Ё. И. Гурский
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ЭЛЕМЕНТАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Д о п у щ е н о Министерством в ы с ш е г о и с р е д н е г о с п е ц и а л ь н о г о о б р а з о в а н и я С С С Р
в качестве у ч е б н о г о п о с о б и я д л я студентов в ы с ш и х тех нических у ч е б н ы х з а в е д е н и й
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О « З Ы С ША Я ШК О Л А » М О С К В А - 1 9 7 1
51 7 8 Г 95 У Д К 519.2
Гурский Е. И.
Г 9 5 Т е ори я в е роят ност ей с эл е м е н т а м и м а т е м а т и ческой статисти ки. Учеб. п о с о б и е д л я вт уз ов . М.,
« В ы с ш а я школа», 1971.
328 с. с илл.
В н а с т о ящ е м п осо бии с о д е р ж и т с я и з л о ж е н и е к урса теории вер оя тност ей , а т а к ж е эл е м е нт о в тео рии случ ай ных фун кц ий и ма тем ат ичес кой с т а тистики. П о м и м о т е ор ет ич ес кого м атер и ала, в кн и
ге и меется б о л ь ш о е коли чест во примеров. Кро м е того, в конце к а ж д о й главы п р е дл а г а ю тс я вопросы д ля са м о пр о в ер ки и з а д а ч и .
П р е д н а з н а ч а е т с я для ст у д е н т о в высших т е х нических у че бны х з а в е д е н и й .
2-2-3 • 517.8
42-71
Г у р с к и й Евгений Иванович
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ЭЛЕМЕНТАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Редактор Д. М. С у х о д с к н й
Художественный редактор В. И П о н о м а р е н к о Художник В В. III л я н д и н
Технический редактор Л. Д. М у р а в ь е в а Корректор Н. С, Л о г у н о в а
Сдано в набор 15/IX 197П г. ГІодп. к печати 0/11 1971 г.
Формат 8}XIОх1/:;. Объем 10.L'5 печ. л. 17._>J уел. н. ;i. Уч.- изд. л. 15,29. Изд. .V* ФМ-458. Тираж 50 000 экз. З зк . 1331.
Иона 59 коп.
План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы л тіууш куми) на 1071 год. Позиция X* -!2.
• М осква.“ jv5r. ’Пёглинная ул.. д. 20/14.
/UMJtefiLCTBiAVВысшая Школа»
Ордена трудового Красного Знамени Ленинградская ти пография № 1 «Печатный , Диор» нм. Д. М. Горького Главполнграфпромэ Комитете но печати при Совете Министров СССР, г, Ленинград, Гатчинская ул., 26.
Предисловие
Н астоящ ее учебное пособие возникло на основе курса теории вероятностей, читавшегося автором в течение ряда, лет слуш ателям Минского высшего ин
женерного радиотехнического училища, а та к ж е учебного пособия по некоторым р а зд ел а м этого курса, изданного учили
щем ограниченным ти раж ом в 1966 г.
Книга предназначается д ля лиц, з н а комых с математикой в объеме обычного курса высших технических учебных з а ведений. Она является пособием для студентов втузов при изучении вопросов теории вероятностей, элементов теории случайных функций и математической статистики, предусмотренных програм мами высших технических учебных з а в е дений.
Кроме теоретического м атери ала, в конце каж дой главы имеются подробно составленные вопросы и предложения д ля самопроверки, а т а к ж е приводится достаточное количество зад ач по к а ж д о му разделу курса, что в значительной мере исключает использование з а д а ч ника и способствует усвоению и з л а г а е мого м атери ал а.
Автор в ы р а ж а е т глубокую б л а г о д а р ность рецензентам книги академику Б. В. Гнеденко, доценту Р. Я. Шостаку, доценту А. И. Сироте и ст. п р еп о д а в а
телю К. Ш. Ярошевской, прочитавшим рукопись и сделавш им р яд полезных з а мечаний.
Лото/) 1*
В В Е Д Е Н И Е
В научных исследованиях, технике и массовом про
изводстве часто приходится встречаться с явлениями, которые при неоднократном воспроизведении одного и того ж е опыта в неизменных условиях протекают каждый раз несколько по-ипому. Такие явления называются сл уч ай ными. Так, например, при стрельбе результат каждого отдельного выстрела будет случайным. Производя экспе
риментальное исследование какого-либо явления и систе
матизируя результаты исследования в виде графической зависимости, мы убеждаемся в том, что при достаточно большом количестве экспериментальных точек получается не кривая, а некоторая полоса, т. е. имеет место случайный разброс экспериментальных точек.
При решении многих практических задач этими с л у чайными отклонениями можно пренебречь, предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенно. Выявляется основная закономерность, свой
ственная данному явлению, по которой, применяя тот или иной математический аппарат, возможно предсказать результат опыта по его заданным условиям.
По мере развития многих отраслей науки становится необходимым изучать случайные явления, с тем чтобы научиться предвидеть действия случайных факторов и учитывать их в практическом решении задач.
Математическая наука, изучающая общие закономерно
сти случайных явлений независимо от их конкретной п р и роды и дающая методы количест венной оценки в л и ян и я случайных факторов на различные явления, называется те
орией вероятностей.
Основой научного исследования в теории вероятностей является опыт и наблюдение. На практике очень часто приходится иметь дело с различными опытами. Опыты могут давать различные результаты в зависимости от того комплекса условий, в которых они происходят. Р езуль
таты опыта можно характеризовать качественно и коли
чественно. Качественная характеристика результата опыта есть событие. Например, появление на выходе приемника
радиопомехи в некотором определенном интервале времени яв л яе тся событием. Попадаппе в цель при выстреле яв
ляется тоже событием. То, что при изменении некоторой величины получена величина меньше некоторого чис
ла а, яв л яется событием и т. д.
Количественная характери сти ка р езуль тата опыта, которая может принимать одно из ряда возможных зн а
чений, заранее неизвестно какое именно, называется слу ч аи 11 ой величиной.
Случайные величины могут иметь различный х а р а к тер. Так, например, можно рассматривать скалярны е случайные величины, случайные векторы, случайные функции и т. д. К аждое возможное значение скалярной случайной величины есть число. К аждое возможное з н а чение случайного вектора есть вектор, который х а р а к теризуется совокупностью соответствующего количества чисел (системы случайных величин). К аж дое возможное значение случайной функции представляет собой неко
торую конкретную функцию, которая назы вается р еали зацией случайной функции. Примерами ск ал яр н ы х слу
чайных величин могут служить ошибки измерения длины, веса и т. д. Примерами случайных векторов могут сл у
жить совокупности ошибок совместного измерения не
скольких постоянных ск ал ярн ы х величин. Примерами Случайных функций времени являются помехи, которые будут поступать в приемник р ад и окан ал а вместе с полез
ным сигналом.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. Автома
тическое уп равлен ие производственными процессами, создание автоматических радиолокационных станций п автоматических математических машин, проблема авто
матического уп равлен ия полетом самолетов и другие технические проблемы автоматики и телемеханики вы
звали бурное развитие теории автоматического р егул и рования как теоретической основы автоматики и теле
механики. Но теория автоматического р егул и ровани я не могла достаточно полно охватить процесс работы автоматических систем без использования вероятностных методов (особенно теории случайных функций), так как в любой автоматической системе имеются источники постоянно действующих случайных возмущений, которые оказывают существенное влияние на весь процесс работы системы.
5
Теория вероятностей служит так ж е для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и орган и зации производства, при анализе технологических про
цессов, при оценке качества продукции и для многих других целей.
Первые работы, в которых зарож дали сь основные понятия теории вероятностей, были связаны с исследо
ванием правил для азартных игр. Работы Паскаля, Ферма и Гюйгенса в середине XVII века являлись осно
вой и началом теории вероятностей.
Д альн ей ш ее развитие теории вероятностей связано с именем Якова Бернулли. Яков Бернулли во второй поло
вине XVII века впервые показал, что с увеличением числа испытаний частота какого-либо случайного собы
тия приобретает устойчивость и определенным образом приближ ается к некоторому безразмерному числу, кото
рое объективно отраж ает возможность появления этого события и называется вероятностью.
Математик Муавр в начале XVIII века впервые рассмотрел простейший случай нормального закона, который в настоящее время имеет широкое применение.
Большое значение в развитии теории вероятностен имели работы таких математиков, как Лаплас, Гаусс и Пуассон, которые жили в первой полов-ине XIX века.
Л ап л ас впервые дал стройное и систематическое изло
жение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы. Гаусс дал более общее обоснование нормальному закону и р а з работал метод обработки экспериментальных данных.
С именем Пуассона связан один из законов распреде
ления, который играет большую роль в теории вероят
ностей и ее приложениях.
В X IX веке вопросами теории вероятностей стали заниматься выдающиеся русские ученые: П. Л. Чебышев и его ученики А. А. Марков и А. М. Л япунов. Создалась так называемая Петербургская школа теории вероятнос
тей. П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей понятие случайной величины и метод моментов, что привело к созданию мощного современного аппарата теории веро
ятностей. А. А. Марков в своих трудах существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Очень важной зас л у гой А. А. Маркова является то, что он в своих трудах б
положил основу д ля новой области теории вероятно
с т е й — теории случайных процессов. А. М. Л япунов известен своим доказательством т а к называемой ц ен траль
ной предельной теоремы п разработкой метода характе- р 11 сти чес к и х фу н к ц и й .
Советская ш кола теории вероятностей занимает в ми
ровой науке ведущее место. Среди многих ученых — вид
нейших математиков нашей страны, занимавшихся раз
работкой вопросов теории вероятностей, необходимо отметить С. Н. Бернштейна, А. Я- Хинчнна, А. Ы. К ол
могорова, В. И. Романовского, Б. В. Гнеденко, В. С. П у га
чева.
С. Н. Бернштейн разработал первую закопченную аксиоматику теории вероятностей н существенно расши
рил область применения предельных теорем.
A. Я- Хинчпн известен своими исследованиями в области стационарных случайных процессов, предель
ных теорем теории вероятностей.
Особое значение в развитии теории вероятностей и математической статистики имеют работы А. Ы. Колмо
горова. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей. Работы А. Н. Колмого
рова в области теории случайных функций являются основой всех исследований в данной области.
B. И. Романовский известен своими работами в области математической статистики; Б. В. Гнеденко — исследо
ваниями в области предельных теорем теории вероятно
стей, теории массового обслуживания и теории надежно
сти. В. С. Пугачев разработал ряд общих методов в теории случайных функций п применении этих методов при исследовании динамических систем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ В основе теории вероятностен, как и в основе любой другой науки, л еж ат некоторые определения, н ач ал ь
ные понятия. При помощи этих понятий дается логи ческое определение последующих более сложных по
нятий.
В качестве одного из основных понятии, которым оперирует теория вероятностей, является событие.
Событием в теории вероятностей называется всякий факт, который может произойти в результате некото
рого опыта (испы т ания).
Примерами событий могут служить:
1. Попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела, событие — попадание в цель).
2. Выпадание двух гербов при трехкратном бросании монеты (опыт — трехкратное бросание монеты, событие — выпадание двух гербов).
3. П оявление ошибки измерения в заданных преде
лах при измерении дальности до цели (опыт — измере
ние дальности, собы тие— ошибка измерения).
События принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, событие А — попадание в цель при выстреле, событие В — принятие сигнала радиостанцией при наличии помех и т. д.
Различные события отличаются между собой по сте
пени возможности их появления и по характеру взаи
мосвязи. Д л я правильной ориентировки в теоремах теории вероятностей необходимо разобраться в суще
ствующей классификации событий.
Если при всех опытах (испытаниях) рассматривае
мое событие всегда наступает, то оно называется досто
верным. Например, при взрыве осколочного снаряда достоверное событие — разрушение оболочки; при сбра
сывании бомбы с самолета достоверное событие — паде
ние бомбы па поверхность земли и т. д.
Если при всех опытах рассматриваемое событие ни
когда не наступает, то оно называется невозможным.
Например, при отсутствии тока в электрической цепи невозможное событие — загорание лампочки; при под
брасывании игральной кости невозможное событие — од
новременное выпадание 2 и 3 очков и т. д.
Возможным, или случайным, событием называется событие, которое в результате опыта может появиться, по может и не появиться. Например, попадание в цель при выстреле, выигрыш па купленный билет лотереи и т. д.
Д ва или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы н нет оснований утверждать, что какое-либо из них в результате опыта имеет больше шансов появиться, чем другое. Например, выпадание любого количества очков от- единицы до шести при подбрасывании игральной кости; выпадание герба и выпадание цифры при под
брасывании монеты п т. д.
Д в а события А н В называются совместными, если появление одного нз них не исключает появление д р у гого. Например, подбрасываются две игральные кости.
Событие А — выпадание 3 очков на первой игральной кости, событие В— 'выпадание 3 очков па второй кости.
А и В — совместные события.
Д ва события А н В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.
Например, в магазин поступила п артия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие А — н ау
дачу в зя т а я коробка окажется с обувыо черного цвета, событие В — коробка окажется с обувью коричневого цвета. А и В — несовместные события.
Группа событий Л ь A S, . . . , A „ называется группой не
совместных событий, если события, входящие в группу, попарно несовместны. Например, производится выстрел но мишени. /It — попадание в десятку, Л о— попадание в восьмерку, Л ;, — попадание в шестерку, А г — попада
ние в четверку, Л 5 — попадание в двойку, Л с — промах.
А\, А іг А;и А.ь А и, Л 0 образуют группу несовместных событий.
Группа событий называется группой совместных собы
т ий, если совместны хотя бы два события нз этой группы. Например, производится три выстрела по ми
шени. А( — п о п а д а н и е 'в мншеиь при первом выстреле, Л а— попадание в мншеиь при втором выстреле н Л 3 —
попадание в мишень при третьем выстреле. А и А іу А 3 образуют группу совместных событий.
•Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно наступает хотя бы одно из них. На п рактике широкое применение находит пол
ная группа несовместных событий.
Пример 1. В урне находится 10 шаров, из них 6 шаров красных, 4 белых, причем 5 шаров имеют номера.
А — появление красного шара при одном вынимании, В — появление белого шара, С — появление шара с но
мером. События А , В, С образуют полную группу сов
местных событий.
Пример 2. По цели производится три выстрела. Пусть А обозначает промах, В - одно попадание, С — два по
падания н D — три попадания. События А , В , С и D образуют полную группу несовместных событий.
Н а практике часто интересуются наступлением двух несовместных событий, образующих полную группу.
Т ак ие события называются противоположными. Событие, противоположное событию А, принято обозначать через А.
Например, искажение /1 п неискажение А какого-либо зпака_ при телеграфной передаче, попадание В и про
мах В при выстреле по цели и т. д.
§ 1.2. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ
При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень в а ж ным понятием является понятие суммы и произведения событий.
Суммой, или объединением, нескольких событий назы
вается событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Сумма S событий /1, В, С, . . . , N обозначается так:
5 = /1 -{- Д С N .
Например, если событие /1 есть попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие
С = А - \ - В
есть попадание в цель вообще, безразлично, при каком вы
с т р е л е — при первом, при втором или при обоих вместе.
Ю
Произведением, или совмещением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех эт их событий.
Произведение 5 событии А , В, С, . . . , N обозначается так:
S = A B C . . . N .
Например, если событие А есть попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие
С = А В
состоит в том, что в цель попали при обоих выстрелах.
При решении различных задач, связанны х с событи
ями, очень часто приходится представлять сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операцию сложения и операцию умножения событий.
Например, пусть по мишени производится три вы
стрела и рассматриваются следующие простейшие собы
тия:
А{— попадание при первом выстреле;
АI — промах при первом выстреле;
А-2 — попадание при втором выстреле;
А>— промах при втором выстреле;
А-л — попадание при третьем выстреле;
А л — промах при третьем выстреле.
Рассмотрим сложное событие В, состоящее в том, что в результате трех выстрелов будет ровно одно по
падай не в мишень. Событие В можно представить в виде следующей комбинации простейших событий:
В = А1А л А ц —11- А | А п А з —}— Л1 /12 А ^.
Событие С, состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде
С = А\А-2уТл -[- А\ А ■> А;(-j- A j А -’/1 a -j- А \А.>А,\.
Непосредственно из определения суммы и произве
дения событий следует, что A -j- А = А,
А А = Л .
В некоторых сл у ч аях можно наблюдать, что насту
пление одного события В влечет за собой наступление
11
другого события А. Тогда говорят, что событие В со
д ерж и тся в событии А и обозначают это символом
Л егко проверить, что если событие В содержалось в событии А, то имеют-место следующие равенства:
А - \ - В = А , А В — В.
П онятия суммы и - произведения событий имеют на
глядную геометрическую интерпретацию. Действительно,
пусть событие А есть попадание точки в область А , соответственно событие В — попадание в область В, тогда событие А - \ - В есть попадание точки в область, заш трихованную на рис. 1, и событие А В есть п опада
ние точки в область, заштрихованную на рис. 2.
§ 1.3. ЧАСТОТА СОБЫТИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Пусть произведена серия пз п опытов (испытаний), в каждом нз которых могло появиться пли не появиться некоторое событие А.
Частотой события А п данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых по
явилось событие, к числу всех испытаний.
Обозначая частоту события А через Р* (Л), имеем по определению:
где т — число испытаний, в которых появилось собы
тие А, а п — общее число испытаний.
В а А (В содержится в А ).
Р и с . 1 Рис . 2
Пример. Д л я контроля качества изделий нз партии . наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия
оказались бракованными. Определить частоту брака.
Р е ш е н и е . Обозначая через А событие, состоящее в получении бракованного изделия, будем иметь: т — 3, /г = 100. Частота б рака Р* (Л) — - ^ = 0,03.
Рассмотрим свойства частоты.
С в о й с т в о 1. Частота случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и еди
ницей, т. е.
0 ^ Р * ( А ) ^ 1.
Действительно, случайное событие А в серии из п опытов может наступать от 0 до п раз, т. е.
0 ш ^ п.
Следовательно, частота события А Р * ( А ) ~ — есть неот
рицательное число, заключенное между нулем и еди
ницей.
С в о й с т в о 2. Частота достоверного события равна единице.
Эго свойство вытекает из того, что достоверное собы
тие А наступает при каждом испытании, т е. т — п.
Поэтому
Р * (Л) = - = - = 1.х ' п II
С в о й с т в о 3. Частота невозможного события равна нулю.
В самом деле, при повторении опытов невозможное событие ни разу не наступает, т. е. т = 0. Тогда
Р* (А) = ~ = - =' ’ п п 0.
Мы рассмотрели свойства частоты одного события, но па практике могут иметь место случаи, когда в серии из п опытов наступает не одно событие, а несколько событий, которые находятся в каком-либо отношении друг с д ру
гом.
Если при повторении опыта может появиться либо событие А, либо событие В, то имеет место следующее свойство частоты, которое называется правилом сложения частот.
13
С в о й с т в о 4. Частота суммы двух несовместных со
бытий А и В равна сумме частот этих событий:
р* (А + В) = Р* (А ) - \ - Р* (В). (1.1) Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть в результате серии из п опытов событие А появилось т раз, а событие В — k раз.
Это значит, что
P*(A) = j , Р * ( В ) = ~ .
Так как события А и В несовместны, то нет таких опытов, в которых события А и В появились вместе.
Поэтому из определения суммы событий следует, что со
бытие А В появилось m - \ - k раз, и, следовательно, Р * ( А -]-В) = ' ^ ~ - .
П одставляя полученные выражения Р* (А), Р* (В) и Р * ( А ~ Г В) в формулу (1.1), получим тождество. Свой
ство доказано.
Рассмотрим теперь появление двух совместных собы
тий А и В в результате повторения опыта. В этом с л у чае мы можем подсчитать ряд частот. Так, например:
1) частоту события А безотносительно к наступлению события В\
2) частоту события В безотносительно к наступлению события /1;
3) частоту произведения событий А и В\
4) частоту наступления события А при условии н а ступления события В или частоту события В при усло
вии наступления события /1.
Частоту одного события, вычисленную при условии наступления другого события, называют условной часто
той и обозначают
Р* (Л \ В), Р * ( В \ А ) .
Д л я совместных событий имеет место следующее свой
ство частоты, которое называется правилом умножения частот.
С в о й с т в о 5. Частота произведения двух событий равна произведению частоты одного из них на условную частоту другого
Р* (АВ) = Р* (Л) Р* (.В \ А ) = Р« (В ) Р* (A j В). (1.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть в результате серии из п опытов событие А появилось т раз и событие В — k раз, причем I раз события А и В появились вместе.
Тогда
Р * ( А ) = %, Р * ( В ) = | , p * ( A B ) = L .
Т ак как событие А появилось в т опытах и в / из этих т опытов появилось вместе с ним событие В, то условная частота события В при условии, что событие А имело место, равно —, т. е.I
Р* (В , А ) = Аналогично
p* ( A \ B ) = L .
П одставляя вы раж ен и я Р* (А В), Р* (Л), Р * (В), Р * ( В \ А ) и Р * ( А \ В ) в формулу (1.2), получим тожде
ство. Свойство доказано.
§ 1.4. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
Частоту события можно определить только после про
ведения опытов, н в различных сериях опытов при одних и тех же услови ях частота события не остается посто
янной. Поэтому понятие частоты яв л яе тся плохой х а р а к теристикой события. Однако по мере увеличения числа испытаний, частота постепенно стабилизируется, т. е.
принимает значения, мало отличающиеся от некоторого вполне определенного числа. Таким образом, с рассма
триваемым событием можно связать некоторую постоян
ную величину, около которой группирую тся частоты и которая явл яется характеристикой объективной связи между комплексом условий, при котором производятся опыты, и событием. Эта постоянная величина называется вероятностью события.
Итак, вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группирую т ся частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.
Это определение вероятности называется статисти
ческим. Вероятность события А принято обозначать Р (/1).
Если речь не идет о каком-нибудь конкретном событии, то вероятность будем обозначать просто через Р или р.
15
Статистический способ определения вероятности имеет то преимущество, что он опирается на реальный экспе
римент. Однако он имеет тот существенный недостаток, что д ля надежного определения вероятности необходимо проделать большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами.
То, что каждое массовое случайное событие имеет свою вероятность, явл яется опытным фактором и под
тверждает существование статистических закономерно
стей в природе.
Иногда из соображений симметрии вероятность собы
ти я может быть определена непосредственно. Например, при бросании монеты вероятность появления герба равна у , так как при большом числе опытов следует ож идать появление герба примерно в половине всех случаев.
Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно выявляет содержание этого поня
ти я, но не дает возможности фактического вычисления вероятности, т. е. не яв л яе тся рабочим определением.
Поэтому рассмотрим другое, так называемое классиче
ское определение вероятности события.
Классический способ определения вероятности осно
ван на понятии равновозможных событий, которые я в ляются исходом данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.
В § 1.1 мы дали определение равновозможных собы
тий и привели несколько примеров. Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, об
разую щ их полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинако
вых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, тщательно перемешанных перед выниманием.
Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равповозможных собы
тий, говорят, что оно сводится к схеме ур н . Так, н апри
мер, испытание с подбрасыванием монеты сводится к схеме .урны, содержащей два шара; испытание с подбра
сыванием игральной кости сводится к схеме урны, со
держащей шесть шаров, и т. д.
Равновозможные и несовместные события, составля
ющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. По отношению к каждому событию слу-
16
чан (шансы) делятся на благоприятные, при которых это событие происходит, и неблагоприятные, при которых это событие не происходит. Например, при подбрасыва
нии игральной кости событию появления четного числа очков благоприятствуют три случая (2, 4, 6 очков) и не благоприятствуют так ж е три случая (1, 3, 5 очков).
Эти вспомогательные понятия позволяют теперь дать другое определение вероятности появления события.
Вероятностью появления некоторого события назы
вается отношение числа случаев, благоприятствующих по
явлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев.
Такое определение называется классическим опреде
лением, так ка к оно являлось определением понятия ве
роятности в начальный период развития теории веро
ятностей. Важным достоинством этого способа определе
ния вероятности явл яется то, что с его помощью веро
ятность события можно определить до опыта и заранее сделать д ля себя выводы. Однако этот способ имеет тот существенный недостаток, что он применим только тогда, когда мы имеем дело с равновозможными исходами испытания.
Обозначая число случаев, благоприятствующих собы
тию А , через т и общее число равновозможных слу
чаев через я, данное классическое определение вероят
ности можем записать в виде формулы
Рассмотрим примеры решения задач с применением формулы (1-3).
Пример 1. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящ ееся на 2.
Р е ш е н и е . Обозначим через А выпадание числа очков, делящегося на 2. Число всех равновозможиых случаев п = 6. Число благоприятствующих случаев т — 3 (выпадание 2, 4 и 6 очков). Поэтому
Пример 2. В урне находится 15 шаров, из них 9 к р а с ных п 6 синих. Найти вероятность того, что вынутые наугад два шара оба о к а ж у тся .красными.
Р е ш е н и е . В данном примере общее число рав н о
возможных случаев равно числу сочетаний из всего числа (1.3)
г , 0 17
шаров по два (/г = С^), поскольку любые два шара из пятнадцати могут быть вынуты с равными шансами. Сле
довательно,
/~>2 /4 J Г. JO* М I А- tl = Cj3 = — = j 2 ~
Обозначим через А событие, состоящее в появлении двух красны х шаров; тогда число случаев, б лагопри ятству
ющих событию А , равно числу сочетаний из числа к р а с ных шаров по два. Поэтому
~ 0-8 ОР т = С‘9 — — = 36.
Следовательно,
Р ( Л ) = “ = З б 12 ' ' ti I Оэ Зо
Пример 3. В партии из N изделий имеются М бра
кованных. Из партии выбирается наугад п изделий.
Определить вероятность того, что среди этих п изделий будет ровно т бракованных.
Р е ш е и и е. Из условия задачи следует, что М ^ N и т ^ п . Т ак как любая комбинация из N по п изделий имеет одинаковую возможность появления, то всех равн о
возможных случаев будет С’у. Обозначим через А п ояв ление т бракованных изделий среди выбранных н аугад п изделий. Так как всех бракованных изделий М, то число способов, которыми можно вынуть т бракованных изделий, равно С,” . Но каждый нз этих способов может дополняться любой группой изделий из числа способов, которыми можно вынуть оставшиеся п — т годных из общего числа годных N — М изделий. Число таких групп равно СдСл,. Следовательно, всех случаев, благопри ят
ствующих появлению события А, равно СГП/-*П — ТП
м • Сд'—ЛЬ Поэтому
г'Ш /^и — т
'М • ь Лг _ м Р (А) =
§ 1.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
В классическом определении вероятности рассматри
вается полная группа конечного числа равновозможных событий. Н а п рактике же очень часто встречаются такие
испытания, число возможных исходов которых беско
нечно. В таких сл уч аях классическое определение не
применимо. Однако иногда в таких сл уч аях можно вос
пользоваться другим методом вычисления вероятности, в котором rio-прежнему основную роль играет понятие равновозможиости некоторых событий. П рименяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости или простран
ства. Отсюда и возникает само название метода — гео
метрическая вероятность.
Д л я определения ограничимся двумерным случаем.
Одномерный и трехмерный случаи отличаются только тем, что вместо площади в них
нужно говорить о длинах и объемах.
Итак, пусть на плоскости имеется некоторая область D, площадь которой S D, и в ней содержится д р у г ая область d, площадь которой S (l (рис. 3).
В область D наудачу бросает- Ри<-'- 3 ся точка. Спрашивается, чему
равна вероятность того, что точка попадет в область d?
При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области D и вероятность попасть в какую-либо часть области D про
порциональна площади этой части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероят
ность попадания в область d при бросании наудачу точки в область D равна
Р = ^'-. (1.4)
D
Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью пли объемом, то вероятность появления случайной точки внут ри некото
рой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может по
являться данная точка.
Рассмотрим несколько примеров.
19
Пример 1. Имеется быстро вращ аю щ аяся с постоян
ной угловой скоростью к р у гл ая мншеиь. П я тая часть мишени окраш ена в черный цвет, а остальная часть ми
шени окраш ена в белый цвет (рис. 4). По мишени про
изводится выстрел так, что попадание в мншеиь — собы
тие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в черный сектор мишени.
Р е ш е н не . Обозначая через /1 интересующее нас событие, мы можем сразу ж е написать, что
Р и с . 4
т. е. интересующая нас вероятность получена как отношение площади части круга, которая окрашена в черный цвет, ко всей его п ло
щади. Такое решение приходит в связи с тем, что по
падание пули в какую-либо область мишени (размер пули не учитывается) определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером.
Пример 2 (задача о встрече). Д ва лица договорились о встрече, которая долж на произойти в определенном месте в любой момент промежутка времени Т . Опреде
лить вероятность встречи, если моменты прихода каждого лица независимы и время ожида
ния одним другого будет не больше т.
Р е ш е н и е. Обозначим момент прихода одного лица через х, а второго — через у. Чтобы встреча состоялась, необходимо и доста
точно, чтобы
1X — у I ^ ' .
Будем рассматривать х и у как декартовы координаты на пло
скости, всевозможные исходы изобразятся точками квад рата со стороной Т , а исходы, благоприятствующие встрече, расположатся в заштрихованной области (рис. 5).
Искомая вероятность равна отношению площади заш три хованной фигуры к площади всего квадрата, т. е.
d __Т~ — (7 ')■
Т- 1 1
Пример 3. К акова вероятность, что из трех взятых наудачу отрезков длиной не более / можно построить треугольник?
Р е ш е н и е . Обозначим через дг, у и zдлины наудачу взятых отрезков. Возможные их значения: у ^ 1 и z< ~ l. Предположим, что x - s ^ y ^ z . Тогда для того, чтобы нз этих отрезков можно
было составить треугольни к, не
обходимо выполнение неравен
ства x -\ -y ^ > z. Будем рассмат
ривать А", у и г как декартовы координаты точки в простран
стве; тогда всевозможные ис
ходы выбора отрезков и зобра
зятся точками куба со сторо
ной / (рис. 6). Тройки же чисел (-V, У, г), удовлетворяющие х
условиям „ „
J Р а с . о
х ty~%z и х -}- у > z , (1.5)
изобразятся точками заштрихованной пирамиды, объем /* п
которой равен р ,. Ь таком случае вероятность выполне
ния условий (1.5) будет
По так как число равновозможных упорядоченных рас
положений y ~ <; X- ^ z , x ^ Z ' - ^ y и т. д. равно 31, то искомая вероятность
р = р , . 31 = ~ = 1 .
§ 1.6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Из статистического определения вероятности сл у ч ай ного события следует, что вероятность события есть число, около которого устойчиво колеблется частота этого события, наблюдаемая на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы ве
роятность события обладала основными свойствами ча
стоты. Только в таком случае д ан ная теория будет хо
рошо согласовываться с опытом.
Исходя из первого свойства частоты, которое у т в е р
21
ждает, что частота случайного события есть неотрица
тельное числб, заключенное между нулем и единицей, вводится первая аксиома теории вероятностей.
А к с и о м а 1. Вероятность случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и еди
ницей, т. е.
0 < Р ( Л ) < 1.
Следующими двумя свойствами частоты является то, что частота достоверного события равна единице, а ча
стота невозможного события равна нулю. На этом осно
вании вводятся следующие две аксиомы.
А к с и о м а 2. Вероятность достоверного события равна единице.
А к с и о м а 3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Заметим, что если вероятность некоторого события А равна нулю, то это не означает, что событие невозможно.
Вероятность Р (А) = 0 означает, что частота события А при достаточно большом числе опытов будет отличаться от н уля на сколь угодно малую величину. Так, н апри
мер, если производить стрельбу по мишени, то при к а ж дом выстреле пуля попадает в какую-то точку мишени (размер пули не учитывается). Поэтому событие А — по
падание пули в данную точку мишени есть возможное событие. Однако число точек мпшенн, в которые может по
пасть пуля при повторных выстрелах, настолько велико, что частота попадания в одну и ту же точку практически рав н а нулю. А это значит, что вероятность Р ( А ) = 0.
Аналогично, если вероятность некоторого события р а в на единице,* то это не означает, что нет таких случаев в результате повторения опытов, когда данное событие не наступает. Так, например, 'если рассматривать событие Л, протнвоположиое_ событию А предыдущего примера, то вероятность Р ( А ) = 1. Но в тех случаях, когда нас
тупает событие А, не наступает ему противоположное событие А.
Н а основании четвертого свойства частоты, вы раж аю щего правило сложения частот, вводится аксиома, ко
торая называется аксиомой сложения вероятностей.
А к с и о м а 4. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей эт их событий, т. е.
Р ( Л - \ - В ) = Р ( А ) - ' Г Р ( В ) . (1.6) 22
