МРНТИ 27.31 УДК 517.958

Дәріс мазмұны:

• Функция туындысының анықтамасы.

• Туындының геометриялық және механикалық мағынасы.

• Дифференциалдаудың негізгі ережелері.

• Негізгі элементар функциялардың туындылары.

• Логарифмдік туындылау.

• Айқын емес және параметрлік түрде берілген функция туындылары.

• Туындының басқа салаларда қолданылуы.

Сапалы маман қазіргі ақпарат ағымының көшінде үнемі өзі ізденіп, кәсіби және рухани өсу үстінде бола білуі қажет. Ол негізге болашақ маман жоғары оқу орнының қабырғасында жүргенде ие болуы керек. Сонымен, бүгінгі күнде жоғары оқу орнының алдында тұрған басты міндет - өзіндік айтар ой- пікірі бар, жоғары саналы, белсенді азамат, білікті маман тәрбиелеп шығару болып табылады.

Жастардың ойлау әрекетін дамыту, ой-пікірінің дербестігі мен еркіндігін кеңейту, олардың өз бетімен білім алуға деген ынтасын арттыру, оны өз тәжірибелерінде жаңа жағдайларға байланысты қолдана алу, яғни біліктіліктерін қалыптастыру және дамыту – маңызды және күрделі мәселелер болып отыр.

Математиканың жалпы білім берудегі құндылығы, оның ғылыми-теориялық ізденістерімен бірге практикалық қолданыстарының да ауқымының кеңдігінен-ақ белгілі. Математика тек білімнің өркендеу құралы емес, ол бүкіл адамзаттың өркендеу құралы екенінде ешбір күмән жоқ. Себебі, математика барлық мамандық иесінің логикалық ойлау қабілетін дамытады.

Пайдаланылған әдебиет тізімі:

1 Қазақстан Республикасының Президенті Н.Ә. Назарбаевтың «Болашақтың іргесін бірге қалаймыз»

атты жолдауы // Материалдар жинағы, Астана, 2011.

2 Тулькибаев Н.Н., Трубайчук Л.В., Большакова З.М., Бормотова М.М.. Инновационные процессы в обучении.

– М.: «Восток», 2002. –528 с.

3 Чошанов М.А. Инженерия обучающих технологий : научно-популярное издание / М.А. Чошанов. – 3-е изд.

– М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. – 242 с.

4 Мелешина А.М., Гарунов М.Г., Семанова А.Г. Как изучать физико-математические дисциплины в ВУЗе. – Воронеж, 1988. –152 с.

МРНТИ 27.31

Аңдатпа M.А.Султанов

БЕЙСТАЦИОНАР ҚОЙЫЛЫМДАҒЫ КОЭФФИЦИЕНТТІК КЕРІ ЕСЕПТІҢ ОРНЫҚТЫЛЫҚ ТЕОРЕМАСЫ

Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті, Түркістан қ., Қазақстан Бейстационар қойылымдағы кері есептің орнықтылық мәселелері зерттелген. Ізделінді функция теңдеудің оң жағын анықтауға келтіріледі. Осы оң жаққа шарттардың болмауына байланысты ол жойылады және операторлардың коммутаторлары әсерінде есеп теңдеулер жүйесі үшін Коши есебіне келтіріледі. Осы есептердің біреуінің шешімін айқын түрде таба отырып, екінші есеп қисынсыз есепке келтіріледі. Есептің орнықтылығы есеп операторының бас бөлігі үшін априорлық бағалауларды алуға негізделген. Қисынсыз есеп және оның векторлық нұсқасының шешімі үшін бағалаулар алынған. Стабилизациялаушы функционалдағы шешімнің туындылары интерполяциялық теңсіздіктер көмегімен тура есептің шешімі арқылы бағаланады. Тура есептің Фурье қатары түріндегі шешімінің жинақтылығы Фурье қатарлары теориясының стандартты әдістерімен негізделеді. Алынған нәтижеден спектральдік қойылымдағы кері есеп шешімінің орнықтылығы бағалауын оңай келтіріп шығаруға болады.

Түйін сөздер: кері есеп, орнықтылық, операторлар коммутаторы, априорлық бағалау, интерполяциялық теңсіздіктер

Abstract

THE STABILITY THEOREM OF THE COEFFICIENT INVERSE PROBLEM IN NONSTATIONARY STATMENT

Sultanov M.A.

Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University, Turkestan, Kazakhstan

The stability issues of the inverse problem in a non-stationary formulation are investigated. The desired function is reduced to determining the right side of the equation. Due to the absence of conditions on this right-hand side, it is eliminated and, through the action of commutators of operators, the problem reduces to the Cauchy problem for a system of equations. Finding clearly the solution to one of these problems, the second task is reduced to an incorrect task. The stability of the problem is based on obtaining a priori estimates for the main part of the task operator. Estimates are obtained for solving an incorrect problem and its vector version. Derivative solutions present in the stabilizing functional are estimated through solutions of the direct problem using interpolation inequalities. The convergence of the solution of the direct problem in the form of a Fourier series is justified by standard methods of the theory of Fourier series. From the result obtained, it is easy to derive an estimate of the stability of the solution of the inverse problem in the spectral setting.

Keywords: inverse problem, stability, commutator of operators, a priori estimate, interpolation inequalities.

Введение

Пусть ( , )u x t  решение задачи:

( ) 0, 0 , , 2 1,

t xx

іu u a x u  x r t R i   (1) ( ,0)u x  f x( ), x[0, ],r (2) u_x(0, )t 0, u r t_x( , )0,tR. (3) Условия, налагаемые на данные исследуемой задачи следующие: функция a x( ) вещественнозначная, ( )f x может принимать комплексные зачения. Исследуемая нами обратная задача состоит в определении функции ( )a x по дополнительной информации следующего вида:

(0, )u t g x t( , ), t [ T T, ], (4) В работе доказывается теорема устойчивости обратной задачи (1)-(4) в нестационарной постановке на основе карлемановских оценок с весом. Применение априорных оценок с весом к доказательству теорем единственности берет начало с работы Т. Карлемана [1] и в дальнейшем исследовались многими авторами [2], [3], [4], [5], [6] и др. Теоремы единственности обратной задачи (1)-(4) получены А.Л. Бухгеймом в работе [7]. Численным аспектам реализации метода весовых априорных оценок посвящены работы [8], [9] .

Устойчивость обратной задачи

Основной результат нашей работы формулируется следующей теоремой.

Теорема. Будем считать, что a x₁( ), a x₂( ) решения задачи (1)-(4), которые соответствует



f gi^, i



^, i^{1, 2.}

Также потребуем, что a f_j, _jW₂⁸(0, )r , W₂⁸пространство Соболева, f x₂( )0, 

 

^{0, , k} j^{/ k 0, k} j^{/ k k 0}

x r d a dx  d f d x  при х0 и х r , j1, 2, k1, 2,...,7. Тогда ₀0, что

(0, ) справедлива оценка устойчивости

8 8

2 ( 0 , ) 2 2

3 3

2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 (0, ) 1 2 (0, )

2 2 2

1 2 (0, ) 1 2 ( )

( ) )

( ) ( ) ),

L r W r W r

W r W T,T

a a a a f f

c f f g g



 _

     

     (5) ( ) exp( / 2).

c   c const 

Изложим кратко схему доказательство теоремы. Пусть ( ,u a1 1)



f g1, 1



, ( ,u a2 2)



f g2, 2



. Обозначая u₁u₂u, a₁ a₂ a, f₁ f₂ f, g₁g₂g, нетрудно вывести соотношния

Puiu_tu_xxa x u₁( ) a x u x t( ) ₂( , )h, (6) u x( ,0) f x( ), u(0, )t g t( ), u_x(0, )t 0, u r t_x( , )0. (7) Воздействуя на правую часть (6) оператором Q  _t b x t( , ), b x t( , ) ( _tu₂) /u₂, можно избавится от h. Коммутация Q с оператором Р дает результат PQ[ , ]P Q u. Если ввести новую неизвестную функцию, положив vQu, получается задачи Коши для системы:

[ , ] , . Pv P Q u Qu v



 (8) С помощью первого условия (7) можно явно определить решение ^{u x t}

 

^{, :}

¹ _{2 2}

0

( , ) ( , ) ( ) / ( ) ( , , ) ( , ) ,

t

u x t Q v^ u x t f x f x 



K x t  v x d (9)

2 2

( , , ) ( , ) / ( , ).

K x t u x t u x Несложно подсчитать, что [PQ]  b₁ b₀, b₁ 2 ,b_x b₀   ib_t b_xx, / x,

    а из (8) вытекает

1 1 0 2 2

1

1 0 1

0

( )( ( , ) ( ) / ( ))

{( ) ( , ) ( , )} .

t xx

t

x x

iv v a v b b u x t f x f x b K b K v x b Kv x d

     





  (10) Далее считаем, что область задается так:

^{2 2}

{ , | ( , ) 0, 0}, ( , ) exp( ( , )) 1,

( , ) 1 .

x t R x t x x t x t

x t

x t

r T

   

  



       

    

       

(1.1.10) где  0,  0, Т 0, u x t2( , )0 . При этом на начальные данные налагается условие:

   

2 0, 0,

f x   x r .

Всюду далее считаем, что  и Ω определены соотношением (10). Тогда для vQu нетрудно вывести неравенство

iv_tv_xx c v(  J v  J v_x  f  f), (11)

v(0, )t g t( )g t( ) /g t v₂( ), _x(0, )t 0, v r t_x( , )0. (12)

0

( )( , ) ( , ) .

t

Jv x t 



v x d

Из уравнения (9) легко можно вывести следуюшие неравенства

   

 

, ,

.

t

xx x xx

u С J v f u С v J v f

u С J v J v J v f f f

    

 

     

Принимая во внимание это, из (6) получаем

a x^{( )} С J v



 J vx  J vxx  f  f f



^. (13) Пусть

2 2 ( , ) 2

( , )

s x t

v s e ^ v x t dxdt







^{, s0.}

Нам необходимо оценки для

 

0

( ) ( )

t

Ju t 



u d в норме ^{2 2 ( ) 2}

0

( ) , 0

T s t

u s 



e ^ u t dt s . Они имеют следующий вид

Ju ²_s T u ²_s, s Ju ²_s С u ²_s. (14) Легко можно убедится, что

 

1, 1, , .

x xx x t

 

    

Из (13) с применением неравенства Коши-Буняковского, получим

2 2 2

2 2 2 2

2 2

( ) ( ) .

s s

x хх

e ^ a x dxdt e ^ v J v J v J v f f f dxdt

 

 

      

 

Применение к J v ², J v_х ², J v_хх ² по t оценку в (14) дает

2 2 2 2 2 2

2^s ( _{x хх} )

С e ^ v v v f f f dxdt



 

    



^.

Таким образом,

( )² ( ² _x ² _xx ^{2 2 2 2}).

s s s s s s s

a x С v  v  v  f  f  f (15) Чтобы получить оценку устойчивости обратной задачи (1)-(4), нужно оценить решение ( , )v x t задачи Коши PQ[ , ]P Q u и ее производных v_x,v_хх в (15).

Справедлива следующая

Лемма 1. Предположим, что выполнены условия (11), (12) для vС( ) и

1, 1

x xx в

    . В этих условиях при a x( )L_(0, )r ₀0, что  (0,₀) cправедливо оценка



2¹ 2²



2 2 2 2 2 2

( , )

( ) ( ) .

s W W T T

v  l v c  f  g _ (16)

2 2 2

2 2

/ , ( ) ( _{x t} ) ,

Г

С s l v v v v d

  



  

2 3 2 1 2

\ [ , ], max , ( ) max( ^sm, ^sm).

Г T T m  c  С s e^ С s e^

     

Доказательство леммы основано на оценке снизу нормы ²

P v s, где Р    i _t ²,    _t / t, 2 2/ x2

    , применении формулы интегрирования по частям, интерполяционных неравенств и оценки граничных интегралов. Продолжим доказательства теоремы. Поясним, как оцениваются v_x,

vхх. Сначала дифференцируем уравнение (10) по переменной х и обозначая pv_x, получим для нее оценку вида (11). Далее, то же самое сделаем для продифференцированного по х уравнения (10) (при этом мы полагаем v_xx) и получим также оценку вида (11) для функции v_xx. Краевые условия для этих оценок вытекает из условий (12). В итоге получаем векторный вариант задачи (10) - (11):

2 2 2 2 2

1 2 3

0 1

( ),

(0, ) ( ), (0, ) ( ).

t xx

x

i c w w w

t t t t

  

   

    

  (17) Здесь

1

2 3 0

1

( , , ), ( , , ), ( ,0,0),

( , , ), ( ,0,0), ( ) ( (0, ), (0, ), (0, )), ( ) ( (0, ), (0, ), (0, )).

x

x x x

v p w J v J p J w J

w f f f w f t v t p t t

t v t p t t

   

 

 

  

  

  



Справедлива следующая векторная форма леммы 1.

Лемма 2. Допустим, что для C^( ) выполняются условия (17) и

1, 1

х хх

    в . При a C ²[0, ]r , тогда ₀ 0,  (0,₀), что выполнена оценка

^{3 3}

2 ( 0 , ) 2 ( , )

2 2 2 2 2

( ) c ( ) ,

r T T

s l v f W g W

  



 

    

⁽¹⁸⁾

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

/ , ( ) ,

( ) ( )

sm

x xx xx t xt xxt

С s c Сe

s

l v v v v v v v v

 



 





      

Принимая во внимание (17) и неравенства

2 ( 0 , ) 2 ( ) 2 ( 0 , )

2 2 2 2 2 2

2 ,

r r

sm

s L s L L

f Te f a a С a

    , из

(15) имеем

3 3 2

2 ( 0 , ) 2 ( 0 , ) 2 ( , ) 2 ( 0 , )

2 2 2 2 2 2 2 2

{ ( ) ( )[ ] 2 }.

r r T T r

sm

L W W W

С a С  l v c  f g Te f

      (19)

Покажем, как оценить

2 2 2 2 2 2 2

2( ) ( x xx xxx t xt xxt ) .

l v v v v v v v v d







     

Для этого ( , )v x t представляется в виде

0

( , ) ( , ) (0, ),

x

v x t 



v_  t dv t ^отсюда

2 2 2

0

( (0, ) ), 2 max(1, )

x

v С



v_ d v t С  r ^.

Интегрирование этого неравенство по   , с учетом условий (12), дает

1 2 ( , )

2 2 2

( ) ,

x W T T

v d c v g

 

 



vх vx L2 ( )

  . Все граничные интегралы в l v²( ) оцениваются подобным образом. С учетом (12), и того, что vQuu_tb x t u( , ) , имеем

3 2 ( , )

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) (

)

T T

xxxtt xxxxt xxxt xxtt xxxx

xxt xxx xtt xt xx t x W

l v С u u u u u

u u u u u u u u С g



     

          (20)

при этом

2 ( ) 2 ( )

L L

u u

   ,  { , | 0x t     x r, T t T}. В (20) и далее,  норма в L₂ П .

Для завершение осталось оценить решение ( , )u x t прямой задачи (6) - (8) и её производные в (20), через начальные данные задачи (1) - (3). Для этого используется решение задачи (1) - (3)

^{( )}

1 1 0

( , ) ( ) ( ) { ^{k k} ( ) } ( ).

t

i t i t r

k k k k k

k k

u x t ^ T t u x ^  e^ i e^{ } f  d u x

 













(21)

Здесь _k ( ,f u_k), f t_к( )(a u u₂, _k), ( , )  скалярное произведение в L₂(0, ),r _k,u_k собственные значения и собственные функции оператора L  ²_x a x₁( ) с краевым условиями Неймана

(0) 0, ( ) 0

u  u r  . Известно [10], что _k, u_k вещественны, а u_k образуют ортонормированный базис в L₂(0, )r . Все производные ^{u x t}

 

^, в (20), оцениваются с помощью представления этих производных через оператор L  ²_x a x₁( ) и его некоторой степени ( до 2-го порядка) с применением интерполяционных неравеств. В силу этого, для l v²( ) получаем оценку

8 8 3

2 ( 0 , ) 2 ( 0 , ) 2 ( , )

2 2 2

2( ) ( ) .

r r T T

W W W

l v С a f c g

   

В итоге, из (19) имеем

8 8 3 3 3 2

2 ( 0, ) 2 ( 0, ) 2 ( 0, ) 2 ( , ) 2 ( 0, ) 2 ( , ) 2 ( 0, )

2 { 2( 2 2 ) 2 2 2( )[ 2 2 ] 2 2 2 }.

r r r T T r T T r

sm

L W W W W W W

С a С c  a f С  g c  f g Te f

 

       

Отсюда получаем оценку (5).

Теорема доказана.

Заключение

Доказана теорема устойчивости обратной задачи. Исходная задача сводится сначала к задаче определения правой части уравнения. В силу отсутствий условий на эту правую часть, она исключается, вводя новую переменную посредством действий коммутаторов операторов задачи задача сводится к системе уравнений. Доказанная теорема получена с применением метода карлемановских оценок и оценки решения прямой задачи и ее производных с использованием интерполяционных неравенств.

Список использованной литературы:

1 Carleman T. Sur un probléme d'unicité pour les systémes d'équations aux derivées partielles á deux variables independents // Ark. Mat. Astr.Fys., 2B (1939), 1-9.

2 Avdonin S., Mikhaylov V. and Ramadi K. Reconstructing the potential for the one-dimensional Schrodinger equation from boundary measurements // IMA Journal of Mathematical Control and Information, (2014), 31, no. 1, 137–150.

3 Baudouin L. and Puel J. P. Uniqueness and stability in an inverse problem for the Schrödinger equation // Inverse Problems, 18 (2002), 1537-1554.

4 Gao P. A new global Carleman estimate for Cahn-Hilliard type equation and its applications // J. Differential Equations, 260 (2016), 427-444

5 Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verlag; 2006

6 Yamamoto M. Carleman estimates for parabolic equations and applications // Inverse Probl. 2009, 25:123013.

7 Bukhgeim A.L. Introduction to the theory of inverse problems, De Gruyter, 2012.

8 Klibanov M.V. and Timonov A. Carleman Estimates for Coefficient Inverse Problems and Numerical Applications.

VSP, Utrecht, The Netherlands, 2004.

9 Klibanov M.V., Koshev N.A., Li J. and Yagola A. G. Numerical solution of an ill-posed Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation using a Carleman weight function // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2016.

10 Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1983.

МРНТИ 27.25.19