Қорытынды

МРНТИ 30.15.19 УДК 531.36

F- ЭССЕНЦИЯ КОСМОЛОГИЯ С НЕОДНОРОДНОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

4. Қорытынды

Космологиялық гравитациялық өріс аясында біртекті емес тұтқыр сұйықтық (және күңгірт энергия) пен сызықтық емес f -эссенция арасындағы эквивалент табылды. Біртекті емес тұтқыр сұйықтықтың әр түрлі типтерін сызықтық емес f -эссенция арқылы модельдеуге болатындығы көрсетілген. Біртекті емес тұтқыр сұйықтықты немесе күңгірт энергияны сипаттаудың жаңа сипаттамасын қолдану арқылы Әлем эволюциясы изотропты ФРУ моделінің аясында зерттелді. Тиісті Эйнштейн теңдеулері шешілді.

Тұтқырлықтың екі түрі қарастырылады: тұрақты және Хаббл параметріне пропорционалды. Тұрақты тұтқырлық жағдайында Әлем үдеумен ұлғаятыны, ал екінші жағдайда осы параметрді таңдауға байланысты болатындығы көрсетілген. Сонымен қатар, екі жағдайда да, космологиялық тұрақты

1

=

 болғанда, f -эссенция өрісінің потенциалдық энергиясы шексіздікке ұмтылатыны көрсетілген.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1 Riess A.G. et al. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant // The Astronomical Journal. – 1998. – Vol. 116, № 3. – P. 1009-1038.

2 Nojiri S., Odintsov S.D. Inhomogeneous equation of state of the universe: Phantom era, future singularity, and crossing the phantom barrier // Physical Review D. – 2005. – Vol. 72, № 2. – P. 023003.

3 Brevik I. H., Gorbunova O. Dark energy and viscous cosmology // General Relativity and Gravitation. -2005. – Vol. 37, № 12. – P. 2039-2045.

4 Nojiri S., Odintsov S.D. The new form of the equation of state for dark energy fluid and accelerating universe //

Physics Letters B. – 2006. – Vol. 639, № 3-4. –P. 144-150.

5 Capozziello S., Cardone V.F., Elizalde E., Nojiri S., Odintsov S.D. Observational constraints on dark energy with generalized equations of state // Physical Review D. – 2006. – Vol. 73, № 4. – P. 043512.

6 Myrzakul S., Sebastiani L., Myrzakulov R. Inhomogeneous viscous fluids in FRW universe and finite-future time singularities // Astrophysics and Space Science. – 2014. – Vol. 350, № 2. – P. 845-853.

7 Myrzakul S., Sebastiani L., Myrzakulov R. Inhomogeneous fluids for warm inflation // Astrophysics and Space Science. – 2015. – Vol. 357, № 2. – P. 168.

8 Jamil M., Myrzakulov Y., Razina O., Myrzakulov R. Modified Chaplygin gas and solvable F-essence cosmologies // Astrophysics and Space Science.–- 2011. - Vol 336, № 2. – P. 315-325.

9 Kulnazarov I., Yerzhanov K., Myrzakul S., Razina O., Tsyba P., Myrzakulov R. G-essence with Yukawa interactions // The European Physical Journal C. – 2011. – Vol. 71. – P 1698.

10 Myrzakul S., Sebastiani L., Myrzakulov R. k-essence in Horndeski models // Astrophysics and Space Science. – 2016. – Vol 361, № 8. – P. 254.

11 Myrzakul S., Sebastiani L., Myrzakulov R. Reconstruction of k-essence inflation in Horndeski gravity // The European Physical Journal Plus. – 2017. – Vol. 132, № 10. – P. 433.

12 Jamil M., Momeni D., Serikbayev N.S., Myrzakulov R. FRW and Bianchi type I cosmology of f-essence //

Astrophysics and Space Science. – 2012. – Vol 339, № 1. – P. 37-43.

13 Bamba K., Yesmakhanova K., Yerzhanov K., Myrzakulov R. Reconstruction of the equation of state for the cyclic universes in homogeneous and isotropic cosmology // Central European Journal of Physics. – 2013. – Vol. 11, № 4. – P.

397-411.

14 Myrzakul Sh.R., Myrzakul T.R., Belisarova F.B., Abdullayev Kh., Myrzakulov K.R. Noether symmetry approach in f-essence cosmology with scalar-fermion interaction // News of the national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Physico-Mathematical Series. – 2017. Vol. 5, № 315. – P. 163-171.

15 Myrzakul S.R., Belisarova F.B., Myrzakul T.R., Myrzakulov K.R. Dynamics of f-essence in frame of the Starobinsky model // News of the national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Physico-Mathematical Series. – 2017.

– Vol. 5(315) – P. 143-148.

МРНТИ 41.29.15; 41.29.17; 41.29.25; 41.29.33

УДК 524.4; 524.82; 524.83; 524.85

Ш.Р. Мырзақұл^1,2,3, Е.М. Мырзакулов¹, М.Арзимбетова², А.П. Наширов¹

1Евразийский университет имени Л.Н. Гумилева, Нур-Султан, Казахстан

2Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан

3Назарбаев университет, Нур-Султан, Казахстан ДИНАМИКА f -ЭССЕНЦИИ В F(R,T)ГРАВИТАЦИИ

Аннотация

Модифицированные теории гравитации стали своего рода парадигмой в современной физике, поскольку они, кажется, решают несколько недостатков стандартной Общей теории относительности (ОТО), связанной с космологией, астрофизикой и квантовой теорией поля. Наиболее известные модифицированные теорий гравитации являются F(R)и F(T) теории гравитации. Обобщение этих двух модифицированных теории F(R) и F(T) гравитаций, которое впервые было предложено Мырзакуловым Ратбаям. В данной работе исследована неоднородная изотропная космологическая модель с фемионным полем f -эссенцией, действие которой имеет вид S_RT =



d⁴x g[F(R,T)L_m]^{, где R} - скаляр кривизны, а T - скаляр кручения, L_m - лагранжиан f - эссенции. Детально изучается частный случай при F(R,T)=RT, получены параметры, описывающие текущее ускоренное расширение Вселенной. Определён вид лагранжиана f -эссенции данной модели.

Представленные результаты показывают, что F(R,T)гравитация с f -эссенцией может описывать ускоренное расширение Вселенной.

Ключевые слова: Вселенная, ускоренное расширение, космология, f -эссенция, фермионное поле, метрика Фридмана-Робертсона-Уокера, F(R,T)-гравитация.

Аңдатпа

Ш.Р. Мырзақұл^1,2,3, Е.М. Мырзакулов¹, М.Арзимбетова², А.П. Наширов¹

1Л.Н.Гумилев ат. Еуразия ұлттық университеті, Нұр-Сұлтан қ., Казахстан

2Әл-Фараби ат. Қазақ ұлттық университеті, Алматы қ., Казахстан

3Назарбаев Университеті, Нұр-Сұлтан қ., Казахстан )

, (R T

F ГРАВИТАЦИЯСЫНДАҒЫ f – ЭССЕНЦИЯ ДИНАМИКАСЫ

Гравитацияның модификацияланған теориялары қазіргі физикада өзгеше парадигманың түріне айналды, өйткені олар космология, астрофизика және кванттық өріс теориясымен байланысты стандартты жалпы салыстырмалылық теориясының бірнеше кемшіліктерін шешкен сияқты. Гравитацияның ең танымал модификацияланған теориялары - F(R) және F(T)гравитациялық теориялары. осы екі теорияның жалпыланған түрін ең алғаш рет Мырзақұлов Ратбай ұсынған. Бұл жұмыста біз f -эссенция фермиондық өрісі бар біртекті емес изотропты космологиялық модельді зерттейміз, оның әсері мынан түрде

] ) , ( [

= ⁴ _m

RT d x g F RT L

S



  ^{, мұнда R} – қисықтық скаляры және T– ширату скаляры және L_m – f - эссенция лагранжианы. Әлемнің үдетілген ұлғаюын сипаттайтын параметрлер алынған. Нақты жағдай

T R T R

F( , )=  қарастырылып, толықтай зерттеледі. Бұл модельдің f -эссенция лагранжианың түрі анықталған. Ұсынылған нәтижелер f -эссенциясы бар F(R,T) гравитациясы Әлемнің үдетілген ұлғаюын сипаттайтындығын көрсетеді.

Түйін сөздер: Әлем, үдемелі ұлғаю, космология, f -эссенция, фермионды өріс, Фридман-Робертсон-Уокер метрикасы, F(R,T)-гравитациясы.

Abstract

DYNAMICS of f - ESSENCE in F(R,T) GRAVITY Myrzakul Sh. R. ^1,2,3, Myrzakulov E.M. ¹, Arzimbetova A.P. ², Nashirov A.P.¹

1L.N.Gumilyov Eurasian National University, Nur-Sultan, Kazakhstan

2Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

3Nazarbayev University, Nur-Sultan, Kazakhstan

Modified theories of gravity have become a kind of paradigm in modern physics because they seem to solve several shortcomings of the standard General Relativity (GR) related to cosmology, astrophysics and quantum field theory. The most famous modified theories of gravity are F(R) and F(T) theories of gravity. A generalization of these two modified theories and gravitations, which was first proposed by Myrzakulov Ratbay. In this paper, we study an inhomogeneous isotropic cosmological model with a femion field f-essence whose action has the form

] ) , ( [

= ⁴ _m

RT d x g F R T L

S



  ^{, where R} is the scalar of curvature, and T is the torsion scalar, and L_m is the Lagrangian f-essence. A particular case F(R,T)=RT is studied in detail when parameters are obtained that describe the current accelerated expansion of the Universe. The type of Lagrangian f -essence of this model is determined. The presented results show that gravity with f -essence can describe the accelerated expansion of the Universe.

Keywords: Universe, accelerated expansion, cosmology, f -essence, fermion field, Friedmann-Robertson-Walker metric, F(R,T)-gravity

Введение

Идея расширить теорию гравитации Эйнштейна плодотворна и экономична в отношении нескольких попыток, которые пытаются решить проблемы путем добавления новых и, в большинстве случаев, неоправданных новых компонентов, чтобы дать самосогласованную картину динамики.

Наблюдаемое сегодня, ускоренное расширение потока Хаббла и недостающее вещество астрофизических крупномасштабных структур, в первую очередь, включены в эти соображения. Обе проблемы могут быть решены путем изменения гравитационного сектора, т.е. полевых уравнений.

Философия является альтернативой для добавления новых космических жидкостей (новых компонентов в уравнениях поля), которые должны приводить к кластерным структурам (темная материя) или к ускоренной динамике (темная энергия) благодаря экзотическим уравнениям состояния.

В частности, ослабляя гипотезу о том, что гравитационный лагранжиан должен быть линейной функцией скаляра кривизны Риччи R, как и в формулировке Гильберта-Эйнштейна, можно в качестве минимального расширения принять во внимание эффективное действие, когда гравитационный лагранжиан является общей функцией.

Основными и известными примерами таких модифицированных теорий гравитации являются F(R) теория гравитации и F(T) теория гравитации. В этом направлении обобщение теорий гравитации

) (R

F и F(T) обещает стать перспективным и интересным вариантом модифицированных теорий гравитации. Одно из таких обобщений теорий F(R) и F(T) было впервые представлено в [1] (см.

также [2-7]). Там было показано, что скаляр кручения, а также скаляр кривизны без источника материи приводит к образованию этого объединения, расширению Вселенной, инфляции и так далее. Данное обобщение включает в себе все свойства теории F(R) и F(T) гравитаций.

Астрономические наблюдения предполагают, что на очень больших масштабах Вселенную можно рассматривать как однородную и изотропную для космологических целей, и поэтому она хорошо описывается метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ). В данной работе исследуется динамика фермионного поля f -эссенции в рамках F(R,T) гравитации, описываемой метрикой ФРУ. Подробно исследован частный случай F(R,T)=RT, где  и  – действительные постоянные. Получены необходимые космологические параметры.

Основы гравитации

Действие имеет следующий вид [1]:

], ) , ( [

= ⁴ _m

RT d x g F R T L

S



  ⁽¹⁾

где L_m - лагранжиан материи, R - скаляр кривизны, T - скаляр кручения

.

= ,

=  



R T S T g

R (2)

Впервые данное обобщение было предложено в работе [1], а его свойства исследованы в работах [2-15]. В целом G^ имеет вид

,

=

= 





 

 

 

 e e e e  K

G i ji

j i

i     (3)

где  - связь Леви-Чивиты, а 

K - конторсион. Метрику мы пишем в стандартной форме как .

2= i j

ijdxdx g

ds (4)

Ортонормальные тетрадные компоненты e_i(x^) связаны с метрическим тензором следующим образом

.

= _ijeⁱe^j

g_  _{ } (5)

Ортонормированное условие задается как

.

= _ ^{ }

_ij g e_ie_j (6)

Здесь _ij =diag(1,1,1,1) , где мы использовали отношение .

= ⁱ_j

j ie

e_ ^  (7)

Основы f - эссенции

Кратко изложим некоторые основы фермионной модели f -эссенции обозначенной в работе [7].

Действие модели имеет вид [7]

)], , , ( 2 [

= d⁴x g R K Y 

S_f



  ⁽⁸⁾

где



_и  =^†⁰ обозначают фермионное поле и его сопряжение, соответственно, крест означает

комплексное сопряжение и R это скаляр Риччи. K является плотностью лагранжиана фермионного поля, канонический кинетический член которого имеет вид

].

) ( 2 [

=1i^D_  D_ ^

Y (9)

Здесь ^ =e_a^^aявляется обобщенные матрицы Дирака-Паули, удовлетворяющие алгебре Клиффорда

, 2

= } ,

{^ ^ g^ (10)

где скобки обозначают анти-коммутационное соотношение. e_a^ обозначает тетраду, тогда как ковариантная производная задается формулой

.

= ,

= _{    }

   D  

D (11)

Фермионная связь _ определяется формулой

, ] 4 [

= 1 _{ }^{ } _{ } ^{ }

      

 g e_b e^b (12)

где _^ обозначают символы Кристофелля.

Фермионные поля рассматриваются здесь как классически коммутирующие поля. Под классическим фермионным полем мы понимаем набор из четырех комплексных функций пространства-времени, которые преобразуются в соответствии со спинорным представлением группы Лоренца. Существование таких полей имеет решающее значение в нашей работе, поскольку, несмотря на то, что фермионы описываются квантованными фермионными полями, которые не имеют классического предела, мы предполагаем, что такие классические поля существуют, и используем их как поля материи, связанные с гравитацией.

Гравитация Мырзакулова с f -эссенцией

Теперь рассмотрим F(R,T) с f -эссенцией. Его действие задается как ], , , ( 2 ) , ( [

= d⁴x g F R T K Y  

S



  ⁽¹³⁾

где R и T - скаляры кривизны и кручения соответственно выражаются в виде

.

= ,

=  



R T S T g

R (14)

Частный случай для метрики Фридмана-Робертсона-Уокера

Чтобы упростить, в этом разделе сделаем следующие два упрощения проблемы, а именно, предполагаем, что:

1) F имеет форму

,

= R T

F   (15)

где  и  - некоторые положительные константы.

2) рассмотрим только пространство-время Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ) с метрикой ).

( ) (

= ^{2 2 2 2 2}

2 dt at dx dy dz

ds     (16)

Тогда действие (13) принимает вид

)].

, , ( 2 [

= dx⁴ g R T K Y 

S



   ⁽¹⁷⁾

Наше следующее важное предложение заключается в том, что для метрики ФРУ R и T принимают формы

 

,

= 6

= 6

=

,

= 2 6

= 6

=

2 2

2

2 2

2

S

S

T v H a v

v a T

R u H H a u

a a u a R











 



 



 





 





(18)

где u и v - некоторые функции от R T dt

a a d

a _j

j

, , ,

, и так далее. Здесь

 

. 6

= 6

=

, 2 6

= 6

=

2 2

2

2 2

2

a H T a

H a H

a a R a

S S





 



 



 



 





(19)

Далее действие для нашей модели можем переписать как ], [

= dx⁴ g R_r T_w L_m

S



 ^ ^  ⁽²⁰⁾

где L_m =uvL_m=uv2K(Y,,)=2K(Y,,). (21) Для метрики ФРУ матрицы Дирака искривленного пространства-времени ^ имеют вид

1,2,3).

= (

= ,

= ,

=

= ,

= ,

= ^{0 1 5 0 1 2 3 5} ₀ ⁰

0  ^j a  ^j  i g      _j a^j i

 ^ (22)

Отсюда получаем

0

0 2

=1 0,

= _j a^j

 (23)

и

 

^.

2

=1i⁰^⁰

Y (24)

Наконец, отметим, что гамма-матрицы, которые мы записываем в базис Дирака, имеют вид 0 ,

= 0 0 ,

= 0 0 ,

= 0 ⁵

0 

 



 



 





 



 





 I

I I

I

k k

k 



 

 (25)

где I =diag(1,1) и ^k - матрицы Паули, имеющие следующую форму 1. 0

0

= 1 0 ,

= 0 0 ,

1 1

= 0 ^{2 3}

1 



 





 



 



 



 



  

 i

i (26)

Перепишем действие (20) в следующем виде

,

= dt gL

S



 ⁽²⁷⁾

где L - точечный лагранжиан. Для нахождения уравнений движения модели используем уравнения Эйлера-Лагранжа. В нашем случае уравнения Эйлера-Лагранжа задаются следующим образом

0.

= 0,

= 0,

= 0,

= 0,

=      ^

 

 







 







 







 







 



 L

dt d L L

dt d L T

L dt

d T L R

L dt

d R L a

L dt

d a

L (28)

Соответственно условие нулевой энергии задается как

. 0

=

= L L L

TT R L R a L a

E_L L 



 



 











 

 

 ^{  }

 

 

  (29)

Наконец, уравнения движения для нашей модели принимают вид

0,

= )

0.5(3

0,

= )

0.5(3 0,

= 3

2

0,

= 3

0 0 2

2



















K i K K H K

K i K K H K

p H H H

Y Y Y

Y Y Y



















 

 



(30)

где =YK_Y K, p=K, Z=Y_Y 1. (31)

Фермионное уравнение состояния Мырзакулова имеет вид .

=Z^1

p (32)

Космологическое решение

В настоящее время Вселенная находиться в фазе ускоренного расширения. В рамках метрики ФРУ динамику Вселенной описывает масштабный фактор a(t), который должен ускоренно расти со временем. Поэтому в данной работе рассмотрим более общее решение в виде степенного закона изменения масштабного фактора как

,

=a₀tⁿ

a (33)

где n - положительная постоянная, принимающее значение больше единицы. Тогда из (31) получим

соответствующие выражения для плотности энергии и давления

 

3 .

= 2 , 3

=

2 2 2

t n p n

t n





(34) Соответствующий параметр уравнения состояния будет иметь следующий вид

3 . 1 2

=  n

 (35)

Если lim_n=1, то эта модель описывает ускоренное расширение Вселенной с =1. Лагранжиан фермионного поля K для данной модели будет зависеть только от кинетического члена в следующем виде

 

. 3 =

= 2 2

= 3 ²³

2 4 2 3

2 2 3

2 2

n n

Y C Y

C n n t

n

K n ^





  (36)

Данное выражение показывает, что при limnK =0, т.е. параметр состояния будет стремиться к вакуумному значению =1, фермионы прекращают двигаться и взаимодействовать. Полученный результат согласуется с определением физического вакуума.

Заключение

В работе исследован вид модифицированной теории F(R,T) гравитации, описывающий текущее ускоренное расширение Вселенной. Рассмотрен частный случай (15) с f -эссенцией. Получены уравнения движения данной модели. В качестве частного решения рассмотрен масштабный фактор в виде степенного закона. Найдены необходимые параметры, описывающие динамику фемионного поля.

Наконец, нашли соответствующий вид функции Лагранжа фермионного поля K . Представленные результаты показывают, что F(R,T)гравитация с f -эссенцией может описывать ускоренное расширение Вселенной.

Список использованной литературы:

1 Myrzakulov R. F(T) gravity and k-essence [arXiv:1008.4486].

2 Myrzakulov R. Dark Energy in F(R,T) Gravity. [arXiv:1205.5266].

3 Myrzakulov R. FRW Cosmology in F(R,T) gravity. The European Physical Journal C, 72, N11, 2203 (2012).

[arXiv:1207.1039].

4 Sharif M., Rani S., Myrzakulov R. Analysis of F(R,T) Gravity Models Through Energy Conditions. Eur. Phys. J.

Plus, v.128, N11, 123 (2013). [arXiv: 1210.2714].

5 Yi-Fu Cai, S. Capozziello, M. De Laurentis, E.N. Saridakis. f(T) teleparallel gravity and cosmology.

Rept.Prog.Phys. 79 (2016) no.4, 106901. [arXiv: 1511.07586].

6 Capozziello S., M. De Laurentis, R. Myrzakulov. Noether Symmetry Approach for teleparallel-curvature cosmology. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, v12, N9, 1550095 (2015) [arXiv:1412.1471]

7 Myrzakulov R. Cosmological models with non-canonical scalar and fermion fields: k-essence, f-essence and g- essence. [arXiv:1011.4337].

8 Amani Ali R., A. Samiee-Nouri. Logarithmic entropy corrected holographic dark energy with F(R,T) gravity.

Commun. Theor. Phys., 64, 485-490 (2015). [arXiv:1410:4172].

9 Amani Ali R., S.L. Dehneshin. Interacting F(R,T) gravity with modified Chaplygin gas. Canadian Journal of Physics, 2015, 93(12). [arXiv:1412:0560].

10 Salti M., M. Korunur, I. Acikgoz, N. Pirinccioglu, F. Binbay. f(T,R) theory of gravity. International Journal of Modern Physics D, Vol. 27 (2018) 1850062 (15 pages).

11 Chattopadhyay S.. A Study on the Interacting Ricci Dark Energy in f(R,T) Gravity. Proc. Natl. Acad. Sci., India, Sect. A Phys. Sci. (January-March 2014) 84(1):87-93. DOI 10.1007/s40010-013-0090-8.

12 Meirbekov B., G. Bauyrzhan and K. Yerzhanov. FRW cosmology of Myrzakulov gravity with k-essence.

13 Meirbekov B., O. Razina and P. Tsyba. Cosmological solutions of Myrzakulov gravity with fermionic fields.

14 Meirbekov B., Y. Myrzakulov and K. Yerzhanov. Myrzakulov gravity with f-essence and its FRW cosmology.

15 Yerzhanov K. and B. Meirbekov. Noether symmetry of Myrzakulov gravity with k-essence.

МРНТИ 27.31.21