1
АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Конспект лекций
для студентов всех форм обучения специальностей
050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение, 050703 – Информационные системы
Алматы 2010
2
СОСТАВИТЕЛЬ: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Алгебра и геометрия. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальностей5В0704 – Вычислительная техника и программное обеспечение, 5В0703 – Информационные системы. – Алматы: АИЭС, 2010.- 48 с.
Лекции включают два раздела, традиционно изучаемые в курсе алгебры и геометрии: элементы линейной и векторной алгебры и элементы аналитической геометрии. Содержание разделов взаимно связано друг с другом. В доступной форме изложены основные теоретические сведения, приведены примеры и решѐнные задачи, помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал. Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения специальностей 5В0704 – вычислительная техника и программное обеспечение и 5В0703 – информационные системы.
Рецензент: канд. физ.-мат. наук, проф. С.Е. Базарбаева.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский институт энергетики и связи» на 2010 г.
НАО «Алматинский институт энергетики и связи», 2010 г.
3
1 Элементы линейной и векторной алгебры 1.1 Лекция 1. Матрицы. Определители
Содержание лекции: матрицы, действия над ними. Определители.
Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Цели лекции: ввести новые понятия, изучить операции над матрицами.
Определение. Матрицей размером mn называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. Обозначается
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
или A
aij , i1,2,...m, j1,2,...n. Числа aij называются элементами матрицы. Индексы элемента указывают его положение в матрице: первый – номер строки, на которой расположен данный элемент, второй – номер столбца.Некоторые виды матриц:
а) матрица – строка или столбец, например, Bb1 b2 ... bm или
an
a a A ...
2 1
; б) матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, обозначается 0;
в) любое число можно рассматривать как матрицу размером 11 и отождествлять с ней, например, 2=(2);
г) матрица размером mn (mn) называется прямоугольной; если m=n, то матрица
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
квадратная и n еѐ порядок; a11,a22,...,ann – элементы главной диагонали, an1,...,a1n – элементы побочной диагонали;
д) квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы главной диагонали, называется диагональной; диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, называется единичной, обозначается
1 0
0
0 1
0
0 0
1
E .
Транспонированием матрицы называется замена строк столбцами с сохранением их номеров. Матрица
mn n
n
m m T
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
12
1 21
11
– это матрица транспонированная по отношению к матрице A.
4 Операции над матрицами:
а) сложение, вычитание: AB
aij bij
, где A
aij , B
bij , i1,2,...,m, nj1,2,..., ;
б) умножение на число: kA
kaij
, где k- число, A
aij , i1,2,...,m, nj1,2,..., ;
в) умножение матриц: ABC cik , где A
aij , B
bjk ,1 1 2 2
ik i k i k in nk
c a b a b a b , i1,2,...,m, j1,2,...,n, k 1,2,...,p. Таким образом, произведение матриц возможно, только если число столбцов матрицы A
равно числу строк матрицы B. В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. AB BA.
Пример 1.1.1. Найдѐм произведение матриц
4 0 1
3 2
A 1 и
1
2 5
B . Их
размеры:A23, B31. Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B
(равно 3), поэтому произведение AB возможно (произведение BA
невозможно). В произведении AB получим матрицу C, число строк которой равно числу строк матрицы A, число столбцов равно числу столбцов
матрицы B, т.е. C21. Итак,
1 4 1 4 ) 2 ( 0 5 ) 1 (
1 3 ) 2 ( 2 5 1 1
2 5 4 0 1
3 2
C 1 .
Определители
Каждой квадратной матрице отвечает число, называемое
определителем. Определитель второго порядка, отвечающий матрице
22 21
12 11
a a
a
A a , есть число, обозначаемое и вычисляемое так:
21 12 22 11 22 21
12
11 a a a a
a a
a
a
. Определитель третьего порядка, отвечающий матрице
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A , есть число, обозначаемое и вычисляемое так:
11 22 33 12 23 31 13 21 32
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
32 23 11 33 21 12 31 22
13a a a a a a a a
a .
Правило, по которому вычислен определитель третьего порядка, называют правилом треугольника. По этому правилу члены со знаком плюс вычисляются по схеме
, со знаком минус -
.
Определение. Минором элемента aij называется определитель,
5
полученный из данного определителя, вычѐркиванием i–ой строки и j–го столбца, обозначается Mij; алгебраическим дополнением этого элемента (обозначается Aij) называется Aij (1)ijMij.
Пример 1.1.2 - Минором элемента a21 4 определителя
8 2 0
5 1 4
4 3 7
будет 32
8 2
4 3
21
M ; его алгебраическим дополнением - A21(1)21M2132. Свойства определителей
1 Если заменить строки столбцами, то величина определителя не изменится ( т.е. определитель не меняется при транспонировании).
2 Если поменять местами две строки (столбца) в определителе, то определитель меняет знак.
3 Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) есть нули, то определитель равен нулю.
4 Определитель, имеющий две одинаковых строки (столбца), равен нулю.
5 Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6 Определитель, имеющий две пропорциональных строки (столбца), равен нулю.
7 Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представляют собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у которых вместо элементов этой строки (столбца) стоят эти слагаемые:
2 21
1 11 2 21
1 11 2 2 21
1 1 11
c a
c a b a
b a c b a
c b
a
.
8 Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.
9 Разложение определителя по строке (столбцу): Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например,
22 22 21 21 22 21
12
11 a A a A
a a
a
a –разложение по второй строке;
21 21 11 11 22 21
12
11 a A a A
a a
a
a – разложение по первому столбцу.
Вычислять определители можно, используя девятое свойство определителей: a1jA1j a2jA2j a3jA3j,(j1,2,3)- разложение по j–му
столбцу или ai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3,(i1,2,3)- разложение по i-ой строке.
Определитель n – го порядка, отвечающий матрице
6
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
, обозначают и вычисляют так:
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
=
= ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin– разложение по i-ой строке или
jn jn j
j j
j A a A a A
a
1 1 2 2 – разложение по j–му столбцу.
Свойства определителей, записанные выше для определителей второго порядка, верны для определителей любого порядка.
Пример 1.1.3 – Вычислим определитель
3 2 2 3
0 1 2 4
1 3 2 1
2 1 3 2
.
Определитель порядка больше третьего можно вычислить, либо сразу разлагая по какой-то строке или столбцу, либо вначале, используя свойство 8, получить в некоторой строке (или столбце) все нули, кроме одного, а затем разлагать по этой строке. Второе предпочтительней, т.к. в разложении остаѐтся только одно слагаемое.
Получим, например, нули в третьей строке, для этого умножим третий столбец сначала на (-4) и прибавим к первому, затем на 2 и прибавим ко второму:
3 2 6 5
0 1 0 0
1 3 4 13
2 1 1 6
. Теперь разложим определитель по третьей строке
3 6 5
1 4 13
2 1 6 ) 1 (
1 3 3
6(4)311(5)1362(5)(4)2
36 6 1 6 3 1
13
.
Определение. Матрица A1 называется обратной по отношению к матрице A, если AA1 A1AE, где E единичная матрица.
1
A существует, если A квадратная матрица и еѐ определитель A не равен нулю. Формула для вычисления:
A A A
1 , где
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A A
2 1
2 22
12
1 21
11
– присоединѐнная матрица, Aij– алгебраические дополнения элементов aij.
Пример 1.1.4 – Найдѐм обратную матрицу для матрицы
4 1 2
1 1 2
0 1 3
A .
Вычислим определитель матрицы A=5. Так как определитель не равен нулю, то обратная матрица существует. Найдѐм алгебраические дополнения всех
7
элементов матрицы: 5
4 1
1 ) 1 1 ( 1 1
11
A ; 4
4 1
0 ) 1
1 ( 2 1
21
A ; A31 1; A12 10;
22 12
A ; A32 3; A13 0; A23 1; A33 1. Таким образом,
1 1 0
3 12 10
1 4 5 5
1 1
A =
5 / 1 5 / 1 0
5 / 3 5 / 12 2
5 / 1 5 / 4
1 .
Минор к-го порядка матрицы – это определитель, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении произвольных к строк и к столбцов. Доказано, что если все миноры к-го порядка равны нулю, то миноры (к+j)-го порядка (т.е. большего порядка) также равны нулю.
Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков еѐ отличных от нуля миноров. Ранг матрицы A обозначается r или rA.
Методы вычисления ранга:
1 Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице А найден минор к-го порядка не равный нулю, Mk 0. Рассмотрим все миноры к+1-го порядка, окаймляющие его (т.е. содержащие в себе). Если все они равны нулю, то ранг равен к ( rA k). Если какой-то минор Mk1 0, то для него вся процедура повторяется.
2 Метод элементарных преобразований Определения:
а) элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) умножение всех элементов строки (столбца) на не равное нулю число;
2) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;
3) перестановка местами строк (столбцов);
б) матрицы A и B, полученные одна из другой с помощью
элементарных преобразований, называются эквивалентными, обозначается
B A~ .
Теорема. Ранги эквивалентных матриц равны (или ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях).
Метод элементарных преобразований базируется на выше приведѐнной теореме. С помощью элементарных преобразований матрица A приводится к ступенчатому виду:
0 0 0 0 0
...
0 0
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
~
2 22
1 12
11
rn rr
n n
b b
b b
b b
b
B
A . В матрице B r ненулевых
строк и существует минор r - го порядка не равный нулю: 0 ...
0
...
...
...
... 1
11
rr r
b b b
. Все миноры больших, чем r порядков равны нулю, так как содержат нулевые строки. Таким образом, rB rA r.
8
Пример 1.1.5 - Вычислим ранг матрицы 24 2 51 3 12 47
2 1 1 8 2
A
а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований.
а) начнем с левого верхнего угла. Минор второго порядка
2
2 1
4 2 0
M
, поэтому возьмем другой 2 1 3 1 0 M 2 5
. Рассмотрим миноры третьего порядка окаймляющиеM2 (т.е. содержащие в себе M2):
3 3 3
2 1 3 1 3 2 1 3 4
4 2 5 0, 2 5 1 0, 2 5 7 0
2 1 1 1 1 8 1 1 2
M M M
.Так как все они равны нулю, то ранг матрицы равен 2. Не равный нулю минор, порядок которого равен рангу, называется базисным. Итак, базисный минор 2 1 3
2 5
M
;
б) с помощью элементарных преобразований будем приводить матрицу к ступенчатому виду:
2 10 2 0 0
1 5 1 0 0
4 2 3 1 2
~ 2 8 1 1 2
7 1 5 2 4
4 2 3 1 2
0 0 0 0 0
1 5 1 0 0
4 2 3 1 2
~ B. На первом шаге первая строка была умножена на (-2) и прибавлена ко второй, затем умножена на (-1) и прибавлена к третьей, получены нули в первом столбце ниже первой строки. На втором шаге вторую строку умножили на (-2) и прибавили к третьей. Получена ступенчатая матрица B. В ней две ненулевые строки или существует минор второго порядка не равный нулю, например,
2
1 3 0 1 0
M
. Поэтому rB 2. Так как матрицы A и B эквивалентны, то их ранги равны rArB2. За базисный минор можно взять 2 1 3
0 1
M
.
9
1.2 Лекция 2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Содержание лекции: основные определения векторной алгебры, понятие о линейном пространстве, операции над векторами.
Цели лекции: знакомство с основными понятиями векторной алгебры и их приложениями.
Вектор- это направленный отрезок или упорядоченная пара точек.
Обозначается a, AB (A и B начало и конец вектора). Длиной или модулем вектора (обозначается AB, a ) называется расстояние между его началом и концом. Если векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то они называются коллинеарными; если лежат на одной плоскости или параллельных плоскостях, то – компланарными. Если a и b коллинеарны, то будем обозначать a b, если коллинеарны и одинаково направлены, то -
a
b ; если коллинеарны и противоположно направлены, то - b a . Линейные операции над векторами:
а) умножение на число: b a тогда и только тогда, когда 1) b a ;
2) a b;
3) b a, если 0, b a, если 0;
б) сложение: суммой векторов называется вектор, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого из последующих совпадает с концом предыдущего. Он направлен из начала первого в конец последнего. Два вектора можно сложить также по правилу параллелограмма: векторы a и b приводим к общему началу О (a OA,b OB на рисунке 1.2.1), строим параллелограмм OACB. Тогда
OC OC b
a , – диагональ параллелограмма, вторая диагональ равна разности векторов ab BA (для вычитания складываем векторы a и –b по правилу параллелограмма).
Рисунок 1.2.1 Свойства линейных операций:
а) для любых чисел и и вектора a выполняется (a)()a; б) пусть a 0, тогда для любого вектора b , такого, что a b,
существует единственное число , что b a.
10
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Всякий вектор a можно выразить через единичный вектор того же направления или орт вектора a (обозначается a0): a a0a .
Понятие о линейных (векторных) пространствах.
Определение. Линейным (векторным) пространством называется множество V элементов x,y,z,... любой природы, для которых определены операции сложения xyV и умножения на число xV (R, R – множество действительных чисел) удовлетворяющие следующим аксиомам:
а)xy yx;
б) (x y)z x(yz); в) x0 x;
г)x(x)0; д)1x x;
е) (x)()x;
ж) (xy) xy;
и)()xxx; x,y,zV,,R.
Элементы линейных пространств принято называть векторами.
П р и м е ч а н и е - Если числа, на которые умножаются элементы линейного пространства, только действительные, то пространство называется вещественным (или действительным) линейным пространством; если комплексные, то – комплексным линейным пространством (о комплексных числах см. приложение А).
Определение. Векторы x1,x2,...,xn называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1,2,...,n, не все одновременно равные нулю, что выполняется условие 1x12x2nxn 0 (*); эти векторы называются линейно независимыми, если равенство (*) выполняется только когда все коэффициенты 1 2 ...n 0.
Если в пространстве V существует n линейно независимых векторов, а любая система n+1 векторов линейно зависима, то n называют размерностью пространства V . Базисом n-мерного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.
Любой вектор линейного пространства может быть разложен по базису, т.е.
представлен в виде x1e12e2nen(x называется также линейной комбинацией векторов e1,e2,,en), где e1,e2,,en - базис, 1,2,,n- координаты вектора в этом базисе (вектор записывают такжеx(1,2,...,n)).
Множества векторов, как направленных отрезков плоскости или пространства, образуют линейные пространства. Эти пространства обозначают V2 или V3; если элементами линейного пространства являются векторы, как пары или тройки чисел, то эти линейные пространства
