Пример 5. Композиция нормальных распределений

Найдем закон распределения суммы Z — X - \ - Y неза­

висимых нормально распределенных случайных величии X и Ү , имеющих плотность распределения

1S3

Зл- ] ' 2 " • ■ З у У 2п

Определим характеристическую функцию случайной величины X . Д л я этого представим ее в виде

X = oxU,

где U — нормально распределенная нормированная сл у­

чайная величина. Тогда, пользуясь результатом примера

2, найдем:

gu ( 0 — е 2 .

Согласно свойству 2 характеристических функций

°ІГ g x ( t ) = g u ( ° J ) = c

2

^{= е}

2 .

Аналогично

3yt g y (0 = С

Применяя свойства 3, определим характеристическую функцию случайной величины Z

а.у~ °v<s ( 4 + 4 ) g A t ) = g x ( t ) - g y ( t ) = e ~ е 2 ==е 2 '.

Сравнивая полученную функцию g~(t) с характери- стической функцией нормально распределенной случайной величины X , мы видим, что случайная величина Z такж е имеет нормальное распределение с параметрами пи — О,

<3; = "К °Л- ~Г °У •

Из полученного результата вытекает, что сумма любого числа взаимно независимых нормально распределенных случайных величин так ж е подчиняется нормальному закону.

Пример 6. Композиция показательных распределений.

Найдем распределение суммы Z — X - \ - Y независимых случайных величин X и Y , каж дая из которых распре­

делена по показательному закону:

е~ >іЛ' при . v ^ O , ( Xae*-?-s.v при у ^ О, н f (У) = I

О при х< ^ 0 I 0 при { / д о ­

определим характеристическую функцию случайной величины X :

со со

g x (t) = 5 7 (.v) d x = J e,v *X, e rx«v d x =

— со 0

CO

= >., = (4 .5 7 )

6

Аналогично

s A ‘) = r r ^ T f

Следовательно, характеристическая функция случай­

ной величины Z

ЫО=ЫОьМО=д7гг7^һг77т (4-58)

к выражению вида (4.57) не приводится. А это значит, что показательное распределение свойством устойчивости не обладает.

В частном случае, когда = из выражения (4.58) получаем:

ё Л0 =

Используя обратное преобразование Фурье, имеем:

СО с о

I e~ " - 's A t ) d t = i $ e - " - 'w ^ w d t.

— СО —со

Отсюда, вычисляя интеграл с помощью вычетов, получим:

Г лагс~?~ при г 2^=0, t (z\ _ ) 1

/ w I 0 при 2< 0.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. Как н а х о д и т с я п л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я с л у ч а й н о й велич ины

У, ес ли эта с л у ч а й н а я в ел и чи на ес т ь м о н о т о н н а я ф у н к ц и я с л у ч а й ­ ной вели чи ны X , з а к о н р а с п р е д е л е н и я к о т о р о й и з в е с т е н ?

2. Что м о ж н о с к а з а т ь о з а к о н е р а с п р е д е л е н и я л ин ей но й ф у н к ­ ции?

3. Как н а х о д и т с я з а к о н р а с п р е д е л е н и я н е м о н о т о н н о й ф у н кц и и о д н о г о с л у ч а й н о г о а р г у м е н т а ?

4. Как о п р е д е л я е т с я за кон р а с п р е д е л е н и я ф у н к ц и и н е с к о л ь к и х с л у ч а й н ы х а р гу м е нт ов ?

5. Что з н а ч и т п р о и з в е с т и к о м п о з и ц и ю д в у х з а к о н о в р а с п р е ­ де л е н и я ?

185

6. К а к о п р е д е л я е т с я м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е ф у н к ц и и с л у ­ ч а й н о г о а р г у м е н т а , за к о н р а с п р е д е л е н и я к о т о р о г о и з в е с т е н ?

7. С ф о р м у л и р у й т е и д о к а ж и т е т е о р е м у о м а т е м а т и ч е с к о м о ж и ­ д а н и и с у м м ы д в у х с л у ч а й н ы х велич ии.

8. С ф о р м у л и р у й т е и д о к а ж и т е т е о р е м у о м а т е м а т и ч е с к о м о ж и ­ д а н и и п р о и з в е д е н и я д в у х с л у ч а й н ы х вели чин.

9. Ч е м у р а в н о м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е от п р о и з в е д е н и я н е ­ с к о л ь к и х н е з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х вел ичин?

10. Как о п р е д е л я е т с я д и с п е р с и я ф ун к ц и и с л у ч а й н о г о а р г у м е н т а ( н е с к о л ь к и х а р г у м е н т о в ) , ес ли и з в е с т е н т о л ь к о за к о н р а с п р е д е л е ­ ния а р г у м е н т а ( а р г у м е н т о в )?

11. С ф о р м у л и р у й т е и д о к а ж и т е т е о р е м у о д и с п е р с и и с у м м ы с л у ч а й н ы х в ел и ч и н.

12. Ч е м у равн а д и с п е р с и я с у м м ы н е к о р р е л и р о в а н н ы х с л у ч а й н ы х в е ли ч и н?

13. С ф о р м у л и р у й т е и д о к а ж и т е т е о р е м у о д и с п е р с и и п р о и з ­ в е д е н и я д в у х н е з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х велич ин.

14. С ф о р м у л и р у й т е и д о к а ж и т е с в о й с тв а к о р р е л я ц и о н н о г о м о ­ мента:

15. Ч е м у р а в е н к о э ф ф и ц и е н т к о р р е л я ц и и с л у ч а й н ы х ве ли чи н, с в я з а н н ы х м е ж д у с о б о й л и н е й но й за в и с и м о с т ь ю ?

16. Д а й т е о п р е д е л е н и я ч и с л о в ы х х а р а к т е р и с т и к к о м п л е к с н о й с л у ч а й н о й величины .

17. Д а й т е о п р е д е л е н и е х а р а к т е р и с т и ч е с к о й ф у н к ц и и и н а з о ­ вит е о с н о в н ы е е е с в о йс тв а .

18. К аки м о б р а з о м п р и м е н я е т с я аппарат х а р а к т е р и с т и ч е с к и х ф у н к ц и й д л я к о м п о з и ц и и з а к о н о в р а с п р е д е л е н и я ?

19. К а к о й з а к о н п о л у ч а е т с я при к о м п о з и ц и и н о р м а л ь н ы х з а к о ­ нов ?

У п р а ж и е н и я

1. Н а й ти п л о т н о с т ь в е р о я т н о с т и п л о щ а д и ква драт а, с т о р о н а к о т о р о г о г X — с л у ч а й н а я ве ли ч и на, р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н а я в и н т е р в а л е (0, 1).

— при 0 < у < 1;

2 У у

О при у О ИЛИ 1.

2. Ч е р е з т о ч к у (0, /) п р о в е д е н а н а у г а д прямая. Н а й ти п л о т ­ н о с т ь р а с п р е д е л е н и я р а с с т о я н и я э т о й п р ям о й от нача ла к о о р ди н а т.

< 9

— .. ■ при 0 < 2 < /;

О т в . g (z) = j л У Г- — 2-

I 0 при Z s ^ O ИЛИ Z 5 : I.

3. Д а н а пло т н о с т ь в е р о я т н о с т и f ( х ) с л у ч а й н о й величины X (0 < х < с о) . На йти п л о т н о с т ь в е р о я т н о с т и с л у ч а й н о й велич ины

У = 1 п Х .

От в . g О») = / (сУ) сУ.

4. С и с т е м а д в у х с л у ч а й н ы х в ел ичин ( X , У) п о д ч и н е н а н о р ­ м а л ь н о м у з а к о н у р а с п р е д е л е н и я . Р а с с е и в а н и е к р у г о в о е . В е р о я т н о е о т к л о н е н и е р а в н о Е. Н ай ти в ы р а ж е н и е д ля п л о т н о с т и р а с п р е д е л е ­ ния с л у ч а й н о й вели чи ны Z = а (Х~ + Ус), где а > » 0 .

186

О т в . f f (2) = | "Р" г > < *

[ 0 п ри z с О.

5. И з в е с т н ы м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е и д и с п е р с и я с л у ч а й н о й ве ли чины X: т х — 2, D x = 3. Н а й ти м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е и д и с п е р с и ю с л у ч а й н о й величины К = З Л ' — 5.

Отв . ту = 1, D v — 27.

6. С л у ч а й н а я в ел и чи на X п о д ч и н е н а з а к о н у р а в н о м е р н о й п л о т ­ н о с т и на и н т е р в а л е (0, 2). Н а й ти м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е с л у ч а й ­ н ой вели чи ны У — — X - -{- ЗА' — 2.

О т в . ту — — — .

7. С л у ч а й н а я в е ли ч и на X п о д ч и н е н а з а к о н у р а в н о м е р н о й п л о т ­ н ос ти на и н т е р в а л е (0, 1). Н а й ти д и с п е р с и ю с л у ч а й н о й вели чины

У = 2 Х - .

л п 16

Ошв . £>,, = 7= •

у 4о

8. С и с т е м а д в у х с л у ч а й н ы х вел и ч и н ( X , У) х а р а к т е р и з у е т с я м а т е м а ти ч е с к и м и о ж и д а н и я м и шх = 2, шу — О, д и с п е р с и я м и D x = 1, D v — 2 и к о р р е л я ц и о н н ы м м о м е н т о м /:х у = — 1. О п р е д е л и т ь м а т е ­ м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е и д и с п е р с и ю случаіГпой величины Z = X — 2 Ү ,

Ошв . т , = 2, D z = 14.

9. С л у ч а й н ы е в ел и чи ны X и У и м е ю т м а т е м а т и ч е с к и е о ж и д а ­ ния т х = = — 1, ту = 1 и д и с п е р с и и D x — 4 и D y — 9. Н а й ти м а т е ­ м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е с л у ч а й н о й вели чины Z — З Х У - 1-5.

О т в . / « , = 0,2.У 1 10. П о м и ш е н и п р о и з в о д и т с я п н е з а в и с и м ы х в ы с т р е ло в . В е р о ­ ятно сть п о п а д а н и я в м и ш е н ь при t-м в ы с т р е л е равна p t . Н а й ти м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е и д и с п е р с и ю числа п о п а д а н и й в ми ш ен ь.

П П

О шв . ш — 2 Р ь D = s р{).

i = 1 і-Л

11. И м е ю т с я д в е с л у ч а й н ы е велич ины X и У, с в я з а н н ы е с о о т ­ н о ш е н и е м •)/ = 4 — X. Н а й ти к о р р е л я ц и о н н ы й м о м е н т, е с л и и з в е с т н о , что м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е тх — 3 и д и с п е р с и я D x — 2.

Ошв . кх у = — 2.

12. Н а й ти х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю ф у н к ц и ю л и н е й н о й ф у н к ц и и

П

Y = V [ a t.Xj, -)- b н е з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х вел и ч и н X i t . X « , . . . , Х п,

/:^= 1

х а р а к т е р и с т и ч е с к и е ф у н к ц и и к о т о р ы х за даны.

я

Ошв . gy ( t ) = e J tb П g x / i ( a k t ) .

I; — 1

187

13. Н ай ти х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю ф у н к ц и ю g x ( t ) с л у ч а й н о й в е л и ­ чины X, р а с п р е д е л е н н о й по з а к о н у Паскаля: P (X — m ) — p q m (т = ^{0, 1,} '2, ^...).

О т в . g x ( t )

_ — q c

14. Н ай ти х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю ф у н к ц и ю g x ( t ) с л у ч а й н о й в е л и ­ чины X , р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о й в инт ер в а ле (а , Ь).

„ ... sin t b

О тв . g x ( t ) = . 15. Н ай ти х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю ф у н к ц и ю с л у ч а й н о й ве ли чины , р а с п р е д е л е н н о й по за к о н у Ла пласа :

f (x) = ^ e— я ] л- — т \ О т в . g x (£) =

a- -4- t'1

16. Н айти за к о н р а с п р е д е л е н и я сум мы д в у х н е з а в и с и м ы х с л у ­ чайны х в ел ичин X и У, к а ж д а я из кот ор ьі х и м е е т р а в н о м е р н о е р а с п р е д е л е н и е на и н т е р в а л е (0, 1).

О, если л 0;

Ошв. F (z) = если 0

Г л а в а 5

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Мы уже знаем, что теория вероятностей изучает зак о ­ номерности, свойственные массовым случайным явлениям.

Как и любая д р у га я наука, теория вероятностей пред­

назначена д ля того, чтобы возможно точнее предсказать результат того или иного явления или эксперимента.

Однако если явление носит единичный, не массовый х ар а к ­ тер, то теория вероятностей способна предсказать обычно лишь вероятность исхода в весьма широких пределах.

Совсем иное дело, когда явление — массовое. Закономер­

ности проявляются именно при большом числе случай­

ных явлений, происходящих в однородных условиях.

При достаточно большом числе испытаний характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых при испытании, становятся почти неслучайными. Так, например, частота ' события при большом числе испыта­

ний становится устойчива, то же самое относится к сред­

ним значениям случайных величин. Это обстоятельство позволяет использовать результаты наблюдений над случайными явлениями д ля предсказания результатов будущих испытаний.

Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин и случайных событий при большом числе испытаний над ними, а так ж е касающихся пре­

дельных законов распределения, объединяются под общим названием предельных теорем теории вероятностей.

В настоящей главе мы познакомимся с двумя типами предельных теорем: законом больших чисел и централь­

ной предельной теоремой.

Закон больших чисел, занимающий важнейшее место в теории вероятностей, является связующим звеном между теорией вероятностей как математической наукой и закономерностями случайных явлений при массовых наблюдениях над ними. Закон больших чисел играет очень важную роль в практических применениях теории

189

вероятностей к явлениям природы и техническим процес­

сам, связанным с массовым производством.

При доказательстве теорем, относящихся к группе

«закона больших чисел», мы воспользуемся неравенством Чебышева.

§ 5.2. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Рассмотрим случайную величину X, математическое ожидание которой тх и дисперсия Dx . Неравенство Чебышева утверждает: вероятность того, что отклоне­

ние случайной величины от се математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положи­

тельного числа s, ограничена сверху величиной

Р { \ Х - т , \

2

= * ) < % ? . (5 .1 ) Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Пусть случайная величина X дискретная с рядом распределения

Xk 1

Xl

^{1« !}j . . . | xn

Pit 1Pi Pi Pn

Тогда дисперсия случайной величины X П

Dx = У) (xk — тху' ри. (5.2) к —-1 •

Очевидно, все слагаемые этой суммы не отрицательны.

Отбросим те слагаемые, у которых |х к — тх \< ^г, вследст­

вие чего сумма (5.2) может только уменьшиться, т. е.

2 (х і — п і х) * Рһ (5.3)

I -'*/—"*.v'—•

где запись | л*,-— т х | ^ s под знаком суммы означает, что суммирование распространяется только па те значе­

ния І, д ля которых Xi отклонится от тх па величину не меньше, чем г.

Заменим под знаком суммы (5.3) выражение \ xt — /;гЛ.(

через г. Так как для всех членов суммы имеем \xi — m x то от такой замены сумма может только уменьшиться, значит

A , 2 е<й = е! 2 Р е (5-4)

Под знаком суммы (5.4) мы имеем вероятность p t только тех значении х ;, которые отклоняются от мате­

матического ожидания тх на величину, не меньшую, чем в. Следовательно,

v Pl = P ( \ X - m x \

2

^{s * b}

|.V; —/«V|D=S Таким образом,

Dx ^ z * P ( \ X - ,пх | ^ 8)„

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравен­

ство (5.1).

2. Пусть теперь сл учайная величина X непрерывна с плотностью распределения f (х). Тогда

со

D , = S ( x — m j f ( x ) d x . (5.5)

— со

Выделим на числовой оси вправо и влево от матема­

тического ожидания тх отрезки, длиной г каждый (рис. 62). Если в выра-_{/г- Г- \} } ЧС ... F. ---->— --- £ > I

женин (о.о) интеграл \ ° i по всей оси Ох заме- ^

нить интегралом по об­

ласти, лежащей вне от- Р и с . 6 2

р.езка А В , то, поскольку

под интегралом стоит неотрицательная ф ункция, вели­

чина интеграла прп этом может только уменьшиться, т. е.

СО

Av = S (х — тх)~ f (х) d x $ (х — mx)-f (х) dx.

— СО | j f — Ш Д. | > Е

(5.6) Зам ен яя [х — тх \ под знаком интеграла (5.6) через г, мы опять можем только уменьшить величину интеграла.

Следовательно,

S t"-f(x)d x = z- 5 f ( x ) d x . (5.7)

|JC— f«v|>£ I.V — ОТ |>*

Интеграл правой части выражения (5.7) представляет собой вероятность того, что случайная величина X при­

мет значение вне отрезка А В . Поэтому А * ^ г * Р ( | Х - Ш , | > з ) .

191

Отсюда непосредственно вытекает неравенство Чебышева (5.1). Здесь знак ^ заменен знаком > , так как для непрерывной величины вероятность точного равенства равна нулю.

Неравенство Чебышева может быть записано и в д р у ­ гой форме, применительно к противоположному событию — отклонению случайной величины от математического ожидания меньше, чем на s:

/ > ( | Х - т , | < 0 ) 3 = 1 (5.8) З а м е ч а н и е . Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую оценку. Пусть, например, е = — Ү Ъ Х , тогда полу­

чим:

Р( \Х - тх | s= ' У Ж ) < - р ^ = 4.

'

^

Но и без того ясно, что никакая вероятность ие может быть больше не только четырех, но даже единицы;

с другой стороны, если, например, £ = 1 0 V'D X, то Р ( X - т , 13= 10 V Щ < j B f c - = 0,01.

Это уже неплохая оценка вероятности. Таким образом, мы видим, что неравенство Чебышева полезно лишь при относительно больших е.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева очень велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством при доказательстве теоремы Чебышева.

§ 5.3. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Теорема Чебышева является одной из важнейших форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим наблюдаемых значений случай­

ной величины и ее математическим ожиданием.

Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конеч­

ную дисперсию, сходится по вероятности к ее матема­

тическому ожиданию.

Поясним смысл термина «сходится по вероятности».

192

Последовательность случайных величин Х ь Х>, X ...

сходится но вероятности к велнчеие а, если для любого

£ > О

lim Р (| Х п — а | < г ) = 1,

и -• -О

или более подробно: последовательность случайных вели­

чин Х ь Х і , . . . сходится по вероятности к величине а, если д ля любых г^ > 0 п о> 0 существует такое ^{п (г, о ) ,} начиная с которого выполняется неравенство

Я ( | Х „ - А | < * ) >1 - а .

Таким образом, теорема Чебышева означает, что если Х ь Х~>,. . . независимые одинаково распределенные слу­

чайные величины с математическим ожиданием тх и с огра­

ниченной дисперсией Dx, то при любом s ^ > 0

lim Р \

^ X - л ‘ / : I

Ш,

\

(5-9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случайную величину

У

2 х,

І Л

Найдем числовые характеристики случайной величины Ү.

Пользуясь свойствами числовых характеристик, получим:

m y = = M[ Y ] = M

2

4 М [X;] = - • п ■ т х

II Л-™ II

І 1 V А7

I

D , = D [ Y \ = D II I = ,; Л ’ Л |А М = j f -7/ мея и

л І \

Применим теперь к случайной величине Ү неравенство Чебышева в форме (Г>.8):

Р( \ У - / " v i < 3) sr-i о ,

Подставляя в это неравенство выражение д ля сл уч ай ­ ной величины Y и ее числовых характеристик, получим:

Р

п \

2 * ]

; 1 1 = * : 1

- W V

< 7 ^ ^{1 ljx_}_III- ^(5.10)

7 Гур ск н Л 193

О, при увеличе- стремится к единице. По- Каково бы ни было малое число г

1 О х

пип числа п величина 1--- •п:

этому переходя в неравенстве (5.10) к пределу и учиты­

вая, что вероятность не может быть больше единицы, получим:

lim Р v

п — -J \

У хл ‘

т х < 7 = 1 Теорема доказана.

Теорема Чебышева может быть распространена на более общий случаи, когда характеристики наблюдаемой случайной величины меняются от опыта к опыту. О казы ­ вается, что и в этом случае при соблюдении некоторых условий среднее арифметическое является устойчивым и сходится по вероятности к определенной не случайной величине. Точнее, имеет место следующая обобщенная теорема Чебышева: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний над случайными величинами, име­

ющими ограниченные дисперсии, среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к сред­

нему арифметическому математических ожиданий этих величин, т. е.

1 i m Р

/ ^{п п} \

|

/

I 2 * 2 m x i

І :^ 1 І = 1

< • ]

\

^{tl п}

Д о к а з а т е л ь с т в о.

величину

У

1. (5.11) Рассмотрим снова случайную

П

2 *

Характеристики случайной величины Y соответственно равны:

т у = М / ,_'Ид-.-.

У! X;

L)y = D \/ ,

І = 1О *.

101

Применяя к величине Ү неравенство Чебышева в форме (5.8), получим:

P ( \ Y - m v 1 0 )2, 1- ^ ,/Л.

или

2 *< 2

/ « 1 /*-■! І г~,² | д«<

(5.12) Из ограниченности дисперсий следует, что существует такое постоянное число С^>(), для которого

Поэтому

Dx .< С ( i = 1, 2 , . . . , /О-

У D , ; < пС. (5.13) Подставляя правую часть (5.13) в неравенство (5.12), отчего последнее может быть лишь усилено, будем иметь:

/ >, Xi 1

//С , с

п п

2

_{г • - 1}

2

' ы

1

п п

\

или, переходя к пределу и учитывая, что вероятность не может быть больше единицы, получим доказываемое равенство (5.11).

Закон больших чисел может быть распространен и па зависимые случайные величины, лишь бы соблюдалось условие

D

lim

2 а'і

= о .

Это утверждение составляет теорему /Маркова. Д о к а ­ зательство теоремы Маркова предоставляется читателю.

§ 5.4. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

Теорема Я- Бернулли является важнейшей и истори­

чески первой формой закона больших чисел. Она уста­

навливает связь между частотой события и его вероят­

постью. Доказательство, данное Бернулли, было весьма сложным. Простое доказательство дано ГІ. Л. Чебыше­

в ы м — как прямое следствие из его теоремы.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов в постоянных условиях частота рассматриваемого события А сходится по вероятности к его вероятности р в отдельном опыте.

Если обозначить частоту события А в п опытах через р",:, теорему Бернулли можно записать в виде:

lim Р ( I p* — p | < £ ) = 1. (5.14)

а -*■ оэ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через X i случайную величину — число появлений события А в первом опыте, через X i — число появлений события А во втором опыте и т. д.

К а ж д а я из величин X, (/==1, 2 , . . . , п) есть дискрет­

н ая случайная величина с двумя возможными значениями:

О и 1. Р яд распределения величины X; имеет вид:

Xi 1 0 ¹ Pi 1 ч ^Р

где <7= 1— р есть вероятность неноявлеиия события /1

в г-м опыте.

Математическое ожидание каждой из величии X;

равно р (см.' пример 2, § 4.5), а ее дисперсия равна pq (см. пример 1. $ 4.6).

Частота /г:: представляет собой среднее арифметическое случайных величин Х ь Х*, . . . , Х п:

И

Применяя к этим величинам теорему Чебышева, полу­

чим доказываемое равенство (5.14).

Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда опыты происходят прп неодинаковых условиях, является теорема Пуассона, которая формулируется следующим образом:

П ри неограниченном увеличении числа независимых опытов в переменных условиях частота события А схо­

дится по вероятности к среднему арифметическому его вероятностей при данных испытаниях.

т

Доказательство теоремы Пуассона следует из обоб­

щенной теоремы Чебышева, точно так же, как д оказа­

тельство теоремы Бернулли следует из теоремы Чебышева.

§ 5.5. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Рассмотренные в предыдущих параграфах теоремы являются различными формами закона больших чисел.

Закон больших чисел устанавливает факт сходимости по вероятности некоторых случайных величин к постоян­

ным их характеристикам. При этом ни в одной из форм закона больших чисел мы не имеем дела с законами рас­

пределения случайных величин.

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос, связанный с отысканием предельного закона распределения суммы

J И

У« = V] А'„ (5.15)

і I

когда число слагаемых неограниченно возрастает. Цен­

тральная предельная теорема теории вероятностей (тео­

рема Ляпунова) устанавливает условия, при которых указанный предельный закон является нормальным. Р а з ­ личные формы центральной предельной теоремы отли­

чаются между собой условиями, которые накладываются па распределение случайных величин Х-„ образующих сумму (5.15). Мы сформулируем и докажем простейшую форму центральной предельной теоремы, когда случайные величины Х|, Х-х, Х п взаимно независимы н одинаково распределены.

Теорема. Если случайные величины Х\, Xо, . . . , Х п взаимно независимы и имеют один и тот же закон рас­

пределения с математическим ожиданием т и диспер­

сией а', причем существует третий абсолютный мо­

мент v;t, то при неограниченном увеличении п закон рас­

пределения суммы (5.15) неограниченно приближается к нормальному.

Д о к а з а т е л ь с г в о . Прп доказательстве этой тео­

ремы воспользуемся характеристическими функциями.

Так как случайные величины A't, X», . . . , Х„ имеют один и тот же закон распределения, то они имеют одну и ту же характеристическую функцию g x ((). Следова­

тельно, в силу формулы (4.55) и взаимной независимости 197

случайных величин Xi характеристическая функция с л у ­ чайной величины Y n будет

gv„ = lg,(0!“- < 5Л6)

Разложим функцию g x (/) по ч формуле Маклорена, ограничиваясь тремя членами:

fr' (0) ғ ” (0)

g x ( 0 = g x (0) + п т - 1 - г J ~ R * W • (5 Л ? )

Остаточный член (/) в форме Л агр ан ж а имеет вид:

Й','-' (ГЮ

R A0 = ^ п ^ :і ( 0 < 0 < 1 ) .

При определении коэффициентов разложения (5.17) и оценке остаточного члена (/) положим, что случайные величины К ; непрерывны с плотностью распределения f ( х )

(для дискретных случайных в'елнчин оно будет ана­

логичным).

В таком случае

ОО

В Л 1 ) = \ е>и Цх)с1х (5.18)

— ОЭ

и при ( = 0

СО

г , (0) = 5 f ( x ) d x = 1.

— со

Дифференцируя (5.18) rio t и полагая ^ = 0, получим:

ОЭ

g x (0) = / 5 x f ( х ) c lx — jm.

— ОО

Не ограничивая общности, можно считать т — 0 (для этого достаточно перенести начало отсчета в точку т).

Тогда

gx (0) = 0.

Дифференцируя (5.18) дважды по / и полагая / = 0, имеем:

СО

г.И 0) = - S x°f ( x) i l x. (5.19)

— ОЭ

При условии, что математическое ожидание сл уч ай ­ ной величины X равно нулю, интеграл (5.19) есть дис­

персия величины X , следовательно, g x (0) = — о*.

198

е*(‘) ==-/ $’ rV 'vf(.v)d,v.

— СО

Из существования третьего абсолютного момента v3

получаем следующую оценку для остаточного члена фор­

мулы (5.17):

Продифференцируем (5.18) трижды по

t,

получим:

Я3 (О

- j \ ллс№х / { х ) (1х

3! (5.20)

Подставляя в (5.17) g x (0) = 1, g x (0) = 0 и g x (0) = — о-, будем иметь:

ю гд а

г* ( 0 = 1- £ . * * + Я3 (О-

&Я(0 = [М 0 ]Я = i - c-jt4~R40

^(5.21)

Д л я доказательства того, что закон распределения случайной величины Y п прп увеличении п приближается к нормальному, перейдем от величины Y п к нормирован­

ной случайной величине

У и - п1у __ У„

О У п ибо т,, = М

Z, У X,

І --

V Dy

= Ь [ Х , ] = 0; Dy = D V У.

V D [X /] = «32 . Характеристическая функция вели­

чины Z/;, согласно второму свойству характеристических функции, имеет вид

8 ~ А 0 = 8 у, / Ь

Отсюда, пользуясь формулой (5.21), получаем:

1 — -

2 \ G

t

У п ) R л ¹

2п- | - Д з ] , ( 5 . 2 2 )

где (согласно оценке (5.20))

2v, а ^{V .,} I V'