Дисперсии

характеризующие рассеивание случайной точки в н ап рав ­ лении осей.

3. Корреляционные моменты каждой пары из п с л у ­ чайных величин

характеризующие попарно корреляцию всех случайных величин, входящих в систему.

З н ая корреляционные моменты, можно найти коэф­

фициенты корреляции

которые характеризуют степень связи между каждой парой случайных величин.

Так как дисперсия каждой из случайных величин системы ( Х и Х-ъ . . . , Х п) есть не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно к о р р е л я ­ ционный момент величины и той же самой в ел и ­ чины Х і

то все корреляционные моменты и дисперсии распола^

гают в виде прямоугольной таблицы

которая называется корреляционной матрицей системы п случайных величин. - .

Из определения корреляционного момента следует, что kXiXf = kXfX,. Это значит, что элементы корреляцион­

ной матрицы, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны. В связи с этим часто для

k x .xj = М [(Хі — т х .) ( X j — т Х/)} (і ^ /),

130

простоты в корреляционной матрице заполняется только ее половина:

В случае, когда случайные величины Х\, X:, Х п некоррелнрованы, все корреляционные моменты

Следовательно, корреляц ион н ая матрица системы некор­

релированных случайных величин имеет вид:

Т ак ая матрица называется диагональной мат рицей. Вместо корреляционной матрицы часто пользуются нормированной корреляционной матрицей.

Нормированной корреляционной мат рицей называется такая мат рица, элементами которой являются коэффи­

циенты корреляции.

Все элементы главной диагонали нормированной корреляционной матрицы равны единице. Н орм и рован ­ ная корреляционная матрица имеет вид

В заключение этого параграфа введем понятие о не­

коррелированных случайных векторах. Рассмотрим два случайных вектора в «-мерном пространстве.

k x .x j= 0 (при І Ф І ) .

V \ {Хь Х ь . . . . Х в} и V , { Y u У ,...У п}.

Случайные векторы V\ и F2 называются н ек о р р е л и ­ рованными, если ка ж д а я из составляющих X* вектора V ]t

некоррелирована с каждой из составляющих У j век' тора Уь т. е. если корреляционные моменты

кхіУ/ = 0 при і = 1, 2, я ; / — 1, 2, п.

§ 3.10. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ Из всех законов распределения системы двух случай­

ных величин наибольшее распространение на практике имеет нормальное распределение.

Рассмотрим вначале нормальное распределение д л я системы двух независимых случайных величин.

П усть X и У — нормально распределенные и незави­

симые случайные величины, а отвечающие им плотности распределения имеют вид

Следовательно, плотность распределения системы (X , У) на основании теоремы умножения плотностей распреде­

лен и я д л я случая независимых величин получим в виде

Если центр рассеивания системы совпадает с началом координат, то т х = т у = 0, и следовательно,

Выражение (3.38) называется канонической формой нормального распределения на плоскости.

Д л я выяснения вида поверхности распределения (3.38) будем применять метод сечений.

Пересекая поверхность распределения плоскостями, параллельными координатной плоскости хОу, и проекти­

р у я сечения на эту координатную плоскость, мы полу­

f(*> У) = f\ (х) Һ (у) =

1 Г(л' - ,пх)~ , (у - туУ

1 ^ + ^{а 2.}

(3.37)

(3.38)

чим семейство подобных и одинаково расположенных эллипсов с общим, центром в начале координат.

Д л я того чтобы убедиться в этом, напишем у р ав н е­

ние линии пересечения поверхности распределения (3.38) плоскостью z = Zo = const. Очевидно, что постоянному значению г0 функции

1 /.V-

Z

= f(x, у)

^{2 ' „jj}

отвечает постоянное значение показателя степени, т. е.

Су ^{к~ (к = const). (3.39)} Уравнение (3.39) является уравнением проекции па координатную плоскость хОу линии пересечения по­

верхности распреде­

ления (3.38) плоско­

стью z = zn. Преоб­

разовав уравнение (3.39) к виду

(=v*)s ^(*уА)я (3.40) мы видим, что оно является уравнением эллипса, главные по­

луоси которого про­

порциональны сЛ. и о у и совпадают соот­

ветственно с осями Ох и Оу, а центр находится в начале координат.

Т ак к а к к может меняться от нуля до бесконечности, то мы имеем семейство подобных и одинаково располо­

женных эллипсов. Каждый эллипс из этого семейства явл яется геометрическим местом точек, где плотность распределения / (х,у) равна постоянной величине. Поэтому они называются эллипсами равной плотности, короче, эллипсами рассеивания. Общие оси симметрии всех э лл и п ­ сов рассеивания называются главными осями рассеивания.

При оЛ. = а у эллипсы (3.40) превращаются в о к р у ж ­ ности и распределение (3.38) называется круговым.

133

Пересекая поверхность распределения (3.38) плоскос­

тями, параллельными координатной плоскости уОг или хОг, мы будем получать кривые, подобные кривым нор­

мального распределения.

f(x* У)

Р и с . 5 0

Таким образом, поверхность распределения (3.38) имеет вид холма, вершина которого находится на оси Ог (рис. 49).

Поверхность распределения (3.37) отличается от по­

верхности распределения (3.38) только тем, что центр эллипсов рассеивания имеет ко- ордииаты (тх, т у), а главные оси рассеивания п араллельны соответственно осям коорди­

нат, т. е. поверхность распре­

деления (3.37) получается па­

раллельным переносом по­

верхности распределения (3.38) (рис. 50).

Подсчитаем для распреде­

ления (3.37) вероятность по­

падания в прямоугольник со сторонами, параллельны ми осям координат. П р я м о у г о л ь ­ ник ограничен абсциссами а и b и ординатами c u d (рнс. 51).

П рименяя общую формулу для расчета вероятности попадания случайной точки в произвольную область к

134

рассматриваемому случаю, запишем исходное выражение д л я искомой вероятности в виде

. Р ( а < л : < г ), c < K < < g = 5 * r f / ( * , ,i ) d y =

и а и

= Д (*)<** ^ dr/==

а с а

X ) z r £ e

( х ~ т х ) ' 2а - a v ^2*

( у - тд,)2

У

d x X

dy.

Отсюда, применяя формулу (2.40) д л я вероятности попа­

дания случайной величины на интервал, находим:

Р ( д < Х < 6, c < K < d ) = Ф ~ W.V \

У 2 / Ф 'л- / 2

(Г) d — my

~ < к ғ

ф/с

^-

U . l ' ' - 5/

Если стороны прямоугольника не параллельны осям координат (главным осям рассеивания), эта формула для вероятности попадания в прямоугольник не применима.

Двумерное нормальное распределение (3.37) допускает непосредственное обобщение на систему п случайных величин (Хь Хо, Х„). А именно, если случайные величины Х ь Хо, . . . , Х п имеют нормальные распределе­

ния и независимы между собой, то система случайных величин (Х ь Хо, . . . , Х п) имеет «-мерное нормальное распределение с плотностью вероятности

f (Xl, А*, ..., Хп) =

1 — " ' . V , ) 9 ( Л\> ~ тх~)- ( л " ,г - тхп)-~

--- --- І---77---}-... 4---77---

C.v1ax.) • • • аХп (~~) (3.41)

Рассмотрим теперь нормальное распределение на пло­

скости д л я зависимых случайных величин.

Плотность нормального распределения д ля системы двух зависимых случайных величин X и Y выражается формулой

f ( x , у ) = ---- ‘ X

Х е ’ О " ' 3* )

\ х - т ху

- 2 г.

ху

. (3.42) 135

Этот закон зависит от пяти параметров т х, m v, ах, ov и гху. Д л я выяснения смысла этих параметров опре­

делим частные распределения случайных величин си­

стемы.

Согласно формулам (3.8) имеем:

( х — m )!

ээ ' -V/

/iW= \

f { x ,

у)

d y = ----

г)-.-

^{„ е}

2(1 г*у)9* х

V 1 - Гху

а 1 Г(>'-"г.уУ- ,v (х ~ тх) (-v~ m\

X J е L °у " ’VV V >

— СО

Положим:

У - т у _

} -Ш Г Ч --- >

■ « , К2 ' . „ ^ 2

тогда

dv.

--- — л— (v" — 2r . uv)

f, (x) = — 7____ ____ . e ( e '-'ijr -•К2.4 / І - Г І , _ie

Дополним выражение в скобках до полного квадрата

н- г* и9

— +- - f 1 С*) = — - —* У 2' хУ 1 - г * лу <?

1

“ ^г*у

1

~ X А

“ “ 7— r - ( ’ - V )2

X J б *у dv.

— со

Сделаем подстановку:

' = j 7 T = ^ ( 0 - ^ u)' тогда

һ (X) — J L е-"’ [ e-r-dt.

СО

Но ^ dl — \ г ъ (интеграл Пуассона). Поэтому, учи­

тывая, что и = х ^{п :. х} , имеем:

Таким образом, случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием гпх и диспер­

сией о%.

Аналогично, определяя плотность распределения с л у ­ чайной величины У, получим

(>'-туУ

т. е. случайная величина У распределена нормально с математическим ожиданием ту и дисперсией aj,.

Покажем теперь, что параметр гху есть коэффициент корреляции случайных величин X и У . Д л я этого вы­

числим корреляционный момент k x y:

кху = $$ (х — т х) {у — ту) f (х, у) dx dy =

— со

со

= о---₂™х Ь у \ - г ; ку Л^{(У — ШУ]} х

(х - mx f 2. (х ( У~ту) (У-'ПуУ

Ч [~ гху) dx dy.

Произведем в двойном интеграле замену переменных, положив

и; ¹

Vr2 | /2(1- г у \ Якобиан преобразования равен

2 ахау Y 1 - гху.

Поэтому

v - ту .. Л' - тх \____

k „

= | j 5

У 2 ь У 2 ( 1 - Ъ )

(ш +

у ү £ ? г )

х

________ со оо

X e-u- - w- da dw — "■ Л ;V --- — jj ме- " 2 dw ^ we~w~ dw -f-

ь

¹³⁷

H o J ие~п' du = J we~wSdw = 0, к а к интегралы от нечет-

— со — со

ной функции в симметричных пределах, а такж е

со со

^ u*era* d u = - ү , ^ e~w~ d w = V % .

— со —со

Следовательно,

ХУ ■ г*у— 'ЧУ

°ЛЛ_у

Таким образом, параметр гху в формуле (3.42) есть коэффициент корреляции случайных величин X , Y .

Рассмотрим уравнение

' « * ) “ 2 / - ( ^' » ' * ) (-V М у ) I ( У M y ) _ _ ^ 2 ^ ^ 0 ^

(Л'

А нализируя уравнение (3.43) обычными методами аналитической геометрии, убеждаемся в том, что оно представляет эллипс, центр которого находится в точке

с координатами (m.v, ту), а оси симметрии такого эллипса составляют с осью Ох углы, определяемые уравнением

tg 2а ЪГху'яРу

(3.44) Уравнение (3.44) дает два значения * углов ол и а.2, различающихся на величину

П ри д ав ая k различные значения, мы получим семейства подобных и одинаково расположенных эллипсов (эллипсов рассеивания), осп симметрии которых (главные оси р а с ­ сеивания) не параллельны координатным осям (рис. 52).

Из уравнения (3.44) следует, что ориентация эллипсов рассеивания относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции гху системы (X , Y ). Если величины X и Y некоррелированы (гху = 0), то главные осп рассеивания параллельны коор­

динатным осям. Плотность распределения для некоррере-

м

лированных случайных величин получается из уравнения (3.42) при rxv = 0:

f i x , У) ¹ (3.45)

°АЛУ

V2lZ

Но выше было показано, что выражение (3.45) пред­

ставляет плотность распределения системы независимых случайных величин. Таким образом, мы получили важный вывод: если нормально распределенные случайные величины некоррелированы, то они и независимы.

Из приведенных рассуждений следует, что от нор­

мально распределенной системы зависимых случайных величин можно перейти к нормально распределенной системе независимых случайных величин путем поворота системы координат хОу на угол а, определяемый у р ав ­ нением (3.44).

В заключение этого параграфа рассмотрим условные законы нормального распределения, для определения которых применим формулы (3.14). Будем иметь:

1Ш = ---,1 . . X

J f i x , y ) d y j/2 - av ү 1 - r %

X * 2(1-4;.)

'( x - m x ) S _ 2 r Vv ( A - - m v ) ( v - m v ) ( y - m y f

+ (x ~ mxъ-. ⁾³ f ( x \ y ) f i x , y )

X

X

^{! 0 - 4 v )}

5 f ( x , y ) d x

— 00

( x - ,nx)- -rxy (x ~ mx) ( y ~ m.v) , ( y - my)-

+ 2 з г

П реобразуя показатель степени при е, получим:

А н ал и зируя полученные выражения, мы видим, что они представляют собой плотности нормального закона с центрами рассеивания соответственно

М [ У \ Х = х } = niy (х) = m v- | -гХу (х х

м [ X \ ^{Y =} у] = т х (у) = т х - f гху ^ (у у и средними квадратическими отклонениями

Су | Д- = а у У 1 / д. v,

°x\y = ° x Y \ — f l y .

Формулы (3.46) показывают, что линии регрессии Y по X и X по Y в случае нормального распределения явл яю тся прямыми линиями

У = Щу - j - гХур - ( х — т х ) , х = т х - \ - г х у I х ( у — т у ),

у

которые проходят через точку (тх , т}), т. е. через центр распределения системы (X , Y ). Угловые коэффициенты прямых регрессии гху - - и гху — называются соответ-

О д . а у

ственно коэффициентами линейнои регрессии Y по X и X по Y .

В о п р о с и д л я с а м о п р о в е р к и

1. Что н а з ы в а е т с я с и с т е м о й с л у ч а й н ы х ве ли чин?

2. Как м о ж н о т р акт ов ать ' с и с т е м у с л у ч а й н ы х вел ичин?

3. Д а й т е о п р е д е л е н и е ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я с и с т е м ы д в у х с л у ч а й н ы х вел и ч и н н у к а ж и т е е е св о йс тв а .

4. Д а й т е о п р е д е л е н и е п лотн ос ти р а с п р е д е л е н и я в е р о я т н о с т е й с и ст ем ы д в у х сл уч айн ы х величин. П е р е ч и с л и т е и д о к а ж и т е е е с в о й ­ ства.

5. Как о п р е д е л и т ь в е р о я т н о с т ь п о п а д а н и я в д а н н у ю об л а с ть ? 6. Ч то на зы в а е т с я у с л о вн ы м з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я ?

7. Как в ы р а ж а е т с я пло т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я к а ж д о й и з в е ли чин, в х о д я щ и х в с и с т е м у , ч е р е з пло т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я си с т е м ы ?

8. К а к и е с л у ч а й н ы е величины н а з ы в а ю т с я за в и си м ы м и ? н е з а ­ в исимы ми ? /

9. Что яв ляет ся н е о б х о д и м ы м и д о с т а т о ч н ы м у с л о в и е м н е з а в и ­ с и м о с т и с л у ч а й н ы х ве ли чин?

10. Что н а зы в а е т с я к о р ре ля ци о н ны м м о м е н т о м ? к о э ф ф и ц и е н т о м к о р р е л я ц и и ?

— т х ) , )

(3.46)

— Щу) J

11. Ч е м у р аве н к о э ф ф и ц и е н т к о р р е л я ц и и для н е з а в и с и м ы х с л у ­ чайных вел ичин?

12. К ак и е с л у ч а й н ы е величины н а зы ваю тся н е к о р р е л и р о в а н н ы м и ? 13. С л е д у е т ли и з н е к о р р е л и р о в а н н о с т и с л у ч а й н ы х в е ли ч и н их н е з а в и с и м о с т ь и н а о б о р о т ?

14. Ч то на зы в а ю т ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я с и с т е м ы п с л у ч а й ­ ных ве ли чин?

15. Как о п р е д е л я е т с я п л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я с и с т е м ы п с л у ­ чайных" ве ли чин?

16. Как о п р е д е л я е т с я пло т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я ч а с т н о й си с т е м ы т сл уч айн ы х ве ли чин, в х о д я щ е й в с и с т е м у п с л у ч а й н ы х вел и ч и н ( т < л)?

17. Ч е м у равн а п л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я с и с т е м ы п н е з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х ве ли чин?

18. С п о м о щ ь ю каки х ч и с ло в ы х х а р а к т е р и с т и к м о ж е т быть о х а р а к т е р и з о в а н а с и с т е м а п с л у ч а й н ы х вел и ч и н?

19. Ч то н а з ы в а е т с я к о р р е л я ц и о н н о й м а т р и ц е й си с т е м ы п с л у ­ чайных ве ли чин?

20. Какая ма трица н а з ы в а е т с я н о р м и р о в а н н о й к о р р е л я ц и о н н о й м атрицей?

21 . Как за п и с ы в а е т с я ф о р м у л а для п ло т н о ст и р а с п р е д е л е н и я нор м ал ьн о р а с п р е д е л е н н о й с и с т е м ы д в у х н е з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х вели чин? з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х вел ичин?

22 . К а ки е эл лип сы н а з ы в а ю т с я эл л ип с а м и р а в н о й п ло т н о с т и или э л л ип с а м и р а с с е и в а н и я ?

23. Р а вн о с и ль н ы ли п о ня тия н е к о р р е л и р о в а н н о с т и и н е з а в и с и ­ мо сти с л у ч а й н ы х вел и ч и н для н о р м а л ь н о р а с п р е д е л е н н о й си ст ем ы ?

У п р а о к н е н и я

1. По н е к о т о р о й цели п р о и з в о д и т с я д ва в ы с т р е ла . В е р о я т н о с т ь п опадан ия при о д н о м в ы с т р е л е равна р . Р а с с м а т р и в а ю т с я д в е с л у ­ чайные величины:

X — чи сл о п о п а д а н и й в цель, Ү — чи сло п р о м а х о в .

Со ст а в ить та б л и ц у р а с п р е д е л е н и я и о п р е д е л и т ь ч и сл о в ы е х а р а к т е р и ­ стики с ист ем ы .

т х = 2р, my — 2q,

D x = D y = 2p q ,

k x y = - 2pq.

2. Н е з а в и с и м ы е с л у ч а й н ы е ве ли чины X и Y п о д ч и н я ю т с я з а к о - р а в н о м е р н о й п ло т н о с т и р а с п р е д е л е н и я с о о т в е т с т в е н н о в н н т е р -

141 нам

\ - ' 7 3’/ \ ⁰

1 2

0 0 0 р -

1 0 2 pq 0

2 Г 0 0

ва ла х (0, 2) и (— 2, 1). Н а п и с а т ь в ы р а ж е н и я для п л о т н о с т и р а с п р е ­ д е л е н и я с и с т е м ы (A', Ү).

~ при 0 г £ л г ^ 2 , — 2 * g y s g 1;

О т в . / (л*, у ) = ■

О при л- < 0 или х > 2;

у с — 2 или > > > 1 .

3 . С и с т е м а с л у ч а й н ы х велич ин ( X , У) и м е е т пло т н о с т ь р а с п р е ­ д е л е н и я

_ (Л‘ ~ 9)2 / ( х ) = а е 8 g ( y ) , г де

1

COS у при |>»

g (У) =

О при ! у j >

9

Н а й ти а. Н а п и с а т ь в ы р а ж е н и я для п л о т н о с т е й р а с п р е д е л е н и я с л у ­ ча йны х вел ичин X и Y. О п р е д е л и т ь м а т е м а т и ч е с к и е о ж и д а н и я и д и с п е р с и и в ел ичин X и У.

1 1 - & = & ■ Ошв . а = — — , / і (а) = — — е 8 ,

•1 \ г 2~ 2 У 2г.

Л ( Л = П Г , и* = 2. ту = 0. = Oj = T - 2'

4 . П л о т н о с т ь в е р о я т н о с т и с и с т е м ы сл у ч а йн ы х вел ичин ( X , Y) за д а н а в ы р а ж е н и е м

/ ( х , у ) = а е ~ ('v + D2 ~ I І.

Н а й ти а. Н а п ис а т ь в ы р а ж е н и я для п л о т н о с т е й р а с п р е д е л е н и я с л у ­ ч ай ны х величин X и У. О п р е д е л и т ь ч и сл ов ы е х а р а к т е р и с т и к и с и с т е м ы

а 1 = , / , ( * ) = 4 = е-'*-*-1’’ ,

2V ? .' ' У Т

О т в . ,

f t (У) = — <?“ 1 -v т х = — 1, гпу = О,

Dy = 2, A*v = 0.

5. Плотнос ть в е р о я т н о с т и си ст ем ы с л у ч а й н ы х вели чин (А, К) за дан а в ы р а ж е н и е м

/ (л*, у ) = a cos (л- — у ) при O s ^ x ^ - £ , 0 ^ у ^ ~ . Т р е б у е т с я : а) о п р е д е л и т ь в е ли ч и ну и; б) найти ф у н к ц и ю р а с п р е д е ­ л ен ия Ғ ( х , у ); в) о п р е д е л и т ь чи сл ов ы е х а р а к т е р и с т и к и с и с т е м ы .

Отв .

О при х < 0 и у < О;

~у [cos (л- + з') — cos л* — cos у - f П

б) F ( х , у ) = i

1 при Л' > ү или у > -‘у ;

в) тх = m v = ~ , Dx = Dj, = үб Ң- о1 - 2:

6. С и с т е м а д в у х с л у ч а й н ы х вел ичин (X , У) п о д ч и н е н а з а к о н у р а с п р е д е л е н и я с п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и

О п р е д е л и т ь к о э ф ф и ц и е н т а и найти р а д и у с к р у г а с ц е н т р о м п на­

чале к о о р д и н а т , в е р о я т н о с т ь п о п а д а н и я в к о т о р ы й р ав н а р .

7. С и с т е м а т р е х с л у ч а й н ы х вели чин ( X, У, Z ) п о д ч и н е н а з а к о н у р а в н о м е р н о й п л о т н о с т и р а с п р е д е л е н и я в ну т р и цил и нд р а , о с ь к о т о ­ р о г о с о в п а д а е т с о с ь ю O z и т о ч к о й О д е л и т с я п о п о л а м . Р а д и у с цил инд ра р а в е н г, а вы со та равн а 2 Һ.

Н а п ис а т ь в ы р а ж е н и е дл я п л о т н о с т е й р а с п р е д е л е н и я с и ст ем ы и о т д е л ь н ы х с л у ч а й н ы х велич ин, в х о д я щ и х в с и с т е м у . У с т а н о в и т ь , явл яю тся ли с л у ч а й н ы е велич ины X, У и Z за в и с и м ы м и .

8. П ло т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я с и с т е м ы д в у х с л у ч а й н ы х вели чин ( X, У) за д а н а в ы р а ж е н и е м

О т в . / (.v, у , z ) = { 2 т.г-һщ при X s - \ - у * * ^ г и | z | Л;

О прп д'2 + у" > Г' и | z | > Һ.

| ^ 5 V г* - при | л-1 =£ г;

[ О при | х | > г, Һ (У) =

I 0 при 1 г j > Л , X , У и Z — за в и с и м ы .

(-у 4 - з ) 1 ( у - 1^)г

/ ( * , у ) = ае ²

Н а й ти к о э ф ф и ц и е н т а. У ст а но в и ть , являются ли с л у ч а й н ы е в е ли ­ чины X и У за виси м ы м и. О п р е д е л и т ь в ер о я т н о с т ь с о в м е с т н о г о вы п о лн е н и я д в у х н е р а ве н с т в Х < — 3; У < 4 .

л о = — , где <jv = 2, а , = 1.

О т в . 2"аЛ. а / л '

X и Y — не за в ис и м ы , Р ( X < — 3, У < 4) =%s0,5.

9. П р о и з в о д и т с я е д и н и ч н о е б о м б о м е т а н и е по п р я м о у г о л ь н о й н а ­ з е м н о й цел и. Ш ир и н а ц е л и равна 20 м , а д л и н а — 100 м . П р и ц е л и в а ­ ни е по ц е н т р у цели. О с п р а с с е и в а н и я с о в п а д а ю т с н а п р а в л е н и е м п о л е т а и с п е р п е н д и к у л я р о м к эт о м у н ап равле нию . В е р о я т н о е о т к л о ­ н е н и е в нап р ав лен и и по ле та р ав н о 6 0 м , в нап р а в лен и и, п е р п е н д и ­ к у л я р н о м п о л е т у — 40 м . С и с т е м а т и ч е с к и е о ш и б к и о т с у т с т в у ю т . Н а й ти в е р о я т н о с т ь п о па д а н ия в цель при с б р а с ы в а н и и о д н о й б о м б ы .

Ошв. р 0,058.

10. С и с т е м а д в у х с л у ч а й н ы х вели чин ( X , Y) п о д ч и н я е т с я н о р ­ м а л ь н о м у з а к о н у . Р а с с е и в а н и е к р у г о в о е . Н а й ти в ер о я т н о с т ь п о п а ­ д а н и я с л у ч а й н о й точ ки (X , У) в кр уг , це нт р к о т о р о г о с о в п а д а е т с ц е н т р о м ра с с е и в а ни я , а р а д и у с р ав е н д в у м вероя тным о т к л о н е ­ ниям.

Отв . р — 0,598.

Г л а в а 4

ФУНКЦИИ с л у ч а й н ы х в е л и ч и н

§ 4.1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности про­

изводства отдельных элементов систем и др., часто при­

ходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Т акие функции тоже являю тся сл у­

чайными величинами. Поэтому при решении так их задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно закон распределения системы случайных аргументов известен и известна фун кц ион ал ьн ая зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать следующим образом.

Д а н а система случайных величин (Х ь Хо, . . . , Х„), закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая с л у ч ай н а я величина У ка к функция случай­

ных величии Х ь Х 2, . . . , Х п

Ү = ? ( Хь X, , . . . , Х„). (4.1) Требуется определить закон распределения случайной величины Ү , зн ая вид функции (4.1) и закон совмест­

ного распределения ее аргументов.

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи, относящейся к этому классу: задачи о зак оне распреде­

ления функции одного случайного аргумента

У = ? (X). (4.2)

В дискретном случае решение этой задачи очень просто. Д ействительно, пусть X — д искретн ая случайная величина, имеющая ряд распределения:

X А'і А‘> х,

р Pi Р* Р

к

Тогда Ү = 9 ( X ) — так ж е дискретная случай ная величина с возможными значениями # i = < ? (a 'i), = = 9 (лг2) , . . .

= <р(а„ ) . Если все значения у и у», . . . , у п различны, то д ля каждого / е = 1 , 2, . . . , п события { Х — х к} и { Y — у к = <? (хк)} тождественны. Следовательно,

Р ( Ү = У и ) = Р ( Х = хһ) = р к Х и искомый ряд распределения имеет вид:

Y у 1 = ? (jfi) У-г = ? (а2) Уп — '■? ( Хп)

р P i Р з ^{. . .} Рп

Если же среди чисел у { — <р(*0* У-2 — ?(■**), • • •, у п —

— о (хп) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений у к — <? (хк) нужно отвести в таблице один стол­

бец и соответствующие вероятности рк сложить.

Д л я непрерывных случайных величин задача ставится так: зн ая плотность распределения / ⁽а) случайной в ел и ­ чины X, найти плотность распределения g (у) случайной величины Y — ср (X ).

П ри решении поставленной задачи рассмотрим два сл уч ая.

1. Случай монотонной функции. Предположим сначала, что функция у = <о(х) является монотонно возрастающей, непрерывной н дифференцируемой на интервале (а, b), на котором лежат все возможные значения величины X (в частном случае, когда область возможных значений X ничем не ограничена, а = — со, 6 = 4 - со). Тогда обратная функция х = ^(у) существует, при этом является та к ж е монотонно возрастающей, непрерывной и дифференци­

руемой функцией.

Зададим на оси Оу интервал (у, у -|- Л//) и отобразим его с помощью функции а = 6 (у) на ось Ох\ получим интервал (х, х-[- A.v) (рис. 53).

События (у Y < у Дг/) и (х < ^ Х < ^ х -j- Да) тождест­

венны. Поэтому Р (у <CY < t у & У ) — Р (х <С X < х Да) и, следовательно, согласно формуле (2.8), имеем:

Р ( у < У ' < у + Ду) _ Р ( х < X < х + Лх)

Если функция y = ' f(x) явл яется монотонно убываю­

щей, то приращению А//^> 0 соответствует приращение Д а < ^ 0 (рис. 54). Следовательно,

Р (у с У с у + Ду) S (и) ^{■ 1ІП1}

•\У -* о Лу

Лл- Лу (i.v-0)

Объединяя оба случая и учитывая, что а— (у), полу­

чаем: если у — v(.v) — монотонная дифференцируемая функ­

ция, то

g ( y ) - f l ' H y ) } \ V ( y ) \ - (4-3) Пример 1. С лучайная величина X распределена нор­

мально (гпх — 0, з v = 1):

Найти закон распределения случайной величины У, св я ­ занной с величиной /Ү зависимостью

Y = X \

Р е ш е н и е . Так как функция у — Xs монотонна на участке (— со, -у- 0 0 )» 1 0 можно применить форму­

лу (4.3). Обратная функция по отношению к функции

© (х) == а*3 есть 6 (у) = У у, ее производная <У (у) = : Следовательно,

3 у у-

I

/ ч 1 - о 1 1

S У) = 7 7_{у 2т.} ? * ,ТТ7^ = .773 у у - 3 ) / 27^7

-е

²

| / >

1-17

Д окаж ем теперь одно важное свойство линейного преобразования случайной величины.

Теорема. Л инейное преобразование случайной величины не изменяет вида закона распределения.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть случайная величина Ү связана со случайной величиной X линейной функцио­

нальной зависимостью

Ү = а Х + Ь,

где а и b — не случайные коэффициенты.

Поскольку выражение у — а х-f- b определяет монотон­

ную функцию, то обратная функция

* = <М 0) = “ ~ так ж е монотонна. Далее, имеем

? < 0 = Т -

Используя общую формулу (4.3), получаем:

S ( y ) = f { * i r ) - 1 T \ -

<4-4>

Полученное выражение (4.4) показывает, что линей­

ное преобразование случайной величины X равносильно изменению масштаба изображения кривой распределения f (х) и переносу начала координат в новую точку. Вид кривой f (х) при таком преобразовании не изменяется.

Это значит, что линейное преобразование случайной вели­

чины не изменяет вида закона ее распределения.

Пример 2. Случайная величина X подчинена нормаль­

ному закону с плотностью

(х ~ т х ) ‘

f (х) — — ~ = е .

Требуется найти распределение случайной величины Y , связанной со .случайной величиной X линейной функ­

циональной зависимостью.

Y = a X - \ - b .

Р е ш е н и е . Используя формулу (4.4), получим:

[.у-(Н-,,„1д.)15

или после преобразования:

Таким образом, сл уч ай ная величина Ү имеет нормаль­

ное распределение с параметрами т у — атх -j- Ь,

оу = \ а \ о х

2. Случай немонотонной функции. Имеется непреры в­

ная случайная величина X с плотностью распределения

f (а*); д р у г а я случ ай ная величина Y с в яза н а с X функ­

ционально)"! зависимостью:

У = ? ( Х ) .

причем функция у = о ( х ) такова, что обратная функция д- = z> (у) неоднозначная, т. е. одному значению величин у соответствует несколько значений аргумента ^а, которые мы обозначим через ai = 6i(//), ^а .> = б-> (//), а„ — Ф „(у), где и — число участков, на которых функция у = = о (а) изменяется монотонно (рис. 55).

Очевидно, что событие У < ^ У < ^ И ~ г ^ У происходит при наступлении хотя бы одного из нескольких несов­

местных событий Х\ X <С Ai -[- Д аг, аа X A.' -j- Д а ., . . . . . . , А„ А Хп “ }— Д А„.

Применяя теорему сложения вероятностей несовмест­

ных событий, получаем, что

к

р (У < У < У

+ ді/) = 2

р

(** < А' <

X* +

.

k—i

149

Следовательно,

Р ( У < Ү < У + & У )

g{y) = lim

■i.v — 0 ^Ay

2 P( x k < X < x k + hxt )

= lim

Д у - о Ay

Применяя теорему о пределе суммы и произведя преобразования под знаком суммы, получим:

g ( y ) = y Hm i

.<“ ■ Д V - * П L

iV-*Qim

P ( x u < X < Xfi -f- Ал-fe)

I A** I ^Ay

= 2 f ( x „ ) \ x u A = 2 /H >*G f)l№ (»)l- /< = 1 A’ = 1

(4.5) Пример 3. Случайная величина X имеет нормальное

распределение с параметрами т х — 0

и о * = 1 . Найти распределение слу­

чайной величины К = Х*.

и Р е ш е н и е . Обратная фун кц ия х — 'Ь(у) неоднозначна. Одному зна-

№ чению аргумента у соответствует два х, = +\гу значения функции х (рис. 56):

= (1/) = + V y , Х-2 — <{*.2 (lj) = --- У у.

Так как плотность распределения случайной величины Рас. 56

имеет вид

fix)

-V-

С- Т2"

то, применяя формулу (4.5), получим:

s s in) = f i b т I (у) 1 + f Ш I «К (у) I =

§ 4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пусть система двух случайных величин (U, V) является результатом функционального преобразования системы случайных величин (X , Ү ), заданного функциями

U = U ( X , Y), \

V

=

V { X , Y). J (4,6) Будем считать, что известно так ж е обратное преоб­

разование '

X = X( U, V), ,

(4.7) Y = Y( U, V).

Рассмотрим только тот случай, когда преобразования (4.6) и (4.7) являю тся взаимно однозначными. Кроме

того, предположим, что все рассматриваемые функции (4.6) и (4.7) непрерывны н дифференцируемы. Примерами таких ф ункциональных преобразовании систем случайны х вели­

чин являю тся преобразования прямоугольных координат в полярные и обратно пли прямоугольных координат в прямоугольные.

З а дача состоит в нахождении плотности распределе­

ния g (и, у) системы случайных величин (U, V), если из­

вестна плотность распределения f (х, у) системы ( X, Y) . В силу сделанных предположений относительно пре­

образований (4.6) и (4.7) каждой точке Q (X, Y) элемен­

тарной области До плоскости хОу отвечает одна вполне определенная точка Qi (U, V) соответствующей элемен­

тарной области Дох плоскости uOv (рис. 57).

151

Следовательно, события {(X, К) ( 2 Да} и {(t7, V) С Дзі}

тождественны и их вероятности равны, т. е.

Р { ( Х , Y ) ( Z b o } = P[ { U, V) С Ц .

И спользуя определение плотности распределения д л я системы д вух случайных величин, имеем:

,. Р UU, 10 с : До,}

: І1П1 —U - 1 --- -* Q,

= lim Лгі — Qi

- * Q)

g ( U , V ) = P { ( X , Г ) с Л о }

Лаг,

Да Да- \ = f ( x , y) 1пи - Q i

Лз Л^!

где Но,

х = х ( и , v), у = у ( и , V ) .

как известно из математического анализа,

.. Лз

І1 m -г— J

(4.8) (4.3) д л я одной случайной

С? (W, V) I

где У — якобиан преобразования (4.7) в точке Qt.

Таким образом, имеем:

g ( « , v) = f [ x { u , v); г/(£/, ^ Н е ­ п олученный результат соответствует формуле

величины и может быть распро­

странен па случай функциональ­

ного преобразования системы п случайных величин.

Если система (4.6) неодноз­

начно разрешима относитель­

но X , Y, то подобно формуле (4.5), число слагаемых в фор­

муле (4.8) увеличивается.

Н а практике наиболее час­

тым преобразованием сл у ч а й ­ ных величин является линей­

ное преобразование, сводящееся к преобразованию п ря­

моугольных координат в прямоугольные.

Рассмотрим преобразование прямоугольных коорди­

нат, заключающееся в повороте осей координат на угол а (рис. 58). В таком случае прямое и обратное преобра­

зования задаются формулами:

U — X cos a - j - Y sin ос,

V — — X sin a -]- V cos a, X — U COS a— V sin a, Y = U sin a -I- V cos a.

152

Якобиан преобразования прямоугольных координат равен единице:

дх дх

да dv COS а — sin а ду_ —

sin а COS а да dv

Следовательно,

g (и, v ) = f (и cos а — v sin а, и sin а -}- v COS а), а это значит, что при преобразовании прямоугольных координат в прямоугольные плотность распределения в точке (и, v) равна плотности распределения в соответ­

ствующей точке (х, у).

§ 4.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть случ ай ная величина Y яв л яется функцией нескольких случайных величин, образующих систему (X,, X , ... Х„), т. е. У = ;? (Х ь Х 3, Х я). Наша задача состоит в том, чтобы по известному распределе­

нию системы (Хь Хо, . . . , Х„) найти распределение слу­

чайной величины Y .

Рассмотрим решение этой задачи д л я наиболее про­

стого случая функции двух переменных:

Y — у (Х ь Хо).

Пусть f { xь Хі) — плотность распределения системы сл у ­ чайных величин (Хь Х 2).

Введем в рассмотрение новую величину Уь равную Х ь и рассмотрим систему уравнений

У = <р(хь Хз),

У 1= Х Х. (4.9)

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно хь х*

Хі= У \ , х , = ф (у, у!))

(4.10) и удовлетворяет условиям дифференцируемости. Тогда к рассматриваемому преобразованию можно применить

153

/

формулу (4.8) д ля определения плотности вероятности g ( y t у х) системы (У , Уi). Якобиан преобразования (4.10) имеет вид:

J = Поэтому

Но т а к ка к то

дхі д\\

1 0

0y t ~ду

дхг dxs dv* dx,j.

ду[ ду дуі W

(У* Уі )

g(y> y i ) = f [ y u Уі)\

Уі = Хи g{y> X i ) = f [ X u Ф (//, ЛГі

)1

0у

дф ^{(у> Уі )}

(4.11)

ду

( у , A'j)

by

И н тегри руя это выражение по аргументу х х в беско­

нечных пределах, получим плотность распределения с л у ­ чайной величины У (см. § 3.5, гл. III);

£i (У) = S £(У> X i ) d xг

с о

{j f [ xь ф(*Л ДГі)]

O ’. *i)

0y d x i. (4.12) Заметим, что рассуждения не изменяются, если введен­

ную новую величину У i положить равной Х 2.

Рассмотренный метод решения задачи д ля случая функции двух переменных легко обобщается д ля случая, когда случайная величина У является функцией трех и большего числа случайных величин. Так например, д л я функции трех случайных величин К = <р(Хь Х 2, Х 3) можно ввести новые переменные:

Y i = X u У, = Х, .

И если при этом между системой (У, Уь У*) и системой (Хь Хо, Х 3) устанавливается взаимно однозначное соот­

ветствие, то плотность распределения случайной вели­

чины У

СО с о

£ ( l / ) = § U f i x и х 2, Ф (у.Хи Л, ) 1 cty (з>, л-!, л~3)

д у dx 1 d xit где Ф (г/, ль Хо) — обратная функция.

1 5 4

Рассмотрим применение формулы (4.12) д л я опреде­

ления плотности распределения суммы, разности, произ­

ведения и частного от деления двух случайных величин.

1. Распределение суммы двух случайных величин