PDF Б. М. Левитан, М. Отелбаев

1 9 8 1 г. —ТРУДЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА Т О М 42

УДК 517.947,537

ОБ У С Л О В И Я Х С А М О С О П Р Я Ж Е Н Н О С Т И О П Е Р А Т О Р О В Ш Р Е Д И Н Г Е Р А И Д И Р А К А

Б. М. Левитан, М. Отелбаев

Введение

В этой статье рассматривается вопрос о максимальной диссипатив- ности операторов Шредингера и Дирака, потенциалы которых являются операторными функциями. Достаточно полный обзор литературы, по­

священной рассматриваемым нами вопросам, можно найти в [1-г4]. Ос­

новные результаты — теоремы 1 и 6, которые доказываются в § 1 и 3 настоящей работы. В § 2, 4, 5 и 6 выводятся следствия из этих теорем.

В § 1 мы рассматриваем оператор

Lu = Bu(t)+Q(t)U(t)^f t£Rⁿ, (0.1)

где u(t]—функция со значениями в гильбертовом пространстве Н\

Q={Q(t)} —семейство максимально диссипативных операторов B=B0 + iBl-±-+iB1-^- + . . . + Яп-£-, В, = В},

Ц Я / К С

( / = 1 , 2, л ) , i²= — 1; Во — максимально диссипативный оператор.

Теорема 1 устанавливает, что если к а ж д а я точка ц б ^ * имеет такую окрестность Uni что оператор Ьци ==Ви+%n(t)Q(t)u макси­

мально диссипативен, то сам оператор L максимально диссипативен.

Здесь %п — характеристическая функция Ur\.

Теорема такого характера (по-видимому, впервые) была получена одним из авторов в работе [1]. Из теоремы 1 сразу следует, что если се­

мейство операторов {Q{t)} ограничено в каждом компакте, то опера­

тор L максимально диссипативен. Последний факт для одномерной си­

стемы Д и р а к а впервые был замечен первым автором [5, с. 630]. Теоре­

ма 2 § 1 по существу является следствием теоремы 1.

В § 2 с помощью теорем 1 и 2 устанавливаются некоторые утверж­

дения (см. теоремы 3—5, следствия 2.1 и 2.2), условия которых даются явно. Главные результаты § 2 сформулированы в терминах емкости Рисса, а их следствия — в терминах близкой терминологии Като [6].

В § 3 мы доказываем теорему о локализации (теорема 6) для оператора Шредингера с операторным потенциалом. В случае, когда семейство Q = { Q ( 0 } — семейство максимально диссипативных опера­

торов с постоянной областью определения, теорема о локализации была

*

установлена в [1]. В [7] Ю. Б. Орочко в скалярном случае установил близкую по смыслу теорему.

В § 4, применяя теорему о локализации, мы обобщаем одну ин­

тересную теорему Като [6] (см. также [8]) о самосопряженности опе­

ратора Шредингера, потенциал которого суммируем с квадратом в к а ж ­ дом компакте. Мы полностью снимаем одно из нелокальных условий, а локальные условия существенно ослабляем (см. теорему 8 ) .

В § 5 мы рассматриваем операторы высокого порядка с финитны­

ми потенциалами и указываем (в терминах емкости Рисса) условия их максимальной диссипативности.

В § 6 на основании теоремы 1 получаем некоторые достаточные ус­

ловия самосопряженности оператора Дирака с сингулярным потенциа­

лом, которые обобщают известные результаты Шминке [4] о существен­

ной самосопряженности.

§ 1. Теорема о локализации

Напомним, что линейный оператор А называется диссипативным [9, с. 188], если

1т(Аи, и)>0 для всякого u£D(A), где £>(•) — о б л а с т ь определения.

Диссипативный оператор А называется максимально диссипатив­

ным [9, с. 188], если A + iE имеет ограниченный обратный, определен­

ный во всем пространстве. Симметрический оператор всегда диссипати­

вен и является максимально диссипативным, если он самосопряжен.

Пусть Rn, д-мерное евклидово пространство, # —некоторое сепера- бельное гильбертово пространство. Обозначим через Н' пополнение Со (Н) — множества бесконечно гладких финитных вектор-функций со значениями в Н по норме, соответствующей скалярному произведению

<У, §> = <У> 8>н'= f Of(0, 8®)нМ = J ft,(0, g(t))dt. (1.1)

Предположим, что Q = {Q — семейство максимально дисси­

пативных операторов, определенных при каждом t£Rⁿ в Н. Через Со° (Q, Н) обозначим подмножество Со°(#), состоящее из тех век­

тор-функций u(t)£Co(H), для которых выполняются условия:

для любого | а | < оо, EFu (t) £ D (Q (t)) и

J (11 /Уа (О I & + IIQ (01Л:(0||2г) Л оо, где a = ( a i , o&2, an) —целый неотрицательный вектор

D =

^:

—, |a = o i + . . . + a

ⁿ

.

В дальнейшем всюду будем считать, что выполнено

П р е д п о л о ж е н и е 1. Множество CS°(Q, Н) непусто и плотно в функции Q(t)ф(/) измеримы (в смысле Бохнера) для любой

ф(0€со°(<2, Н).

Рассмотрим теперь оператор L⁰, определенный на С~ (Q, Н) ра­

венством

L⁰u = Bu + Q(t)u⁹ (1,2)

144 Б. М. ЛЕВИТАН, М. ОТЕЛБАЕВ где

а*1 dt² dtⁿ

t= (t^u t%, tⁿ)\ B⁰ — максимально диссипативен; Co°(Q, H)^D(B⁰);

Bj — ограниченные самосопряженные в Я операторы ( / = 1 , 2 , п).

Через L обозначим замыкание оператора L⁰. Очевидно, что L — дисси- пативный оператор.

Пусть Q — любое * компактное множество в Rⁿ. Обозначим через

QQ = { Q Q ( 0 } ^ « семейство максимально диссипативных операторов та­

ких, что Q Q (t)=Q(t) при t<=Q и Q Q ( / ) = 0 при i е й .

Т е о р е м а 1 (о локализации). Оператор L максимально диссипа­

тивен, если выполняются условия:

а) замыкание В — самосопряженный оператор;

б) у любой точки r\£Rⁿ существует ограниченная окрестность Qrj такая, что замыкание оператора ^Ъ^цс> определенного на Co°(Q, Я) равенством

— максимально диссипативный оператор.

Д л я доказательства теоремы нам потребуется

Л е м м а 1 . 1 . Пусть существует последовательность компактных множеств {Q^{1))°jL\, такая, что

I) Q^U)^s^I0Ж{xeRⁿ:\x\<jh

2) замыкание Lj оператора L/,o, определенного на Co°(Q, Я) равенством

L;,oU = Bu + Q^QU) (f)U, максимально диссипативен:

Тогда оператор L максимально диссипативен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оператор L диссипативен. Поэтому

| <(L +iE) и, и)) | > | Im {(L+iE) ^ъ и)\>\\и Ц*,,, Р = —1.

Отсюда следует, что для доказательства существования ( L - Ц ' Е ) "¹, оп­

ределенного на всем Я⁷, достаточно доказать, что область значения опе­

ратора L + iE плотна в Я⁷.

Пусть / 6 ^ 0 ° ( Я ) . При / > / ( / ) б у д е м иметь, что s u p p / ^ S y = {x£Rⁿ:\x\< /} s Q^{( /}\ Обозначим

где $(t)eCo(Rⁿ), = l при \t\<-y и г|?(О = 0 при | i| > l .

Вектор-функция принадлежит области определения операто­

ра L. Действительно, так как Lj + iE—максимально диссипативный оператор, найдется последовательность {gjk}k>i такая, что

g.keCZ(Q,H)t (Li + iE)gftk^f, gj,k^fr (1.3) Очевидно, что

eC⁰~(Q, Я ) , ъ%В,.^к1£+Ш (1-4)

Далее,

П

% (Li + iE) g^hk -М V ] ( J L * , ) B^{i S h k}. (1.5) - '/=1

По предположению Bj— ограниченные операторы, поэтому из (1.3) — (1.5) получаем

п

7=1

Отсюда и из (1.4) следует, что

п

%// 6 D (L) и [L + iE)^f + i ^ ( ^ ^Btfj. (1.6)

Из диссипативности Lj вытекает

! | / / l k = ll(b/ + t £ ) -¹/ . ' l k < l l / l l / / ' .

Следовательно,

Е 0 £ - - о .

Отсюда и из (1.6) находим

% / / € £ > ( £ ) , (L + ^ ) % /^{/ 7}^ - / .

Это, так как f — любой элемент из CS° (Я) и С<г. (я) плотно в Я⁷, до­

казывает, что область значений оператора L + iE плотна в Я. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 1. Д л я любой точки y\^SN =

= {х 6 Rⁿ : | х | < JV} построим окрестность £ \ так, чтобы замыкание оператора q, определенного на Gg°(Q, Я) равенством

Ч , , о

^{м = = в}

"

⁺

V

⁰

" '

^{( 1 J )}

был максимально диссипативным. Это по условию теоремы возможно.

Из семейства { Q r \ } выберем конечное число окрестностей Q^b Q2, • fife-i, объединение которых содержит SN9 И присоединим к этой системе окрестностей еще одну «окрестность» Qh = Rn\sx. Построим две си­

стемы функций (ф/}/=1 и {%}/=i так, чтобы выполнялись условия

2

k ^{Ф/ (*) = 1 НА Ф/% = Ф/> IФ/1 < с, (1.8)} 7=1

i / e c^{0 0}^ / ) ,

suppleц.

10 Зак. 1272

146 Б. М. ЛЕВИТАН, М. ОТЁЛБАЕВ

Условимся считать, что L^{f i} = В (напомним, что при j<k — замыкание оператора Ви+ Q&^k(t)11).

Пусть теперь Я > 0 и / е Я ' . Д л я любого j^k имеем

%(^. + ^ Г¹ <PjfeD(L^SN). (1.9)

Это доказывается так же, как и (1.6). Используя (1.9) и (1.8), будем иметь

(L^SN + u£ ) % ( L^g. + Ш ? )^-' ^{Ф /}/ = ( / ^ - b a C )^%( L^{r j}. ⁺ ШГ)-' ^{Ф /}/ = .

= ( Ф// + i

J]

^{» , ) В*} ( 1 д . + НЕ ) - i ^{Ф /}/ .

Сложив эти равенства по всем / = 1 , k и учитывая (1.8), получим

£ /г

(1Л0)

Оценим норму оператора М%\

\\т\<с

sup | | ( L^{S !} + i A J S ) - 4 | <

/ = 1 , 2 , . . . ,& 1 J "

С

Отсюда следует, что если Я > 1 , то Е+М% будет обратимым операто­

ром. Возьмем Х>0 достаточно большим, так, чтобы

\\(Е + М^к)"¹1|<100.

Пусть g— любой элемент Я ' . Выберем в равенстве (1.10) элемент / из условия (E + Mb.)f = g: Это в силу || (Е + Мь )^{_ 1}Ц<-100 возможно.

Поэтому из (1.10) вытекает, что при достаточно больших положитель­

ных X область значений оператора L^SN + tXE плотна в Я .

Следовательно, L^SN-\-iXE имеет ограниченный обратный, если Х^>1. Теперь, пользуясь известным тождеством Гильберта и диссипа- тивностью Ls^Nt получаем, что L^SN-\-i%E имеет ограниченный об­

ратный для любого Х>0. Поэтому Ls^N максимально диссипативен.

Это и лемма 1.1 завершают доказательство теоремы 1.

Т е о р е м а 2. Пусть выполнены следующие условия: \) Q*(t) =

= Q{t) для любого t^Rⁿ\ 2) В = В*; 3) у любой точки 4\(zRⁿ суще­

ствует такая ограниченная окрестность что замыкание .-Lg опе­

ратора ^Q, определенного на Cg°(Q, Я) равенством есть самосопряженный оператор.

Тогда оператор L самосопряжен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оператор L является симметрическим. Д л я того чтобы показать, что L = L*, достаточно доказать, что области зна­

чений операторов L + iE и —L-\-iE плотны в Н', т. е. максимальную диссипативность операторов L и — L . Так как = Ь$^ц, то, очевидно, операторы и — Ь§ максимально диссипативны. Поэтому по тео­

реме 1 операторы L и —L максимально диссипативны. Теорема дока­

зана.

З а м е ч а н и е 1 Л. В формулировках теорем 1 и 2 мы пользовались нулевым продолжением семейства {Q(t)}. На самом деле можно взять любые продолжения, и теоремы сохраняются.

§ 2. Достаточные условия максимальной диссипативности операторов первого порядка

В этом параграфе мы будем предполагать, что оператор

B = B⁰ + iB¹-^- + iB^{dxi dx2}-^+ . . .+iB^{2 dxn д n} где Во — максимально диссипативный оператор, Bj(j=l, п) —самосо­

пряженные ограниченные операторы, удовлетворяют условиям:

(2.1) замыкание (которое обозначим также буквой В) в простран­

стве Я ' оператора £ , определенного л а множестве финитных бесконеч­

но гладких вектор-функций, есть самосопряженный оператор.

(2.II) оператор (B + iE)-¹ интегральный и имеет операторное ядро В(х, у), которое является п р и ' я , y^Rn и хфу ограниченным опера­

тором из Я в Я , удовлетворяющим оценке

( (\х — у\ + 1)-п-1\у — х\-^П+1

притг>1,

||В (х, y)\\h-+h < c o n s t . , ^л 1

' \(\х-у\ + 1)-*\х-у\-*,

0 < 9 < ^ - при п=1.

Этим условиям, когда Я четырехмерно, удовлетворяет дифференциаль­

ная часть обычного оператора Дирака.

Напомним, что функция

{Rmf){x)=^^X-y\^m-ⁿf{y)M

где 0 < т < я , называется потенциалом Рисса порядка т.

Емкость Рисса порядка т степени р(тр<п) определяется равен­

ством

7 ?^M,^P( £ ) = inf

{H/II?

:feL+(Rn) и (RJ)(x)>

1

^на

К]

для любого компактного множества K^Rⁿ. Здесь « + » означает не­

отрицательные элементы L^P(Rⁿ).

Нам понадобится следующая

Т е о р е м а А д а м с а . Пусть 0<тр<п, 1 < р < о о и г(х) — неотри­

цательная измеримая функция. Тогда следующие утверждения эквива­

лентны: • . . ' •

а) Л? = sup 11 г (х) (i?^m/) (л:) ||^ ⁽^^} || / , б)А^р2= sup (Ur(x)\t>dx)R-]p(k)<oo-

в) А³ = sup || (R^m%^krP) (х) \\^{L {Rn)} ( j r (xydx) P < o o - L + J - = l.

Здесь и в дальнейшем {/(}-—совокупность всех компактов в Rn, %к — характеристическая функция К. При этом Aj удовлетворяют неравен­

ствам

^ 2 < 4 i < M i >

^Аг<СсАъ (с не зависит

от

г{х)).

10*

148 Б. А1 ЛЕВИТАН, М. ОТЕЛ БАЕВ

Этот результат является следствием более общей теоремы 4 Адамса из [10].

Т е о р е м а 3*. Пусть я > 2 , Q = {Q(t)} — семейство диссипативных операторов и пусть выполнены условия предположения 1 § 1 и сформу­

лированные выше условия (2.1) и (2.II).

Тогда оператор L максимально диссипативен, если у любой точки r\^Rn найдется такая окрестность Uц , что

l%4(t)\\Q(f)\\2Hdt<eRU2(k) (2.1) для всех К^{К}, где %^п (t) —характеристическая функция множества

Ur\ , е — достаточно малое число, зависящее только от п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оценим норму оператора %i\(t)Q(t) (£+

+ iE)~l в пространстве Я ' .

Пользуясь условиями (2.1), (2.II), имеем

II ^lrft (В + ||² < sup_ 11| Х ц (t)Q(t) \\% • || j* В (t, у) f(y) dyf^H At <

< c sup j I I( 0Q( 0 j|^r( J 1^ — 1 / 1 | /

11д1#'=1

Отсюда и из теоремы Адамса вытекает

\\%nQ(B + iE)-if^c sup ($Mt)\\Q(t)\\2Hdt)RTMk).

Если в (2.1) число е таково, что сг < то последнее неравенство дает \\%ⁿQ{B + Щ~¹1| < - j - . Из этого неравенства обычными прие­

мами теорий возмущения получаем, что оператор Lⁿ , соответствующий потенциалу {%r\(t)Q(t)}, максимально диссипативен. А отсюда и из теоремы 1 следует теорема 3.

З а м е ч а н и е 2.1. Если п=\, то оператор L будет максимально диссипативен, если || Q (Ojl^ суммируема в каждом компакте. Это за­

мечание доказывается, как и теорема 3, однако в том месте, где мы пользовались теоремой Адамса, следует воспользоваться тем, что опе­

ратор с ядром (\х — у)+ I )^{- 2} \х — у | ~^е, 0 < 0^< - i -^f непрерывен из L²(R^/) в пространство непрерывных функций.

Т е о р е м а 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и Q = {Q(t)} — семейство самосопряженных операторов. Тогда если у любой точки i\^:Rn найдется окрестность , для которой выполняется (2.1), то Ь =

= L*. Эта теорема выводится из теоремы 2 так же, как выводилась тео­

рема 3 из теоремы 1.

Справедлив т а к ж е аналог замечания 2.1.

В дальнейшем, всюду в этом параграфе, мы не будем отдельно фор­

мулировать теоремы, относящиеся к случаю, когда Q = {Q(t)} — се­

мейство самосопряженных операторов, ибо во всех наших утверждениях слова «максимально диссипативен» можно заменить на слово «самосо­

пряжен».

Т е о р е м а 5. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда опера­

тор L максимально диссипативен, если у любой точки y\^Rn найдется окрестность Uⁿ, для которой

* В случае п—3, d i m H = 4 , Q(t)=Q*(t) близкий по смыслу результат был сооб­

щен Мынбаевым на.Советско-Чехословацком совещании (г. Алма-Ата, октябрь 1976 г.).

J JIi/ — ^/i I

²

""" I! Q (i/) !!

²

IIQ (i/i) II

²

d^dr/ < ejIIQ (r/) |P ф (2.2)

для всех компактов К^17ц, е— достаточно малое число >0, завися­

щее только от п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Это теорема доказывается так же, как и тео­

рема 3, и на основании теоремы Адамса сводится к проверке условия

:blMti\\<iMU>

J ( | / ? i X , | | Q ( - y № l²d A : (2.3) для всех компактов k, где ei — достаточно малое число > 0 . Преобра­

зуем правую часть (2.3):

JI

(Ri%k W'Q( № = Л I

Г* -

у t"% ^h(y)JQ (у)

| |

²

ф № =

= Ш | * -

Уг

j

^{1 -}

* I

х - у

I

¹

""X

^k (^У1) %к (У)

IIQ

(Уг)

||

²

1|

Q (у) ||² dy.dydx.

Переставив порядки интегрирования и используя формулу композиции Рисса:

J I У - г t"\у - х \

¹

~

^п

dy -[constJ z - x |

²

-",

получим

J

KfliXfc Ш-)

II

²

)

^(x)

I

²

dx = const J Л1

^Q(yi) \Hm \?ЫУ1)%М)\У-Уг fdydy,.

К ^К

Это равенство показывает, что (2.3) является следствием (2.2). Теоре­

ма 5 доказана.

С л е д с т в и е 2.1. Если п>2 и

Ш J | ^ - t / ] |²-ⁿ| r Q ( ^ ) l l²d t / ^ 0 (2.4)

r_ 0 \x-y\<r

равномерно по х в любом компакте KczR^ny то оператор L максимально диссипативен. ^}

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 5 достаточно показать, что для любой точки r j ^ Rⁿн а й д е т с я окрестность , такая, что неравен­

ство

^\y-yif~ⁿ\\Q{ynQ(.yi)\?d^yidy<^\\Q{y)fdy (2.5) К К к

выполняется для любого компакта К^Л^ , где е — некоторое фиксиро­

ванное достаточно малое число.

Пусть r)<=Rⁿ и (7т, э т ] . Имеем

J Jl^-^l

²

"

ⁿ

IIQ(^)ll

²

IIQ(^)ll

²

%i^<

К К

< $\\Q(y)\\4$ \ У-Уг \²~^П IIQ (Уг) ||² *Уг) Ау.

к ^иц

Возьмем достаточно малую окрестность точки т ) е / ?^п- и , воспользо­

вавшись условием (2.4), получаем (2.5). Следствие 2.1 доказано.

Из доказательства следствия 2.1 видно, что на самом деле доказа­

но более сильное утверждение:

С л е д с т в и е 2.2. Пусть я > 2 , L максимально диссипативен, если у любой точки v\^Rⁿ найдется окрестность /7п такая, что

sup J I л: — г / Н Q

где е — достаточно малое положительное число, зависящее только от п.

150 Б. М. ЛЕВИТАН, М. ОТЕЛБАЕВ

§ 3. Об условиях самосопряженности оператора Шредингера В этом параграфе изучим оператор Шредингера

Lu=—Au + Q(t)uy

teR

ⁿ

,

(3.1)

где А — оператор Лапласа Q = {Q {t)}^t^^Rfl — семейство максималь­

но диссипативных операторов, определенных в сепарабельном гильбер­

товом пространстве Я. Оператор L будем рассматривать в гильбертовом пространстве Я⁷ со скалярным произведением (1.1), Всюду в этом пара­

графе будем считать, что выполнено предположение 1 из § 1.

Основным результатом этого параграфа является теорема 6 о ло­

кализации. Такую теорему в случае оператора Шредингера не удается установить, пользуясь только предположением 1 из § 1. Это вызвано тем, что коммутатор оператора Лапласа с оператором умножения на функцию не является оператором нулевого порядка.

П р е д п о л о ж е н и е 2. Существуют последовательности непересе­

кающихся колец

b^k={xeRⁿ:r^k-8^k<\x\<r^k + 8^k} положительных чисел {y^k} и число р е (0, 1) такие, что

а) если и£С°° (Q, Я) и supp и (t) cz A^{F E}, то

Re<— рАи + Qu^y и)^н> + Im(Qu, a ) ^w > —c⁰y^k(u, и),

где Im и Re означают соответственно мнимую и действительную части;

о о

б) ряд ]•] 8^k расходящийся и 2 < Y^fe < с^х8й , k = 1, 2, . ... .

П р е д п о л о ж е н и е 3. Д л я любой точки x⁰£Rⁿ .найдутся от­

крытая окрестность A = A(JC⁰), содержащая х⁰, и положительное число 8 = е ( х⁰) е ( 0 , 1), удовлетворяющие условиям:

а) если u(t)eC™(Q, Я), то

Re <— (1 — e)Au + Q (0 щ и}^н> + Im <Qw, и)^н»> е "¹ (и, и};

б) замыкание оператора — Аи + %^A(f)Q(t)u максимально дис- сипативно (ХА (0 — характеристическая функция А = Л ( х⁰) ) . Справед­

ливы следующие две теоремы. -

Т е о р е м а 6 (о локализации) *. Если выполняются предположение 1 из § 1 и предположения 2—3, то замыкание L оператора (ЗА) макси­

мально диссипативно.

Т е о р е м а 7. Если выполняются условия теоремы 6 и семейство

Q{(t)}t£^Rn есть семейство самосопряженных операторов, то замыкание L оператора (3.1) самосопряжено.

Из теоремы 6 вытекает доказанная в [1] основная теорема и так же, как в [ 1 ] , можно указать следствия теоремы 6 с легко проверяе­

мыми условиями. Например:

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть выполняется предположение 2. Пред-

* Теоремы, аналогичные теоремам 1 и 6, имеют место и в том случае, когда про­

странство Н зависит от t и выполняются некоторые условия согласования с семейством {Q(t)K

положим, что для каждой точки x<=Rⁿ найдутся окрестность Д = А ( х⁰) , число Хх⁰ > 1 и самосопряженный неотрицательный оператор такие, что

а) sup||Q(t)A^{X o} || < оо, и из А^Хоу = 0 следует у = 0;

б) Re((Q(t)+kX oE)AX oy, А2Хоу)н+ I m ( Q( t ) A^{X o}yyA2 X oy )H > 0 при ^ Д , у^Н.

Тогда оператор L максимально диссипативен. Это утверждение вы­

водится из теоремы 6 так же, как выводилась теорема 2 [1] из теоре­

мы 1 [ 1 ] .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 6. Нам понадобится.

Л е м м а 1. Пусть выполнены предположение 1 из § 1 и предполо­

жение 2 и пусть существует последовательность открытых множеств

Q i ^ Q 2 ^ для которых выполнены условия:

а) {xeRn'.\x\<N}^QN\

б) замыкание L Qn оператора, соответствующего потенциалу

%N(t)Q(t), максимально диссипативно.

Здесь %N —- характеристическая функция Q®Nt Тогда замыкание L оператора, определенного равенством (3.1), максимально диссипа- тивно.

Эта лемма доказывается повторением доказательства леммы 2 из [1] со следующими несущественными изменениями а ) — г ) :

а) интервалы Д& из доказательства леммы 2 [1] следует заменить на кольца Д& = | я £ Rⁿ' r^k — - у - < | х\ < r^{f e} -f- -^~|»

где гъ.,'&ъ, — числа из предположения 2;

б) последовательность чисел cuj нужно определить равенствами

Ck.k — l,Ckj+i=>Ckj — &*j = k⁹k+l^f. . .;

в) положить

Фл(*) =

1, \x\<r

^h

-*t-

⁹

ihax(Cfc,/,0), - = £ . < ±-^t \---. k, /г-1-1,

на кольцах A^+i доопределить <p^ft так, чтобы

<p^fe(x)eC²(A^ft), У) I ^ J ^ c e r¹,

S

^{| ^Ф л}| < с б Г2;

| а | < 1 \ а | < 2

г) при выводе неравенств, аналогичных (12) и (.13) из [ 1 ] , вместо неравенства

\.(Ьщ и} | > Re(Lu, и) надо использовать неравенство

| (Lu, и} | > у - ( R e (Lu, и) + | Im <Q(0 и, и> | ) .

Перейдем к д о к а з а т е л ь с т в у т е о р е м ы 1. В лемме 1 поло­

жим QN = {х£ Rⁿ : | х\ < N + 1[. Нам достаточно показать, что L Q^N максимально диссипативен. Д л я любой точки x£Q^N возь­

мем окрестность Д(х0) так, чтобы выполнялось предположение 3. По

152 Б. М. ЛЕВИТАН, М. ОТЕЛБАЕВ

условию теоремы такая окрестность существует.' Из полученного покры­

тия выберем конечное подпокрытие А^ь А², A^k и построим две систе­

мы функций {ф/}/=1 И {%}/ так, чтобы выполнялись условия k

2<Р/(*) = l Ф/% = Ф/> |<Р/|<

% € С ^ ( ^ \ ( Т Г А ; ) ) (/=17^). ( 3 , 2 )

t=r-1

Обозначим через Lj оператор (3.1), соответствующий потенциалу XjQ(t), где %j—характеристическая функция множества Aj fl QN. Оче­

видно,

\\(L,+ iW^\\<.j- п р и Д > 1 1 (3.3) Так как Lj максимально диссипативен, то из выбора А^?- и предположе­

ния 3 следует, что при достаточно малом е > 0 и Х > 8_1 + 1 для u<=D(Lj) справедливы неравенства

п .

I - | L j < Re(L,u, «> + Im<(L⁷ + Щ и, и} <

V = l

< 21 ((Lj + Щи, и) | < 2 1 | (Lj + iXE) и \\ . || и ||, / - ТГ*.

Отсюда и из (3.3) вытекает

|| Z )^p ( L⁷ + й Я ) "1

II < ^{- ^ = -}

^{при Я » е "1 + • 1 и | р} j < 1 . (3.4) Используя (3.2) и максимальную диссипативность Lj, легко дока­

зать, что если / е Я^/, то

^(Lj+ikEr^jfeD^), Я > 0 . (3,5) С помощью (3.3) — (3.5) непосредственными вычислениями получаем

(L^Qn + аЕ) % (L^} + Ф// = (Lj + /ЯЕ)% (Lj + ПЕГ1 Ф// =

= / - S CaD^jiLj + iXE)-1^- 5] Ca^iD^D^Lj+iXE)-1^!,

|с?р2 |а]<=1!

1 P M

где ca, £a, р—некоторые постоянные числа.

Сложив эти равенства по всем / = 1 , k, в силу (3.2) — (3.5) будем иметь

/ = (LQN + iXE) T^xf + B%f + T^%feD ( L^%) ,

Поскольку эти соотношения верны для любого f<=#', отсюда вытекает, что при Я > е^{_ 1} + 1 оператор Т% действует из Н' в D(LQ^N) И

(L^QN + iXE)-\ = T^x(E + Kb)

|| Кг. || = о( 1 ) при Я - ^ оо.

Это доказывает, что LQ^N максимально диссипативен. Теорема 6 дока­

зана.

Теорема 7 выводится из теоремы 6 так же, как мы выводили тео­

рему 2 из теоремы 1.

§ 4. Условия максимальной диссипативности скалярного оператора Шредингера

В этом параграфе мы рассматриваем замыкание L B L2(Rn) ска­

лярного оператора Шредингера /, определенного на С ? (Rn) равен­

ством

1и(х) = — Аи(х) + q (х)и(х), xeRⁿ (4.1)

с потенциалом q = q(х) из L20C(Rn).

В интересных работах Саймона [ 7 ] и Като [ 6 ] самосопряженность замыкания оператора (4.1) установлена при достаточно слабых пред­

положениях. Като на q№ налагает следующие ограничения:

(ОЛ) I m ? ( x ) 4 0 , ^ ? i W e 4> c

и q{ (х) >—#*( | х | ) , где q*(r) —-монотонно неубывающая по т > 0 функ- ция и'q*'(r) =0(г2) при г - ^ о о ;

(0.2)

q

²

eL

^2l0C и J )q²(x)\4x^k*r²*, 1 < г < ^{о о ,}

\х\<г

где k и s — некоторые константы;

J \q*(x — y)l\y\²-ndy-+0 при r->0

равномерно no #<=/?^п, где | # |²~ⁿ нужно заменить на log|#|, если п=2⁹. и на 1, если п=\.

Если п>5, условие (0.2) можно заменить на такое:

(0.20 q

²

eL

^n/2

.

Т е о р е м а К а т о [6]. Оператор L существенно самосопряжен, если выполняются (0.1) и (0.2). Если п>5 (0.2) можно заменить на (0.2').

Ниже нами будет получена теорема, из которой, в частности, сле­

дует результат Като *.

Будем пользоваться следующими предположениями.

П р е д п о л о ж е н и я 2⁷. а) 1т<7(л;)>0;

б) существуют последовательности непересекающихся колец Ak =

= {x£Rn:rk — 8k < I x | < rk + 8k\ положительных чисел yk и число p£[0, 1) такие, что

1) если geCo°(Afc), то

Re<— pAu + Qu, u)² + lm(Qui u\> —c⁰y^k(u, u)², 6 = 1, 2, . . . , здесь и в дальнейшем <•> — скалярное произведение в L²(Rⁿ);

m 2) ряд f j S i расходится и ^ < y^k« < с^г8и², 1, 2, . . .

* В работах [11—13] получены обобщения теорем Като. Эти обобщения носят иной характер, чем наше.

154 Б. М. ЛЕВИТАН, М. ОТЕЛБАЕВ

Эти предположения выполняются, например, если lmq(x)>0 и Req(x) +lmq(x) > — сг\х\2

или выполняется условие (0.1) теоремы Като.

Т е о р е м а 8. Пусть пф4, выполнены предположения 2 и 2! и еле- дующее условие:

Req(x) = q+ — <7_, q± > 0 и у любой точки г) £ Rn существует окрест­

ность Оц такая, что

sup J q-(y)\y-x\2-"dy<8, х&ц \v\<r

где \у—х\2-п следует заменить на 1п\у—х\-1, если п = 2, и на 1, если п=1. Тогда, если б достаточно мало, то оператор L максимально дис­

сипативен.

З а м е ч а н и е 4.1. Если я < 4 , то условие этой теоремы является следствием условия q^Li^0C.

З а м е ч а н и е 4.2. Если выполняются условия теоремы 8 и lm q(x)=0 и если в (4.2) б достаточно мало, то оператор L будет са­

мосопряженным.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим сперва случай п>3. В силу тео­

ремы 6 нам достаточно доказать, что если б в (4.2) достаточно мало, то у любой точки r\^Rⁿ найдется окрестность JJ^ц такая, что замыка­

ние Lⁿ оператора 1^п, определенного равенством

l^u^—Au + x^qityu, (4.3) где хл ~~ характеристическая функция иц, максимально диссипативен

и при некотором е.е[0, 1) и при всех u^C^(Rⁿ) выполняется усло­

вие

Re (<— (1 — б)и, и)2 + (х^и, и)) + Im и)2> — е"¹1 и | . (4.4) Пусть т] — произвольная точка Rⁿ. Возьмем ее окрестность и^ц удовлетворяющую (4.2). При u£C™(Uⁿ) имеем

Re(<— ( 1 - е ) А и , и\ + (%nqu, и}2) + Im (%^qu, и}2 >

> (1 _

^Е

) J ^ | |

²

^ — J

^XTI

[« (4.5)

Из теоремы Адамса (см. § 2) следует, что

2

<

<

^{C l}

sup u^t^itmfU-^dt)-

¹

, (4.6)

где v = (—A)^1/2 и и {К}—совокупность всех компактов в £/ⁿ, %k — ха­

рактеристическая функция К.

Оценим правую часть (4.6):

|| R^lW_ (t) = J ( J I x - t\^l~^{n lk} (f) (t) dt)² Ax

= Mll\x-t\l-n\y-t\l~\k (y)Xfc(x)q-(y)dxdydt =

= c2^(xk(y)Xk(x)q-(x)q-(y)\x— y\2ndxdyK

<Cshk(y)Q~(y)(i\x — y\²~ⁿq-(x)d^

Отсюда и из (4.6) и (4.5) получим, что если 6 < c i ~ \ 'где'с4 — неко­

торое постоянное число, то выполнйется (4.4) при е = -^-.' Осталось доказать, что LT] максимально диссипативен.

В силу (4.4) можно считать, что

\<(1^п+Е)и, и)\> \\и\\ , ueCZ(Rⁿ).

Поэтому если Ln не максимально диссипативен, то уравнение

— Ьи+;%#и.+ и = 0

имеет нетривиальное обобщенное решение u£L2(Rn). Д л я .и на осно­

вании леммы А из [6] и условия %^q^L²(Rⁿ) прлучаем неравенство

( i - A ) U I < U ^ - W | - l > | / i « I е

понимаемое в смысле теории распределений (обобщенных функций).

Отсюда, так как оператор (Е—Д)"1 — интегральный оператор с неотри­

цательным ядром k(x\ y)=k(x—у), удЬвлетворяющим условию k(х — у)< const|х — у\²~^пехр(— | х — у|),

следует, что

\и{х)\< const7|лг — у\2~пехр(—\х — y\)\xY](y)q-(y)\:\y(y)\dy или

О < v(x) < const) %ⁿ(x)q(x) \ J | * — yf~ⁿexp(— \х — y\)v{y)dy, где v(x) = \x^y](x)q-(x)l\u(x)eb¹(Rⁿ)^

Проинтегрируем это неравенство и в правой части поменяем порядок интегрирования:

J v (х) dx < const J (Х^ (х) q- (х) \х — у f~n exp (— | х — у |) dx) v {y)dy.

Но в силу (4.2)

S UP hⁿ(x)4-(x)\x~y\2~nexp(— \х — y\)dxK б.

Поэтому, так как supp v(x)^U-ⁿ , получаем J v (х) dx < const • б j v (х) dx.

Отсюда и из v(x)>0 вытекает, что если б c o n s t < l , то v(x)=0. Но v(x) = |xn (x)q~(x) \\и(х)\. Поэтому функция и должна удовлетворять условию — Аи + и=0. Хорошо известно, что последнее уравнение имеет только тривиальное решение, принадлежащее L²(Rⁿ). Следовательно,

^ = 0. Пришли к противоречию. Итак, в случае п>3 теорема доказана.

При доказательство упрощается: в этом случае справедлива оценка

II Xⁿ(x)q(x)(-A +E)-i [| < const || х^цШ (^Не­

которая легко следует из теоремы вложения Соболева.

156 Б. М. ЛЕВИТАН, М. ОТЕЛБАЕВ

§ 5. Условия максимальной диссипативности двучленных операторов с финитным потенциалом

В этом параграфе рассматриваем замыкание L оператора ^ о п р е ­ деленного на CS° (Rⁿ) равенством

lu = Au + q(x)u, (5 Л) где q{x) — финитная функция <=L²{Rⁿ), Л — равномерно эллиптиче­

ский самосопряженный и положительный оператор, порядка 2 т , коэф­

фициенты которого ограничены на Rⁿ вместе со своими производными любого порядка.

В силу теоремы 6 о локализации такой случай — весьма важный случай.

Л е м м а 5.1. Пусть А и q удовлетворяют вышеперечисленным усло­

виям и п>4т. Тогда

а) q(A + E)~^l непрерывен в L²(Rⁿ) в том и только в том случае, если

sup RTm,2(k)$\q(x)\²dx< О О , где {К} — совокупность всех компактов в Rⁿ\

б) q(А+Е)~¹ вполне непрерывен, если

Hm sup J \q(x)\²dx-R²~J^l,²(k) = 0. (5.2)

N-+oo k£{K} KC\{x:\q(x)>N}

Д о к а з а т е л ь с т в о . Хорошо известно, что если оператор А удов­

летворяет вышеуказанным условиям, то операторы

( ( - А ) - + £ ) - ! , ( ( - А ) » » + Е)-К ( Л + £ ) - 1 ( — д у я , (—&Y"(A + E)-i

ограничены. Поэтому оператор q(A-\-E)~^l ограничен (вполне непреры­

вен, если ограничен (вполне непрерывен) оператор q((—A)^m-{-E)-~ⁱ. Имеем

q(x) ( ( - АГ + Е)~¹и = q (х) J.G^m (х- у) Ь (у) dy, где

G(x-y) = \x-y\^2fn-ⁿe-^c^k(x, у), ...

с> 0 , c~^l*ck(x, y)<c^v

Отсюда и из теоремы Адамса следует а) и следующая оценка:

|| q(х) ( ( - АГ + E)-i ||² < const sup J I q (x) |² 6XR£,² (k). (5.3) k£{K} к

Докажем б ) . При N>1 положим

q(x) , если \q(x)\<cN,

Ч»^{Х) \q(x)\q(x)\-*⁹ eam\qix)\>N;

Так же как и (5.3), получаем

|| q (х)((— A)^m + E)~^l— q^N (x) ((— A)^m + E)~^l ||² <

< const sup J\q(x) — q^N(x)|²dxRTmAfy-