"V За
9
За У 2 \ ( За У 2 За ' 2
За 2
а / 2 За 2
а У 2 2 "
(9а-. 9 а -\ /9 а 2 а 2\
2 4 /\ 4 2 J а У 7
Значит, г = — <= _
Р 2 ( / 2 + 1 ) За 2 / 7
4
V?J = У (2 + К г ) .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ I. Площадь треугольника
2
220. Д оказать, что площадь треугольника равна —/пагп/, si n а, где гпа, ть —
О
медианы, а а — угол между ними.
221. В треугольнике ЛВС известны ЛС = 3 см, / Л — 30°, радиус описанной окружности 2 см. Д оказать, что площадь треугольника Л В С меньше 3 см2.
Ь'1 -|- с-
222. Д оказать, что S ^ ------- , где b и с — стороны треугольника, a S — его площадь.
223. Стороны треугольника равны 55, 55, 6G см. Найти площадь треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис дг. иного треугольника.
224. В треугольнике A B C известны стороны: А В = 13 см, ВС = 15 см, А С =
= 14 см. Проведены высота В Н , биссектриса BD, медиана В М . Найти: а) площадь
треугольника BIID, б) площадь треугольника BMD\ в) площадь треугольни
ка В НМ.
225. Н а кэжлоіі медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отноше
нии 5 : 1 , считая от вершины. Найти площадь треугольника с вершинами в этих точках, если площадь исходного треугольника равна 64 см2.
226. В треугольник с основанием а вписан квадрат. Найти площадь треуголь
ника, если известно, что сторона квадрата больше половины основания треугольника и площадь квадрата составляет — часть площади треугольника.
227. Около треугольника A B C с углом В = GCf описана окружность радиуса 4 см- Диаметр окружности, перпендикулярный к стороне ВС, пересекает А В в точ
ке М так, что А М : В М = 2 : 3 . Найти площадь треугольника.
228. Найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой с, если из
вестно, что сумма синусов его острых углов равна q.
229. Найти площадь прямоугольного треугольника с острым углом а , если из
вестно, что расстояние от вершины другого острого уіла до центра вписанной окруж ности равно т.
230. В остроугольном треугольнике A B C известны А В = с, медиана B D — т, / _ B D A = Р (Р < 90=). Найти площадь треугольника ABC.
231. Через вершину угла а при основании равнобедренного треугольника про
ведена прямая под углом Р к основанию (Р < а), разбивающая треугольник на две части. Н аіп и отношение площадей этих частей.
232. Через середину стороны правильного треугольника проведена прям ая, образующая с этой стороной острый угол а. Найти отношение площадей тех частей, на которые эта прямая разбивает треугольник.
2оЗ. В треугольнике A B C известны два угла: /_А = а , / С = у. Проведены биссектриса BD, высота В Н и медиана В М . Найтн: а) отношение площади треуголь
ника B D M к площади треугольника A B C; б) отношение площади треугольника В Н М к площади треугольника A B C; в) отношение площади треугольника B HD к площади треугольника ABC.
234. Найти площадь треугольника, зная его стороны а и & и биссектрису 1С —
= /.
235. Медиана A D треугольника A B C пересекает описанную около треугольни
ка окружность в точке Е. Найтн площадь треугольника ABC, если известно, что / B A D = 60°, А В + A D = DE, А Е = 6.
236- Д оказать, что 5 1 где S — площадь треугольника, a R — радиус описанной около него окружности.
237. Один нз углов треугольника равен 60°. Точка касания вписанной окруж но
сти делит противолежащую этому углу сторону на отрезки а и Ъ. Найти площадь треугольника.
238. В треугольнике A B C нз точки М на стороне А В проведены прямые Л-IQ ||
ІІ А С и М Р |j ВС. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника BMQ равна Si, а площадь треугольника А М Р равна S 2.
239. Через точку, взятую внутри треугольника, проведены прямые, параллель
ные его сюронлм. Они разбивают треугольник на 6 частей, среди которых есть три треугольника с площадями S i, S 2 и S n. Найтн площадь исходного треугольника.
240. В треугольник со сторонами 16, 30 и 34 см вписана окружность. Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки касания.
241. Треугольник A B C со стороной А С — 20 см вписан в окружность. Через точку В проведена касательная к окружности, удаленная от точек А н С иа расстоя
ния соответственно 25 и 16 см. Найти площадь треугольника ABC.
242. Из точки М,\ расположенной внутри треугольника A B C, опущены перпен
дикуляры MD, МП н M F на стороны соответственно А В , ВС и АС. Найти отноше
ние площадей треугольников A B C и DEI-', если известно, что А В = с, ВС = а, А С = b, M E = к, M F = т и M D = п.
243. В треугольнике ЛВ С проведены высоты A D , B E и CF. Найти отношение площадей треугольников D E F и А ВС, если известны углы треугольника ABC:
а , Р и у.
244. Хорда А В стягивает дугу окружности, длина которой равна - j длины ок
ружности. На этой дуге взята точка С, а на хорде А В — точка D. Найтн площадь треугольника ABC, если известно, что AD = 2 см, BD — 1 см и CD — f r 2 см.
245. В треугольнике ЛВ С угол С равен 00° и радиус описанной окружности равен 2 1 3 см. На А В взята точка D так, что AD : DB = 2 : 1 , CD — 2 У 2 см.
Найти площадь треугольника ЛВС.
5
246. В равнобедренном треугольнике A B C ( АВ = ВС) угол А равен a rc s in —.13 13
Окружность, центр которой удален от вершины В на расстояние - см, касается боко- 24
вых сторон А В в точке К и ВС в точке Р и отсекает на основании А С отрезок EF.
Найти площадь треугольника ЕРС, если известно, что PC = — см.6 5
247. Около треугольника A B C описана окружность. Касательная к окружности в точке В пересекает прямую А С в точке D (точка С лежит между А и D). Найти площадь треугольника B C D, если известно, что / _BDC — a rc c o s --, 21 BD = 29 см, а расстояние от центра окружности до А С равно 10 см.
II. Площадь четырехугольника
248. Через вершины четырехугольника проведены прямые, параллельные его диагоналям. Д оказать, что площадь получившегося параллелограмма в два раза больше площади заданного четырехугольника.
249. Стороны параллелограмма а и Ь, угол между ними а. Найти площадь че
тырехугольника, образованного биссектрисами внутренних углов параллелограмма.
250. Средняя линия равнобедренной трапеции равна а, диагонали взаимно пер
пендикулярны. Найти площадь трапеции.
251. Периметр трапеции 52 см, меньшее основание 1 см. Найти площадь трапе
ции, если известно, что ее диагонали являются биссектрисами тупых углов.
252. Окружности радиусами 4 и 8 см с центрами в точках 0\ и 0 2 пересекаются в точках С п D, А В — их общая внешняя касательная. Найтн площадь четырехуголь
ника Оі АВО2, если известно, что касательные к окружностям, проведенные в точке С, взаимно перпендикулярны.
253. Две равные окружности радиусом R с центрами в точках Oi и 0 2 касаются внешним образом. Прямая / пересекает эти окружности в точках А , В, С и D так, что А В = ВС = CD. Найти площадь четырехугольника OiADO>.
254. Стороны треугольника 20, 34 и 42 см. Высота, лежащ ая внутри треуголь
53
ника, разделена в отношении 3 : 1 , считая от вершины, и через точку деления прове
дена прямая перпендикулярно этой высоте. Найти площадь полученной трапеции.
255. Стороны треугольника 20, 34 и 42 см. Найти площадь вписанного прямо
угольника, если известно, что его периметр равен 45 см.
256. Основания трапеции G2 и 20 см, боковые стороны 45 и 39 см. Найти пло
щадь трапеции.
257. Основания трапеции 30 и 12 см, диагонали 20 и 34 см. Найти площадь тра
пеции.
258. Одно из оснований трапеции 7 см. Вписанная в трапецию окружность де
лит одну из боковых сторон на отрезки 4 и 9 см. Найти площадь трапеции.
259. В трапеции A BCD точка К — середина основания AD, точка М — сере
дина основания ВС, В К — биссектриса угла ABC, D M — биссектриса угла ADC.
Найти площадь трапеции ABCD, если ее периметр равен 30 см, а / B A D — 60°.
260. В выпуклом четырехугольнике A BCD точки Е, Г, Р и К — соответственно середины сторон А В , ВС, CD и AD. Известно, что ЕР = KF. Найти площадь четы
рехугольника A BCD, если АС — 15 см и BD = 20 см.
261. Найти площадь параллелограмма, зная его стороны а и b (а > Ь) и угол а между диагоналями.
262. Найти площадь трапеции с острым углом сс при основании, если известно, что одно из оснований трапеции является диаметром описанной около трапеции ок
ружности радиуса R.
263. В трапецию с острыми углами а и (5 вписан круг. Найти отношение площ а
ди трапеции к площади круга.
264. В треугольнике A BC известны углы: / Л = а , / В = р, / С = у и высота BD — //. На BD как иа диаметре построена окружность, пересекающая стороны А В и ВС в точках Е и Ғ . Найти площадь четырехугольника BFDE.
265. П рямая I, параллельная основанию АС треугольника A BC , отсекает от него треугольник B ED. На стороне А С взята произвольная точка /VI. Д оказать, что площадь четырехугольника B E M D есть среднее геометрическое между площадью треугольника A B C и площадью треугольника D BE .
266. В трапеции A BCD (AD |] ВС) диагонали пересекаются в точке О. Найтн площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника AOD равна а2, а пло
щадь треугольника В ОС равна Ь~.
267. В ромбе A BCD точки М, N , Р и Q есть соответственно середины сторон А В , ВС, CD и AD. Найти площадь четырехугольника, ограниченного прямыми A N, В Р , D M и CQ, если площадь ромба равна 100 см2.
268. Две окружности радиусами а и b касаются внешним образом. К ним про
ведены общие внешние касательные. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания.
269. Диагонали четырехугольника A BCD пересекаются в точке О. Найти пло
щадь четырехугольника, если известно, что площади треугольников АОВ, ВОС и COD равны соответстгенио 12, 18 и 24 см2.
270. Пкружкость касается сторон А В и AD прямоугольника ABCD, проходит через вершину С и пересекает сторону DC в точке К. Найти площадь четырехуголь
ника A B K D , если В — 9 см, AD = 8 см.
271. Внутри прямоугольника ABCD взята точка М так, что A M — Y 2, В М =
— 2 и СМ = 6. Найти площадь прямоугольника ABCD, если известно, что A D —
= 2 АВ.
II I. Площадь многоугольника
272. На катетах А С и ВС и гипотенузе А В прямоугольного треугольника A B C как на сторонах построены і.вадратп (вне треугольника) С МР А , ВЕГ С и A D K B . Найти площадь шестиугольника D K E F M P, если А В — с и 5лЛ[ІС — S.
273. На сторонах АС, ВС и А В треугольника A B C построены квадраты СМРА, B EFC и A D K B . Найти площадь шестиугольника D K E F M P , если известно, что А В = 13 см, АС = 14 см, ВС — 15 см.
274. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что получился правиль
ный восьмиугольник. Найти площадь восьмиугольника.
275. Дан квадрат со стороной а. На каждой стороне квадрата сне его построена трапеция так, что верхние основания трапеций и их боковые стороны образуют пра
вильный двенадцатиугольник. Найти площадь двенадцатиугольника.
276. Окружность разделена на восемь частей точками А, В, С, D, Е, F, Р и /( . Известно, что А В = —'C D = —-£ F = —-Р/С и -—-/ІС = '—D E = -—ГР =
= К А; кроме того, '—А В = 2 —'В С ■ Найти площадь восьмиугольника A B C D E F P K , если площадь круга равна 289л см2.
. 277. В круг радиуса R вписаны правильный треугольник и квадрат, имеющие общую вершину. Найти площадь их пересечения.
278. Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении 3 : 2 : 3 . Найти отношение площади шестиугольника, вершинами которого служ ат точк і деле
ния, к площади треугольника.
279. Площадь четырехугольника A BCD равна 12 см2. На сторонах А В, ВС, CD и DA взяты точки F, К, М и Р так, что A F : Г В = 2 : 1 , В К ■ КС = 1 : 3 , СМ : MD = 1 : 1 и D P : Р А = 1 : 5 . Найти площадь шестиугольника A F K C M P .
IV. Плошади комбинированных фигур
280. Стороны треугольника 20, 34 и 42 см. Найти отношение площадей вписан
ного и описанного кругов.
281. Сторона правильного треугольника равна а. На ней как на диаметре по
строен круг. Найти площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.
282. В правильный треугольник вписан круг. С центром в одной из вершин тре
угольника проведен второй круг, радиус которого равен половине стороны треуголь
ника. Какую часть площади треугольника составляет площадь пересечения кругов?
283. Две окружности радиусами а и b (а > Ь) касаются внешним образом. Қ ним проведена общая внешняя касательная. Найти: а) площадь полученного кри
волинейного треугольника; б) площадь круга, вписанного в этот треугольник.
284. Сторона правильного треугольника равна а. Центроид треугольника служит центром круга радиуса — . Найти площадь части треугольника, лежащей вне круга.а 285. Внутри квадрата со стороной а на каждой стороне как на диаметре построе
ны полукруги. Найти площадь полученной розетки.
286. Каждая из п равных окружностей касается двух соседних. Найти площадь фигуры, ограниченной ближайшими друг к другу дугами этих окружностей, если известно, что радиус окружности, с которой все данные окружности имеют внутрен
нее касание, равен R и что: а) п — 3; б) п = 4; в) п = 6.
287. Из точки, взятой на окружности радиуса R, проведены две равные хорды;
угол между хордами равен а . Найти площадь части круга, заключенной между эти
ми хордами.
55
288. Пусть A B C D E K — правильный шестиугольник со стороной а, точка 0 — его центр. Проведены три окружности: первая с центром в точке А проходит через точки С и Е\ вторая с центром в точке В проходит через точки О и С; третья с центром в точке К проходит через точки 0 и Е. Найти площадь фигуры, ограниченной этими тремя окружностями и лежащей внутри шестиугольника.
289. Две окружности радиусами R и 2R расположены так, что расстояние меж
ду их центрами Oi и 0 2 равно 2R ]Л з. К ним проведены общие касательные, пересе
кающиеся в некоторой точке отрезка 0 i 0 2. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.
290. Основание треугольника равно а, углы при основании 15 и 45°. С центром в противолежащей основанию вершине треугольника и радиусом, равным высоте, проведенной из этой вершины, построен круг. Найти площадь части круга, лежащей внутри треугольника.
291. Два круга одинакового радиуса расположены так, что расстояние между их центрами равно радиусу. Найти отношение площади пересечения кругов к пло
щади вписанного в это пересечение квадрата.
292. Дана полуокружность с диаметром А В . Точка С — произвольная точка диаметра А В, нз точки С восставлен перпендикуляр CD к диаметру до пересечения с полуокружностью в точке D. На /1C и СВ как па диаметрах построены полукруги, лежащ ие внутри данного. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной тремя полу
окружностями, равна площади круга, построенного на CD как на диаметре.
293. В треугольнике Л В С / Л = а, /_В — р и АС = Ь. Высоты A D и B E пере
секаются в точке И. Около треугольника H D E описан круг. Найти площадь пересе
чения круга и треугольника.
294. Внутри правильного «-угольника со стороной а расположены п равных к ру
гов так, что каждый касается двух других и стороны п-угольннка. Найти площадь
«звездочки», образующейся в центре п-уголы ш ка.
295. Внутри правильного п-угольника со стороной а расположены п равных кругов так, что каждый касается двух смежных сторон п-угольника и двух других кругов. Найти площадь образовавшейся внутри п-уголыш ка «звездочки».
V. Разные задачи
296- Площадь треугольника равна 1G см2, медианы т 3 и mi, равны соответствен
но 6 и 4 см. Д оказать, что эти медианы перпендикулярны.
297. Внутри правильного /i-угольника взята произвольная точка. Из нее опу
щены перпендикуляры иа стороны или на их продолжения. Д оказать, что сумма этих перпендикуляров есть величина постоянная.
298. Через центроид правильного треугольника ЛВС проведена прямая, парал
лельная стороне А В . На этой прямой внутри треугольника взята произвольная точ
ка М, из нее опущены перпендикуляры MD, M E и М К иа стороны соответственно А В , А С и ВС. Доказать, что M D — — ( M E + К М ) .
1 1 1 1
299. Д оказать, что т- -г т + — = гДе hi, h2, 11;> — высоты треугольника,
/г, һ2 /г;) г
а г — радиус вписанной окружности.
300. Пусть D — внутренняя точка стороны АС в Д Л ВС, п и г2 — радиусы окруж ностей, вписанных в треугольники соответственно A B D и BDC, г — радиус окруж ности, вписанной в треугольник ЛВС. Доказать, что г < п + г.,.
301. Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна 3024 см2, а диагонали 144 и 42 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины сторон А В и CD.
302. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол между медианами, проведенными к боковым сторонам, равен а. Найти основание треугольника.
303. Стороны треугольника а и Ь, угол между ними у. Найти: а) биссектрису 1С] б) высоту hr .
304. Основание треугольника равно а, высота Һ. Найти сумму боковых сторон, если известно, что угол между ними равен а.
305. В треугольнике один из углов равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторо
нах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника.
306. В треугольнике известны две стороны а и b (а > Ь) и площадь 5. Найти угол между высотой и медианой, проведенными из общей вершины двух данных сторон.
307. Зная площадь S и углы а, р и у треугольника, найтн длину высоты, прове
денной из вершины угла а.
308. В треугольник A B C вписана окружность, касающ аяся стороны А В в точ
ке М и стороны /1C в точке N. Найти угол 5 /1 С и радиус вписанной окружности, если A M = 1 см, В М — 6 см и C/V = 7 см.
309. Площадь прямоугольника A B C D равна 48 см2, а диагональ 10 см. Точка О удалена от вершин В и D на расстояние 13 см. Найти расстояние от точки О до наи
более удаленной от нее вершины прямоугольника.
310. Стороны треугольника a, b и с образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Д оказать, что ас = 6Rr, где R и т — радиусы описанной и вписанной окружностей.
311. Основания трапеции а и Ь. Найтн длину отрезка, параллельного основа
ниям, заключенного между боковыми сторонами и делящего трапецию иа две равно
великие части.
312. В трапеции A BC D основание A D — ВС = 12 см. На продолжении ВС за точку С взята точка М так, что площадь треугольника, отсекаемого прямой А М от трапеции ABCD, равна — площади трапеции. Найти длину отрезка 1 СМ.
О
313. В остроугольном треугольнике A B C из вершин А и С опущены высоты AD и СЕ. Известно, что площадь треугольника A B C равна 18 см2, а площадь треуголь
ника B DE равна 2 см2, длина отрезка D E равна 2 У 2 см. Вычислить радиус окруж ности, описанной около треугольника ABC.
314. В остроугольном треугольнике A B C из вершин /1 и С опущены высоты AD и СЕ. Известно, что площадь треугольника A B C равна 64 см2, а площадь треуголь
ника B DE равна 16 см2. Найти длину отрезка DE, если радиус окружности, описан
ной около треугольника ABC, равен 16 У з см.
315. В треугольнике A BC, площадь которого равна 6 см2, на сторонах А В и А С взяты соответственно то пси /< и М так, что А К ’• В К = 2 : 3 , A M : СМ " 5 : 3 . Прямые СК и В М пересекаются в точке Р. Найти А В , если расстояние от точки Р до прямой А В равно 1,5 см.
316. В равнобедренном треугольнике /15С ( АВ — ВС) проведена .биссектриса AD. Найти АС, если ^ а ^ лa d c —
317. В треугольнике A B C точка Н — ортоцентр. Найти отрезок А П , если А В —
— 13 см, ВС — 14 см и /1C = 15 см.
318. Центр вписанной в треугольник окружности соединен отрезками с верш ина
ми треугольника. Получились три треугольника с площадями 4, 13 и 15 см2. Найти стороны исходного треугольника.
319. В треугольнике ЛВ С известно, что ВС : ЛС = 3, / С = у. На Л В взяты точки D и Қ так, что / А CD — / D C K = ZК С В . Найти отношение CD : СК.
320. В треугольнике Л В С проведена медиана BD. Найти отношение радиуса окружности, описанной около треугольника A BD , к радиусу окружности, вписан
ной в треугольник ЛВС, если Л В = 2, А С = б и / В А С — 60°.
- i/if 321. В треугольнике ЛВС известно, что АС : ВС = 1 : 3 , ZА С В = a r c t g —— ■ На стороне А С взята точка D так, что А С = CD. Найти отношение площади круга, описанного около треугольника ACD , к площади круга, вписанного в треугольник ABD .