Распределение частного от деления двух случайных величин

Пусть У = -~-. В таком случае имеют место следую­

щие функциональные зависимости:

Х\ = yx.i

и

Xi = j . 156

Так как

— vо и ---* = — - 1- ду ' 2 ду у- ’ то, согласно формуле (4.12), имеем:

со со

£(//)= jj / (*ь

yj

^{р dX{ =} ij / (X., //х») IX, I dx,.

— со — со

Если Х \ и X* — независимые случайные величины, то

со со

8 ( у ) = I /(Л'і)/2( у ) у , d x , = [ / (Х,2) f х (ух.) I х, I dx,.

§ 4.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ

Найдем закон распределения величины отклонения случайной точки (X , Y ) от начала координат при усло­

вии, что система случайных величин (X , Y ) имеет нор­

мальное распределение с параметрами т х = ту — 0 и ол. =

= ау = о. Плотность распределения такой системы имеет вид:

•Г M-.V*

f(x, у) = — е

Обозначим через R случайное отклонение точки (X , Y ) от начала координат. Это отклонение явл яется функцией случайных величин X и Y:

R — У X* + Y*.

Т ак как случ ай ная величина R я в л яе тся полярным радиусом в полярной-системе координат, то д л я опреде­

ления ее закона распределения перейдем от декартовых координат к полярным координатам, т. е. положим:

х = г cos О, у — г sin 0.

В таком случае плотность распределени я g (г, 0) системы случайных величии (R, 0) определим через плот­

157

ность распределения f ( x , у) системы (X, Ү) по формуле (4.8). Имеем:

g ( r , Ө)

_ ^Г*_

Г: е г, (4.13)

так как х2 -f- у1 = г2, а якобиан перехода от декартовых координат к полярным координатам равен г.

Интегрируя выражение (4.13) по переменной 0 в п ре­

делах от 0 до 2тс, най­

дем плотность рас п р е­

деления случайной ве­

личины R ■

2 х - SГ2_ g i ( r ) = \ rdO =

о

при / ' ^ >0, При г<^ 0, очевидно, gi (г) = 0.

Закон распределения, имеющий плотность вероятно­

сти

(4.13) при /*>>0,

0 п р и / - < ^0,

называется распределением Рэлея. График распределения Р эл ея показан на рис. 59.

Закон распределения случайного отклонения R = -\/X '1- \- Y -

при условии, что система случайных величин (X, Y ) под­

чиняется круговому нормальному распределению с плот­

ностью

/( * . у) = 2 ^ 5 е

называется обобщенным распределением Рэлея. Плотность распределения обобщенного закона Р эл ея имеет вид:

r*+r'i

где Го— полярный радиус центра нормального рас­

пределения, а / 0 й г ) — функция Бесселя мнимого аргу­

мента.

§ 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ТЕОРЕМЫ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЯХ

В предыдущих параграфах этой главы мы рассмот­

рели различные задачи определения закона распределе­

ния функции случайных аргументов, если известны законы распределения аргументов. Однако на практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только ука зать его чис:

ловые характеристики,

Таким образом, возникает задача определения число­

вых характеристик функций случайных величин, помимо законов распределения этих функций. Начнем с простей­

шего случая, когда случайная величина Ү является функ­

цией случайного аргумента X с заданным законом рас­

пределения,

Ү = ? ( Х ) .

Требуется, не находя закона распределения величины У, определить ее математическое ожидание

ту = М [? {Х)\.

Рассмотрим сначала случай, когда X есть дискретная случайная величина с рядом распределения

Xi ^j| * |

1 * 1

^{. . . j| x n}

Pi 1Pi

1

^{Pi \ Pn}

Составим таблицу значений величины Ү и вероят­

ностей этих значений:

Ui = ? (Xt ) I ? ^{( Xl )} 1 ? (x-d 1 ? (*,,)

Pi 1 Pi 1 Pi 1. . . 1 Pn

Таблица (4.15) не является рядом распределения с л у ­ чайной величины Ү , так ка к в общем случае некоторые 159

из значений могут совпадать между собой н значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины У можно определить по формуле

м [ ? ( Х ) і = 2 ^ч (4Л 6)

*==1

так как величина, определяемая формулой (4.16), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

В формуле (4.16) д ля математического ожидания ф ун к­

ции У — о (X ) не содержится в явном виде закона рас­

пределения самой функции © (X), а содержится только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции У =

= 'э (Х) вовсе не требуется знать закон распределения функции с? (X), а достаточно знать закон распределения

аргумента X .

Если с формуле (4.16) сумму заменить интегралом, а вероятность р{ — элементом вероятности, то получим аналогичную формулу д л я непрерывной случайной вели­

чины:

m

М [-?(Х ) 1 = 5 в (лc ) f ( x ) d x , (4.17)

— СО

где f (х) есть плотность распределения случайной в ел и ­ чины X .

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции Z = ? ( X , У) от двух случайных а р гу ­ ментов X и У.

Д л я дискретных случайных величин

М [с? ( X , У)1 = 2 2 ? Уі) Pip (4.18) i j

где pi j = P {.X = x h У = tjj).

Д л я непрерывных случайных величин

ОО

М[<?(Х, У)} = 5S?(.v, у) / (х, у) dxd y, (4.19) где f (х, у ) - плотность распределения системы (X , У).

I CO

Если случайная величина Ү есть функция несколь­

ких случайных величии Х ь X2, Х п:

Y = V ( X и X * . . . , Х п),

то математическое ожидание определяется совершенно ана­

логично предыдущим определениям. Так, например, для непрерывных величин имеем:

/И [<?(*,, Хо, . . . , Х п)] =

СО с о

= ^ . . . 5 © (Хи Xi, . . . , х„) f (Хи Хь . . . , х п) d x 1. . . d xn,

— ОО — СО

(4.20) где f (л'ь Хъ . .. » х п) — плотность распределения системы (Хь Х 2, . . . , Хп).

Пример 1. Система (X, Y) равномерно распределена внутри круга радиуса г с центром в начале координат.

Определить математическое ожидание расстояния R сл у­

чайной точки (X, У) от начала координат.

Р е ш е н и е . Та к как R = Y X - -j- Y- и

то согласно формуле (4.19)

М [Л] = М i V x - ' + Y 1] = S $ V x * + y ± d x d y =

Рассмотрим случаи, когда д ля нахождения математи­

ческого ожидания функции случайных аргументов не тре­

буется знать д аж е законов распределения аргументов, а" достаточно знать только некоторые их числовые х а р а к ­ теристики. Сформулируем эти случаи в виде следующих теорем.

Теорема 1. Математическое ожидание суммы как зави­

симых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин

М IX -j- Y \ = М IX] + М [К], у (4.21)

6 ГурскпЛ 161

f (X, У)

( 1 ^О I ^{о ___ о} I z p , если X - г - ' - у - ^ г ,

1 0, если X" -|- i f > Л

Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть (X, У ) —система ди­

скретных случайных величин. Применим общую формулу (4.18) д ля математического ожидания функции двух аргу­

ментов:

м [ X+ Y] = 2 2 ( х ,+ у,) / , „ = 2 2 а д у + 2 2 У/Р‘ і= 2 2 р ч+ 2 ^ / 2 р ч-

* ;

и » 2 р</ представляет собой полную вероятность того, что величина X примет значение xf:і

2 = p (X = Х і ) = рі.

i

Следовательно,

2 Л р і у = Т і х іРі= м і * ь

«' j i

Аналогично

2

^lJj

2

^{Рч =}

2

^{VjPj = M}

1

-

/ * /

и теорема доказана.

б) Пусть (X, У) - система непрерывных случайных величин. Тогда по формуле (4.19) имеем:

ОЭ

/VI [X -{- К] == 5 5 (Л- -j- у) f (х, у) clxdy =

— со

оэ оэ

= J SЛ '^ (*»

^{у) dx diJ}

+И

yf (х > у) d x dy =

— со — оэ

CO г- СО -1 ^{СО Г- с о}

= 5 X J f { x , у ) d y d x - f J г/ 5 / ІХ, у ) d x d y.

— CO — CO J — CO L — OD

Но так как

оэ со

S f i x* У) dlJ — fy (x ) H 5 f ( x , y ) d x = f , (y),

— CO — CO

TO

CO CO

/ ЩХ + Ү } = \ x f , ( x ) d x -1- S уШ 4 ! / = М І Х ] + Щ Ү ] .

— оэ — со

Теорема доказана.

162

Теорема сложения математических ожиданий методом полной математической индукции обобщается на произ­

вольное число слагаемых:

М = 2 М ( Х , \ (4.22)

1 = 1

(доказательство формулы (4.22) предлагается читателю).

С л е д с т в и е . /VI атемапшческое ожидание линейной функции случайных величин равно той же линейной ф унк­

ции от математических ожиданий этих величин:

М

2 о , х , + ь

і = 1

2 ъ М Ш + ь

1 = 1

(ait Ь — ие случайные величины).

Д о к а з а т е л ь с т в о . П ол ьзуясь теоремой сложения математических ожиданий и простейшими свойствами математического ожидания (см. § 2.5), получим:

М 2 atX i 4 - b

;= 1

■-М -| - М[ Ь] =

— 2 ^ -j- ь— 2 ai M [Xf] -}- ь.

/= і /= і

И спользуя теорему сложения математических ож и д а­

ний и простейшие свойства числовых характеристик, легко доказать справедливость следующих формул:

М [ Х ] = К М [ ^ р ^ \ + х 0, (4.23) D \ X } = Қ - М [ ( ~ 1/Ү - Л'« » 2 • (4 -24>

которые прп умелом подборе К и .v0 значительно облег­

чают вычисление соответственно математического ож ида­

ния и дисперсии.

Д окаж ем , например, справедливость формулы для дисперсии. Д л я этого, пользуясь свойствами математи­

ческого ож идания, преобразуем правую часть формулы (4.24):

К Ш [ ( ^ * ) * ] - (/VI [X — .v„l)3 = М [/Ү4 — 2Л'л'ц *51 —

— (ДЦЛ'1 — Х „ ) - = М[А'-| — 2х9М \ Х \ -]-л'и- ( М I X \ f -|- -\- 2х0М [X ] — хь — М [A'-J — т%.

1G3

Но М [ Х 2] — m*x — D \Х] (см. свойство 3, § 2 .5 , п. 4). Сле­

довательно,

D

IX] =

к -M

-

т х

- *о])2.

Теорема 2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математи­

ческих ожиданий плюс корреляционный момент:

м [XY] = М [X] • М [У] + kxy. (4.25) Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно определению корре­

ляционного момента имеем:

kxy = М [(X — тх) (Y — ту) ], (4.26) где

тх = М [X ]; тv = М [Y].

Преобразуем выражение (4.26), пользуясь свойствами математического ожидания, получим:

kxy — М [ХУ] — т хМ [У] — т уМ [X] т хт у =

— М [ХУ] — М [X] Л'1 [У].

Отсюда

М [ХУ] = М [X] • М [У] -|- kxy.

Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Математическое ожидание произве­

дения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Действительно, если случайные величины X и У некор- релированы, то kxv = 0 и формула (4.25) примет вид:

М [XY] = М [X] • М [ У ] . .

С л е д с т в и е . 2. Математическое ожидание произведе­

ния независимых случайных величин равно произведению ожиданий этих величин, т. е.

- П “I П

М I | А, = 11 М [Aj],

_(-=! J І-- = 1

Это следствие легко доказывается методом полной математической индукции.

Пример 2. Производится п опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие Л.

Вероятность появления события А в /-м опыте равна Найти математическое ожидание числа появлений собы­

тия А .

Р е ш е н и е . Рассмотрим дискретную величину X — число появлений события А во всей серии опытов.

Очевидно,

Х = Х1+ Х . + . . . + Х#|1

где A'i — число появлении события А в первом опыте, Х-2— число появлении события А во втором опыте, Х п — число появления событий А в п-м опыте.

К аж д ая из величин X,• (i — 1, 2 , . . . , п) есть дискрет­

ная .случайн ая величина с двумя возможными значени­

ями: 0 и 1. Р я д распределения величин Хі имеет вид:

XI \ 0 ^{| 1} Pi I <7 І 1 Pi

где qi = 1 — pi — вероятность непоявления события А в t'-м опыте. По теореме сложения математических ожиданий имеем:

т х = М [X] = J ] М [ Хі і (4.27)

г = 1

Вычислим математическое ожидание случайной вели­

чины Хі. По определению математического ожидания М [X;] = 0 • С/і -{- 1 ' P i— Pi-

П одставляя это выражение в формулу (4.27), получим:

т х ==У] Pi, (4.28)

»•=1

т. е. математическое ожидание числа появлений собы­

тия А при нескольких опытах равна сумме вероятностей события в отдельных опытах.

В частности, когда условия опытов одинаковы, сл уч ай ­ ная величина X подчинена биномиальному распределе­

нию и формула (4.28) принимает вид:

т х — пр.

Заметим, что формула (4.28) применима к любым опытам — зависимым и независимым, так ка к теорема сложения математических ожиданий применима к любым случайным в ели чи нам — как зависимым, так и независи­

мым.

§ 4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ТЕОРЕМЫ О ДИСПЕРСИЯХ

Рассмотрим случайную величину Ү , являю щ ую ся функцией нескольких случайных величин Х и Х2, . . . , Х п,

Ү = <?(Х„ Х а>. . . , Х п)

и поставим задачу найти ее дисперсию, минуя определе­

ние закона распределения этой функции.

По определению дисперсии

D [ Y \ = M [ ( Y - m yn Следовательно,

Я [К] = м [ ( ? ( * ! , а д ~ / % (л'1( х2>. . . , х /г))£], (4.29) где

т ?(Хи л'о,. . . , х/() = М I? ( Хи Х-2, . . . , Х„)].

Выражение (4.29) показывает, что дисперсия функции случайных величин определяется как математическое ожидание некоторой новой функции тех же случайных величин. Поэтому вычисление дисперсии может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными рас­

смотренным в предыдущем параграфе. Здесь мы приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов.

Д л я функции одного случайного аргумента Y = ? (X) дисперсия выражается формулой

СО

D \ ; ( X ) ] = J l9 { x ) ~ m , f f ( x ) d x , (4.30)

— СО

где tnf = М ['-р ( X ) ]— математическое ожидание функции

9 (A); f (х) — плотность распределения величины X.

Аналогично выражается дисперсия функции двух аргументов:

СО

D I? (X; Y ) \ = Ң [?(.v, у) — /?гт-Г7 (х, у) d x d y , (4.31)

— ОЭ

где ш^ — М [? (X, У)], a f (х, у) — плотность распределе­

ния системы.

Наконец, если имеем функции произвольного числа случайных аргументов Y — 9(Хь Х ч , . . ., Х п), то дисперсия 166

со со

£>1?<Х„ X , ...Х „)| = й . . . J [? (дг„ Л'..,. . . ,v„) — m j X

— о э — о э

х f ^{( Xi ,} X ,,. . . , Л'„) dxy d xо. . . d.iv (4.32) Заметим, что прп вычислении дисперсии бывает удобно пользоваться формулой

D [X] = М [X2] — т%.

В таком случае формулы (4.30) — (4.32) можно заменить соответственно следующими:

О Э

D [ ? ( X ) ] = S [? (* )]- f ( x ) d x — mi , (4.33)

— ОО О")

D [<? (X, У ) ] = 55 [? (дг, r/)]2f (Л-, у) d x d y — пц, (4.34)

— О Э

0 [? ( Х „ . . . , *„)] =

О Э СО

= 5 • • • 5 I? * • • ’ • • • ’ Л'л) rf-Vl • * •dx« — w-f-(4.35)

— СО — с о

Таким образом, дисперсия функции случайных вели ­ чин может быть определена как математическое ожидание квадрата этой функции минус квадрат ее математического ожидания.

Рассмотрим теперь теоремы о дисперсиях, которые играют очень большую роль в теории вероятностей и се прилож ениях.

Теорема 1. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корре­

ляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими, т. е.

выражается формулой

D ₂

і с г Л

2 D [ X i} - \ - 2 X (4-36) 1 I i < J

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

У = Xi -|- X« . -j- X n; (4.37) тогда по теореме сложения математических ожиданий

niy = m Xl -j- m Xa - j - . . . -j- m X/i. (4.3g)

Вычитая почленно выражение (4.38) из равенства (4.37), получаем:

Ү - m , - (X, - т х \-j- (X , - m , J . . . + (Х я - т , д).

По определению дисперсии имеем:

D 2 х , і= 1

М = М 2 ( X , - m Xiy

(=i

-1 - 2 5 ] ( Х ( - т , . ) ( Х у - ш , . ) = 2 / И [ ( Х , . - » Ч )=] +

ІС/ J » = 1

-1 - 2 V М [(X; — тх. ) (Ху - /К,.)] = Z D I X,1 + 2 2

»=|

что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е 1. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, т. е.

D П

2 х,

i ---■ I = 2 DI X , ) . (4.39)

/ - 1

Действительно, если случайные величины некоррели- рованы, то k x . x — 0 при і Ф / и формула (4.36) принимает вид формулы (4.39).

С л е д с т в и е 2. Дисперсия линейной ф ункции случай­

ных величин

У = 2 а , х , + ь І— I

(а;, b — не случайные величины) выражается формулой D [ Y \ = D 2 а , Х ,

+

^Ь

I

- г 2 У] a-, a j k x . х . .

У f l ? D[ Xf] +

(4.4 0) Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначение:

а-і X,- = Kf.

16»

Тогда

K = V а , Х ( + й = У Y, + b. (4.41) і — I

Применяя к правой части выражения (4.41) теорему о дисперсии суммы и учитывая, что D[b] — Q, получим:

D [ Y \ = D У щХі + ь = D V ү . -L-b/ а 1 i I u

1

Так как

= 2 i ^ i+ 2 2 *w

і=і і< /

ky .y . = M Г(Y i — niy.) ( Y/ — my.)] = M [(«/ Xi — a-, tnx .

) X X

^{(aj X j}

—

^{aj m}

X/)j =

^M

[я,-

af (X i - mx.) ( X j

—

^m

Xj)J =

= д* a j M [(X,- — mx. ) ( X j — m.v.)l = at a} k x . x .,

TO

D[ Y ] = D

2 ai x-t -\-b

1 = 1

D

<*= I

= У D [I7,!

{-2 2 ky. y . = 2 a } D \ X i ) + '2 2 ai aj k x . Xf'

k j

Формула (4.40) доказана.

В частном случае, когда все случайные величины иекоррелированы, формула (4.40) принимает вид:

D [ Y ] = D

2

і= і

т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.

Теорема 2. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

D [ XY] = D [X] • D [ Y ] -j- т% D [Y] - f пгу D [X]. (4.42) Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как случайные величины /Ү и Y независимы, то независимы и случайные величины X - и Y'2.

160

Следовательно,

М [ХУ] = т х niy,

М [Xs У2] = М [Xе] М [Y-] (4.43) По определению дисперсии с учетом равенств (4.43) имеем:

D [ XY] = М [(ХУ — m x myf \ = M [X2] М [У*] —

— 2 тх ту М [ X \ M [ Y \ - \ - m % m y * = М [X2] М [У2] — т% ту.

Но

М [X2] = D [X] т*х и

M[ Y - ] = D[ Y ] - \ - m%

поэтому

D [ХУ] = (D [X] - f т%) (D [У] -j- т \) — т\- т*. —

= D [X] D [Y] -1- т% D [У] - f ту D[X]. '

С л е д с т в и е . Дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равно произведению и х дисперсий.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим две центрированные и независимые случайные величины X и У. Математи­

ческие ожидания центрированных случайных величин равны нулю, т. е.

м[х] = м[у]=о.

Следовательно, формула (4.42) принимает вид:

D [ X K ] = D [ X ] - D [ K ] .

Пример 1. Производится п независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А , причем вероятность появления события А в і-м опыте равна р,-. Найти дисперсию и среднее квад ра­

тическое отклонение числа появления события А .

Р е ш е н и е . Пусть случайная величина X — число появлений события А в п опытах, а X; — число появле­

ний события А в i-м опыте, тогда п

1 170

В силу независимости опытов случайные величины X; ( і — 1, 2, . . . , п) независимы. Поэтому, используя теорему о дисперсии суммы, получим:

- V Д , . І •- 1

Найдем дисперсию случайной величины X Используя результаты решения примера 2, § 4.5, имеем:

D.x. = (0 — pi)'1 сц -j- (1 — pi)-pi = pi ер.

Следовательно,

П

Av = У) P i <7;> (4.44) i:=l

т. e. дисперсия числа появлений события А при нескольких независимых опытах равна сумме произведений вероят­

ностей появления и непоявления события А в каждом опыте.

Из формулы (4.44) находим среднее квадратическое отклонение числа появлении события А:

В частности, когда условия опытов одинаковы, случай­

ная величина X подчинена биномиальному распределе­

нию и формула (4.44) принимает вид Dx = tipq.

Среднее квадратическое отклонение в этом случае С.V = V npq.

Пример 2. Пусть одним и тем ж е методом произво­

дится п независимых измерений какой-либо величины.

Р езультаты измерений являются независимыми случайными величинами Х и X * , . . . , Х п с равными дисперсиями D [X,-] = с v (г = 1, 2 , . . . , п). В этих условиях требуется определить дисперсию среднего арифметического р е зу л ь ­ татов измерений

П

2 х ‘

/— I

171

Р е ш е н и е . Находим D [ a ) = D

И спользуя теорему сложения дисперсии, получим:

г п

2

^{* г п п}

D

« = 1

У

^{х і}

а гг — ¹

.1 = 1

О [ а ] D

у ^х, = д у

шші 1 ГГ ^ 1 1 ГГ п

1 = 1 І = 1

Таким образом, дисперсия среднего арифметического результатов п независимых измерений в п раз меньше дисперсии отдельного результата измерения.

§ 4.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО МОМЕНТА ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОГО МОМЕНТА И КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин X и У, имеем:

k xy = M [{X — т х) (У — ту)}.

Р аск р ы в ая скобки и применяя свойства математи­

ческого ожидания, получим:

k xy = М [X Y ] — М [X] • М [У]. (4.45) Рассмотрим две функции У i и У2 системы случайных величин (Хь Х 2, . . . , Х„):

Уі — ? i (A i,

Х 2, . . . , Хп),

У2

= ср2(Х„ Х 2,. . . , Хп) . Согласно формуле (4.45)

Ьуіу* = М ІУіУ,1 - М [Y t] М [У«], отсюда

^ = A f [ ? i ( X lf Хо, . . . , X w) ?2(Xi, Х2...Х я) ] - - М [с?! (Хь Хо, . . . , Х п ) ) М [ср., (Хь

х2

... Х„)1, (4.46) т. е. корреляционный момент двух функций нескольких случайных величин равен математическому ожиданию про­

изведения этих функций минус произведение их матема­

тических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного мо­

мента и коэффициента корреляции.

172

С в о й с т в о 1. От прибавления к случайным величи­

нам постоянных величин корреляционный момент и коэф­

фициент корреляции не меняются.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть kxv есть корреляционный момент случайных величин X и У, т. е.

kxy= M [(X — т х) (Y — ту)\.

Наіідем теперь корреляционный момент k x>v> случай­

ных величин

X' = X -j- а и Y ' = Y - \ - b . Так как

' X ' — т Х’ = X -]- а — М [ X а \ = Х -~-а — т х—а — Х — гпх, Ү ' — т у = Y - \ - b — M [ Y + b] = Y — niy,

то

kxy = м [(X' — т х>) (У — т у)] =

— Л'1 [(X - - т х) (Y — m v) ] = k xy, что и требовалось доказать.

С в о й с т в о 2. Д л я любых случайных величин X и Y абсолютная величина корреляционного момента не превос­

ходит среднего геометрического дисперсий данных величин, т. е.

\k Xy \ ^ Y ~ D J \ , = oxzy, (4.47) где сЛ., а у — средние квадратические отклонения вели­

чин X и Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случайную вели­

чину

Z — а Х -j ^{- ҺҮ -{- с,}

где а, b и с— неслучайные величины. Определим дис­

персию величины Z. По формуле (4.40) имеем:

D~ = a-Dx -}- b~D у -{- 2 abkxv.

Полагая a — av, b = ± : c x, получим

(Dx

= o%,

Dy —

о:.):

D . = 2-я-у 2 3x3ykxy

Так как дисперсия любой случайной величины не может быть отрицательной, то

2^ z l z 2^ b kXy ^ i ) ,

17а

O.vO

у —

L.

k

xv О, откуда

|

kxy

I 5= ОхОу.

С л е д с т в и е . Д л я любых, случайных величин X и Y абсолютная величина коэффициента корреляции не превос­

ходит единицы, т. е.

Действительно, из равенства (4.47) следует:

НЛЙ

С в о й с т в о 3. Если случайная величина Y есть ли ней ­ ная функция случайной величины X , то коэффициент кор­

реляции между ними по абсолютной величине равен еди­

нице, а его знак определяется знаком множителя при X , т . е. если ”

Y = а Х -}- Ь, то

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя определение к о р ­ реляционного момента, получаем:

kxy = M [(X — т х) (Y — ту) ] = М l(X — т х) (аХ -j- Ь —

— атх —- &)] = М [а (X — /« V)-J = аМ [(X — т х)~] = aDx . Так как (см. § 4.G)

Dy, = D [ а Х ~ - b] = a-Dx, то

Су — У Dy = У arDx — 1 а | V 'D X = | а | ах.

Следовательно,

kx y a D x a D x а

ху C.V3V °.vI " I a-v I а! “м ’ что и требовалось доказать.

Таким образом, если случайные величины X и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью:

Y = a X - \- b , 174

то rXy — i t 1, причем знак плюс или минус берется в з а ­ висимости от того, положителен пли отрицателен коэф­

фициент а. В общем же случае, когда случайные вели­

чины X и Y связаны произвольной вероятностной з а в и ­ симостью, коэффициент корреляции может иметь значе­

ние в пределах

- 1 < г ху< 1.

Это значит, что коэффициент корреляции гху может служить характеристикой того, насколько зависимость между случайными величинами X и Y бли зка к линей­

ной. Чем меньше по абсолютной величине коэффициент корреляции rxv, тем сильнее отклоняется зависимость между величинами X и Y от линейной.

В рассмотренном примере 2 § 3.6 мы видели, что для системы случайных величин (X , Y ), распределенной внутри к руга с равномерной плотностью, несмотря на наличие зависимости между случайными величинами X и Y системы, линейная зависи­

мость между ними отсутствует (прп возрастании величины X меняется только интервал изме­

нения величины Y ) и коэффи- ү циент корреляции г ху = 0 (см. 2

§ 3.7).

С в о й с т в о 4 (теорема ело- >7 жения корреляционных момен- — тов). Корреляционный момент

между составляющими случай- 60

ного вектора, являющегося сум­

мой нескольких некоррелированных случайных векторов, равен сумме корреляционных моментов составляющих этих векторов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим два некоррелиро­

ванных вектора Vi и ТЛ> па плоскости хОу (рис. 60).

П усть составляющие вектора V x есть (Х ь Уі), а вектора Vз — (Х2, Ү'і). Тогда вектор V = Vy -|- V» имеет составля­

ющие: