке А.1 a и b через r и : arcos, brsin.

Тогда z  abi r(cos



isin



)- тригонометрическая форма.

Используя формулу Эйлера eⁱ^ cosisin, из тригонометрической формы легко получить показательную: r(cosisin)reⁱ^.

Пример А.2 – Найдѐм тригонометрическую и показательную формы комплексного числа z1i 3. a1, b 3, поэтому модуль равен

2 ) 3 ( ) 1

( ² ²

2      

 a b

z . Так как комплексное число расположено в третьем квадранте, то аргумент найдѐм по формуле

1 arg 3



 



 arctg

z  =

3 2 3



  

 . Итак, _



 



 



 







 



 3

sin 2 3

cos 2

2  

z –

тригонометрическая форма комплексного числа, z e ³ⁱ

 

 – показательная форма.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме )

sin

(cos ₁ ₁

1 r  i 

z   и z₂ r₂(cos₂ isin₂), тогда а) z₁z₂ r₁r₂(cos(₁₂)isin(₁₂));

б) ^(cos( ₁ ₂⁾ ^sin( ₁ ₂⁾⁾

2 1 2

1    i  

r r z

z .

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении – модули делятся, аргументы вычитаются.

Чтобы возвести комплексное число z r(cosisin) в n- ю степень, нужно применить правило умножения к этому числу n раз. Получим:

) sin (cosn i n r

zⁿ  ⁿ  - формула Муавра. Заметим, что формула Муавра применима при любом действительном значении n: целом, дробном, положительном, отрицательном.

Полезно знать формулу для степеней мнимой единицы. Так как

0 1

i i¹ i,i² 1, i³ i,i⁴ 1 и дальше значения степеней i повторяются, то имеет место формула i⁴ⁿ^^k i^k, где k может принимать только четыре значения: 0, 1, 2, 3.

Пример А.3 – i²⁴³=

3 60 24

4 243

=i⁴^⁶⁰^³ i³ i.

Корень n– ой степени из комплексного числа zr(cosisin) имеет n

различных значений и находится по формуле

2 2

(cos sin cos sin

n n n k k

z r i r i

n n

   

  ^ ^ ^ ^

     _,^где ^k ^⁰^,¹^,²^,^...,ⁿ^¹^. При дальнейших значениях k значения корня будут повторяться. Эту формулу можно получить из формулы Муавра при дробном показателе. В геометрической интерпретации точки, изображающие ⁿ z , лежат на окружности радиуса ⁿ r с центром в начале координат, и делят еѐ на n

равных частей. Корень n– ой степени из действительного числа z также имеет n различных значений, среди которых будет один, два или ни одного действительного, в зависимости от чѐтности или нечѐтности n и знака z.

Пример А.4 – Найдѐм все значения ³ 8. Приведѐм число z=8 к тригонометрической форме: 88(cos0isin0). Следовательно,

3 8= 



 



 

 

 3

2 sin0 3

2 cos0

2  k

k i , где k 0,1,2. Значения корня равны:

2 ) 0 sin 0 (cos 2

1  k 0   i 

 ;

3 2 1

3 2 2 1 3 ) sin2 3

(cos2 2

2 k 1 i i  i





 











  

 ;

3 2 1

3 2 2 1 3 ) sin4 3

(cos4 2

3 k 2 i i  i





 











  

 .

На рисунке А.3 представлены изображения значений ³ 8.

Рисунок А.3

49 Список литературы

1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. - Мн.: Выш. школа, 1980. – 192 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч.

(Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш.

школа, 2000.-ч.1.-396 с.

4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы, 2003.-686 с.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – Москва: Наука, 1974.- 296с.

6. Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - Мн.: Выш. школа, 1968. – 504 с.

7. Л.Н.Астраханцева, Л.Н.Ким, Байсалова М.Ж. Алгебра и геометрия.

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение). -Алматы: АИЭС, 2006.- 51с.

8. Л.Н.Астраханцева, Байсалова М.Ж. Алгебра и геометрия. Метод.

указания и задания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычисли-тельная техника и программное обеспечение). -Ч.1 -Алматы: АИЭС, 2007.- 26с.

9. Л.Н.Астраханцева, Байсалова М.Ж. Алгебра и геометрия.

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение). -Ч.2 –Алматы: АИЭС, 2007.- 30с.

10. Л.Н.Астраханцева, Байсалова М.Ж. Алгебра и геометрия.

50 Содержание

1 Элементы линейной и векторной алгебры

1.1 Лекция 1. Матрицы. Определители ………...3 1.2 Лекция 2. Скалярное, векторное и смешанное произведения

векторов………..9 1.3 Лекция 3. Системы линейных уравнений………..……….. …15 1.4 Лекция 4. Линейные операторы……….19 1.5 Лекция 5. Собственные векторы и собственные значения

линейных операторов ………...………23 2 Элементы аналитической геометрии

2.1 Лекция 6. Плоскость. Прямая на плоскости и в

пространстве………..…26 2.2 Лекция 7. Кривые второго порядка………. .31 2.3 Лекция 8. Поверхности второго порядка……….34 2.4 Лекция 9. Квадратичные формы. Геометрические приложения квадратичных форм..………38

Приложение А Комплексные числа……….44 Список литературы...48

Dalam dokumen (1)1 АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальностей 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение, 050703 – Информационные системы Алматы 2010 (2)2 СОСТАВИТЕЛЬ: Л.Н (Halaman 34-51)